一、选择题
1. A.
−23的倒数是（ ）
B.
2 3−
23C.
3 2D. −3 2【答案】D 【解析】
【分析】根据乘积是1的两个数叫做互为倒数解答． 【详解】解：∵−231， ×−=32∴−32的倒数是−，
23故选：D．
【点睛】本题考查倒数的定义，掌握互为倒数的两个数积为1，是解题的关键． 2. 下列二次根式中，与2是同类二次根式的是（ ） A.
4
B.
6
C.
8 D.
12
【答案】C 【解析】
【分析】根据同类二次根式的定义，逐个进行判断即可．
【详解】解：A、4=2，与2不是同类二次根式，不符合题意； B、6与2不是同类二次根式，不符合题意； C、8=22，与2是同类二次根式，符合题意； D、12=23，与2不是同类二次根式，不符合题意； 故选：C．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义：将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式；最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
1
3. 下列四种图案中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B 【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义，逐个进行判断即可，中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：根据题意可得：是中心对称图形的只有B， 故选：B．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键是中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 4. 下列计算正确的是（ ） A. a2+a2=2a4 【答案】C 【解析】
【分析】根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法的运算法则逐项排查即可解答． 【详解】解：A.a2+a2=2a2，故该选项不正确，不符合题意； B.2a
B. 2a2
()3
=6a6
C. a2⋅a3=a5 D. a8÷a2=a4
(23
)=8a6，故该选项不正确，不符合题意；
C.a2⋅a3=a5，故该选项正确，符合题意； D.a8÷a2=a6，故该选项不正确，不符合题意． 故选：C．
【点睛】本题主要考查了合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法等知识，掌握运算法则是解题的关键．
3m−2≥1,5. 不等式组的解集在同一条数轴上表示正确的是（ ）
2−m>3A. C. 【答案】A
B. D.
2
【解析】
【分析】用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
3m−2≥1① 【详解】解：2−m>3②解不等式①得：m≥1 解不等式②得：m<−1
将不等式的解集表示在数轴上，如图所示，
故选：A．
【点睛】本题主要考查数轴上表示不等式的解集，熟练掌握数轴上表示不等式组的解集的方法是解题的关键．
6. 如图，对正方体进行两次切割，得到如图�所示的几何体，则图�几何体的俯视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A 【解析】
【分析】根据俯视图的定义，即可进行解答．
【详解】解：根据题意可得：从该几何体正上方看，棱AE的投影为点E，棱AB的投影为线段BE，棱
AD的投影为线段ED，棱AC的投影为正方形BCDE的对角线，
∴该几何体的俯视图为：
3
，
故选：A
【点睛】本题主要考查了俯视图，解题的关键是熟练掌握俯视图的定义：从物体正上方看到的图形是俯视图．
7. 长时间观看手机、电脑等电子产品对视力影响非常大．6月6日是“全国爱眼日”，为了解学生的视力情况，某学校从甲、乙两个班级各随机抽取8名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示的折线统计图，则下列说法正确的是（ ）
A. 甲班视力值的平均数大于乙班视力值的平均数 B. 甲班视力值的中位数大于乙班视力值的中位数 C. 甲班视力值的极差小于乙班视力值的极差 D. 甲班视力值的方差小于乙班视力值的方差 【答案】D 【解析】
【分析】根据平均数，中位数，极差，方差的定义分别求解即可． 【详解】甲班视力值分别为：4.7,5.0,4.7,4.8,4.7,4.7,4.6,4.4； 从小到大排列为：4.4,4.6,4.7,4.7,4.7,4.7,4.8,5.0；中位数为平均数为
10.6 (4.4+4.6+4.7+4.7+4.7+4.7+4.8+5.0)=4.7；极差为5.0−4.4=8122222方差为S甲=(0.3)+(0.1)+(0.1)+(0.3)=0.025；
