清华大学高等数值分析试卷

 清华大学研究生“高等数值分析”试题（2012.1.10） 姓名 学号 所在系 填空：（28分） （一） 设矩阵 A，则A2_________，cond2(A)A2A12_________。 30（二） ① 设A011，请给出一个A的奇异值分解AVUT， 2222002 其中___________，V___________，U___________。 ② 对上面的A，若x*R2，使Ax*bminAxb，则x*__________，2XR22这里b(1,1,1)T。 （三） 设AR33对称正定，用CG法求解Axb，若第一、二步迭代搜索方向分别为p1、p2，则2步后余量r2bAx2沿方向（不计正负）___________。 问答题：（32分）（回答“为什么”时给出主要理由即可） （一） 对任意的33矩阵，都能用左乘和右乘（不一定相同的）初等反射阵（Householder阵）将其变为以下结构的矩阵吗？ **0**0*** (b) *0* (c) 00* 0**(a) 00*0**00*其中*表示元素可以非0。对(a), (b), (c)形矩阵分别回答。 第 1 页/共2 页

（二） 若用GMRES法解方程组Axb，ARnn非奇异，bRn，取x0Rn作为初值，r0bAx0，从q1r0r0开始Arnoldi过程，则必有rk1rk吗？222为什么？这里rkbAxk，xk为GMRES法第k步所得近似解，kn。 （三） 设用不动点迭代法xk1G(xk)解非线性方程组，x*为xG(x)的解，迭代函数G(x)在x*处Frechet可导且G'(x*)0矩阵，问此时迭代法是否局部超线性收敛？为什么？ 计算证明题（40分） 11（一） 设A001210013100，用strum方法算出A在(1,2]有多少特征值。 11（二） 设ARnn非奇异，bRn，取x0Rn，记r0bAx0，从q1r0r0开始2Arnoldi过程，若在第m步（mn1）有hm1,m0，即AQmQmHm，证明此时有： (a) Azr0的解z在km中，这里 q1,q2,...,qm为Qm的列，kmspan{r0,Ar0,...,Am1r0}span{q1,q2,...,qm}。 （提示：考虑方程组Hmye1，r0） 2(b) Akmkm(即qkm,有Aqkm)，且kmkm1....kn。 （三） 写出与下述微分方程边值问题等价的Galerkin变分问题， y''(x)y(x)f(x),x(a,b) y'(a),y'(b)这里,已给定。 第 2 页/共2 页