昌邑市第三中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

昌邑市第三中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 求值：

=（ ）

A．tan 38° B． C．

2． 已知a＞b＞0，那么下列不等式成立的是（ ） A．﹣a＞﹣b

B．a+c＜b+c

D．﹣

D．

C．（﹣a）2＞（﹣b）2

3． 对“a，b，c是不全相等的正数”，给出两个判断： 下列说法正确的是（ ） A．①对②错 A．￢p B．￢p∨q

B．①错②对 C．p∧q D．p∨q

C．①对②对

①（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2≠0；②a≠b，b≠c，c≠a不能同时成立，

D．①错②错

4． 已知命题p：2≤2，命题q：∃x0∈R，使得x02+2x0+2=0，则下列命题是真命题的是（ ）

5． 如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，点E，F分别是线段AB，C1D1上的动点，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，且满足点P到点F的距离等于点P到平面ABB1A1的距离，则当点P运动时，PE的最小值是（ ）

A．5 B．4 C．4 D．2

6． 如果一个几何体的三视图如图所示，主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，（单位：cm），则此几何体的表面积是（ ）

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A．8cm2 B． cm2 C．12 cm2

D．

cm2

7． 如图，程序框图的运算结果为（ ）

A．6 B．24 C．20 D．120

8． 下列图象中，不能作为函数y=f（x）的图象的是（ ）

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A． B．C．

D．

9． 如果执行如图所示的程序框图，那么输出的a=（ ）

A．2 B． C．﹣1 D．以上都不正确

10．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ） A． 2 B．4 C．

43 D．83 第 3 页，共 19 页

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【命题意图】本题考查三视图的还原以及特殊几何体的体积度量，重点考查空间想象能力及对基本体积公式的运用，难度中等.

11．函数f（x）=ax2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上为减函数，则a的取值范围为（ ） A．0＜a≤ B．0≤a≤ C．0＜a＜ D．a＞

12．定义：数列{an}前n项的乘积Tn=a1•a2•…•an，数列an=29﹣n，则下面的等式中正确的是（ ） A．T1=T19

B．T3=T17

C．T5=T12

D．T8=T11

二、填空题

13．圆心在原点且与直线xy2相切的圆的方程为_____ .

【命题意图】本题考查点到直线的距离公式，圆的方程，直线与圆的位置关系等基础知识，属送分题. 14．【泰州中学2018届高三10月月考】设二次函数fxaxbxc（a,b,c为常数）的导函数为fx，

2b2对任意xR，不等式fxfx恒成立，则2的最大值为__________．

ac215．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下面的条形图表示．根据条形图可得这50名学生这一天平均的课外阅读时间为 小时．

16．若“x＜a”是“x2﹣2x﹣3≥0”的充分不必要条件，则a的取值范围为 ．

22

17．0）3）已知点A（2，，点B（0，，点C在圆x+y=1上，当△ABC的面积最小时，点C的坐标为 ．

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18．如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E、F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线EF的平面分别与棱BB′、DD′交于M、N，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四个命题： ①平面MENF⊥平面BDD′B′；

②当且仅当x=时，四边形MENF的面积最小； ③四边形MENF周长l=f（x），x∈0，1]是单调函数； ④四棱锥C′﹣MENF的体积v=h（x）为常函数； 以上命题中真命题的序号为 ．

三、解答题

19．设函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）为奇函数，其图象在点（1，f（1））处的切线与直线x﹣6y﹣7=0垂直，导函数

f′（x）的最小值为﹣12． （1）求a，b，c的值；

（2）求函数f（x）的单调递增区间，并求函数f（x）在[﹣1，3]上的最大值和最小值．

20．已知点（1，）是函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）的图象上一点，等比数列{an}的前n项和为f（n）﹣c，数列{bn}（bn＞0）的首项为c，且前n项和Sn满足Sn﹣Sn﹣1=项和为Tn，

+

（n≥2）．记数列{

}前n

（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；

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2

（2）若对任意正整数n，当m∈[﹣1，1]时，不等式t﹣2mt+＞Tn恒成立，求实数t的取值范围

（3）是否存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．

21．某重点大学自主招生考试过程依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考核。规定：只能通过前一轮考核才能进入下一轮的考核，否则将被淘汰；三轮考核都通过才算通过该高校的自主招生考试。学生甲三轮考试通过的概率分别为

234，，，且各轮考核通过与否相互独立。 345（1）求甲通过该高校自主招生考试的概率；

（2）若学生甲每通过一轮考核，则家长奖励人民币1000元作为大学学习的教育基金。记学生甲得到教育基金的金额为X，求X的分布列和数学期望。

22．【无锡市2018届高三上期中基础性检测】在一块杂草地上有一条小路AB,现在小路的一边围出一个三角形（如图）区域，在三角形ABC内种植花卉.已知AB长为1千米，设角C,AC边长为BC边长的aa1倍，三角形ABC的面积为S（千米2）. 试用和a表示S；

（2）若恰好当60时，S取得最大值，求a的值.

