高等流体力学笔记第8讲

二 积分型基本方程应用举例

例一． 不可压缩流体对弯管管壁的作用力问题（二维）

如图所示，已知不可压缩流体流经固定弯管进出口界面的面积分别为A1, A2，流速与压力分别为V1，P1 ，V2，P2，均可视为均匀分布为常数。试求流体对弯道管壁的作用力。

解：应用欧拉积分型方程求解实际问题①首先应选定控制体，②其次应选择合适的坐标系。这样可大大减小数学处理上的复杂性。③确定正方向。本题选择所考虑管段中流态所占据的体积作为控制体（虚线所示）A0为控制体的侧表面，即管壁面积，A1,A2分别为两个端面。坐标系如图所示。

设F为流态作用于弯道管壁的合力，F为其反作用力，即管壁对流体作用力的合力，根据牛顿第三定律可知FF。 管壁对流态作用力的合力应为：

FA0pndAApndAA1pndAA2pndA

从上面两式可得：

ApndAA1pndAA2pndAF

AA0A1A2为控制体的全部边界面，为封闭面。

④选定基本方程组：由欧拉积分型式的动量方程：

fdApndAA(Vn)vdAtVd

及欧拉积分型连续性方程A(Vn)dAd就可求解F。

因为所研究问题为定常流动，故

tVd0，

d0。

质量力只有重力故fg为常数，故fdgdg，如果z轴铅垂向上，

则ggk。

又因为进出口断面V1,P1 ,V2,P2均为常数，且于过水断面垂直，所以有：

A1(Vn)VdAA1(V1n1)V1dAA1(V1V1)n1dAA1V1n1

2A2(Vn)VdAA2(V2n2)V2dAA2(V2V2)n2dAA2V2n2

2对于侧表面，由于流动方向与管壁外法线方向垂直，Vn0，所以有

A0(Vn)VdA0

则总的通过控制体边界面流出控制体的总的动量为：

A(Vn)VdAA0(Vn)VdAA1(Vn)VdAA2(Vn)VdA0A1V1n1A2V2n222

作用在控制体边界面上的所有表面力由前面推导可知：pndAAA1pndAA2pndAF

因为P1,P2为常数，且流动与过水断面（即控制面A1, A2）垂直，故

Pn1 -p1n1,Pn2 -p2n2

前面负号是因为n为控制面的外法线方向，但P1,P2为垂直指向控制面（即内法线方向），故加负号才能是压力与实际的方向一致。 代入上式得：pndAAA1pndAA2pndAFp1n1A1p2n2A2F

将上面得表达式均代入动量方程后可得：

Fgp1n1A1p2n2A2A1V1n2221A2V2n22

g(p1V1)n1A1(p2V2)n2A2由定常流动得连续性方程(Vn)VdA0可得：

AA0(Vn)dAA1(Vn)dAA2(Vn)dA0

0A1(VV11n1)A2(V22n2)0

n1V1,Vn2V2，故由上式可得：

A1V1A2V20，

V1V2A1A2

如果A1A2时，V1V2V，即对等直径的弯管，流体作用在管壁上的合力应为：

Fg(p1V)n1A(p2V)n2A

22对于平面放置的90等直径弯管，则有p1p2p,ggk,n1i,n2j则代入上式

可得：

Fgk(pV)Ai(pV)AjFx(pV)AFy(pV)AFzgFFzkFxiFyj2222

例二：明渠闸板上所受的动压力如图所示，假定流体的理想、定常、不可压缩流体、并忽略壁面摩擦及粘性损失，还假定1－1，2－2断面上的流速为均匀分布。试求闸板单位宽度上所受的力。

解：控制体及坐标系选取如图所示（虚线所示，y方向为单位宽度） 定常流动的动量方程与连续方程分别为：

A(Vn)VdA0

fdApndAA(Vn)VdA0

（由连续方程）因为：AA1A2A自A板A底且在各个边界面上有：V1n1V1，

V2n2V2，其它边界面上均有Vn0故有 ：(Vn)VdAA1V1A2V20∵

AQmV1PH1V2Ph1或V2A11H,A21h故可得：

HV1h,Qm为单位宽度上的

流量。

由动量方程，∵fg(k)，fdgk，其在x方向分量为零。

A(Vn)VdAA1(V1n1)V1dAA2(V2n2)V2dA

2222A1(V1)V1iA2(V2)V2i(A2V2A1V1)i(HVhV1)i2 其仅在x方向有分量。

因为理想 流体PnPn 所以

APndAPn1A11dAPA222n2dAPA自0n自dAPA板A底板n板dA＋P底n底dAA底

＝P1(i)dAA1PA2idAPA自0jdAPA板板idA＋P底(j)dA上式中第四项为闸板对水流得作用力Fx 显然在x方向上所有的表面力为P1idAA1PA22idAPA板板idA

FFxi显然水流对闸板的作用力

FFA板P板dAiFxi

如果假定在1-1断面与2-2断面压强符合静水压强分布规律

P1g(Hz),P2g(hz)

则x方向所有表面力可表示为：

Hg(Hz)dz10[g(H22h0g(hz)dz1FxiH22其中Fx为闸板对水流的作用力

h22)Fx]i[g(h22)Fx]i将上面结果代入动量方程并仅取x方向的分量

g(H2H222h22h2)Fx(hV22HV1)0

2g(2)Fxg(H22h22)(hV22HV1)212g(H2h)QmV1(2Hh1)

