高一数学立体几何练习题及部分答案大全

一．选择题（每题4分，共40分）

体几何试题

1.已知AB3003001500空间，下列命题正确的个数为（ ）

（1）有两组对边相等的四边形是平行四边形,（2）四边相等的四边形是菱形

（3）平行于同一条直线的两条直线平行 ;（4）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等

A 1 B 2 C 3 D 4 3.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系是（ ）

A 平行 B 相交 C 在平面内 D 平行或在平面内

4.已知直线m过平面外一点，作与平行的平面，则这样的平面可作（ ） A 1个 或2个 B 0个或1个 C 1个 D 0个

6.如图,如果MC菱形ABCD所在平面,那么MA与BD的位置关系是( )

A 平行 B 垂直相交 C 异面 D 相交但不垂直 7.经过平面外一点和平面内一点与平面垂直的平面有（ ）

A 0个 B 1个 C 无数个 D 1个或无数个 8.下列条件中,能判断两个平面平行的是( ) A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 9.对于直线m,n和平面,,使成立的一个条件是( ) A m//n,n,m B m//n,n,m C mn,m,n D mn,m//,n//

10 .已知四棱锥,则中,直角三角形最多可以有( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个

二．填空题（每题4分，共16分）

11.已知ABC的两边AC,BC分别交平面于点M,N，设直线AB与平面交于点O，则点O与直线MN的位置关系为_________

12.过直线外一点与该直线平行的平面有___________个，过平面外一点与该平面平行的直线有

_____________条

13.一块西瓜切3刀最多能切_________块

14.将边长是a的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得折起后BD得长为a,则三棱锥D-ABC的体积为___________

三、 解答题

15（10分）如图，已知E,F分别是正方形ABCDA1B1C1D1的棱AA1和棱CC1上的点，且AEC1F。求证：四边形EBFD1是平行四边形

16（10分）如图，P为ABC所在平面外一点，AP=AC,BP=BC,D为PC的中点， 证明：直线PC与平面ABD垂直

17（12分）如图，正三棱锥A-BCD，底面边长为a，则侧棱长为2a，E,F分别为AC,AD上的动点，求截面BEF周长的最小值和这时E,F的位置.

18（12分）如图，长方形的三个面的对角线长分别是a,b,c，求长方体对角线AC的长

答案

1三点共线2无数 无数 3. 7 4 1证明:

AEC1F

23a 12 过A1作A1G//D1F

又由A1E∥BG且A1E=BG

可知EB//AG 1∴四边形EBFD1是平行四边形 2 ∵APAC D为PC的中点 ∴ADPC ∵BPBC D为PC的中点 ∴BDPC

∴PC平面ABD ∴ABPC

33 提示:沿AB线剪开 ,则BB为周长最小值.易求得EF的值为a,则周长最小值

411为a. 4AC4解:2ACCC22

15（10分）如图，已知E,F分别是正方形ABCDA1B1C1D1的棱AA1和棱CC1上的点，且AEC1F。求证：四边形EBFD1是平行四边形

6（10分）如图，P为ABC所在平面外一点，AP=AC,BP=BC,D为PC的中点， 证明：直线PC与平面ABD垂直

17（12分）如图，正三棱锥A-BCD，底面边长为a，则侧棱长为2a，E,F分别为AC,AD上的动点，求截面BEF周长的最小值和这时E,F的位置.

