在单缝衍射实验中用最小二乘法进行数据处理_0

在单缝衍射实验中用最小二乘法进行数据处理

在单缝衍射实验中用最小二乘法进行数据处理 摘要： 在夫琅禾费单缝衍射实验中， 提出了用最小二乘法对测量到的衍射图像相对光强分布进行二次曲线拟合， 并由拟合得到的数学表达式确定衍射条纹的精确位置。

通过用最小二乘法与非最小二乘法对同一测量数据的处理结果进行比较， 得到使用最小二乘法处理数据， 可明显提高单缝衍射测量光波波长的精度。 关键词：

最小二乘法; 曲线拟合; 单缝衍射; 波长 一、 引言 当光在传播过程中经过障碍物， 如不透明物体的边缘、 小孔、 细线、 狭缝等时， 一部分光会传播到几何阴影中去， 产生衍射现象。 如果障碍物的尺寸与波长相近， 那么， 这样的衍射现象就比较容易观察到。

（如图 1） 图 1 单缝衍射有两种：

一种是菲涅耳衍射， 单缝距光源和接收屏均为有限远或者说入射波和衍射波都不都是球面波； 另一种是夫琅和费衍射， 单缝距光源和接收屏均为无限远或者相当于无限远， 即入射波和衍射波都可看作是平面波。

光波波长有多种实验测量方法， 如利用双棱镜干涉实验、 迈克耳孙干涉仪、 光栅衍射等方法。

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测量单缝衍射的相对光强分布是大学物理实验中的一个基本实验， 由于实验中衍射暗条纹的中心位置用传统的方法测量时误差较大， 因而光波波长通常不用单缝衍射法进行测量。

本文在测量单缝衍射相对光强分布的实验基础上， 通过运用最小二乘法对测量数据进行处理， 获得了衍射暗条纹中心的精确位置， 从而大大提高了单缝衍射法测量光波波长的精度。

二、 实验原理 测量单缝衍射相对光强分布的原理图如图2 所示。

在用散射角极小的激光器产生激光束， 通过一条很细的狭缝（0.1～0.3毫米宽）， 在狭缝后大于1.5米的地方放上观察屏， 就可看到衍射条纹， 它实际上就是夫琅和费衍射条纹。

当在观察屏位置处放上硅光电池和读数显微镜装置， 与光点检流计相连的硅光电池可在垂直于衍射条纹的方向移动， 那么光点检流计所显示出来的硅光电池的大小就与落在硅光电池上的光强成正比。

观察屏上衍射图像的光强分布为[1] I{ x} = I0{ sinu /u }2 (1) 式中u xd/D ， I0为零级明纹中心光强， 为激光波长， D 为狭缝到观察屏距离， d 为狭缝宽度， x 为屏上条纹位置坐标， 设x01和x02分别为中央明纹两侧两条一级衍射暗纹的位置坐标， 则屏上中央明纹宽度 x0 = x02 - x01 ， 且 = x0d/2D (2) 由式(2) 可知， 由于测量系统D = 2019 mm， D 2mm 图2 实验装置简图 因此对给定狭缝， 用图2所示的衍射法测量光波波长时， 问

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题主要集中在如何提高 x0 (即x01和x02)的测量精度上。 3 衍射条纹强度曲线的最小二乘法拟合 把正弦函数的幂级数展开式 3/6+ usinu = u - u5/120 - + (-1)n u (2 n + 1)/[1 2 3 (2 n +1) ] + ⋯ (3) 代入式(1) 化简得衍射条纹的强度分布函数为 I{x} = I0 [1 ( d/D ) 2 x2/3 +( d/D ) 4 x4/45+ ]⋯ (4) 由式(4) 可知， 衍射条纹的强度分布曲线在衍射条纹中的一段， 如暗条纹中心附近与抛物线的形状相似， 因此可用一个二阶多项式： f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 (5) 对式(4) 所表示的同一段衍射条纹的强度分布曲线进行拟合。

设实验在等精度测量的情况下， 对观察屏上第一级衍射暗条纹中心附近的强度分布曲线测得的数据为{xi ， Ii} ， 其中i = 1 ， 2 ， ， N。

则利用最小二乘法原理， 用多项式(5) 对衍射暗条纹中心附近的强度分布曲线进行拟合， 就是要使所有数据点上强度的测量值与用式(5) 得到的相应拟合值的偏差平方和为最小， 即 1[] )(xifIi 2=(2(min) ) (6) 为了求 2量的极小值， 令 00=ax，