通过能量方程可进一步解出V1的表达式。对于理想不可压缩流体，并在定常与绝热的条件下，能量方程中的

AqdAqRd0,const,PnPn,t[(eV22)]d0,e0

因此能量方程可表达为：

(fV)d(PAnV)dAAV22(Vn)dA0 *

如果再假定质量力有势则fU，U为单位质量力的势函数，对质量力仅为重力且坐标

在z轴铅垂向上时，fggkU因此利用(V)0及高斯定律可得

UzkdUdzk，所以Ugz

(UV)d(UV)dU(V)d(nV)UdA

A将上面结果代入*式可得

A(nV)(V22PU)dA0

这就是理想，不可压缩，定常，绝热，质量力有势时的能量方程表达式。 将上式表达用于本例题，因为除了A1, A2边界面之外，其它边界面nV0， 因此：(n1V1)(A1V122P1gz)dAA2(n2V2)(V222P2gz)dA0

将nV1V1,P1g(Hz),P2g(hz),nV2V2,V212HV1h代入后积分可得

V122g(Hh)/(Hh221)，将其代入到Fx的表达式后可得

11Fxg(Hh)(Hh)2Hh

(Hh)2例三：不可压缩射流对固定叶片

的作用力

如图所示射流冲击至一个固定的叶片后，流速方向改变了角。设流动为不可压缩，理想流体，且流动是定常，绝热，质量力可以略去不计，进出口截面上全部流动参数均匀，试计算射流作用于叶片上的合力。

解：控制体及坐标系选择如图所示，采用固结于固定叶片上的绝对坐标系，虚线为控制体。Aa为自由流面，Ab为与叶片接触的边界面，A1和A2为两个端面，相应的外法线方

向na,nb,n1,n2如图所示。

应用定常流动的连续方程，根据前二例的分析可知：已知条件

A(nV)dA0, V1A1V2A2Qm 进出口流动参数均匀，在Aa和Ab上

(Vn)0

应用理想、不可压缩、绝热、定常、质量力不计的条件，利用上例的能量方程：

A(nV)(V22P)dA0，n1V1V1,n2V2V2

并注意到在Aa和Ab上(Vn)0，在A1和A2面上，p1p2pa，V1QmA1，

V2QmA2代入能量方程可得：

(nV)(AV22P)dA[(paV222)(PaV122)]Qm0

即：V1V2V

设Ff表示射流作用于叶片上的合力，Ff为叶片作用于流体上的合力，则根据牛顿

第一定律：

Ff＝—Ff，FfAbpndAAbpbnbdA

在定常流动时且忽略质量力时控制体的动量方程：

AV(Vn)dAApndA

其中：

AV(Vn)dApndAA1V(Vn)dAA2V(Vn)dAV1A1n1V2A2n2

22AA1pan1dAA2pan2dAAapanadAAbpbnbdA

pa(n1A1n2A2)AapanadAFf

考虑到：pandApa(n1A1n2A2)AAapanadApbnbdA

AbpbnbdA

所以有：AapanadApa(n1A1n2A2)Ab代入pndA的表达式可得：pndAAAAbpbnbdAFf

FfAbpanbdAQmV(n1n2)

若以F表示叶片所受射流与大气给予的合力，A表示叶片的封闭表面积，n表示叶片表面的外法线单位矢量，则显然nnb。

FFfAAbpadAFfpandAFfApandAAbpandA

AAb Ff0AbpanbdA

代入Ff的表达后可知：FQmV(n1n2) 因为：n1i，n2n2xin2yjx2r2iy2r2jcosisinj

FFxiFyj, FxQmV(1cos)，FyQmVsin，

且当180，FxFxmax，90，FyFymax

如果叶片是移动的，可选坐标系在移动的叶片上，其它不变，这时只要以相对速度V代替绝对速度V即可，所以结果应为：

FxA1V1(1cos) FyA1V1sin

其中相对速度V1(V1U),U为动坐标系x方向的移动速度。 叶片所受到的功率FxUA1(V1U)U(1cos)，这样当：

,V1为定值时，VV1322oo2时，叶片所受到的功率最大；

U,V1为定值时，180o时，叶片所受到的功率最大。

习题：

为测定圆柱体的阻力系数

CD,将一个直径为d，长度为L

的圆柱体浸没在二元定常不可压缩流中，实验在风洞中进行。1—1，2—2断面上的速度分布如图所示，两个截面上的压力是均匀的数值为p，试求圆柱体的阻力系数。

阻力系数定义为

：CD度。

D12，其中D为圆柱绕流时的阻力，为流体的密度，V为来流的速

2VLd

Aa为自由流面，Ab为与叶片接触的边界面，A1A2为两个端面，相应的外法线方向为

na,nb,n1,n2，如图所示。

应用定常流动的连续性方程，根据前面两例题的分析可知，已知条件

A(Vn)dA0,V1A1V2A2Qm，进出口流动参数均匀，在

Aa与

Ab上

(Vn)0

应用理想、不可压缩流体、定常、质量力不计的条件，利用上例的能量方程：

A(nV)(V22P)dA0,n1V1V1,n2V2V2