18（12分）如图，长方形的三个面的对角线长分别是a,b,c，求长方体对角线AC的长

答案 1证明:

AEC1F

过A1作A1G//D1F

又由A1E∥BG且A1E=BG

可知EB//AG 1∴四边形EBFD1是平行四边形 4 ∵APAC D为PC的中点 ∴ADPC ∵BPBC D为PC的中点 ∴BDPC

∴PC平面ABD ∴ABPC

35 提示:沿AB线剪开 ,则BB为周长最小值.易求得EF的值为a,则周长最小值

411为a. 4AC4解:2ACCC22

高一数学必修2立体几何测试题

试卷满分：100分 考试时间：120分钟

班级___________ 姓名__________ 学号_________ 分数___________

第Ⅰ卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1、线段AB在平面内，则直线AB与平面的位置关系是

A、AB B、AB C、由线段AB的长短而定 D、以上都不对 2、下列说法正确的是

A、三点确定一个平面 B、四边形一定是平面图形

C、梯形一定是平面图形 D、平面和平面有不同在一条直线上的三个交点

3、垂直于同一条直线的两条直线一定

A、平行 B、相交 C、异面 D、以上都有可能

4、在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列几种说法正确的是

A、AC11AD B、D1C1AB C、AC1与DC成45角 D、AC11与B1C成60角 5、若直线l∥平面，直线a，则l与a的位置关系是

A、l∥a B、l与a异面 C、l与a相交 D、l与a没有公共点 6、下列命题中：（1）平行于同一直线的两个平面平行；（2）平行于同一平面的两个平面平行；（3）垂直于同一直线的两直线平行；（4）垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有

A、1 B、2 C、3 D、4

7、在空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果与EF、GH能相交于点P，那么 A、点P不在直线AC上 B、点P必在直线BD上

C、点P必在平面ABC内 D、点P必在平面ABC外 8、a，b，c表示直线，M表示平面，给出下列四个命题：①若a∥M，b∥M，则a∥b；②若bM，a∥b，则a∥M；③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；④若a⊥M，b⊥M，则a∥b.其中正确命题的个数有

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个 9、已知二面角AB的平面角是锐角，内一点C到的距离为3，点C到棱

AB的距离为4，那么tan的值等于

33A、 B、

45C、737 D、 77A'B'C'10、如图:直三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V，点P、Q分别在侧PAA1 和CC1上，AP=C1Q，则四棱锥B—APQC的体积为

VVVVA、 B、 C、 D、

2345A二、填空题（每小题4分，共16分）

棱

QCB11、等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是S球_____S正方体

(填”大于、小于或等于”).

12、正方体ABCDA1B1C1D1中，平面AB1D1和平面BC1D的位置关系为 13、已知PA垂直平行四边形ABCD所在平面，若PCBD，

B1则四边形ABCD一定是 . 14、如图，在直四棱柱A1B1C1 D1－ABCD中，当底面四边形ABCD件_________时，有A1 B⊥B1 D1．(注：填上你认为正确

A1D1平行

C1满足条的一种

CDAB条件即可，不必考虑所有可能的情形.)

第Ⅱ卷

一、选择题（每小题3分，共30分） 题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 号 答 案 二、填空题（每小题4分，共16分） 11、 12、 13、 14、 三、解答题(共54分,要求写出主要的证明、解答过程)

15、已知圆台的上下底面半径分别是2、5,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆

台的母线长. (7分)

16、已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点,且ＥＨ∥ＦＧ．

A求证：EH∥BD. (8分) 17、已知ABC中ACB90,SA面ABC,ADSC,求证：ESSBC．(8分)

18、一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分B然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱HDAD面

DF裁下,G锥

C形容器,试建立容器的容积V与x的函数关系式,并求出A的定义域. (9分)

D1BC10C15B1x函数

19、已知正方体ABCDA1B1C1D1，O是底ABCD对角交点.

面AB1D1． (10求证：(１) C1O∥面AB1D1；(2)AC1A1D线的

C分) BO20、已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面

A∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且AAEAF(01). ACADE （Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC； C （Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？ (12分)

BCD，

FD高一立体几何试题

B一、选择题：(每题5分)

1.下列说法中正确的个数为 （ ） ①以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台②用一个平面去截圆锥，得

到一个圆锥和一个圆台③各个面都是三角形的几何体是三棱锥④以三角形的一

条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥⑤棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥⑥圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线。

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 如图,一几何体的三视图如下：则这个几何体是 （ ） A. 圆柱 B. 空心圆柱 C. 圆 D. 圆锥