，

(7) 由式(7) 可得由三个线性方程组成的正规方程组[2 ]

iiiiiIxIxIaaaxxxxxxxxN22104

32222 (8) 应用列主元高斯消去法解待定参数矩阵式

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(8) ， 把解得的a1 ， a1 ， a2的最佳估计值代入式(5) ， 便得到了拟合多项式f (x) 。

4 暗条纹中心位置的确定 在观察屏上衍射暗条纹的中心位置(设其位置坐标为x0) 所在处， 由于强度取极小值， 故有[]dxxdf)(x = x0= 0 ， 由式(5) 得(9) 5 5。

1 实验测量步骤 测量过程及数据处理 1) 在光学导轨上， 按图2所示的实验装置简图[3 ] (图中准直系统未画) 安排实验仪器及检测元件的相对位置。

点燃QJHP - 26 型氦氖激光器， 在距离狭缝D 处放置观察屏， 通过适当调节， 使屏上出现清晰、 对称， 并且条纹间距适当的单缝夫琅禾费衍射条纹。

2) 将硅光电池接到光电检流计上， 待激光器点燃半小时后(以保证光强的稳定性) ， 用安装在测微螺旋装置上的带有进光狭缝的硅光电池代替观察屏。

调节硅光电池的进光狭缝宽度，使光电检流计上的光标偏转幅度适当。

3) 使硅光电池沿着x 轴方向， 从左向右以间隔0. 2 mm 单向、 逐点测量衍射图样中中央零级衍射条纹两侧两条第一级衍射暗条纹中心(位置坐标分别为x01和x02) 附近的光强分布， 并记录每一测量点所在处的位置坐标xi和对应的衍射光强Ii 。 5。

x0 = -221aa

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2 实验数据及处理 实验中D = 2 000 mm， 0 = 6. 328 10 - 4 mm， 利用读数显微镜测得衍射狭缝的宽度平均值d =0。 198 mm;测量并记录在观察屏上中央明纹左侧和右侧一级衍射暗条纹中心附近的每一测量点所在处的位置坐标xi 和对应的衍射光强Ii ， 测量数据见表1。 表

1

左

右 xi/ mm I/ 格 xi/ mm

I/ 格 17. 40 75

30. 00 126 17. 60 37

30. 20 69 17. 80 16

30. 40 36 18. 00 14

30. 60 21 18. 20 33

30. 80 25 18. 40 73

31. 00 42 18. 60 140 31. 20 78 利用待定参数矩阵式(8) ， 对表1 中测量数据进行处理， 得到中央明纹左侧和右侧， 一级衍射暗条纹中心所在处， 光强分布曲线的拟合多项式分别为：

f 1 (x) = 259. 52 x2 - 9 292. 1 x + 83 187 f 2 (x) = 224. 11 x2 - 13 752. 7 x + 211 008 再根据拟合多项式和式(9) ， 分别计算中央明纹左侧和右侧， 一级衍射暗条纹中心所在处的位置坐标x01和x02及中央明纹宽度 x0 ;由式(2) 计算出光波

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波长的测量值 ， 并与其理论值 0相比较计算百分误差E0 ， 计算结果见表2。

表2 测量方法 x01/ mm x02/ mm x0/ mm / 10 - 4mm E0/ % 非最小二乘法 18. 0 30. 6 12. 6 6. 2 0. 2 2. 0 最小二乘法 17. 9 30. 7 12. 8 6. 3 0. 1 0. 4 6 结论 从表2中两种测量方法的数据处理结果比较表明， 相同的测量数据， 不同的数据处理方法， 测量结果的百分误差相差一个数量级， 说明用最小二乘法对衍射暗条纹进行曲线拟合， 通过精确定位衍射暗条纹的中心位置， 提高了单缝衍射法测量光波波长的精度。

另外， 该方法也可应用于其他的通过对干涉、 衍射条纹进行处理的相关物理量的测量， 可见最小二乘法是一种提高光学测量精度的行之有效的方法。 参考文献：

[1 ] 林木欣. 近代物理实验教程[M]. 北京：

科学出版社， 1999. 20～30. [2 ] 程守洙， 江之永. 普通物理学第三册[M]. 北京：

高等教 育出版社， 1999. 214～222 . [3 ] 张立. 大学物理实验[M] . 上海：

上海交通大学出版社， 1988. 152～156.