流体力学课后答案

B1题解

BP1.1.1 根据阿佛迦德罗定律，在标准状态下（T = 273°K，p = 1.013×10Pa）一摩尔

23

空气（28.96ɡ）含有6.022×10 个分子。在地球表面上70 km高空测量得空气密度为8.75

-53336

×10 ㎏/m。 试估算此处 10 μm体积的空气中，含多少分子数n (一般认为n <10 时，连续介质假设不再成立)

答： n = 1.82×10 3

提示：计算每个空气分子的质量和103μm3体积空气的质量 解： 每个空气分子的质量为 m5

28.96g234.8110g 236.02210m3)8.751020g

设70 km处103μm3体积空气的质量为M M(8.7510kg/m)(101053318M8.751020g n1.82103 23m4.8110g说明在离地面70 km高空的稀薄大气中连续介质假设不再成立。

BP1.3.1 两无限大平行平板，保持两板的间距δ= 0.2 mm。板间充满锭子油，粘度为μ=

3

0.01Pas，密度为ρ= 800 kg / m。若下板固定，上板以u = 0.5 m / s的速度滑移，设油内沿板垂直方向y的速度u (y)为线性分布，试求： (1) 锭子油运动的粘度υ；

(2) 上下板的粘性切应力τ1、τ2 。

答： υ= 1.25×10 – 5 m2/s, τ1=τ2 = 25N/m2。 提示：用牛顿粘性定侓求解，速度梯度取平均值。 解：(1 ) 0.01kg/sm-521.2510m/s 3800kg/m （2）沿垂直方向（y轴）速度梯度保持常数，

12duu/= (0.01Ns / m2)(0.5m/s)/(0.2×10-3m)=25N/m2 dyBP1.3.2 20℃的水在两固定的平行平板间作定常层流流动。设y轴垂直板面，原点在下板上，速度分布u ( y )为 u6Q2(byy) 3b3 式中b为两板间距，Q为单位宽度上的流量。若设b = 4mm，Q0.33m/sm。试

求两板上的切应力。w

答：0.124103N/m2

提示：用牛顿粘性定侓求解，两板的切应力相等。

解：由对称性上下板的切应力相等

dudyy06Q6Q (b2y)y0b2b2 查表 μ=1.002×10 – 3Pa·s,两板上切应力相等

6(0.33m3/sm)(1.00210-3Ns/m2)0.124103N/m2 32(410m)

BP1.3.3 牛顿液体在重力作用下，沿斜平壁 (倾斜角θ)作定常层流流动，速度分布u (y) 为

ugsin(2hyy2) 2；

式中为液体的运动粘度，h为液层厚度。试求 (1). 当300时的速度分布及斜壁切应力w1 (2). 当 = 90°时的速度分布及斜壁切应力w2 ；

(3). 自由液面上的切应力0 。 答：w11gh； w2gh ； 0 = 0 。 2 提示：用牛顿粘性定侓求解。

解：（1）θ= 30°时，u = g (2 h y- y 2 ) / 4ν w1dudyy011g(hy)gh 22y0 (2)θ= 90°时，u = g (2 h y- y 2 ) / 2ν w2dudyg(h-y)y0gh

y0 (3) 0dudygsin(h-y)yh0

yh2

BP1.3.4 一平板重mg = 9.81N，面积A = 2 m，板下涂满油，沿θ= 45°的斜壁滑下，油膜厚度h = 0.5 mm 。若下滑速度U =1m/s, 试求油的粘度µ。

答：1.73410Pas

提示：油膜切应力之合力与重力在运动方向的分量平衡，油膜切应力用牛顿粘性定

律求解，速度梯度取平均值。

3 解：平板受力如图BP1.3.4所示，油膜切应力之合力与重力在运动方向的分量平衡

mgsinAUA hhmgsin(0.5103m)(9.81N)sin45ο31.73410Pas 2UA(1m/s)(2m)BP1.3.5 一根直径d =10 mm，长度l =3 cm的圆柱形轴芯, 装在固定的轴套内，间隙为

δ= 0.1mm,间隙内充满粘度μ= 1.5 Pas 的润滑油,为使轴芯运动速度分别为V= 5cm/s, 5 m/s,50 m/s轴向推动力F分别应为多大。

答：F1= 0.705N, F2 = 70.5N, F3= 705N 。 提示：用牛顿粘性定侓求解，速度梯度取平均值。 解：F =τA，V，A=πd l

Vdl(1.5Ns/m2)(0.01m)(0.03m)V14.1V(Ns/m) F0.110-3m 当V1= 5×10 –2 m/s 时，F1= 0.705 N

V2=5 m/s 时， F2=70.5N

V3=50m/s时， F3=705N

BP1.3.6 一圆柱形机轴在固定的轴承中匀速转动。轴径d = 20 cm, 轴承宽b = 20cm,润滑油粘度μ=0.2Pa·s,轴承转速为n=150r/min。设间隙分别为δ=0.8 mm,0.08mm,0.008mm

。 时,求所需转动功率W77.4W,W774W,W7740W。 答:W123M, M为轴承面提示：轴承面上的切应力用牛顿粘性定侓求解，所需功率为W上粘性力对轴心的合力矩， 为角速度。 解:轴承面上的切应力为 dud dr2 式中2n/602π(150r/min)/(60s/min)15.7rad/s

dd1bd32 轴承面上的合力矩为 MAdbbd

2224 所需要的功率为

2323bd(0.2Pas)(15.7rad/s)π(0.2m)(0.2m)1MW44

0.0621Nm()s2

= 77.5 W 当δ= 0.8 mm时, W1=775 W δ= 0.08 mm时, W2= 7750 W δ= 0.008 mm时, W3BP1.3.7 旋转圆筒粘度计由同轴的内外筒组成，两筒的间隙内充满被测流体，内筒静止，

外筒作匀速旋转。设内筒直径d = 30 cm；高h = 30 cm，两筒的间隙为δ= 0.2 cm，外筒的角速度为ω=15rad/s，测出作用在内筒上的力矩为M = 8.5 N-m, 忽略筒底部的阻力，求被测流体的粘度μ 答：μ=0.176 Pa·s

提示：M为轴承面上粘性力对轴心的合力矩，粘性力用牛顿粘性定侓计算,速度梯度用平均值。

解：作用在内筒上的力 F = M / 0.5 d＝2M/d 外筒的线速度为 V(0.5d) 由牛顿粘性定律 FAVdh(0.5)dh2M/d



2Mδωπd2h(0.5dδ)2(8.5Nm)(0.210m)0.176Pas(15rad/s)(0.3m)2(0.3m)(0.15m0.002m)-2

BP1.4.1 用量筒量得500ml的液体，称得液体的重量为8N，试计算该液体的(1)密度；(2) 重度g；(3) 比重SG。

答：1631kg/m,g16kN/m, SG =1.63.

33m(8N)/(9.81m/s2)3解： (1)  1631kg/m-6350010m (2）g(1631kg/m)(9.81m/s)(1610kgm/s)/m16kN/m

(3) SG = (1631 kg/m3) / (1000 kg/m3) = 1.63

BP1.4.2 已知水的体积弹性模量为K =2×10Pa，若温度保持不变，应加多大的压强Δp才能使其体积压缩5% 。

答：Δp =10Pa

提示：按体积弹性模量的定义计算。 解：由体积弹性模量的定义 K

8

9

323233dp d/ 式中τ为体积。与体积变化相应的压强变化为 pKd(2109Pa)(0.05)108Pa

5

5

9

3

BP1.4.3 压力油箱压强读数为3×10Pa，打开阀门放出油量24kg，压强读数降至1×10Pa，设油的体积弹性模量为K=1.3×10 Pa，密度为ρ= 900 kg/m，求油箱内油原来的体积τ。 答：τ=173.55 m3

提示：按体积弹性模量的定义计算。

BP1.4.4 将体积为τ1的空气从0℃加热至100℃，绝对压强从100kPa增加至500kPa，试求空气体积变化量。 答：0.7271

提示：用完全气体状态方程求解。

解：设空气为完全气体，满足状态方程，从状态1到状态2

p11p22 T1T2 21T2p127310010010.2731 T1p2273500 (21)(0.2731)10.7271

BP1.4.5 玻璃毛细管的内径为d=1mm，试计算10C的水在空气中因毛细效应升高的最大值

h。

答：h＝0.03m 解：查

0.0742N/m2, 414(0.0742N/m2)1h30.03m332gd(10kg/m)(9.81m/s)10mBP1.4.6 两块互相平行的垂直玻璃平板组成间距b=1mm的狭缝，试求10C的水在空气中因毛细效应升高的值h，并于BP1.4.5作比较。 答：h＝0.015m

图BE1.4.2

解：参图BE1.4.2，计算单位宽度的缝隙中水体的力平衡 2cosghb 0,h2cos20.07420.015m 223gb(9810kg/ms)(10m) 讨论：升高值只有毛细管的一半。