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23．（本小题满分12分）已知A2,1,B0,2且过点P1,1的直线与线段AB有公共点, 求直 线的斜率的取值范围.

24．（本小题满分12分）

某超市销售一种蔬菜，根据以往情况，得到每天销售量的频率分布直方图如下：

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频率组距a0.0250.020.0150.005O5060708090100销售量/千克

（Ⅰ）求频率分布直方图中的a的值，并估计每天销售量的中位数；

（Ⅱ）这种蔬菜每天进货当天必须销售，否则只能作为垃圾处理．每售出1千克蔬菜获利4元，未售出的蔬菜，每千克亏损2元．假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，估计当超市每天的进货量为75千克时获利的平均值．

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昌邑市第三中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】C

【解析】解：故选：C．

=tan（49°+11°）=tan60°=

，

【点评】本题主要考查两角和的正切公式的应用，属于基础题． 2． 【答案】C

22【解析】解：∵a＞b＞0，∴﹣a＜﹣b＜0，∴（﹣a）＞（﹣b），

故选C．

【点评】本题主要考查不等式的基本性质的应用，属于基础题．

3． 【答案】A

【解析】解：由：“a，b，c是不全相等的正数”得： 故①正确； 故②错． 故选A．

①（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2中至少有一个不为0，其它两个式子大于0， 但是：若a=1，b=2，c=3，则②中a≠b，b≠c，c≠a能同时成立，

【点评】本小题主要考查不等关系与不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查逻辑思维能力．属于基础题．

4． 【答案】D

【解析】解：命题p：2≤2是真命题，

2

方程x+2x+2=0无实根，

2

故命题q：∃x0∈R，使得x0+2x0+2=0是假命题，

故命题￢p，￢p∨q，p∧q是假命题， 命题p∨q是真命题， 故选：D

5． 【答案】 D

【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴， 建立空间直角坐标系，

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设AE=a，D1F=b，0≤a≤4，0≤b≤4，P（x，y，4），0≤x≤4，0≤y≤4， 则F（0，b，4），E（4，a，0），

=（﹣x，b﹣y，0），

∵点P到点F的距离等于点P到平面ABB1A1的距离，

∴当E、F分别是AB、C1D1上的中点，P为正方形A1B1C1D1时， PE取最小值，

此时，P（2，2，4），E（4，2，0）， ∴|PE|min=故选：D．

=2

．

【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系、空间向量的运算等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力、空间想象能力，考查数形结合、转化与化归等数学思想方法及创新意识．

6． 【答案】C

【解析】解：由已知可得：该几何体是一个四棱锥， 侧高和底面的棱长均为2，

2

故此几何体的表面积S=2×2+4××2×2=12cm，

故选：C．

【点评】本题考查的知识点是棱柱、棱锥、棱台的体积和表面积，空间几何体的三视图，根据已知判断几何体的形状是解答的关键．

7． 【答案】 B

【解析】解：∵循环体中S=S×n可知程序的功能是： 计算并输出循环变量n的累乘值，

∵循环变量n的初值为1，终值为4，累乘器S的初值为1， 故输出S=1×2×3×4=24，

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故选：B．

【点评】本题考查的知识点是程序框图，其中根据已知分析出程序的功能是解答的关键．

8． 【答案】B

【解析】解：根据函数的定义可知，对应定义域内的任意变量x只能有唯一的y与x对应，选项B中，当x＞0时，有两个不同的y和x对应，所以不满足y值的唯一性． 所以B不能作为函数图象． 故选B．