8乙班视力值分别为：4.8,4.7,4.7,5.0,4.6,4.5,4.9,4.4； 从小到大排列为：4.4,4.5,4.6,4.7,4.7,4.8,4.9,5.0，中位数为
4.7+4.7=4.7， 24.7+4.7=4.7 2 4
10.6 (4.4+4.5+4.6+4.7+4.7+4.8+4.9+5.0)=4.7；极差为5.0−4.4=812222222方差为S甲=(0.3)+(0.2)+(0.1)+(0.1)+(0.2)+(0.3)=0.035；
8平均数为
甲、乙班视力值的平均数、中位数、极差都相等，甲班视力值的方差小于乙班视力值的方差，故D选项正确 故选：D．
【点睛】本题考查了折线统计图，求平均数，中位数，极差，方差，熟练掌握平均数，中位数，极差，方差的定义是解题的关键．
8. 如图，在正方形中，阴影部分是以正方形的顶点及其对称中心为圆心，以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形．将一个小球在该正方形内自由滚动，小球随机地停在正方形内的某一点上．若小球停在阴影部分的概率为P1，停在空白部分的概率为P1与P2，则P2的大小关系为（ ）
A. P1 D. 无法判断 【分析】根据题意可得阴影部分面积等于正方形面积的一半，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，连接AE，BD交于O， 由题意得，A，B，C，D分别是正方形四条边的中点， ∴点O为正方形的中心， ∴S四边形AOBF=S四边形AODC， 根据题意，可得扇形OAB的面积等于扇形CAD的面积， 5 ∴S四边形AOBF−S扇形OAB=S四边形AODC−S扇形AOC， ∴阴影部分面积等于空白部分面积，即阴影部分面积等于正方形面积的一半 �P1=P2， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，扇形面积，几何概率，得出阴影部分面积等于正方形面积的一半是解题的关键． 9. 如图，抛物线yax2+bx+c的顶点A的坐标为−下结论：�abc>0；�2b+c>0；�若图象经过点 1,m，与x轴的一个交点位于0合和1之间，则以2(−3,y1),(3,y2)，则y1>y2；�若关于x的一元二次方 程ax2+bx+c−3=0无实数根，则m<3．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 【答案】C 【解析】 B. 2 C. 3 D. 4 【分析】根据图象，分别得出a、b、c的符号，即可判断①；根据对称轴得出a=b，再根据图象得出当 x=1时，y=a+b+c<0，即可判断②；分别计算两点到对称轴的距离，再根据该抛物线开口向下，在 抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，即可判断③；将方程ax2+bx+c−3=0移项可得 2ax2+bx+c=3，根据该方程无实数根，得出抛物线yax+bx+c与直线y=3没有交点，即可判断 ④． 【详解】解：①�该抛物线开口向下， �a<0， �该抛物线的对称轴在y轴左侧， �b<0， �该抛物线于y轴交于正半轴， �c>0， �abc>0， 6 故①正确，符合题意； 1A②∵−,m， 2�该抛物线的对称轴为直线x=-当x=1时，y=a+b+c， b1=-，则a=b， 2a2y2b+c， 把a=b得：当x=1时，=由图可知：当x=1时，y<0， �2b+c<0， 故②不正确，不符合题意； ③�该抛物线的对称轴为直线x=−�(−3,y1)到对称轴的距离为−�该抛物线开口向下， �在抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， � 1， 21517−(−3)=，(3,y2)到对称轴的距离为3−−=， 222257<， 22�y1>y2， 故③正确，符合题意； ④将方程ax2+bx+c−3=0移项可得ax2+bx+c=3， �ax2+bx+c−3=0无实数根， �抛物线yax2+bx+c与直线y=3没有交点， �A−1,m， 2�m<3．故④正确 综上：正确的有：①③④，共三个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握根据二次函数图象判断各系数的方法，熟练掌握二次函数的图象和性质． 10. 如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P为位似中心作正方形 7 PA1A2A3，正方形PA4A5A6,…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形PA1A2A3的 顶点坐标分别为P(−3,0),A1(−2,1),A2(−1,0)，A3(−2,−1)，则顶点A100的坐标为（ ） A. (31.34) B. (31,−34) C. (32,35) D. (32,0) 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象可得移动3次完成一个循环，从而可得出点坐标的规律A3n−2(n−3，n)． 