BP1.4.7 20C空气中有一直径为d＝1mm的小水滴，试用拉普拉斯公式计算内外压强差

p。

答：p＝291.2Pa

22(0.0728N/m2)291.2Pa 解：p3R0.510m

B2题解

BP2.2.1 已知速度场为u = 2y (m/s), v = 1 (m/s)，试求通过图BP2.2.1中阴影面积（1）

（右侧面）和（2）（上侧面）的体积流量Q1和Q 2 。 答：Q 1 =2 m3/s，Q 2 = 6 m3/s

解：由体积流量公式（B2.2.3）式 Q 对面积（1）n = i dA = 2dy Q(vn)dA

A1010(2yij)i2dy4ydy2y22m3/s

01dydxij， dA=2ds (s沿AB线) dsds12dydx Q(2yij)(ij)2ds2(2ydydx)4ydy2dx

AA00dsds 对面积（2）n =2y2102x06m3/s

2BP2.2.2 不可压缩粘性流体在圆管中作定常流动，圆管截面上的速度分布为

u10(1r2/R2) cm/s，圆管半径R=2cm，试求截面上的体积流量Q，平均速

度V和最大速度um。

答：Q =20πcm3/s，V=5 cm/s，um= 10 cm/s

解： Q(vn)dAAR0R0u2rdrR0r220(1-2)rdr

RR20r311(r2)dr20(r22r4)R24R01120(R2-R2)20(2-1)20cm3/s 24QQ20cm3/sV5cm/sAR24cm2um2V10cm/sBP2.2.3 已知圆管定常流动中截面上的速度分布为

uum(1r/R)n (n ≠-1,-2)

式中um为圆管轴线上的最大速度，R为圆管半径。（1）试验证截面上的平均速度为V2um/[(n1)(n2)]； （2）取n= 1/7，求V。

答：V = 0.8167 um

Q1umrn2umrn解：（1）VudA(1)2rdr(1)rdr （a） 2AR2R2RRR00 由积分公式

RRR0RRrnRRrn1Rrn1rn1(1)rdrrd(1)(1)drr(1)0Rn10Rn1RR0RRRrn1rR2r (1)d(1)(1)n10RR(n1)(n2)R0R2 (n1)(n2) 代入(a)式

2umR22um V2

R(n1)(n2)(n1)(n2) 当n＝1/7时 V2um0.8167um

11(1)(2)77BP2.2.4 在习题BP2.2.3的速度分布式中取n = 1 / 10，计算动能修正系数α，并与例B2.2.2

中n = 1/7的结果作比较。

答：=1.031

2um21010解：由BP2.2.3 Vum0.8658um

111121(1)(2)1010 或um / V= 1.155。由例B2.2.2动能修正系数定义为



2R2R0u2()3rdr2VRR0r1/10um(1)rdrVR321.153R221.153(R0(1r3/10)drRR23102)

R23101)(1.0311323 计算表明，与1/7指数分布相比，1/10指数分布的速度廓线更加饱满，动能修正系数更接近于1。

BP2.3.1 设平面流动的速度分布为u = x2, v = -2 xy, 试求分别通过点（2, 0.5），（2, 2.5），（2,

5）的流线，并画出第一象限的流线图。

答：xyC

解：流线方程为

21.155321010dxdy,22xyxdydx2 yx 积分可得 ln y = - 2 ln x + ln C1, y = C x –2 或 x 2 y = C 通过（2，0.5）时 C = 2 流线为xy2 (2，2.5 ) C= 10 xy10

(2，5） C= 20 xy20

BP2.3.2 设平面不定常流动的速度分布为u = x + t，v = - y + t，在t = 0时刻流体质点A位

于点(1,1)。试求（1）质点A的迹线方程，（2）t=0时刻过点（1, 1）的流线方程并与迹线作比较。

答：(1) x2et1，y2et1;(2) xy1

解：（1）由 由

tt222dxxt,dtxC1ett1, t = 0 时x = 1, C 1 = 2

yet(tetdtc2)et(tetetC2)C2ett1

－

dyyt,dt t = 0时y = 1, C2 = 2, 迹线方程为 x = 2et - t – 1, y = 2 et + t – 1 (2 ) 由

dxdy，（x + t）(- y + t ) = C , t = 0 时x = y = 1，C = - 1, xtyt 此时的流线方程为 x y = 1

BP2.3.3 设平面不定常流动的速度分布为u = xt, v= 1, 在t = 1时刻流体质点A位于(2,2)。

试求(1)质点A的迹线方程； (2)在t=1、2、3时刻通过点（2, 2）与流线方程, 并

作示意图说明。

答：(1) y(2ln解：（1）由

x11)1/21,(2) ylnxC 2tdx1uxt，dxxtdt，解得lnxt2C1 dt21 因t = 1时，x = 2, 可得C1ln2。代入上式得

2lnxln2t(2ln 由

112t,222lnx1)1/22x1t22 （a）

dyv1解得 dtytC2 （b）

因t = 1时，y = 2可得C2 = 1由(a), (b) 式可得质点A的迹线方程为 y(2lnx1)1/21 2 （2）流线方程为

dxdy xt111lnxyC3 或 ylnxC3 tt 积分得

x2 21111x t=2时x=y=2，C3ln22，流线方程为 ylnxln22ln2

222221111x t=时x = y = 2，C3ln22，流线方程为 ylnxln22ln2

33332 t = 1时 x=y=2，C3 =-－ln2＋2，流线方程为 ylnxln22ln t = 1 时，迹线与流线在点（2，2）相切，随时间的增长，过点（2，2）的流线斜

率越来越小。 BP2.3.4 设平面不定常流动的速度分布为u = xt, v = - (y+2) t, 试求迹线与流线方程。 答：x(y+2) =C 解：迹线方程为

dxdydt xt(y2)t 将上式中分母上的t消去后，两项分别仅与x和y有关，只能均为常数。因此迹

线与时间t无关

dxdy (a) x(y2)积分得

lnxln(y2)C

x ( y + 2 ) = C (b) (a)式也是流线方程，与迹线方程形式相同。

讨论：本例属不定常流场，每一时刻同一点的速度不相同，但由于两个速度分量与时

间成比例关系，流线与迹线的形状均不随时间变化，且相互重合。

BP2.3.5 在流场显示实验中，从原点连续施放染料液形成脉线。设速度场由下列规律决定：

0≤t<2s 2s≤t≤4s

u =1m/s u=0.5m/s

v=1m/s v=1.5m/s

试画出t = 0、1、2、3、4 s时流过原点的质点迹线及由这些质点组成的脉线。

提示：这是不定常流场，脉线与迹线不重合。画出从原点出发的质点每一时刻的位置可

得到每一质点的迹线，t = 4s时5个质点位置的连线是该时刻的脉线。

解：这是不定常流场，脉线与迹线不重合。在每一时刻质点的位置如下表所示 t /s 0 1 2 3 4 质点a (0,0) (1,1) (2,2) (2.5, 3.5) (3.0, 5.0)

b (0,0) (1,1) (1.5, 2.5) (2.0, 4.0) c (0,0) (0.5, 1.5) (1.0, 3.0) d (0, 0) (0.5, 1.5) e (0, 0) 上表中横向行中数据组成迹线，竖向列中数据组成脉线。

BP2.4.1 已知流场的速度分布为V = xyi + y2j，试问（1）该流场属几维流动？（2）求点（1 ,

1）处的加速度。

答：(1)二维；(2) (2,2)

解：（1）速度分布式中只包含2个变量，为二维流动； （2）axuuuvxyyy2x2y2x, ax (1,1) = 2 xyvvvxy0y22y2y3, ay (1,1) = 2 xy ayuBP2.4.2 已知流场的速度分布为V = (4x3+2y+xy)i + (3x-y3+z )j，试问（1）该流场属几维流

动？（2）求点（2, 2, 3）处的加速度。

答：(2004，108，0)

解：（1）属三维流动； （2）axuuuuvw(4x32yxy)(12x2y)(3xy3z)(2x) xyz = (4×8+2×2+2×2)(48+2)+(6-8+3)(2+2) = 40×50 + 4 = 2004

ayuvvvvw(4x32yxy)3(3xy3z)(3y2) xyz = 40×3 –12 = 108

BP2.4.3 已知流场的速度分布为V = x2yi -3yj +2x2k，试问（1）该流场属几维流动？（2）求点（2, 1, 1）处的加速度。

答：（4, 9, 32）

解：（1）属二维流动；

（2）axuuuuvwx2y(2xy)(3y)x2 xyz 2x3y3x2y16124

ayuvvvvw3y(-3)9 xyzwwwvwx2y(4x)4x3y32 xyz azuBP2.4.4 不可压缩无粘性流体在圆管中沿中心轴x 轴作一维定常流动，在0≤x≤30m段，

由于管壁为多孔材料，流体从管壁均匀泄漏，速度的变化规律为u (x) = 2 (10-0.3x) m/s，试求此段的流体加速度ax表达式及x =10m处的加速度值。 提示：用一维定常流动连续性方程axux有关，在x =33.3m处，ax = 0。

答：-8.4 m/s2

解：对一维定常流动axuu求解。流体沿管轴作减速运动，减速度与xu2(100.3x)2(0.3)1.2(100.3x) x ax (x = 10) = -1.2×7 m/s2 = -8.4 m/s2

B3题解

BP3.1.1 试判断下列各二维流场中的速度分布是否满足不可压缩流体连续性条件： (1) u = x2+2x-4y, v = -2xy-2y (2) u = x2+xy-y2, v = x2+y2 (3) u = x t +2y, v = x t 2-y t (4) u = x t2, v=xyt+y2 提示：按vuv0判断 xy 答：（1）满足，（2）不满足，（3）满足，（4）不满足

解：（1）

uv(2x2)(2x2)0，满足不可压缩流体连续性条件。 xyuv(2xy)2y0，不满足。 xyuvt(t)0，满足。 xyuvt2(xt2)0，不满足。 xy （2）