【点评】本题主要考查函数图象的识别，利用函数的定义是解决本题的关键，注意函数的三个条件：非空数集，定义域内x的任意性，x对应y值的唯一性．

9． 【答案】 B

【解析】解：模拟执行程序，可得 a=2，n=1

执行循环体，a=，n=3

满足条件n≤2016，执行循环体，a=﹣1，n=5 满足条件n≤2016，执行循环体，a=2，n=7 满足条件n≤2016，执行循环体，a=，n=9 …

由于2015=3×671+2，可得：

n=2015，满足条件n≤2016，执行循环体，a=，n=2017 不满足条件n≤2016，退出循环，输出a的值为． 故选：B．

10．【答案】B

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11．【答案】B

【解析】解：当a=0时，f（x）=﹣2x+2，符合题意

当a≠0时，要使函数f（x）=ax2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上为减函数 ∴

⇒0＜a≤

综上所述0≤a≤ 故选B

【点评】本题主要考查了已知函数再某区间上的单调性求参数a的范围的问题，以及分类讨论的数学思想，属于基础题．

12．【答案】C

9n

【解析】解：∵an=2﹣， 8+7+…+9﹣n

=∴Tn=a1•a2•…•an=2

819

∴T1=2，T19=2﹣，故A不正确

T3=221，T17=20，故B不正确 T5=230，T12=230，故C正确 T8=236，T11=233，故D不正确 故选C

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二、填空题

13．【答案】x2y22

【解析】由题意，圆的半径等于原点到直线xy2的距离，所以rd|002|2，故圆的方程为2x2y22.

14．【答案】222

【解析】试题分析：根据题意易得：f'x2axb，由fxf'x得：axb2axcb0在R

2c4122a0b4ac4aa上恒成立，等价于：{ ，可解得：b24ac4a24aca，则：22222，

0acacc1ab2c4t44令t1,(t0)，y2的最大值为222． 222，故2aac2t2t2t22222t考点：1.函数与导数的运用;2.恒成立问题;3.基本不等式的运用 15．【答案】 0.9

【解析】解：由题意，

故答案为：0.9

16．【答案】 a≤﹣1 ．

2

【解析】解：由x﹣2x﹣3≥0得x≥3或x≤﹣1，

2

若“x＜a”是“x﹣2x﹣3≥0”的充分不必要条件，

=0.9，

则a≤﹣1， 故答案为：a≤﹣1．

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据条件求出不等式的等价是解决本题的关键．

17．【答案】 （

，

） ．

22

【解析】解：设C（a，b）．则a+b=1，① ∵点A（2，0），点B（0，3）， ∴直线AB的解析式为：3x+2y﹣6=0．

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如图，过点C作CF⊥AB于点F，欲使△ABC的面积最小，只需线段CF最短． 则CF=∴a=

，②

≥ ，b=，，

， ）． ）．

，当且仅当2a=3b时，取“=”，

联立①②求得：a=故点C的坐标为（故答案是：（

【点评】本题考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能 力，属于中档题．

18．【答案】 ①②④ ．

【解析】解：①连结BD，B′D′，则由正方体的性质可知，EF⊥平面BDD′B′，所以平面MENF⊥平面BDD′B′，所以①正确．

②连结MN，因为EF⊥平面BDD′B′，所以EF⊥MN，四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可，此时当M为棱的中点时，即x=时，此时MN长度最小，对应四边形MENF的面积最小．所以②正确．

③因为EF⊥MN，所以四边形MENF是菱形．当x∈[0，]时，EM的长度由大变小．当x∈[，1]时，EM的长度由小变大．所以函数L=f（x）不单调．所以③错误．

④连结C′E，C′M，C′N，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以C′EF为底，以M，N分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形C′EF的面积是个常数．M，N到平面C'EF的距离是个常数，所以四棱锥C'﹣MENF的体积V=h（x）为常函数，所以④正确．

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故答案为：①②④．

【点评】本题考查空间立体几何中的面面垂直关系以及空间几何体的体积公式，本题巧妙的把立体几何问题和函数进行的有机的结合，综合性较强，设计巧妙，对学生的解题能力要求较高．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）∵f（x）为奇函数，