【详解】解：∵A1(−2，1)，A4(−1，2)，A7(0，3)，A10(1，4)，L， ∴A3n−2(n−3，n)， ∵100=3×34−2，则n=34， ∴A100(31，34)， 故选：A． 【点睛】本题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律． 二、填空题 11. “北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导航系统，国内多个导航地图采用北斗优先定位．目前，北斗定位服务日均使用量已超过3600亿次．3600亿用科学记数法表示为________． 【答案】3.6×1011 8 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤a<10，n为整数．确定n的值时，要看把 原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：3600亿=360000000000，用科学记数法表示为3.6×1011． 故答案为：3.6×1011． 【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中 1≤a<10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键． 12. 一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知∠1=102°，则∠2的度数为_____． 【答案】78°##78度 【解析】 【分析】根据两直线平行，内错角相等，即可求解． 【详解】解：如图所示，依题意，AB∥DC， ∴∠2=∠BCD， �∠BCD+∠=1180°，∠1=102°， �∠BCD=180°−∠1=78° �∠2=78°． 故答案为：78°． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 13. 如图，B，C，D，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，连接AB，则∠BAD的度数为_______． 9 【答案】52.5° 【解析】 【分析】方法一∶如图：连接OA,OB,OC,OD,AD,AB，由题意可得：OA=OB=OC=OD， 65°、∠OAD=∠AOB=50°−25°=25°，然后再根据等腰三角形的性质求得∠OAB=25°，最后根据角 的和差即可解答． 方法二∶ 连接OB,OD，由题意可得：∠BAD=105°，然后根据圆周角定理即可求解． 【详解】方法一∶ 解：如图：连接OA,OB,OC,OD,AD,AB， 由题意可得：OA=OB=OC=OD，∠AOB=50°−25°=25°，∠AOD=155°−25=°130°， =�∠OAB11===25°， (180°−∠AOB)77.5°，∠OAD(180°−∠AOB)22�∠BAD=∠OAB−∠OAD=52.5°． 故答案为52.5°． 方法二∶解∶ 连接OB,OD， 由题意可得：∠BAD=155°−50=°105°， 根据圆周角定理，知∠BAD=故答案为52.5°． 11∠BOD=×105°=52.5°． 22 10 【点睛】本题主要考查了角的度量、圆周角定理 等知识点，掌握圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半是解答本题的关键． 14. 如图，利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序及结果如下： ���� 按键的结果为4； 按键的结果为8； 按键的结果为0.5； 按键的结果为25． 以上说法正确的序号是___________． 【答案】①③ 【解析】 【分析】根据计算器按键，写出式子，进行计算即可． 【详解】解：①②③意； �合题意； 综上：正确的有①③． 按键的结果为3−按键的结果为364=4；故①正确，符合题意； 按键的结果为4+(−2)=−4；故②不正确，不符合题意； 3=°)sin=30°0.5；故③正确，符合题按键的结果为sin(45°−151210；故④不正确，不符×2=2 11 故答案为：①③． 【点睛】本题主要考查了科学计算器是使用，解题的关键是熟练掌握和了解科学计算器各个按键的含义． 15. 如图，在直角坐标系中，A与x轴相切于点B,CB为A的直径，点C在函数y=象上，D为y轴上一点，ACD的面积为6，则k的值为________． k(k>0,x>0)的图x 【答案】24 【解析】 【分析】设Ca,k1kk=AC=BC=OBa=,AC，则，则，根据三角形的面积公式得出a22aaSACD=1AC⋅OB=6，列出方程求解即可． 