（3）

（4）

BP3.1.2 试判断不列各三维流场的速度分布是否满足不可压缩流体连续性条件： （1）u2xy, （2）u2v2y2z,w4xyzxy

2xyzx2y222,xvx22y2y2z2,wy

x2y2 （3）u2xzy, （4）uxyt,提示：按vv2yzx2yz,w2xyz2x

v2yzt2,wz2t2zyt

uvw0判断 xyz解：（1）uvw4x4y[4(xy)]0，满足不可压缩流体连续性条件。 xyz(2)

u2yz(x2y2)22(x2y2)2x(2xyz)x(x2y2)42yz(xy)4yz(2x2xy)(x2y2)4222422

v2yz(x2y2)22(x2y2)2y(x2y2)zy(x2y2)42yz(xy)4yz(xy)(x2y2)4uvw0，满足。 xyz22244

w0,z （3）

uvw2z(2z)x2z2zx0，不满足。 xyzuvwyt(2zt2)(2zt2yt)0，满足。 xyz22 （4）

BP3.1.3 在不可压缩流体三维流场中，已知uxyxy2,导另一速度分量w的一般表达式。

答：w(2xzz2yzz)C

解：由

2vy22yz，试推

vu2y2z,2x1和yx2wuv()(2x12y2z) zxy w(2xzz2yzz)C

BP3.1.4 在不可压缩流体平面流场中，已知uaxby（a, b为常数），试推导y方向速

度分量v的表达式，设y = 0时，v = 0。

答：v2axy

2解：由

uv0,xyvu2ax,v2axyf(x) yx 当y = 0时，v = f (x) = 0, v = - 2 a x y

BP3.1.5 不可压缩粘性流体对零攻角平板作定常绕流时，层流边界层中速度廓线可近似用

u3y1y下式表示：

U22 式中U为来流速度，δ为边界层厚度，δ与沿平板距前缘的坐标x的关系为

3cx,c为常数。试验证y 方向速度分量v满足如下式

24v3y3y Ux816 解：由cx,d11cx cdx22x2xx1u31131y(2)y(3)4Ux22x22x 331313yyy2y34(42)4x4x4x1v1u3yy3 由连续性方程()

UyUx4x24v3yy31y1y()dy()U4x0244x22440y324y

3y23y4()()x816BP3.2.1 试分析角域流u = k x, v = -k y (k为常数)中的应力状态。

提示：有附加法向应力，无切向应力。 解：x2uv2k,y22k， xypxxp2k,

pyyp2k

xyyx(uv)0yxBP3.2.2 试分析纯剪切流u = k y, v = k x (k为常数)中的应力状态。

提示：无附加法向应力，有切向应力

答：xy0,pxxpyy0,xyyx2k 解：x2uv0,y20， xypxxp,

pyypxyyx uv()kk2kyxBP3.5.1 二无限大平行板间距为b，中间充满均质不可压缩牛顿流体。设下板固定不动，上

板以匀速U沿x方向运动。在x方向存在恒定的压强梯度dp / dx = 常数，设速度分布和体积力分别为

uU1dp2y(yby), v = 0; fx = 0, fy = - g b2dx 试验证是否满足N-S方程及边界条件。

提示：边界条件为y = 0, u = 0 ；y = b, u = U

解：平面流动N-S方程为

uuup2u2u (uv)fx(22)txyxxyvvvp2v2v (uv)fy(22)txyyxy(a)

(b)

uu2uuU1dp 本题中20,(2yb)

txxyb2dxp2u1dpdpg（重力） ，,C2yydxdx 代入（a）式左边= 0，右边=dp1dpdpdp0 dxdxdxdx 代入（b）式左边= 0，右边=g(g)0, 满足N-S方程。 在y = 0处u = 0与下板相同; 在y = b处uU1dp2(bb2)U，与上板相同，满足边界条件。

2dxBP3.5.2 放置在x轴线上无限大平板的上方为静止的均质不可压缩牛顿流体。设平板在自

身平面内以速度u = U cosωt作振荡运动，U和ω均为常数。不考虑重力和压强因素，试验证流场中的速度分布

uUey2cos(t-y)，v = 0 2 是否满足N-S方程及边界条件。

提示：边界条件为y = 0, u = U cosωt；y→∞, u = 0

解：这是不定常流动，忽略重力和压强因素，N-S方程为

uuu2u2u uv(22)

txyxyyu由速度分布式Uet22uu0，20，v = 0 sin(t-y)，

xx22uyUey2U2ycos(ty)Ue2sin(ty)()22e2-y2

[sin(ωtyω)cos(ty)]2ν22uyUe2y22[sin(ty)cos(ty)] 22yUe2

2[cos(ty)()sin(ty)()]2222ω)cos(ty)cos(ty) 2ν222-yUe22[sin(ωtyysin(ty)]Ue2yu N-S方程左边=Uetsin(ty)22sin(t-y2) 2)，满足N-S方程。 2y2uUe 右边=y2sin(t-y 在y = 0处，流体速度为u = U cosωt，与平板一致，在无穷远处，u = 0，满足边界条件。 BP3.6.1 盛水容器的固壁如图BP3.6.1所示，自由液面上均为大气压强。试定性地画出斜壁

或曲壁AB和A'B'上的压强分布图。

提示：图C是密封容器，可设压强均大于大气压强。注意弧线上压强连续变化,且弧

AB上最高点压强最小；弧A’B’上最低点压强最大。 BP3.6.2 试求水的自由液面下5m深处的绝对压强和表压强，液面上为大气压强。 答：p5m150.35103Pa(ab)49.05103Pa

解：p5m = pa+ρgh = (101.3×10 3 Pa) + (9810 kg / m2 s 2) (5m) = (101.3×10 3Pa) + (49.05×103Pa ) =150.35×10 3Pa (ab) p5m=ρgh = 49.05×103Pa （g）

BP3.6.3 图BP3.6.3示密封容器内盛有水，水面高h0 =1.5m，液面上压强为p0。在侧壁B

点的测压管中水位高为h1=1m，A、B两点的位置高度为 hA=1.2m，h B= 0.8m。试求p0(ab)， pA(v)，pB (g)。 答：p0=96.4 kPa (ab)， pA=1.96 kPa (v)； pB = 1.96 kPa (g)

解：利用等压面性质

p0 +ρg (h0- hB) =ρg(h1 - hB )

p0 =ρg(h1-h0)=(9810 kg/m2s2 ) (1m -1.5m) = - 4905Pa p0=(-4.9×103Pa)+ (101.3×10 3Pa) = 96.4×103Pa (ab)

pA= p0+ρg(h 0-hA)= -4903 Pa +9806 kg / m2s2) (1.5m -1.2m) =(-4903Pa)+(2941.8Pa) = -1961.2 Pa=1.96kPa(v)

pB= p0+ρɡ (h0-hB) = (-4903Pa) + (9806 kg / m2s2 ) (1.5m - 0.8m ) = (-4903Pa)+( 6864.2Pa ) = 1961.2Pa (g)=1.96kPa(g)

BP3.6.4 一气压表在海平面时的读数为760 mmHg,在山顶时的读数为730 mmHg，设空气的

密度为1.3 kg/m3，试计算山顶的高度。

答：h=313.5m

解：p0p1(760mmHg-730mmHg)101300pa760mmHg3998.7Pa3998.7kg/ms2

hp0pρg13998.7kg/ms2(1.3kg/m3)(9.81m/s2)313.5m

BP3.6.5 图BP3.6.5示U形管内有两种互不相混的液体，第一种液体是水，ρ1=103 kg/m3，

第二种液体的密度为ρ2= 827 kg/m3。设第二种液体的柱长h = 103 mm，试求左右自由液面的高度差Δh(mm)，并判断若在左支管中加水,Δh将如何变化？

答：Δh=17.8mm

解：O-O为等压面：ρ1g (h-Δh)=ρ2 g h

2827kg/m3)h(1)(103mm)17.8mm Δh(1311000kg/m 在左支管中加水，两边水面同步增高，Δh不变。

BP3.6.6 图BP3.6.6示对称贮液罐连通器，已知ρA，ρB，ρC和h1, h2, h3, h4及p0，试求A

罐底部压强pb和顶部压强pt的表达式，并讨论它们与h1的关系。

提示：从B罐液面开始按压强公式计算p b(与h1无关）；在A罐内计算pt与pb的关系

（与h1有关）

解：2-2为等压面：pb+ρA g (h3-h4)+ρc g h4= p 0+ρB g (h 2 + h 3 ) pb= p0+ρBg (h 2 + h 3) -ρA g (h3-h4)-ρc g h4 (与h1无关) pt+ρAg h1= pb

pt= p0+ρB g (h2 + h3 ) -ρAg (h3-h4+ h1)-ρc g h 4 (与h1有关)

BP3.6.7 图BP3.6.7示用复式水银测压计测量容器中水面上的压强p0，已知h = 2.5 m, h1 =

0.9m，h2 = 2.0 m, h3 = 0.7 m，h 4= 1.8 m，其中h2与h 3之间也是水。 答：p0 =265kPa 解：由压强公式可得

p0=ρH g g(h4-h3)-H2og(h2-h 3)+ρH g g(h 2-h 1)-H2og (h-h1) =ρH g g(h4-h3+h2-h1)-H2og(h2-h 3+h -h1)

=(13.6×103 kg / m3) (9.81 m / s2) (1.8 m-0.7 m+2.0 m-0.9m) -(103 kg/m3) (9.81 m/s2) (2.0m-0.7m+2.5m-0.9 m) = 265 kPa