///

3．一梯形的直观图是一个如上图所示的等腰梯形，且梯形OABC的面积为2，则侧视图正 视 图

原( ) 梯形的0 面积为

O 45 A. 2 B. 2 C. 22 D. 4

俯视图162，则圆锥的体积是 （ ）4. 圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是

12864A． B C 64 D 1282

335. 一个圆台的上、下底面面积分别是1cm2和49cm2，一个平行底面的截面面积为25cm2，则这个截面与上、下底面的距离之比是 ( ) A 2: 1 B. 3: 1 C. 2: 1 D. 3: 1 6. 长方体的一个顶点上三条棱的边长分别为3、4、5，且它的八个顶点都在同一

个球面上，这个球的表面积是 （ ） A. 202 B. 252 C. 50 D. 200

（ ） 7. 下列命题中正确的个数是

①若直线l上有无数个点不在平面内，则l∥

②若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行

③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 ④若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都没有公共点 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

8. 已知直线l平面，有以下几个判断：①若ml，则m//；②若m，则③若m//，则ml；④若m//l，则m．上述判断中正确的是 （ ） m//l；

A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ 9. 如图是正方体的展开图，则在这个正方体中，以下四个命题中正确的序号是（ ） ①BM与ED平行． ②CN与BE是异面直线． ③CN与BM成60˚角．④DM与BN垂直． A. ①②③ B. ③④ C. ②④ D. ②③④

10．在四面体ABCD中，E,F分别是AC,BD的中点，

若AB2,CD4,EFAB，则AB与CD所成的角的度数为 （ ） A．300 B．45o C．60o D．90o

11. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，B1B=BC=1，则面BD1C与面AD1D所成二面角

的大小为 （ ） A．300 B．45o C．60o D．90o 12. 蚂蚁搬家都选择最短路线行走，有一只蚂蚁沿棱长分别为 1cm,2cm,3cm的长方体木块的顶点A处沿表面达到顶点B处 （如图所示），这只蚂蚁走的路程是（ ） AA． 14cm B． 32cm C． 26cm D．1+13cm 二、填空题（每题5分）

13. 半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为________________.

14．已知a，b是一对异面直线，且a，b成70角，P为空间一定点，则在过P点的

直线中与a，b所成的角为70的直线有 条。

15. 三个平面可将空间分成 部分（填出所有可能结果）。

16.如果直线a，b和平面满足a∥，b∥那么直线a，b的位置关系是 三．解答题。（17题10分，其余每题12分）

17. 已知：四边形ABCD是空间四边形，E, H分别是边AB，AD的中点，F, G分别是

边CB，CD上的点，且BFBCDG2,求证 FEDC3B和GHEAHDFCG的交点在直线AC上.

18. 已知圆台的上、下底面半径分别是2、6，且侧面面积等于两底面面积之和． B（Ⅰ）求该圆台的母线长；（Ⅱ）求该圆台的体积。 19．如图，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a,DC=a, F是BE的中点，求证：

（1） FD∥平面ABC;（2）AF⊥平面EDB

E F D

20.如图，在四边形ABCD中，DAB900，ADC1350，AB5，CD22，AD2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积. 21. 三棱柱中ABC-A1B1C1中,侧棱A1A垂直于底面ABC ，B1C1=A1C1,，AC1⊥A1B, M,N分别为A1B1,AB中点，求证： （1）平面AMC1∥平面NB1C C1 A1 （2）A1B⊥AM．

M 22如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC,PAAB,ABC60,BCA90，

B1 点D，E分别在棱PB,PC上，且DE//BC （Ⅰ）求证：BC平面PAC；

C 所成的角（Ⅱ）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC的大小；

（Ⅲ）是否存在点E使得二面角ADEP为直二面角？B 并说明 理由.

.