2k， a【详解】解：设Ca,�A与x轴相切于点B， �BC⊥x轴， �=OBa=,ACk，则点D到BC的距离为a， a∵CB为A的直径， =AC∴ 1k=BC， 22a1kk⋅a⋅==6， 22a4�SACD=解得：k=24， 故答案为：24． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，反比例函数的图象和性质，解题的关键掌握切线的定义：经过半径 12 外端且垂直于半径的直线是圆的切线，以及反比例函数图象上点的坐标特征． 16. 如图1，在ABC中，动点P从点A出发沿折线AB→BC→CA匀速运动至点A后停止．设点P的运动路程为x，线段AP的长度为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，其中点F为曲线DE的最低点，则ABC的高CG的长为_______． 【答案】7733 ##22【解析】 12时，点P【分析】过点A作AQ⊥BC于点Q，当点P与Q重合时，在图2中F点表示当AB+BQ=到达点Q，此时当P在BC上运动时，AP最小，勾股定理求得AQ，然后等面积法即可求解． 12时，【详解】如图过点A作AQ⊥BC于点Q，当点P与Q重合时，在图2中F点表示当AB+BQ=点P到达点Q，此时当P在BC上运动时，AP最小， =BQ4,=QC3 ∴BC=7， =AB8,=BQ4 在RtABQ中， 13 ∴AQ∵SABC=∴CG=AB2−BQ282−4243 11AB×CG=AQ×BC， 22BC×AQ7×4373, ==AB8273． 2故答案为：【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短，从函数图象获取信息是解题的关键． 三、解答题 a−1a2−6a+95a17. 先化简，再求值：÷a+2+≤1成立的正整数． ，其中是使不等式a−22−a2【答案】【解析】 【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后求出不等式的解集，得出正整数a的值，再代入数据计算即可． 1a−3；− 2a+3a2−6a+95÷a+2+【详解】解： a−22−a(a−3)=(2+a)(2−a)5÷+ a−22−a2−a4−a2+5 ÷a−22−a22 2(a−3)(a−3)a−2⋅2−a (3+a)(3−a)=a−3， a+3解不等式 a−1≤1得：a≤3， 2∵a为正整数， ∴a=1，2，3， ∵要使分式有意义a−2≠0， ∴a≠2， 14 ∵当a=3时，a+2+∴a≠3， 55=3+2+=0， 2−a2−31−31=−． 1+32∴把a=1代入得：原式=【点睛】本题主要考查了分式化简求作，分式有意义的条件，解不等式，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． 18. “基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知A，B，C，D，E五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）请将条形统计图补充完整； （2）在扇形统计图中，D所在的扇形的圆心角的度数为_________；若该市有1000名中学生参加本次活动，则选择A大学的大约有_________人； （3）甲、乙两位同学计划从A，B，C三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率． 【答案】（1）见解析 （2）14.4°；200． （3） 1 3【解析】 【分析】（1）根据C的人数除以占比得到总人数，进而求得B的人数，补全统计图即可求解； （2）根据D的占比乘以360°得到圆心角的度数，根据1000乘以选择A的人数的占比即可求解； （3）根据列表法求概率即可求解． 【小问1详解】 解：总人数为14÷28%=50（人） �选择B大学的人数为50−10−14−2−8=16，补全统计图如图所示， 15 【小问2详解】 在扇形统计图中，D所在的扇形的圆心角的度数为选择A大学的大约有1000×故答案为：14.4°；200． 【小问3详解】 列表如下， 甲 乙 A B 2×360°=14.4°， 5010=200（人） 50A B C AC BC CC 1． 3AA AB BA BB C CA CB 共有9种等可能结果，其中有3种符合题意， �甲、乙两人恰好选取同一所大学的概率为 【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，列表法求概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 19. 