BP3.6.8 图BP3.6.8为装液体的密封容器，上部气压表读数为p0 = 27457 Pa。在侧壁B点处

装U形水银测压计（左支管内充满容器内液体），（1）若容器内装的是水，并已知h1= 0.3m，h3= 0.2m，试求容器内液面高hB；（2）若容器内装的是未知密度的液体，在A点处再装一个U形水银测压计，已知h2 = 0.25 m，两U形管左支管水银面高度差H = 0.68m，试求液体密度ρ。 提示：（2）利用两根U形管右支管水银面上大气压强相等的条件，求解液体密度。 答：hb =1.08m；ρ= 103kg/m3 解：（1）设B点与U形管左支水银液面的垂直距离为h3，由1-1为等压面可得： p0H2Og(hBh3)Hggh1

Hggh1p0 hBh3

HOg2 (13.6103kg/m3)(9.81m/s2)(0.3m)(27457kg/ms2)(1000kg/m3)(9.81m/s2)0.2m

=1.28 m-0.2 m =1.08 m

(2) 忽略高度对大气压的影响，由1-1和2-2两个等压面及压强公式可得 ρHg gh2+ρg H=ρHg g h1，H = 0.68m，h2= 0.25m

hh20.3m-0.25m Hg1(13.6103kg/m3)1000kg/m3

H0.68mBP3.6.9 图BP3.6.9为带顶杯的差压计，当Δp = p1-p2 = 812 Pa时，A、B杯中的液面处同

一高度，设ρ1= 880 kg/m3, ρ2 = 2950 kg/m3，试求U形管内液位差h。 提示：设液面2与液面0的距离为h ，在1-1等压面上用压强公式求解。 答：h=0.04m

解：设液面2离液面O的距离为h1，由1-1为等压面 p1+ρ1g (h1+h) = p2+ρ1gh1+ρ2gh

p1p2812N/m2 h0.04m

(21)g(2950kg/m2880kg/m2)(9.81m/s2)BP3.6.10 在图BP3.6.9中当Δp = p1-p2增大后，A杯液面下降Δh，B杯液面上升Δh，U形

管内液位差为h = 0.06 m（如图BP3.6.10示），设A、B杯直径为d1= 4 cm，U形管直径d2 = 4mm，求此时的Δp。

提示：液位改变时，利用杯内与U形管内液体体积变化相等（不可压缩）计算Δh，再用等压面和压强公式求解Δp。

答：Δp=1222Pa

解：由体积守恒：πd12Δh=πd22 (h-h0)，h0= 0.04m为U形管原来的液位差。

2d2 h2(hh0)0.01(0.06m0.04m)210-4m

d1 由U形管低液面列等压面方程， p1+ρ1g (hA+h) = p2+ρ1g hB+ρ2g h

Δp = p1-p2=ρ1g (hB-hA) + (ρ2-ρ1) g h =ρ1g (2Δh) + (ρ2-ρ1) g h

- = (880 kg/m3) (9.81 m/s2) (2×2×10 4m) + (2950 kg / m3-880 kg/m3)(9.81m/s)(0.06m) = (3.453 kg/ms2) + (1218.4 kg / ms2) =1221.9 Pa

B4题解

BP4.2.1 在直径为d1 = 20 cm的输油管中，石油的流速为V1 = 2 m/s，试求在串联的直径为

d2 = 5 cm的输油管中的流速及质量流量，已知石油的比重为0.85。

&=53.4kg/s 答：V2=32m/s，m解：由不可压缩性流体连续性方程：（VA）1=（VA）2，所求流速和质流量分别为

V2V1A1d0.22(1)2V1()(2m/s)32m/s A2d20.05V1A1V2A2(0.85103kg/m3)(32m/s)()(0.05m)253.4kg/s m4BP4.2.2 气体在一扩张管道中流动（图BP4.2.2），管道喉部直径为d1= 2.47 cm，气流速度

为V1= 244 m/s，压强p1= 734 kPa，温度T1=320 K；管道出口直径为d2 = 3.57 cm，压强p2 = 954 kPa，温度T2 = 345 K，试求出口速度V2 。

提示：按完全气体方程求密度比ρ1/ρ2，再由不可压缩流体连续性方程求解V2。 答：V2=96.9 m/s

解：由气体状态方程 p = ρRT， 可得 ρ1 /ρ2 = p1T2 / p2T1 由一维可压缩流体连续性方程 (ρVA)1= (ρVA)2，可得

V2

ρ1V1A1p1T2A1pTdV112(1)2V1ρ2A2p2T1A2p2T1d2(734kPa)(345K)2.47cm2()(244m/s)96.9m/s(954kPa)(320K)3.57cm

BP4.2.3 图BP4.2.3示一连有多个管道的水箱，管道1、2为进水管，3、4为出水管。d1 = 2.5

cm，d2 = 5 cm，d3 = 3.75 cm，d4 = 10 cm，若管1、2、3的流速均为15 m/s，试求通过管4的流量和流速。

提示：按具有多个出入口的连续性方程求解。 答：Q2=0.02 m3/s，V4=2.55 m/s

解：取包围水箱的控制体CV。水为不可压缩流体，由具有多个出入口的控制面连续

性方程

QQinout

本题中为 Q1+Q2 = Q3+Q4

Q4Q1Q2Q3 V1A1V2A2V3A3

4(ddd)V212223

 4 (3.7510-2m)2](15m/s)0.02m3/s[(2.510-2m)2(5102m)2Q44Q44(0.02m3/s) V42.55m/s 22A4d4(0.1m)BP4.2.4 一三臂洒水器的三个臂尺寸相同，直径为d = 6 mm，臂长（回转半径）R = 150 mm，

方位均布，喷管口倾斜角θ= 0°（出流与回转半径垂直）（图BP4.2.4）。从中心轴

流入的水流量恒定Q = 70 l/min ，设洒水器在水流反作用下以ω= 91.6 rad/s的角速度沿逆时针旋转，试求每个喷口水流的绝对速度V。

提示：取与喷管一起旋转的控制体，用连续性方程求解相对速度，再计算绝对速度。 答：V≈0

解： 取包围喷管并与喷管一起旋转的控制体CV。对站在控制体上的观察者，水以

速度Vr沿三支喷管作定常流动，由运动控制体连续性方程

(VA)rout(VrA)in

即 ρ1Vr1A1+ρ2Vr2A2+ρ3Vr3A3=ρQ

由于水为不可压缩流体ρ1=ρ2=ρ3=ρ， A1= A2 = A3＝A，Vr1 = Vr2 = Vr3= Vr 即 3VrA = Q,

Q4Q4(7010-3m3/min) Vr13.75m/s 2-323A3d3π(610)(60s/min) 喷管相对速度为 U = ωR = (91.6 rad/s) (0.15 m) =13.74m/s

水流绝对速度为 V = Vr-U = 13.75 m/s- 13.74 m/s ≈ 0

BP4.2.5 河水以均流速度U流入一矩形截面的明渠，渠宽为2b，河水深度保持为h，在图

BP4.2.5中所示坐标系中，设在明渠下游某截面上水流速度分布为

x2y2 uum(1-2)(1-2)

bh试求中心最大速度um与均流速度U的关系。

提示：沿流道及已知速度分布的截面构成控制体，不可压缩流体定常流积分形式的连续

性方程为

Aout(vn)dA(vn)dA0

Ain 答：um= 9U/4

解：由不可压缩流体积分形式的连续性方程可得

Ain(vn)dAAout(vn)dA

本题中v和n不是方向相反（入口）就是方向相同（出口），因此可积分得

2bhU

h0x2y2x3byu(1)(1)dxdyu(x)(y-)m-bmb2h23b2-b3h20bhbbh8um(bb)(h)bhum33399umU4

BP4.2.6 某系统中不可压缩非牛顿流体以线性速度分布uu0(12|y|/b)流入二维平行

平板水槽内，式中u0为x轴上最大速度，b为槽高度（图BP4.2.6）。在图示坐标系中设在槽下游某截面上流体速度分布改变为u = um cos (πy/b)，试求u m与u 0的关系式。

提示：用不可压缩流体定常流积分形式的连续性方程（厚度为1）求解：

Aout(vn)dA(vn)dA0

Ain 答：umπum/4

解： 由不可压缩流体积分形式的连续性方程（取宽度为1）

Ain(vn)dAAout(vn)dA0

2b2

Ain(vn)dA2u0(1b202yybbb)dy2u0(y)2u0()u0 bb0242b2b-2

Aout(vn)dAumcos(by)dybumsin(by)b2b22bum

由b2bu0um0，可得umu0 24BP4.3.1 在大气中一股空气射流以速度V吹到一与之垂直的壁面上（见图BP4.3.1示），壁

面上的测压孔与U形管水银计相通。设测压计读数Δh = 3.5 mmHg，空气密度ρ=1.293 kg / m3，试求空气射流的速度V。 提示：U形管测到的是射流总压强。

答：V =26.9 m/s

解：U形管测压计测到的是总压强，按伯努利方程有

p0p1V2 2 水银液位差Δh相应于流体动压强 p0p1V2mgh 2V(2mgΔh)1/22(13.6103kg/m3)[(9.81m/s2)(3.510-3)]1/226.9m/s 31.293kg/mBP4.3.2 一梯形薄壁堰如图BP4.3.2所示，底宽为b，两侧边倾斜角均为θ，水面高恒为h，