A N 高一数学必修2立体几何测试题参考答案

一、选择题（每小题5分，共60分）

ACDDD BCBDB

二、填空题（每小题4分，共16分）

11、小于 12、平行 13、菱形 14、对角线A1C1与B1D1互相垂直 三、解答题（共74分,要求写出主要的证明、解答过程）

15、解:设圆台的母线长为l,则 1分

圆台的上底面面积为S上224 2分

圆台的上底面面积为S下5225 3分 所以圆台的底面面积为SS上S下29 4分 又圆台的侧面积S侧(25)l7l 5分 于是7l25 6分

29即l为所求. 7分

716、证明：EHFG,EH面BCD，FG面BCD

∴EH∥面BCD 4分

又EH面BCD，面BCD面ABDBD，

∴EH∥BD 8分

17、证明：ACB90 BCAC 1分

又SA面ABC SABC 3分 BC面SAC 4分 BCAD 6分

又SCAD,SCBCC

AD面SBC 8分

18、解:如图,设所截等腰三角形的底边边长为xcm. 在Rt△EOF中,

1EF5cm,OFxcm, 2分

21 所以EO25x2, 5分

411于是Vx225x2 7分

34依题意函数的定义域为{x|0x10} 9分

B1D1O1 19、证明：（1）连结A1C1，设AC11连结AO1， ABCDA1B1C1D1是正方体 A1ACC1是平行四边形

∴A1C1∥AC且 A1C1AC 1分 又O1,O分别是A1C1,AC的中点，∴O1C1∥AO且O1C1AO

AOC1O1是平行四边形 3分 C1OAO1,AO1面AB1D1，C1O面AB1D1

∴C1O∥面AB1D1 5分 （2）CC1面A1B1C1D1 CC1B1D! 6分

又A1C1B1D1， B1D1面AC11C 7分 即ACB1D1 8分 1同理可证A1CAB1， 9分 又D1B1AB1B1

A1C面AB1D1 10分

20、证明：（Ⅰ）∵AB⊥平面BCD， ∴AB⊥CD，

∵CD⊥BC且AB∩BC=B， ∴CD⊥平面ABC. 2分

又AEAF(01),

ACAD∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC，EF平面BEF,

∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC. 5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD，

∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC. 7分 ∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，

∴BD2,AB2tan606, 9分

2

ACAB2BC27,由AB=AE·AC 得AE6,AE6, 11分

7AC7故当6时，平面BEF⊥平面ACD. 12分 7高一立几复习题（一）

1．用符号表示“点A在直线l上，l在平面外”为 2．右图所示的直观图，其原来平面图形的面积是

3．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示， 则这个棱柱的侧面积为 。 4．a，b，c分别表示三条直表示平面，给出下列四个命

题：①若a∥M，b∥M，则a∥b；正视图33侧视图俯视图4线，M②若

bM，a∥b，则a∥M；③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；④若a⊥M，b⊥M，则a∥b.其中不正确命题的有 （填序号）

32，那么正方体的棱长等于 36.经过一点和一直线垂直的直线有 条；经过一点和一平面垂直的直线

有 （） 条；经过平面外一点和平面平行的直线有 条.

5．已知正方体外接球的体积是

7．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是

垂直于⊿ABC所在的平面，若AB=AC=13，BC=10，PA=12，则P到BC的距离

为 . 9.长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=a，AB=b，则AA1到对角面DD1B1B的距离是 . 10.下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB//平面MNP的图形的序号是 .

11.已知,是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题： （1）如果m,n,m、n是异面直线，那么n与相交. （2）m∥β，m⊥n，则n⊥β.

（3）如果点M是两条异面直线外的一点，则过点M且与a，b都平行的平面有且

只有一个.

（4）若m,n//m，且n,n，则n//且n//.

其中正确的命题是 ▲ .

12.正方体的全面积是6a2,它的顶点都在球面上，这个球的表面积是______,体积是_______．

13.正四面体的四个顶点都在表面积为36π的一个球面上，则这个四面体的高等于________．

14.棱长为a的正四面体内任意一点到各面距离之和为定值，则这个定值等于_________．

15.某师傅需用合板制作零件，其大致形状的三视图如右图所示(单位长度: cm) ，图中的水平线与竖线垂直.