风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为30°的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡CD长16米，在地面点A处测得风力发电机塔杆顶端P点的仰角为 45°，利用无人机在点A的正上方53米的点B处测得P点的俯角为18°，求该风力发电机塔杆PD的高 度．（参考数据：sin18°≈0.309，cos18°≈0.951，tan18°≈0.325） 16 【答案】该风力发电机塔杆PD的高度为32米 【解析】 【分析】过点P作PF⊥AB于点F，延长PD交AC延长线于点E，先根据含30°角直角三角形的性质得 PD+DE==(8+x)米，进而得出AE出DE=8，设PD=x米，则PE==AE=FAEP为矩形，则PF=(8+x)米，AFPE=(8+x)米，证明四边形 (8+x)米，根据线段之间的和差关系得出 BFBF=AB−AF=s(45−x)米，最后根据=tan18°，列出方程求解即可． PF【详解】解：过点P作PF⊥AB于点F，延长PD交AC延长线于点E， 根据题意可得：AB、PD垂直于水平面，∠DCE=30°，∠PAC=45°，∠GBP=°18， �PE⊥AE， �CD=16米， �DE=11CD=16×=8（米）， 22PD+DE=(8+x)米， 设PD=x米，则PE=�∠PAC=45°，PE�AE=⊥AE， PE=tan45°(8+x)米， ⊥AE，PF⊥AB， �AB⊥AE，PE�四边形FAEP为矩形， =AE=�PF=(8+x)米，AFPE=(8+x)米， �AB=53米， �BF=AB−AF=53−(8+x)=(45−x)米， �∠GBP=°18， 17 �∠BPF=°18， �=tan18°，即解得：x≈32， 答：该风力发电机塔杆PD的高度为32米． BFPF45−x≈0.325， 8+x 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助 线，构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法和步骤． 20. 【问题背景】 如图1，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形ABCD进行如下操作：①分别以点 1B,C为圆心，以大于BC的长度为半径作弧，两弧相交于点E，作直线EF交BC于点O，连接AO；F， 2②将ABO沿AO翻折，点B的对应点落在点P处，作射线AP交CD于点Q． 【问题提出】 在矩形ABCD中，=AD5=，AB3，求线段CQ的长． 【问题解决】 经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下： 方案一：连接OQ，如图2．经过推理、计算可求出线段CQ的长； 方案二：将ABO绕点O旋转180°至△RCO处，如图3．经过推理、计算可求出线段CQ的长． 请你任选其中一种方案求线段CQ的长． 18 【答案】线段CQ的长为【解析】 25． 12【分析】方案一：连接OQ，由翻折的不变性，知AP=OB=2.5，证明=AB=3，OP△QPO≌△QCO(HL)，推出PQ=CQ，设PQ=CQ=x，在Rt△ADQ中，利用勾股定理列式计算求 解即可； ∠R，推出QA=QR，设CQ=x，同方方案二：将ABO绕点O旋转180°至△RCO处，证明∠OAQ=案一即可求解． 【详解】解：方案一：连接OQ，如图2． ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD=3，AD=BC=5， 由作图知BO=OC=12BC=2.5， 由翻折的不变性，知AP=AB=3，OP=OB=2.5，∠APO=∠B=90°， ∴OP=OC=2.5，∠QPO=∠C=90°，又OQ=OQ， ∴△QPO≌△QCO(HL)， ∴PQ=CQ， 设PQ=CQ=x，则AQ=3+x，DQ=3−x， 在Rt△ADQ中，AD2+QD2=AQ2，即52+(3−x)2=(3+x)2， 解得x=2512， ∴线段CQ的长为 2512； 方案二：将ABO绕点O旋转180°至△RCO处，如图3． 19 ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD=3，AD=BC=5， =OC=由作图知BO1BC=2.5， 2由旋转的不变性，知CR=AB=3，∠BAO=∠R，∠B=∠OCR=90°， 则∠OCR+∠OCD=90°+90°=180°， ∴D、C、R共线， ∠OAQ， 由翻折的不变性，知∠BAO=∠R， ∴∠OAQ=∴QA=QR， 设CQ=x，则QA=QR=3+x，DQ=3−x， 在Rt△ADQ中，AD2+QD2=AQ2，即52+(3−x)=(3+x)， 22解得x=25， 12∴线段CQ的长为 25． 12【点睛】本题考查了作线段的垂直平分线，翻折的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 21. 