试求水流的体积流量Q。

提示：本题与三角堰流量计属同一类型，设法利用三角堰的结果可简化计算 答：Q242gh3/2(bhtan) 3582g(tan)h5/2 1522gzbdz2gbz3/23h0解：左右两块三角形正好拼成孔口角为2θ的三角堰，按例B4.3.1B Q1 矩形部分流量为 Q2 总流量为

h022gbh3/2 3 QQ1Q282242g(tan)h5/22gbh3/22gh3/2(bhtan) 15335BP4.3.3 为测量水管中的流速，在管壁和轴线上安装U形管测压计如图所示。水管直径d =

50 cm，U形管内液体的密度为ρ1= 800 kg/m3，液位差为Δh =30 cm，试求轴线上的速度V。

提示：本题是另一种形式的毕托测速管装置，U形管内的工作液体比水轻。 答：V =1.08 m/s

解：沿轴线列伯努利方程，O点为驻点 p0p1V2，V[2(p0p)/]1/2 (a) 2 设U形管中左、右液面为2、3，左液面离管壁距离为b，由静力学关系轴心压

强为

pp2g(bd/2)p31ghg(bd/2) p0p3g(hbd/2)

p0p(1)gh 代入（a）式可得

1/21/2 V(11)2gh800(1)2(9.81m/s2)(0.3m)10001.08m/s

BP4.3.4 集流器通过离心式风机从大气中吸取空气，在d = 200 mm的流通管壁上接单管测

压计到一水槽内，如图所示。若水面上升高度为 h = 250 mm ，试求集流器中的空气流量Q，空气密度为ρ=1.29 kg/m3。

提示：取无穷远处为一参考点；集流器壁测压管口的压强为负压强。 答：Q =1.94 m/s

解：取无穷远处为参考点列伯努利方程，且对静止大气 V∞= 0, p∞= 0

2VpV2p 0,V2p/

2gg2gg3

设水的密度为ρ1，单管测压计测得p = -ρ1g h

V2gh1/2(9.81m/s2)(0.25m)(1000/1.29)61.7m/s QVAVπd2(61.7m/s)(0.2m)21.94m3/s 44BP4.3.5 图BP4.3.5示一虹吸管将贮水池A的水吸出，流入下方的贮水池B。虹吸管直径

为6.8 cm，A池水面离管出口垂直距离为H = 3m，虹吸管最高处C点与A池水面的垂直距离为h = 3 m，不计流动损失，试求（1）虹吸管中的体积流量Q（m3/h）；（2）最高处C的压强（m H2O）；(3)若将虹吸管出口延伸至B池水中，试讨论管内流量应由什么因素决定？以上计算对已知条件是否有限制？

提示：（3）将虹吸管出口延伸到池水中后，取两池的水面为参考位置列伯努利方程；限

制条件可考虑保证管内流动连续的条件。

答：Q =100 m3/h，pc=-6 mH2O 解：（1）对①，②截面列伯努利方程

V12p1V22p z1z22

2gg2gg

由V1= 0，p1 = p2 = 0， V22g(z1z2)2gH2(9.81m/s2)(3m)7.67m/s

QV2A(7.67m/s)(0.068m)20.028m3/s100.3m3/h （2）对②，③截面列伯努利方程

π4V32p3V22p z3z22

2gg2gg 由V2 = V3，p2 = 0,

p3z2z1(hH)6m g（3）当虹吸管伸入B池水中后管内流量由两池液位差决定；限制条件是 h + H ≤10 m

BP4.3.6 图示一大水池水深h = 5m，池底有一根排水管长l = 10 m，出口处装有闸门。放水

前水池中的水保持平静，闸门突然打开后，水池水位逐渐下降，试求出水口的流速随时间变化的规律（不计流动损失）。 提示：本题为一维定常流，取大水池液面和排水管出口为参考位置列不定常伯努利方程。 答：V = 9.9tanh (0.495t)

解：对①，②截面列不定常流伯努利方程

V12p1V22p1lV z1z22ds02gg2gggt 排水管内速度V2沿l不变，积分项可得

（a）

VdV2 dsl0tdtlV22dVl2g(z1z2)gh 由V1= 0，p1 = p2 = 0，由（a）式2dt或

dV2dt

2ghV222l 积分得

1Vttanh1(2)C （b）

2l2gh2gh-

当t = 0时V2 = 0, tanh 10 = 0, C= 0；

2gh2(9.81m/s2)(5m)9.9m/s

2gh9.9m/s0.495s-1，由（b）式可得 2l210m V22ghtanh(2ght)9.9tanh(0.495t) 2lBP4.4.1 有多个出入口的密封贮水容器如图所示，各出入口的流量与平均速度分别为Q1 =

19.8 l/s，V1= 45.7 m/s；Q 2 =28.3 l/s，V2=18.3 m/s；Q 3 =31.2 l/s，V3=30.5 m/s；Q4= 22.7 l/s，V4= 36.6 m/s。试求使该容器保持静止所需加的力F 。

提示：取包围贮水器的控制体，所求之力F为作用在控制体上的外合力，用具有多个

出入口的动量方程求解。

答：Fx= 829.3 N，Fy= 130.1 N

解：取包围容器的控制体CV, 建立y轴垂直向上的坐标系oxy由动量方程

V)(mout(mV)inF

x方向分量式为

(Q2V2sin45Q4V4sin60)(Q3V3cos60)Fx

因ρQ1=（103 kg/m3）(19.8×10 – 3 m3/s) = 19.8 kg/s, ρQ2=28.3 kg/s, ρQ3=31.2 kg/s, ρQ4=22.7 kg/s

Fx = (-28.3 kg/s) (18.3 m/s) 0.707 + (22.7kg/s) (36.6m/s)0.866 + (31.2kg/s)

(30.5m/s) 0.5 = -366.1N + 719.5 N + 475.8 N = 829.3 N

y方向分量式为

(Q2V2cos45Q4V4cos60)(Q1V1Q3V3sin60)Fy Fy = (-28.3 kg/s) (18.3 m/s) 0.707 + (22.7kg/s) (36.6m/s)0.5 + (19.8kg/s) (45.7m/s) -(31.2 kg/s) (30.5 m/s) 0.866 = -366.1N + 415.4 N + 904.9N -824.1 N =

130.1N

BP4.4.2 图示为人腹主动脉示意图，血液从腹主动脉1流入右左髂总动脉2、3。已知血管

直径为d1=1.764 cm，d2 = 1.18 cm，d3 = 1.173 cm；平均流量与流速为Q1 = 5 cm3/s；V1= 2 cm/s； Q 2 = 2.52 cm3/s, V2 = 2.3 cm/s; Q3 = 2.48 cm3/s, V3 =2.29 cm/s；右左分叉角为α2 =27.8°，α3 =33.4°。试求血流对腹主动脉的冲击力（不考虑压强影响），血液密度为ρ=1055 kg/m3。

提示：取包围血管的控制体，所求之力F为作用在控制体上的外合力的负值，用具有

多个出入口的动量方程求解。

答：Fx4.510N,6Fy1.4106N

解：取包围血管的控制体CV，设血流冲击力F如图示，忽略重力，不考虑压强影响、

由动量方程式

v)(mout(mv)inF

在坐标系oxy中分量式为

x方向：Q2V2sin2Q3V3sin3Fx

Fx= -(1055 kg/m3) (2.52×10 6 m3/s) (2.3×102 m/s) (0.4664) + + (1055 kg/m3) (2.48×10 6 m3/s) (2.29×10 –2 m/s) (0.55) = (-2.85 + 3.3)×10 –5 N = 4.5×10 –6 N

y方向：ρQ2V2 cos1+ ρQ3 V3 cos2-ρQ1V1= - Fy

---

Fy(1055kg/m3)(2.5210-6m3/s)(2.310-2m/s)(0.8846)

(1055kg/m3)(2.4810-6m3/s)(2.2910-2m/s)(0.835)(1055kg/m)(510m/s)(210m/s)(5.415.0)10.55)10-5N1.410-6N3-63-2

BP4.4.3 图示一90°转角收缩弯管，水从直径为d1 = 15 cm的大管流入弯管，流速为V1=2.5

m/s，压强为p1= 6.86×104 Pa ，再流入直径为d2 = 7.5 cm的小管，试求为保持弯管静止的力F。

提示：取包围弯曲喷管的控制体，作用在控制体上的外合力除所求之力F外，还应包

括两端的压强合力。

答：Fx538.0N,Fy1322.7N

解：由不可压缩流体连续性方程V1A1 = V2A2，可得 V2A1d15V1(1)2V1()2(2.5m/s)10m/s A2d27.5V12p1V22p 由伯努利方程（忽略重力）2，可得

2gg2ggV12V22p2p12

22( A1 A22.5102

m2/s2)(103kg/m3)(6.86104N/m2)21725N/m2(0.15m)20.01767m2 (0.075m)20.00442m2

4d122d2444 Q = V1A1=（2.5 m/s）(0.01767m2) = 0.0442 m3/s

取包围喷管的控制体CV，由一维流动动量方程

 m(V2V1)F， (F包含压强影响)

x方向动量方程为

ρQ（V2-0）= Fx- p2 A2

Fx = ρQV2 + p2 A2

= (103 kg/m3) (0.0442 m3/s) (10 m/s) + (21725 N/m2) (0.00442 m2 )

= 442 N + 96.0 N = 538.0 N y方向动量方程为

ρQ（0 -V1）= -Fy+ p1A1

Fy =ρQV1 + p1A1

= (103 kg/m3) (0.0442 m3/s) (2.5 m/s)+ (6.86×104N/m2) (0.01767 m2)