（1）作出此零件的直观图；

（2）若按图中尺寸，求做成的零件用去的合板的面积.（制作过程合板的损耗和合板厚度忽略不计）. 16已知Rt⊿ABC中，∠C=90o，C∈?，AB∥平面?，AB=8，AC、BC与平面?所成角分别30o、60o，求AB到平面?的距离. 17.正三棱锥的高为1，底面边长为26，此三棱锥内有一个球A 2 2 B 1 主视图 1 左视图 A 和四个面都相切．

C 1 （１）求棱锥的全面积；

（２）求球的体积．

1 D .

俯视图 B 18.在四棱锥P-ABCD中,侧棱PA⊥底面ABCD,底面ABCD是矩形,问底面的边BC上是否存在点E,

C (1)使得∠PED=900;

P (2)使∠PED为锐角．证明你的结论．

19.三棱锥各侧面与底面成45°角，底面三角形各角成等差数列，而最大边和最A 小边的长是方程3x227x320两根，求此三棱锥的侧面积和体积． D 20.如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PA⊥底面ABCD于A，E、F分别是AB、PD之中点． C B Q （1）求证：AF∥平面PCE；

（2）若二面角P－CD－B为45°，求证：平面PCE⊥平面PCD；

（3）在（2）的条件下，若AD=2，CD=22，求F点到平面PCE距离．

P 立体几何测试题 F A E B C D

1．[原创]以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是（ ）

A．球的三视图总为全等的圆

B．正方体的三个视图总是正三个全等的正方形 C．水平放置的正四面体的三个视图都是正三角形 D．水平放置的圆台的俯视图是一个圆

2．[原创]圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是（ ）

A． S

B．2S

C．4S

D．

23S 33．正方体ABCDA1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点．那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是（ ）。

A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形

4．[改编]将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为（ ）

A．

324 B． C． D． 23635．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（ ） A．75° B．60° C．45° D．30° 6．正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为25，则它的侧面积为（ ）

A．24 B．12 C．242 D．122 7．设,,是三个不重合的平面，l是直线，给出下列命题

①若,，则； ③若l,l//,则

②若l上两点到的距离相等，则l//； ④若//,l,且l//,则l//.

其中正确的命题是 （ ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④

8．在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（ ）。 ．．． A．BC45122 B. 22 C. 12 D. 1 22210．（文科）如图1，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分

别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角的余弦值是（ ）。

A．

155 B．

2 2C．

105 D．1

（理科）甲烷分子结构是：中心一个碳原子，外围四个氢原子构成四面体，中心碳原子与四个氢原子等距离，且连成四线段，两两所成角为θ，则cosθ值为（ ）

A． B． C． D．1313121 2D1 A1 E D A F 图1

B1 C1 G C B

11．在正三棱柱ABCA1B1C1中，若AB=2，AA11则点A到平面A1BC的距离为（ ）

A．

3333 B． C． D．3

44212．[改编]已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，在正方体的表面上与点A距离是

23的点的集合形成一条曲线，这条曲线的长度是 （ ） 332353A． B C． D．3

33613．正三棱锥P－ABC中，三条侧棱两两垂直，且侧棱长为a，则P点到面ABC

的距离是

14．[改编]（文科）三个平面两两垂直，它们的三条交线交于一点O，P到三个面的距离分别是6，8，10，则OP的长为 。

（理科）已长方体的全面积是8，则其对角线长的最小值是 15．如图2，在四棱锥P－ABCD中，PA底面ABCD， P 底面各边都相等，M是PC上的一个动点，当点M满足

时，平面MBD平面PCD． M D A 16．在空间中：①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有共点，则这两条直线是异面直线．

B 图2

C

以上两个命题中，逆命题为真命题的是 ．（把符合要求的命题序号都填上）

17．[原创]如图3所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？

18．矩形ABCD中，AB1,BCa(a0)，PA平面AC，BC边上存在点Q，使得PQQD，求a的取值范围．

图3

19．如图4，在三棱锥P-ABC中，ABBC， ABBC别是AC,PC的中点，OP底面ABC.