中华优秀传统文化源远流长、是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书、许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的算经》比购买《周髀算经》多买5本． （1）求两种图书的单价分别为多少元？ （2）为等备“3．14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售．求两种图书分别购买多少本时费用最少？ 3，用600元购买《孙子4 20 【答案】（1）《周髀算经》单价为40元，则《孙子算经》单价是30元； （2）当购买《周髀算经》27本，《孙子算经》53本时，购买两类图书总费用最少，最少总费用为2316元．【解析】 【分析】（1）设《周髀算经》单价为x元，则《孙子算经》单价是比购买《周髀算经》多买5本”列分式方程，解之即可求解； （2）根据购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半列出不等式求出m的取值范围，根据m的取值范围结合函数解析式解答即可． 【小问1详解】 解：设《周髀算经》单价为x元，则《孙子算经》单价是 3x元，根据“用600元购买《孙子算经》4600600=+5依题意得，3， xx4解得x=40， 经检验，x=40是原方程的解，且符合题意， 3x元， 43×40=30， 4答：《周髀算经》单价为40元，则《孙子算经》单价是30元； 【小问2详解】 解：设购买的《周髀算经》数量m本，则购买的《孙子算经》数量为(80−m)本， 依题意得，m≥1(80−m)， 2解得m≥262， 3设购买《周髀算经》和《孙子算经》的总费用为y（元）， 依题意得，y=40×0.8m+30×0.8(80−m)=8m+1920， ∵k=8>0， ∴y随m的增大而增大， 8×27+1920=2316（元）， ∴当m=27时，有最小值，此时y=80−27=53（本） 答：当购买《周髀算经》27本，《孙子算经》53本时，购买两类图书总费用最少，最少总费用为2316元． 21 【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用，一次函数的实际应用以及一元一次不等式的实际应用，根据题意表示出y与x之间的函数关系式以及列出不等式是解题的关键． 22. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点E,O经过A,D两点，交对角线AC于点F，连接OF交AD于点G，且AG=GD． （1）求证：AB是O的切线； （2）已知O的半径与菱形的边长之比为5:8，求tan∠ADB的值． 【答案】（1）见解析 （2）tan∠ADB=2． 【解析】 【分析】（1）利用垂径定理得OF⊥AD，利用菱形的性质得∠GAF=∠BAF，利用半径相等得 ∠OAF=∠OFA，即可证明∠OAF+∠BAF=90°，据此即可证明结论成立； （2）设AG=GD=4a，由题意得OA:AG=5:4，求得OA=5a，由勾股定理得到OG=3a，求得 ∠AFG，据此求解即可． FG=2a，利用菱形的性质求得∠ADB=【小问1详解】 证明：连接OA， ∵AG=GD，由垂径定理知OF⊥AD， ∴∠OGA=∠FGA=90°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠GAF=∠BAF， ∴∠GAF+∠AFG=90°=∠BAF+∠AFG， ∵OA=OF， ∴∠OAF=∠OFA， 22 ∴∠OAF+∠BAF=∠OAB=90°， 又∵OA为O的半径， ∴AB是O的切线； 【小问2详解】 解：∵四边形ABCD是菱形，AG=GD， ∴设AG=GD=4a， ∵O的半径与菱形的边长之比为5:8， ∴在Rt△OAG中，OA:AG=5:4， ∴OA=5a，OG=OA2−AG2=3a， ∴FG=OF−OG=2a， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BD⊥AC，即∠DEA=90°=∠FGA， ∴∠ADB=∠AFG， tan∠AFG=∴tan∠ADB=AG4a==2． FG2a【点睛】本题考查了菱形的性质，垂径定理，切线的判定，求角的正切值，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 23. 如图，点C为线段AB上一点，分别以AC,BC为等腰三角形的底边，在AB的同侧作等腰ACD和等腰BCE，且∠A=∠CBE．在线段EC上取一点F，使EF=AD，连接BF,DE． （1）如图1，求证：DE=BF； （2）如图2，若AD=2，BF的延长线恰好经过DE的中点G，求BE的长． 【答案】（1）见解析 （2）BE=2+2． 