= 110.5 N +1212.2 N = 1322.7 N

BP4.4.4 在明渠平面定常流动中，有一由平面闸门控制的泄水孔道如图所示。闸门上游水

深为 h1 = 6m，下游水深为h2 = 1.2 m，上游平均流速为V1= 0.6 m/s ，若忽略渠底和渠壁摩擦力，试求水流对单位宽度闸门的水平作用力F 。

提示：取包围闸门及泄水孔道的控制体，作用在控制体上的外合力除 -Fx外，还应包括

上下游的压强合力。

答：F = 160.9 kN

解：在远离闸门的上下游h1和h2处取控制面，由连续性方程

V2h16V1(0.6m/s)3m/s h21.2 作用在控制体上的外力除一F外还有静压强合力。由流动方向的定常流动动量方

程

ρQ（V2-V1）= -F+

h1pdApdA

h2 单位宽度渠道截面上的流量 Q = h1V1 = (6m) (1 m) (0.6m/s)=3.6 m3/ s 上下游单位宽度渠道截面上压强合力分别为

h12/2 p1dAgh12/2，p2dAgh2h2 F=ρQ (V1- V2)+ρg (h12 - h22) /2

= (103kg/m3) (3.6 m3/s) (0.6 m/s－3m/s)

+ (103 kg/m3) (9.81m/s2) [(6m)2 -(1.2m)2]/2

= -8.64×10 3 N+169.5×10 3 N = 160.9 kN

BP4.4.5 一块尖缘导流板插入一股厚度为h的平面水流柱中，将一部分水流引到板上，另

一部分水流折射为α角的自由射流。α角与阻挡部分占水柱厚度h 的比例k ( 0≤ k ≤0.5 )有关，忽略重力和粘性力影响，试求（1）α角与k的关系；（2）射流对单位宽度导流板的作用力F。

提示：取包围三支射流的控制体，利用连续性方程及y方向的动量方程求解α角与k的

关系；利用x方向的动量方程求解导流板对射流的反作用力。

答：sin1(k)， FV2h(1-1-2k) 1-k解：沿流线的伯努利方程：

V12p1V22p2V2p 222 因p1 = p2 = p，V1 = V2 = V

取包围三股水流的控制体CV，自由射流和板上流柱厚度分别为h1和h2

连续性方程为

V1 h1+V2 h2 = V h，h1+h2 = h

已知h2 = kh，则h1 = (1-k)h，相应的流量为 Q1=V（1- k）h， Q 2 = V k h， Q = V h 在图示坐标系中，由y方向动量方程

ρV（1- k）h V sin+ρV k h (-V) = 0

可得 sin 由x方向动量方程

k 1-kρV（1- k）h Vcos-ρV h V = -F

可得

FV2h[1(1k)cos]V2h[1(1k)1sin2]Vh[1(1k)1[k/(1k)]Vh(112k)222

BP4.4.6 一股厚度为h = 2 cm的平面水流以速度V = 10 m/s 冲击到对称的后弯曲二维导流

片上，流出导流片时速度与水平线夹角为α= 30°试求下面两种情况射流对单位宽度导流片的作用力F和F：（1）导流片固定（U = 0）；（2）导流片以U = 5 m/s速度后退。

提示：（1）先建立固定控制体（包围三支射流）和坐标系，然后用与BP4.17类似的方

法求解；（2）将坐标系固结在导流片上一起运动，用相对速度求解。

答：F3.73kN，F0.93kN

解：（1）建立包围入流和两股出流的控制体，及入流方向为x轴的坐标系。由于射流

处于大气压环境中，沿流线速度不变 V1 = V2 = V 。由连续性方程及对称性 h1 = h2 = 0.5h。

设作用力沿x轴方向（由对称性，垂直方向合力为零），由x方向的动量方程 2ρV（0.5h）(-V )cos30°-ρVhV= -F

F =ρV 2h (1+cos30°) = (10 3 kg/m3) (10 m/s)2 (0.02 m) (1+0.866) =3.73 kN

(2) 在匀速运动控制体动量方程中Vr = V-U = (10 m/s) - (5 m/s) = 5m/s F =ρVrh (1 + cos30°) = (3.73 kN) (5/10)2 = 0.93 kN

BP4.4.8 空气均流对一二维圆柱作定常绕流，在圆柱后部形成正弦函数速度分布，如图所

2示。已知均流速度为U = 30 m/s， 圆柱直径d = 2 cm，速度分布式为

uUsin(|y|4d（2dy2d）。试求作用在单位宽度圆柱上的力F（空气)，

密度ρ=1.2 kg/m3）。

提示：取入口（AB），出口（CD）截面和边线包围的控制体ABCD，由于出入口流量

不相等，有一部分流量从两侧流出。先用连续性方程求侧面流量2mAD，再用动

量方程（三面流出，一面流入）求作用力。

答：F＝11.8N

解：取图示矩形ABCD为控制体CV和坐标系oxy。 （1）由连续性方程（单位宽度上）

moutmin

moutmADmDCmBCmDC2mAD

2d2dmudy2Usin(DC200y4d8)dy

2U

4dcos(y4d2d)0UdminmAB4Ud

 2mADmABmDC4UdUd(4)Ud

88 （2）由x方向动量方程（单位宽度上）

22u2dy2mADUU4dF02dF4U2d2U2sin2(02dy

4d84d1y1y2dU2d2U2[sin()]0 24d42d888U2dU2d(2)U2d4(0.546)(1.2kg/m3)(30m/s)2(0.02m)(1m)11.8N8)dy(4)U2dBP4.4.9 空气均流以速度U = 1 m/s深入半径为R = 1.5 cm的圆管，深入到离出入口距离为

l时，形成抛物线形速度分布u = um (1- r 2 / R 2 )。若测得入口与l 截面上的压强差为p1 - p2 = 2 N/m2 ，试求管壁对空气的摩擦阻力F（空气密度ρ=1.23kg/m3）。 提示：取①、②截面及管壁所围的控制体及坐标系x r， 动量方程中的合外力包括F和

压强合力。

答：F =1.13×10-3N

解：取包围截面①和②及管壁的控制体CV，及坐标系xr 。设管壁对空气的摩擦阻

力F沿-x方向，

由x方向动量方程

R0(u2U2)2rdr(p1p2)R2F

22mRr22F(p1p2)R2u(12)rdrU2R20RRr3r5222(p1p2U)R2um(r224)dr0RR

2r4r6222r(p1p2U)R8U(24)22R6R0R

(p1p2U2)R28U212R(p1p20.33U2)R26[2N/m20.33(1.23kg/m3)(1m/s)2](0.015m)21.1310-3N (计算中用到um= 2U )

BP4.5.1 一股薄的平面射流射向倾斜角为θ=30°的平壁，如图所示。设射流的速度为V =

50 m/s，厚度h = 2 cm，不计重力和粘性力影响，试求（1）在平壁上的分流厚度h1, h2; (2)平壁所受的水流冲击力F及作用点D的位置e，并讨论θ角对二者的影响。

提示：可采用如下步骤（1）建立包含射流（一个入射流，二个出射流）的控制体及坐

标系；（2）用伯努利方程确定出口速度，用连续性方程和动量方程求分流厚度和冲击力；（3）用动量矩方程求作用点位置；两股出流的平均动量矢量位于射流厚度中点，动量和外力均对O点取矩；（4）在动量和动量矩方程中均应注意合外力和合外力矩的方向（正负号）。

答：h1= 1.866cm，h2 =0.134cm，F= 25kN，e = 1.732 cm

解：（1）由伯努利方程，截面1和截面2均为大气压强，流速与入射流相同V1=V2=V。 取包围三支射流的控制体CV，沿平板流向截面1的方向为x轴，y轴背离

平板。

由多个出入口连续性方程

V1h1+V2h = V h

h1 + h2 = h (1) 不计粘性力，水流冲击力沿 -y方向，如图示；x方向合力为零。

由x方向动量方程

（ρh1V 2 –ρhV ）-ρhV cosθ= 0

2

2

h1-h2 = hcosθ (2)

由（1），（2）式可得

1cos1cos30h1h(2cm)1.866cm22 1-cos1-cos30h2h(2cm)0.134cm22 （2）由y方向动量方程

0 -（-ρhV 2sinθ）= F

FhV2sin(103kg/m3)(0.02m)(50m/s)2sin302.5104N

由对O点的动量矩方程

cs(rv)(vn)dAM0

设合力作用点离O点的距离为e, 在三支射流中平均动量矢量取在截面中

心线上，动量矩与力矩以逆时针方向为正

h1V211h1h2V2h2Fe(hV2sin)e 222h12h2(h1h2)(h1h2)h2cosθe2hsin2hsin2hsinθ

hcot(1cm)cot301.732cm2BP4.5.2 一混流式离心泵如图BE4.5.1所示。入口直径为 d1= 40 cm，出口直径为d2 = 1m，

叶轮宽b = 15 cm，叶轮转速n = 6000r/min。设水泵的流量为Q = 2.5 m3/s，试求（1）

。 输入叶轮的转矩Ts；(2) 输入的轴功率Ws＝246.7MW 答：Ts392.7kNm，Ws解：如图B4.5.1示取包围整个叶轮的固定控制体CV，忽略体积力和表面力，流动为

定常的。

 由连续性方程 m1m2Q(10kg/m)(2.5m/s)2.510kg/s

叶轮角速度 ω=2πn /60 =2π×6000 /（60 s）=200π rad/s 流体出口切向速度 Vθ2 = ωd2 / 2 = (200πrad/s) (1m)/2 = 100πm/s Vθ1= 0，由欧拉涡轮机方程