（

1

）

求

证

1PA， 点Ｏ，Ｄ分2PDC1

A1 D1

D1

AA1 B1 OBC1 C1

P A D D4 图C

B ODPABODPBCABCDA1B1C1D1AA12BC1ABAD2AA13AC11FD1EAB1F1CB122．一只

A

图5 B A B M C

图6 图7

C D

N F B

小船以10 m/s的速度由南向北匀速驶过湖面，在离湖面高20米的桥上，一辆汽车由西向东以20 m/s的速度前进（如图8），现在小船在水平P点以南的40米处，汽车在桥上Q点以西30米处（其中PQ⊥水面），求小船与汽车间的最短距离为.（不考虑汽车与小船本身的大小）．

参考答案： Q 1．选A。画几何体的三视图要考虑视角，对于球无论选择怎样的视角，其三个视图均为全等的圆。

2．选C。圆柱的底面积为S，则底面半径r故侧面积S侧(2r)4S。

2S，底面圆的周长是2r2S，

图8

P 3．选D。通过画图，可以得到这个截面与正方体的六个面都相交，所以截面为六边形。

4．选C。正方体削成最大的球，即正方体棱长为球的直径，即2R1，R，故V球43121。

623S A B C

第5题图

O 5．如图所示，设侧棱与底面所成的角为，则

OC2，所以450。 cosSC2D

6．选A。由底面边长为2，可知底面半径为2，由勾股定理可知侧棱长为2，所以S侧62224。

7．选D。命题①和可能平行；命题②中l和相交。

8．选C。如图所示：取DF的中点O，易证POA为二面角PDEA的平面角，因为P点在底面上的射影是底面的中心，故POA不可能为直角，所以平面PDF与平面ABC不垂直。

P C 9．选B。还原成平面图形为如图所示的直角梯D 形，且

AB12，AD2，DC1，故

1A S(112)22H 2。 O 2C A

B

B 10．（文科）如图所示，连结第8题图 B1G、B1F，则

第9题

图

B1GF或其补角是异面直线A1E与GF所成的角，由余弦定理：B1G2B1F2GF225310，所以arccos10。 B1GF2B1GB1F55225D1 A1 E D A F

B1 C1 G C B

A P O C

H B

第10题（理）图

第10题（文）图

D （理科）选A。 即正四面体的各顶点与中心连线所成的角，如图，设棱长为1，

336，AH，PHPA2AH2，设OAOBOCODOPr，2336在RtOAH中，由OA2OH2AH2得：r，故C1

4A1 则有：ADr2r211cos。 232rB1

A B 第11题图

C

11．设点A到平面A1BC的距离为h，则由

VAA1BCVA1ABC可得：

hSABCAA133。 1SA1BC2251212．曲线在过A的三个面上都是以A为圆心，以曲线的总长度为234233。 323为半径的四分之一圆弧，所313．设P点到面ABC的距离为h，由体积公式可得：14．如图，构造长方体，其中侧面AO，BO，A1O所在的平面即为已知的三个两两垂直的平面，则长方体的长、宽、高分别为6，8，10，而OP的长即为长方体的体对角线的长，所以OP2=36+64+100=200． 故

OP102。

132aＡ Ａ1

2h1323故h a。a，

36Ｃ Ｐ

O Ｂ Ｂ1

第14题图

（理科）设长方体的长、宽、高分别为a,b,c，则

abbcca4，对角线labc2222a22b22c22ab2bc2ca2

2215．答案：BM⊥PC（或DM⊥PC）．底面四边形ABCD各边都相等，所以四边形ABCD

是菱形，故AC⊥BD，又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，又PAACA，所以BD⊥平面PAC，即有PC⊥BD，故要使平面MBD⊥平面PCD，只须BM⊥PC，或DM⊥PC．

