函数对称性与周期性几个重要结论

函数对称性与周期性几个重要结论

一、几个重要的结论

（一）函数图象本身的对称性（自身对称）

1、函数 yf(x)满足 f(Tx)f(Tx)（T为常数）的充要条件是 yf(x)的图象关于直线 xT对称。

2、函数 yf(x)满足 f(x)f(2Tx)（T为常数）的充要条件是 yf(x)的图象关于直线 xT对称。

3、函数 yf(x)满足 f(ax)f(bx)的充要条件是 yf(x)图象关于直线

x(ax)(bx)ab22对称。

4、如果函数 yf(x)满足 f(T1x)f(T1x)且 f(T2x)f(T2x)，（ T1和 T2是不相等的常数），则

yf(x)是以为

2(T2T1)为周期的周期函数。

5、如果奇函数 yf(x)满足 f(Tx)f(Tx)（ T0），则函数 yf(x)是以4T为周期的周期性函数。

6、如果偶函数 yf(x)满足 f(Tx)f(Tx)（ T0），则函数 yf(x)是以2T为周

期的周期性函数。

（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）

1、曲线 yf(x)与 yf(x)关于X轴对称。

2、曲线 yf(x)与 yf(x)关于Y轴对称。

3、曲线 yf(x)与 yf(2ax)关于直线 xa对称。

4、曲线 f(x,y)0关于直线 xb对称曲线为 f(x,2by)0。

5、曲线 f(x,y)0关于直线 xyc0对称曲线为 f(yc,xc)0。

6、曲线 f(x,y)0关于直线 xyc0对称曲线为 f(yc,xc)0。

7、曲线 f(x,y)0关于点 P(a,b)对称曲线为 f(2ax,2by)0。

二、试试看，练练笔

1、定义在实数集上的奇函数 f(x)恒满足 f(1x)f(1x)，且 x(1,0)时,

f(x)2x15,则 f(log220)________。

2、已知函数 yf(x)满足 f(x)f(2x)0，则 yf(x)图象关于__________对称。

3、函数 yf(x1)与函数 yf(1x)的图象关于关于__________对称。

4、设函数 yf(x)的定义域为R，且满足 f(x1)f(1x)，则 yf(x)的图象关于__________对称。

5、设函数 yf(x)的定义域为R，且满足 f(x1)f(1x)，则 yf(x1)的图象关于__________对称。 yf(x)图象关于__________对称。

6、设 yf(x)的定义域为R，且对任意 xR，有 f(12x)f(2x)，则 yf(2x)图象关于__________对称， yf(x)关于__________对称。

7、已知函数 yf(x)对一切实数x满足 f(2x)f(4x)，且方程 f(x)0有5个实根，则这5个实根之和为（ ）

A、5 B、10 C、15 D、18

8、设函数 yf(x)的定义域为R，则下列命题中，①若 yf(x)是偶函数，则 yf(x2)图象关于y轴对称；②若 yf(x2)是偶函数，则 yf(x)图象关于直线 x2对称；③若

f(x2)f(2x)，则函数 yf(x)图象关于直线 x2对称；④ yf(x2)与 yf(2x)图

象关于直线 x2对称，其中正确命题序号为_______。

9、函数 yf(x)定义域为R，且恒满足 f(x2)f(2x)和 f(6x)f(6x)，当

2x6时，

f(x)21x2，求 f(x)解析式。

10、已知偶函数 yf(x)定义域为R，且恒满足 f(x2)f(2x)，若方程 f(x)0在

0,4上只有三个实根，且一个根是4，求方程在区间 8,10中的根．

附参考答案：

T1： 1 T2： (1,0)T3： x1 T4：y轴即 x0 T5：①y轴② x1

T6：①

x14② x12 T7：C T8：②④ 1(x8k)(8k2x8k2,kZ)f(x)2T9：

12(x8k)2(8k2x8k6,kZ)

T10：方程的根为

6,4,2,0,2,4,6,8,10共9个根．