3333Ts(r2V2r1V1)md2V2m 2 (0.5m)(100πm/s)(2.5103kg/s)392.7kNmT(392.7103Nm)(200rad/s)246.7MW Wss

B5题解

BP5.2.1 不可压缩粘性流体在水平圆管中作定常流动时，已知流量Q与直径d，比压降G

（单位长度上的压强降Δp/l）及流体粘度μ有关。试用量纲分析法确定Q与这些物理量的关系式。 答：Q = kGd 4 /μ

解：物理量关系式： Q = φ（d，G，μ） 设Π数量纲幂次式为

- ---Π= d a G bμc Q = L a（ML2 T –2 ）b (ML 1T 1) c (L3 T 1)

a4 指数齐次方程 L:a-2b-c30b1

T:2bc10c1得

ΠM:bc0Qμk Gd4 Q表达式为 Q = k G d 4/μ BP5.2.2 一股直径为D，速度为V的液体束从喷雾器小孔中喷射出后在空气中破碎成许多

小液滴。设液滴的直径d除了与D，V有关，还与流体密度ρ、粘度μ和表面张力系数有关，试选择ρ，V，D为基本量，推导液滴直径d与其他物理量的关系式。 答：d = Df (/VD，/VD)

解：物理量关系式 d = φ(ρ, V，D，μ，σ)

选择ρ、V、D为基本量，显然 П1= d / D

-－- П2=ρaV bD cμ= ( ML3) a ( LT 1 ) bL c ( ML1T –1 )

2a11 L:3abc10b1 Π2 VdRec1T:b10 П3 =ρa V bD cσ= (M L 3 ) a (L T 1) bLc ( M T –2 )

--

M:a10a11 L:3abc0b2 Π3 2WeVDc1T:b20 新关系式为

M:a10df(Re,We)或d = D f (μ/ρV D，σ/ρV 2D ) DBP5.2.3 不可压缩粘性流体沿尖缘光滑平板作无压差定常大Re数流动时，在壁面上形成从

尖缘开始发展的边界层。在以尖缘为原点，沿平板流动方向为x轴的坐标系中边界层厚度δ与来流速度U，流体密度ρ，粘度μ及平板上位置坐标x有关，试用量纲分析法求δ与其他物理量的关系式（取ρ,V, x为基本量）。

答：δ= x f (μ/ρUx)

解：物理关系式 δ= f(ρ,U,x,μ)

选ρ,U,x为基本量，显然

Π1x

abc3a1b 设 Π2Ux(ML)(LT)Lc(ML1T1)

 L:3abc10T:b10 得 Π2 新关系式为

M:a10a1b1 c11 RexUxxf(Rex) 或 xf(Ux)

BP5.2.4 当流体以一定速度对二维圆柱作定常绕流时，在圆柱顶部和底部交替释放出涡旋，

在圆柱后部形成卡门涡旋。设旋涡释放频率f与圆柱直径d，流速V，流体密度ρ和粘度μ有关。选择ρ，V，d为基本量，用量纲分析法推导f与其他物理量的关系式。 答：fVf(/Vd) d解：物理关系式 f =Ф (ρ,V,d,μ) 取ρ,V, d为基本量

-- Π1 =ρaV bd c f = (ML3 ) a(LT 1) b L c T –1

a0fd L:3abc0b1 Π1Sr

Vc1T:b10 Π2 = ρa V bd cμ= (ML 3) a (LT 1) bL c (ML1T –1 )

---

M:a0M:a10a11/Re L:3abc10b1 Π2Vdc1T:b10 新关系式为SrfdVf(Re)或ff(/Vd)

dVBP5.2.5 水流过宽为w的宽顶堰，堰上水头高为H（图BP5.2.5），单位长度的堰长上通过

的流量为q (m2/s)。设q = f (H，w，g，ρ，μ)，式中g为重力加速度，ρ、μ为水的密度与粘度，试选用ρ，g，w 为基本量导出Π数方程式。 答：q / w 3/2

g= ( H/w，μ/ρw3/ 2g)

解：物理关系式 q = f (H, w, g ,ρμ) 选w, g,ρ为基本量

设 Π1gwq(ML)(LTabc3a2b)Lc(L2T1)

 L:3abc20T:2b10得 Π1 显然 Π2M:a0a0b1/2 c3/2q 3/2gwH w 设 Π3agbwc(ML3)a(LT2)bLc(ML1T1)

M:a10 L:3abc10T:2b10 得 Π3 Π关系式为

a1b1/2 c3/2gw3/2

qw32g(H,) ww3/2gBP5.2.6 直径为d，密度为ρ1的固体颗粒在密度为ρ，粘度为μ的液体中沉降，试用量纲

分析法推导沉降速度V与这些物理量之间的关系式（选择ρ，g，d为基本量）。

答：Vgdf(1/,/dgd)

解：物理量关系式 V =Ф (ρ, g, d,ρ1,μ) 选ρ，g，d为基本量

Π1 = ρa g bd c V= (ML3) a (LT –2 ) b L c（LT 1）

--

a0V L:3abc10b1/2 Π1

gdc1/2T:2b10 显然 Π2 = ρ1/ρ Π3 =ρag bd cμ= (ML3 ) a (LT –2 ) b L c（ML 1T 1）

---

M:a0a11 L:3abc10b1/2 Π3～

Redgdc3/2T:2b10 新关系式为

M:a10Vgdf(1,)或Vgdf(1/,/dgd) dgdBP5.2.7 在典型的不可压缩粘性流体的流动中，流体作用力F（如船舶螺旋桨推力，考虑

重力影响的不定常管流中的阻力等）与流体密度ρ，速度V，特征长度l，流体粘度μ，重力加速度g、压强差Δp，角速度（或脉动圆频率）ω七个物理量有关，试用量纲分析法推导相应的Π数方程式。

2

答：F/ρV2l 2 = f (μ/ρVl，gl/V2，Δp/ρV ,ωl/V)

解：物理关系式 F =φ（ρ，V，l，μ，g，Δp，ω） 选ρ，V，l为基本量，

设 1VlF(ML)(LTabc3a1b)Lc(MLT2)

 L:3abc10T:b20得 Π1abcM:a10a1b2 c2FNe 22Vl3a1b 设 Π2Vl(ML)(LT)Lc(ML1T1)

 L:3abc10T:b10得 Π2M:a10a1b1 c11 VlReabc3a1bc2 设 Π3Vlg(ML)(LT)L(LT)

 L:3abc10T:b20得 Π3abcM:a0a0b2 c1gl1 22VFr3a1b 设 Π4Vlp(ML)(LT)Lc(ML1T2)

 L:3abc10T:b20 得 Π4M:a10a1b2c0pEu 2V

abc3a1bc1 设 Π5Vl(ML)(LT)LT

 L:3abc0T:b10得 Π5 Π数方程式为

M:a0a0b1 c1lVSt

F/Vlf(/Vl,gl/V,p/V,l/V)

BP5.2.8 设钝体在可压缩粘性流体中定常运动时，所受到的阻力FD与速度V，钝体特征尺

寸l，流体的密度ρ、粘度μ及弹性模量（考虑可压缩性）E有关。取ρ，V，l为基本量，（1）试用量纲分析法推导FD与其他物理量的关系式；（2）若流体为不可压缩时相应的Π数关系式将如何改变？ 提示：取ρ，V，l为基本量。

答：FD =ρV2 l2 f (μ/ρV l，E/ρV)， CD =Φ（Re） 解：（1）设FD =Ф（ρ，V，l，μ，E） 取ρ，V，l为基本量

Π1=ρa V bl cFb= (ML3 ) a (LT 1) b L c (MLT –2 )

-- 2

2222a1FDCD L:3abc10b2 Π122Vlc2T:b20 Π2=ρa V bLcμ= (ML3) a (LT 1) b L c (ML 1T –1 )

---

M:a10 L:3abc10T:b10M:a101b1 2

VlRec1a1abc3a1bc12 3VlE(ML)(LT)L(MLT)

 L:3abc10T:b20 新关系式

M:a10Ec21b2 3 V2V2Mac0a1CDFDf(Re,Ma)

V2l22或 FDVlf(/Vl,E/V)

（2）当流体不可压缩时E→∞，c →∞, Ma→0，与Ma数无关，上式变为 C D = f (Re)

BP5.2.9 泵类机械的特性参数包括质量能头gH（单位质量流体的能量差，又称能量落差或

22和效率η等，它们均是转速n，流量Q，流体密度压强增高Δp/ρ等），轴功率Wsρ和粘度μ，特征直径D，特征长度l，表面粗糙度ε等物理量的函数。试用量纲

分析法推导质量能头系数CH（无量纲质量能头），功率系数CW（无量纲轴功率）和效率η的Π数方程式。

提示：取ρ，ω，D为基本量，Q /ωD 3为流量导数，ρωD 2/μ为雷诺数。 答：CgHQnD2lgH 22f1,,,3nDDDnDQnD2lWs CWf2nD3,,D,D sn2D5 QgHWsQnD2lf3nD3,,D,D

）和效率（η）均用B表示，有关的物理关系解：设质量能头（gH），轴功率（Ws式可表为

B =φ(ρ，n，D，Q，μ，l，ε)

选ρ，n，D为基本量

- 设 CgH =ρanbD c (gH) = (ML3) a (T –1 ) bLc ( L 2 T –2 )