【解析】 推出∠DCE=利用SAS证明△DCE≌△FEB即可证明结论成立； 【分析】（1）证明CD∥BE，∠BEF， =（2）取CF的中点H，连接GH，证明GH是FCD的中位线，设BE=a，则FH1a−2，证明2 23 △FGH∽△FBE，得到 GHBE=FHEF，即a2−4a−4=0，解方程即可求解． 【小问1详解】 证明：∵等腰ACD和等腰BCE， ∴AD=CD，EC=EB，∠A=∠DCA， ∵∠A=∠CBE， ∴∠DCA=∠CBE， ∴CD∥BE， ∴∠DCE=∠BEF， ∵EF=AD， ∴EF=CD， 在△DCE和FEB中，CD=EF∠∠FEB， DCE=EC=EB∴△DCE≌△FEB(SAS)， ∴DE=BF； 【小问2详解】 解：取CF的中点H，连接GH， ∵点G是DE的中点， ∴GH是FCD的中位线， ∴=GH12=CD12=AD1，GH∥CD， 设BE=a，则=CH=EH12=CE112=BE2a， ∵EF=AD=2， ∴FH=12a−2， ∵CD∥BE， ∴GH∥BE， 24 ∴△FGH∽△FBE， 1GHFHa−2=∴，即12， =BEEFa2整理得a2−4a−4=0， ， 解得a=2+2（负值已舍） 经检验a=2+2是所列方程的解，且符合题意， ∴BE=2+2． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 24. 如图，抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,AB=4．抛物线的对称轴 ykx−1交于点D，与x轴交于点E． x=3与经过点A的直线= （1）求直线AD及抛物线的表达式； （2）在抛物线上是否存在点M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为B上一个动点，请求出PC+1PA的最小值． 2【答案】（1）直线AD的解析式为y=x−1；抛物线解析式为y=x2−6x+5 （2）存在，点M的坐标为(4,−3)或(0,5) 或(5,0) （3）41 【解析】 【分析】（1）根据对称轴x=3，AB=4，得到点A及B的坐标，再利用待定系数法求解析式即可； −x+1，（2）先求出点D的坐标，再分两种情况：①当∠DAM=90°时，求出直线AM的解析式为y= 25 −x+1y=解方程组，即可得到点M的坐标；②当∠ADM=90°时，求出直线DM的解析式为2y=x−6x+5−x+5y=y=−x+5，解方程组，即可得到点M的坐标； 2y=x−6x+5（3）在AB上取点F，使BF=1，连接CF，证得 BFPB=，又∠PBF=得到PBF∽ABP，∠ABP，PBAB11推出PF=PA，进而得到当点C、P、F三点共线时，PC+PA的值最小，即为线段CF的长，利用勾 22股定理求出CF即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴x=3，AB=4， ∴A(1,0),B(5,0)， 将A(1,0)代入直线y=kx−1，得k−1=0， 解得k=1， ∴直线AD的解析式为y=x−1； 将A(1,0),B(5,0)代入y=ax2+bx+5，得 a+b+5=0a=25a+5b+5=0，解得1， b=−6∴抛物线的解析式为y=x2−6x+5； 【小问2详解】 存在点M， ∵直线AD的解析式为y=x−1，抛物线对称轴x=3与x轴交于点E． ∴当x=3时，y=x−1=2， ∴D(3,2)， ①当∠DAM=90°时， 设直线AM的解析式为y=−x+c，将点A坐标代入， 得−1+c=0， 解得c=1， ∴直线AM的解析式为y=−x+1， 26 解方程组y=−x+1y=x2−6x+5， 得x=1x=4y=0或， y=−3∴点M的坐标为(4,−3)； ②当∠ADM=90°时， 设直线DM的解析式为y=−x+d，将D(3,2)代入， 得−3+d=2， 解得d=5， ∴直线DM的解析式为y=−x+5， 解方程组y=−x+5y=x−6x+5， 2解得x=0y=5或x=5y=0， ∴点M的坐标为(0,5) 或(5,0) 综上，点M的坐标为(4,−3)或(0,5) 或(5,0)； 【小问3详解】 如图，在AB上取点F，使BF=1，连接CF， ∵PB=2， ∴BFPB=12， ∵ PBAB=2=1，∴ BF42、 PB=PBAB， 又∵∠PBF=∠ABP， ∴PBF∽ABP， ∴PFPA=BFPB=1，即PF=12PA， ∴PC+122PA=PC+PF≥CF， ∴当点C、P、F三点共线时，PC+12PA的值最小，即为线段CF的长， 27 ∵OC=5,OF=OB−1=5−1=4， ∴CF∴PC+OC2+OF252+4241， 1PA的最小值为41． 2 【点睛】此题是一次函数，二次函数及圆的综合题，掌握待定系数法求函数解析 式，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求两图象的交点坐标，正确掌握各知识点是解题的关键． 28 29 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容