16．答案②．①的逆命题是：“若四点中的任何三点都不共线，则这四点不共面”，为假命题，反例可以找正方形，没有三点共线，但四个顶点共面；②的逆命题是：“若两条直线是异面直线，那么这两条直线没有公共点”，由异面直线的定义知这个命题正确．

14128111 17．解：V半球43；V锥Sh r2h421264。因为

233333V半球V锥，故冰淇淋融化了，不会溢出杯子。

18．如图，连结AQ，∵PQ⊥QD，PA⊥QD，PQ∩PA=P，∴QD⊥平面PQA，于是QD⊥AQ，∴在线段BC上存在一点Q，使得QD⊥AQ，等价于以AD为直径的圆与线段BC

a有交点，∴1,a2.

2

P P 19．（1）Ｏ、

Ｄ分别为AC、PC的中D点．∴ 又PA平OD//PA，A D F

面OCPAB，OD面PAB，

AB Q C ∴ OD//平面PAB. E

B(2) 第19题图第18题图

，ABBC

OAOC，∴OAOBOC,又OP平面ABC，∴PAPBPC.取BC中点Ｅ，

连结PE,则BC平面POE.作OFPE于F,连结DF,则OF平面PBC,∴ODF是OD与平面PBC所成的角．在RtODF中，sinODF面PBC所成的角正弦值为

210. 30OF210．所以OD与平OD3020．（文科）由题意AB∥CD，∴∠C1BA是异面直线BC1与DC所成的角。连结AC1

与AC，在Rt△ADC中，可得AC=5。 又在Rt△ACC1中，可得AC1=3。在梯形ABCD中，过C作CH∥AD交AB于H,得∠CHB=90°，CH=2，HB=3, ∴CB=13。又在Rt△CBC1中，可得BC1=17，在△ABC1中,cos∠C1BA=∠C1BA=arccos

317，∴17D1

A1

C1

B1

317．所以异面直线BC1与DC所成角的17317余弦值大小为．

17D

A

H

C

第20题文图

B

（理）如图，建立空间直角坐标系A-xyz，则A（0，0，0），B1（2，0，3），F（1，2，0），∴AB1(2,0,3)，。 AF（1，2，0）

（1）设平面AB1F的一个法向量为n(x,y,z)，

2x3z0,AB1n,AB1n0,由得即∴

x2y0,AFn,AFn0,2xz,3，∴可取平面ABF的一个法向量为

1xy,2n(6,3,4)．

z A1 B1 A B C C1 D1 y D F x 第20题理图 （2）∵D1（0，2，3），设E（2，y，z），则D1E(2,y2,z3)，由（1）知，平面AB1F的一个法向量为n(6,3,4)，∴要使D1E平面AB1F，只须使D1E//n，∴令

k3,62k,nkD1E，即3(y2)k,∴y1,∴当E点坐标为

4(z3)k,5z.35（2，1，)时，D1E平面AB1F．

321．设棱长为1,取MN的中点E,连结BE,B1E. 正方体ABCD-A1B1C1D1中， M、N分别为棱AB、BC的中点，∴BMBN，∴BEMN，∵B1BMN，∴

MN平面B1BE,∴∠B1EB是二面角B1MNB的平

P D A

E B M 第21题（1） P D ① A B ② ③ P D ④ B N C

C 面

BE=MB2ME2角.且

BB12.tanB1EB122. 4BE24138929； ②PB=；③PB=； ④222(2)展开图如右图所示. P、B两点间的距离共计4种情况,①PB=

17PB=.求得其中一个即可.