 L:3ac20T:b20M:a0a0b2c2gH n2D2-

得 CgHabc3a –1 bc2 –3

设 CW=ρnD Ws= (ML) (T ) L (M LT)

s

 L:3ac20T:b30M:a10a1b3c5

Ws 得 CW 35snD通常将效率写成质量流量的能头ρQgH 与轴功率之比

QgHWs-

设 Π1=ρanbD cQ = (ML3) a (T –1 ) bLc ( L 3 T – 1 )

 L:3ac30T:b10得流量系数为 Π1-

M:a0a0b1c3Q 3nD

Π2=ρanbD cμ = (ML3) a (T –1 ) bLc (M L –1 T – 1 )

 L:3ac10T:b10M:a10a1b1c2

得 Π2 直接写出 Π3 CgHnD2

l,DΠ4D

QnD2lgH22f1nD3,,D,D nDQnD2lWs CW f2,,,253snDDDnD

QgHWsQnD2lf3nD3,,D,D

BP5.2.10 设不可压缩粘性流体沿平板流动时湍流边界层内时均速度 u与离壁面的垂直距

离y，壁面上的切应力τw及流体密度ρ和运动粘性系数ν有关，试用量纲分析法将这些变量的关系式表达为如下形式：u/uf(yu/)，式中u提示：取ρ，τw ，g为基本量。

解：物理关系式 u(,w,y,) 选,w,y为基本量

a 1bw w/。

ycu(ML3)a(ML1T2)bLc(LT1)

a1/2uu,u*w/ L:3abc10b1/21w/u*c0T:2b10a 2bwM:ab0yc(ML3)a(ML1T2)bLc(L2T1)

a1/2 L:3abc20b1/22

yw/yu*c1T:2b10 数关系式

M:ab0yuuf(*) u*BP5.4.1 在气体动力学中热传递成为重要物理过程。单位体积流体携带的热量在x方向的

2TT迁移变化率可表为QCcpu ，传导热量为Qkk，k为传导系数。

x2x试用物理法则法确定反映Qc和Qk量级之比的相似准则数佩克勒数Pe（Peclet）。

答：Pe =ρcpV l / k

解：设特征物理量为ρ，V，L，cP，k，T，u,

携带对流热

QccPu 传导热

T1～cPVTl x2TQkk2～ k T l – 2

x Pe携带对流热传导热cPVTl1kTl2cPVlkVlcPRePr

kBP5.4.2 试用物理法则法推导描述牛顿粘性流体流动中压差力与粘性力量级之比的拉格

朗日数La (Lagrange)。

答：La = Δp l/μV

解：粘性力 FvduA～μV l –1 l 2 =μV l dy 压力 FppA～Δp l 2

pl2pl La 粘性力VlV压力BP5.4.3 有两块垂直放置的固定平行平板，相距2h 。板间充满静止的不可压缩粘性流体，

密度为ρ，粘度为μ，热膨胀系数为β。当两板温度分别为T0和T1（T1>T0）时，板间流体在温差作用下发生热对流运动，可用考虑浮力的N-S方程描述

式中Tm= (T0+T1)/2。取

d2u 0ρg(TTm)μ2

dy uTTmhuy，T，y

T1Tmh 将方程无量纲化后可得

d2u GrT• 2dy 式中Gr称Grashof数，是反映热气体自由对流的相似准则数，试推导其表达式。 答：Gr = gρ2 h3β (T1-Tm) /μ2

解：将uu**，TTm(T1Tm)T*，yyh 代入N-S方程可得无量纲方程 h*d2u* 0(T1Tm)gT2

hhdy*2 化为

d2u* *2GrT*dyGrgh(T1Tm)23

2用低雷诺数流动的N-S方程描述

BP5.4.4 不可压缩牛顿流体在狭窄通道（如圆柱轴承缝隙）中, 在压强梯度作用下流动，可

dpd2u2 dxdy 试利用特征长度l， 特征速度V和特征压强p 0对方程无量纲化，确定相似准则数，并与题BP5.4.2作比较。

答：La = p0 l /μV

解：设u*ux,x*,Vly*y,lp*p,代入方程得无量纲方程 p0p0ldp*d2u*p0dp*Vd2u* *2 2*2,或**Vdxdyldxldy 令Lap0l为拉格朗日数，与BP5.4.2结果一致。 VBP5.6.1 光滑圆球以速度V = 1.6 m/s在水中运动。为求圆球受到的阻力F，在风洞中用直

径放大到两倍的光滑圆球作模型实验。试求（1）为保证两者流动相似，风洞中的空气速度Vm应多大？（2）若在风洞中测到的阻力为Fm = 0.95 N，原型球的阻力多大？（空气密度ρm= 1.28 kg / m3，运动粘度m13H2O） 提示：（1）保证Re数相等；（2）保证Ne数相等。 答：F = 4.39 N 解：（1）为保证动力相似，主Π数Re应相等

VlVl mm

mVmVlm1(1.6m/s)()(13)10.4m/slm2

查相应的声速为332m/s，马赫数为10.4/332=0.03< 0.3，仍为不可压缩流动。

（2）由Ne数相等

FmF22mVmlmV2lFFmVl101.6212(0.95N)()()4.39N22mVmlm1.2810.42223

BP5.6.2 在实验室里用缩小到1/20倍的模型模拟溢流堰的流动（图见BP5.2.5）。若原型上

水头高H = 3m，试求（1）模型上的水头H m；（2）若原型流量Q = 340 m3/s，模型中流量Q m应为多大？（3）测得模型堰顶真空度hvm= 0.2 mH2O (v)，求原型堰顶真空度hv 。

提示：（1）保证几何相似；（2）保证Fr数相等；（3）保证Eu数相等。 答：Hm= 0.15 m，Q m= 0.19m3/s，hv= 4 m H2O(v)

h111解：（1）为保证几何相似m,hmh(3m)0.15m

h202020 (2 ) 为保证动力相似，主Π数Fr相等

22VmhmQmVmhmhm5/21VmV()  ，2，2QVhhh20Vghmgh QmQ(hm5/21)(340m3/s)()5/20.19m3/s h20 (3 ) 由Eu数相等， Eughvghvp2 22VVVghvghvmV2 2，hvhvm2(0.2mH2O)(20)4mH2O(v) 2VmVVmBP5.6.3 汽车的高度h = 2 m，速度V= 108 km / h，环境温度为20℃。为求汽车阻力在风洞

里作模型实验。设风洞中温度为0℃，气流速度Vm= 60 m/s，试求（1）模型汽车的高度hm应为多大?（2）若在风洞中测到阻力Fm=1500 N，原型汽车阻力F多大？

提示：（1）保证Re数相等；（2）保证Ne数相等。

答：h m= 0.874 m，F=1830 N

解：V =108×10 3 m/ 3600 s = 30 m/s

查表可得20℃时 ν= 0.151 cm2/s，ρ=1.204 kg/m3 0℃时 νm=0.132 cm2/s，ρm=1.292 kg/m3 (1)由主Π数Re数相等，保证动力相似

VmhmmVh， hmhVm300.132(2m)()()0.874m

Vm600.151 （2）由Ne数相等

FmF 22V2l2mVmlmV2l21.20430222 FFm(1500N)()()()1830N 22mVmlm1.292600.874BP5.6.4 风扇直径为d1 = 0.2 m的轴流式风机，转速为n1=2000 r/min，流量为Q1 =20 m3/s。

对一动力相似的风机，若风扇直径为d2= 0.4 m，转速为n 2 = 1500 r/min，流量Q2应为多大？

提示：参考BP5.2.9 题。在几何相似的条件下，由质量能头系数CH相等，可得流量系

数Q /ωd 3相等。

答：Q2 =120 m3/s

解：按BP5.2.9的分析，当不考虑粘度和表面粗糙度影响时，风机的功率系数为

WQls CWf(,) 353ndnddCW 当CW2时，两种风机动力相似，应有 1Q1Q2 33n1d1n2d2 Q2Q1(n2d2315000.43()(20m3/s)()120m3/s n1d120000.2BP5.6.5 为了研究原型阀门的性能，在实验室里用模型阀门作实验。设原型管道（阀门出

入口）直径为d =1.8 m，流量为Q =20 m3/s，模型管道直径为dm= 0.3m，试求（1）模型管道中流量Q m，（2）若测得模型阀门的压差为Δpm=20 kPa，原型中压差应为多大？（设两者水的特性参数相同）。 提示：（1）保证Re数相等；（2）保证Eu数相等。 答：Qm= 3.33 m3/s，Δp = 0.56 kPa 解：（1）为保证动力相似，应保证主Π数Re数相等

VmdmmVd

Vmdmd Vdmdm22QmdmVmdmdd 22m

QddVddm Qmdm0.3Q(20m3/s)3.33m3/s d1.8 （2）由Eu数相等

ppm 2V2mVmdm2V20.32 ppmp()(20kPa)()0.56kPa m2mVmd1.8BP5.6.6 在一定的范围内圆柱绕流的后部会发生卡门涡衔现象，从圆柱上下交替释放的涡

旋的频率f与流速V，圆柱直径d, 流体密度ρ和粘度μ有关。若在ρ和μ保持相

同的两个流场中圆柱直径比d1 / d2 =3，试求（1）为保证动力相似的流速比V1/V2；

（2）释放涡旋的频率比f1/f2。 提示：（1）保证Re数相等；（2）保证St数相等。 答：V1/ V2= 1/3，f1 / f2 =1/9 解：由BP5.2.3得f = f (Re, S t ) (1 ) 由主Π数Re数相等

Vdd1V1d12V2d21，12212 121V21d12d13 （2）由St数相等

f1d1fdfdV11122， 121 V1V2f2d1V2339