33

∴f（﹣x）=﹣f（x），即﹣ax﹣bx+c=﹣ax﹣bx﹣c，∴c=0． 2

∵f′（x）=3ax+b的最小值为﹣12，∴b=﹣12．

又直线x﹣6y﹣7=0的斜率为，则f′（1）=3a+b=﹣6，得a=2， ∴a=2，b=﹣12，c=0；

32

（2）由（1）知f（x）=2x﹣12x，∴f′（x）=6x﹣12=6（x+

）（x﹣

0 极小 ）， （ ，+∞）+ 增 列表如下：

x （﹣∞，﹣） + 增 ）=﹣8

﹣ 0 （﹣﹣ 减 ）和（，） f′（x） f（x） ∵f（﹣1）=10，f（

极大 ，f（3）=18，

所以函数f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣，+∞）． ）=﹣8

，

．

∴f（x）在[﹣1，3]上的最大值是f（3）=18，最小值是f（

20．【答案】 【解析】解：（1）因为f（1）=a=，所以f（x）=所以

，a2=[f（2）﹣c]﹣[f（1）﹣c]=

，a3=[f（3）﹣c]﹣[f（2）﹣c]=

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因为数列{an}是等比数列，所以又公比q=由题意可得：又因为bn＞0，所以所以数列{

当n≥2时，bn=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣1； 所以bn=2n﹣1． （2）因为数列所以 ==

；

前n项和为Tn，

；

，所以

；

，所以c=1．

=

，

}是以1为首项，以1为公差的等差数列，并且有

恒成立，

；

因为当m∈[﹣1，1]时，不等式

2

设g（m）=﹣2tm+t，m∈[﹣1，1]，

2

所以只要当m∈[﹣1，1]时，不等式t﹣2mt＞0恒成立即可，

所以只要一次函数g（m）＞0在m∈[﹣1，1]上恒成立即可， 所以

解得t＜﹣2或t＞2，

2

（3）T1，Tm，Tn成等比数列，得Tm=T1Tn

，

所以实数t的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）． ∴∴

，

结合1＜m＜n知，m=2，n=12

【点评】本题综合考查数列、不等式与函数的有关知识，解决此类问题的关键是熟练掌握数列求通项公式与求和的方法，以及把不等式恒成立问题转化为函数求最值问题，然后利用函数的有关知识解决问题．

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21．【答案】（1）25（2）X的分布列为数学期望为E(X)013100016200011030002547003-- 解析：（1）设“学生甲通过该高校自主招生考试”为事件A，则P（A）＝23434525 所以学生甲通过该高校自主招生考试的概率为

25-------------4分 （2）X的可能取值为0元，1000元，2000元，3000元--------------5分

P(X0)12313，P(X1000)23(13123414)6，P(X2000)34(15)10 P(X3000)23342455------------------9分

所以，X的分布列为

数学期望为E(X)013100016200011030002547003---------------------12分 22．【答案】（1）S1asin21a22acos （2）a23 【解析】解析：

（1）设边BCx，则ACax， 在三角形ABC中，由余弦定理得：

1x2ax22ax2cos，

所以x211a22acos，

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试题

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所以S11asinaxxsin， 221a22acos21acos1a2acos2asinasin（2）因为S， 2221a2acos221acos1a2a， 2221a2acos2a, 21a2a且当0时，cos0，S0，

1a22a当0时，cos0，S0， 21a令S0，得cos0所以当0时，面积S最大，此时0600，所以解得a23， 因为a1，则a23. 点睛：解三角形的实际应用，首先转化为几何思想，将图形对应到三角形，找到已知条件，本题中对应知道一个角，一条边，及其余两边的比例关系，利用余弦定理得到函数方程；面积最值的处理过程中，若函数比较复杂，则借助导数去求解最值。 23．【答案】k3或k2. 【解析】

试题分析：根据两点的斜率公式，求得kPA2，kPB3，结合图形，即可求解直线的斜率的取值范围.

2a1， 1a2211122，kPB3 1210所以，由图可知，过点P1,1的直线与线段AB有公共点,

试题解析：由已知，kPA所以直线的斜率的取值范围是:k3或k2.

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考点：直线的斜率公式.

24．【答案】（本小题满分12分）

解：本题考查频率分布直方图，以及根据频率分布直方图估计中位数与平均数． （Ⅰ）由(0.0050.0150.020.025a)101得a0.035 （3分）

0.151074.3千克 （6分） 0.35（Ⅱ）若当天的销售量为[50,60)，则超市获利554202180元；

每天销售量的中位数为70 若当天的销售量为[60,70)，则超市获利654102240元； 若当天的销售量为[70,100)，则超市获利754300元， （10分） ∴获利的平均值为0.151800.22400.65300270元. （12分）

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