222．设经过时间t汽车在A点，船在B点，如图

所示，则AQ=30–20t，BP=40—10t，PQ=20,且有AQ⊥BP，PQ⊥AQ，PQ⊥PB，设小船所在平面为α,AQ,QP确定平面为β,记α∩β=l,由AQ∥α，AQβ得AQ∥l，又AQ⊥PQ，得PQ⊥l，又PQ⊥PB，及l∩PB=P得PQ⊥α.作AC∥PQ，则AC⊥α.连CB，则AC⊥CB，进而AQ⊥BP，CP∥AQ得CP⊥BP，∴AB2=AC2+BC2=PQ2+PB2+PC2=202+（40－10t）2Q A 30 m.+(30—20t)2=100［5(t—2)2+9］，t=2时AB最短，最短距离为． 备用题：

1．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中点，则A1C与DE所成的角的余弦值为（ ） A．

1510 B．

1515C 第21题（2）

C．3010P D． 6C 10解：选A．分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴， D1 B C1 B1 A1 设棱长为2，则A1(2,0,2)，E(2,1,0)，C(0,2,0)，故 有：A1C(2,2,2)，DE(2,1,0)，由cosA1CDEA1CDE D A R 图 C ·E B 22151515。所以A1C与DE所成的角的余弦值为 。 15152．如图，是几个相同的小正方体搭成的几何体的三种视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是 .

解：这种题型最直接的解决方法就是还原法，根据三视图画出它的立体图形。本题的立体图形如下，所以正确答案应该是5个。

3．已知A，B，C，D为同一球面上的四点，且连接每两点的线段长都等于2，则

球心到平面BCD的距离等于_____________。

解：易知四面体ABCD是以棱长为2的正四面体，球心为正面体的中心，可求得正四面体的高为

6366666，球的半径为，所球心到底面的距离为。 343434124．已知平面?与平面?交于直线l，P是空间一点，PA⊥?，垂足为A，PB⊥?，垂

足为B，且PA=1，PB=2，若点A在? 内的射影与点B在?内的射影重合，则点P到l的距离为________.

解：因为“点A在? 内的射影与点B在?内的射影重合”，记为H，则四边形PAHB为矩形，所以点P到l的距离为矩形的对角线，对角线的长度为5，所以P到l的距离5。

5．在ABC中，BC21，BAC1200，ABC所在平面外一点到A、B、C的距离都是14，则点P到面ABC的距离为

解：由P到A、B、C的距离知，P点在底面上的射影O为底面的外心，故

2OA2122hPAOA7。OA73，即，设P到面ABC的距离为，则 143h0sin1206．在梯形ABCD中，DABABC上的点，

2,ABBC2AD4,E,F分别是AB、CDAEDF(01)，G是BC的中点．现沿EF将四边形AEFD折起，使ABDC． AEBE,EGBD（如图9－11－4）

(1)求证：平面AEFD平面BEFC；

(2)确定的值并计算二面角DBFC的大小； (3)求点C到平面BDF的距离．

A E · D F A E D F B C · (1)在原图中:DABABC2.ABBC,ABAD.∵

AEDF，∴EBFCEF//BC//AD，AEEF，折起后：由AEBE 及已知AEEF,BEEFE 所以

AE平面BEFC,AE平面AEFD,平面AEFDz 平面BEFC. A D D (2)知EA,A ,建立以E为空间坐标系原点EB,EF,EA分别为EB,EF两两垂直E F y E F x,y,z轴.则E(0,0,0),B(44,0,0),C(44,4,0)，G(44,2,0),D(0,2,4)，

1BD(44,2,4),EG·(4 4,2,0),EGBD,(44)240解得1. 即

· B C x B 2C G G 图 ,BF(2,3,0),BD(2,2,2).设平面DBF的A(0,0,2),B(2,0,0),D(2,2,0),F(0,3,0)一个法向量为n1(x,y,z),由n1BD0，n1BF0,即n1(3,2,1)．又平面BCF的一个法向量n2(0,0,1).∴cos钝角,所以为arccos14. 14n1n2n1n214,又因为二面角DBFC的平面角为14(3)C(2,4,0),BC(0,4,0),点C到面BDF的距离为dBCn1n1814414． 7