高一数学 函数的单调性(备课资料) 大纲

一、函数单调性的断定方法

1．定义法，即“作差——变形——定号——判断〞四个步骤。

2．图象法，即假设f(x)在区间D上是增〔减〕函数，那么图象在D上的部分从左到右是上升〔下降〕的。

3．直接法，运用结论：

①函数y=—f(x)与函数y=f(x)的单调性相反。

②当f(x)恒为正或者者司为负时，函数y=

1与y=f(x)的单调性相反。 f(x)③在公一一共区间内，增函数+增函数=增函数，增函数一减函数=增函数等。 二、参考例题 [例1]求证：函数y=x++∞〕上是单调递增函数。

证明：〔1〕当—1≤x1＜x2＜0时，有0＜x1·x2＜1且x2-x1＞0,

1在[—1，0〕或者者〔0，1]上是单调递减函数，在〔—∞，—1〕或者者〔1，x∴1—

1x1x2＜0.∴f(x2)-f(x1)＜0.

∴f(x1)＞f(x2).

∴f(x)在[—1，0〕上是单调递减函数。 〔2〕当0＜x1＜x2≤1时， 有0＜x1x2＜1，

∴x2-x1＞0,1-

1x1x2＜0.

∴f(x2)-f(x1)＜0,即f(x1)＞f(x2). ∴f(x)在(0,1]上是单调递减函数。

〔3〕当x1＜x2＜-1时， 有x1·x2＞1,且x2-x1＞0.

∴

x1x21＞0.∴f(x2)-f(x1)＞0. x1x2∴f(x2)＞f(x1).

∴f(x)在〔—∞,—1〕上是单调递增函数。 〔4〕当1＜x1＜x2时，

有x1x2＞1,1-

1x1x2＞0.又x2-x1＞0.

∴f(x2)-f(x1)＞0.∴f(x2)＞f(x1). ∴f(x)在〔1，+∞〕上是单调递增函数。 [例2]判断函数f(x)=

ax(-1＜x＜1)的单调性。 x21解：设—1＜x1＜x2＜1,

那么f(x1)-f(x2)=

ax1ax2a(x1x21)(x2x1). 22x121x21(x121)(x21)∵x1x2+1＞0,x2-x1＞0,x12-1＜0,x22-1＜0, ∴f(x)在定义域区间〔—1，1〕上， 当a＞0时，f(x)为减函数； 当a＜0时，f(x)为增函数； 当a=0时，f(x)为常数函数。

备课资料 参考例题

[例1]求函数y=

x24x5的单调递增区间。

解：由函数的定义域可知x∈[-1,5].

又函数y=

x24x5是由u=g(x)=-x2+4x+5及y=f(u)=u复合而成的复合函数。

u在[0，+∞]上是增

∵u=g(x)=-x2+4x+5在[-1，2]上是增函数，在[2，5]上是减函数，而y=f(u)=函数，

∴函数y=

x24x5的单调递增区间是[-1，2]。

[例2]假设函数y=f(x)在R上是减函数，求y=f(|1-x|)的单调递增区间。

解：设u=|1-x|=|x-1|,由函数u=|x-1|的图象可得，u在〔-∞，1〕上是减函数，而函数y=f(x)在R上是减函数，故y=f(|1-x|)的一个单调递增区间是〔-∞，-1〕。

备课资料

一、函数单调性的应用

函数的单调性除一些理论上的应用外，它还可以灵敏有效地解决我们现实生活中与之相关的实际问题。 [例题]甲、乙两地相距skm，汽车从甲地匀速行驶到乙地，汽车每小时的运输本钱〔单位：元〕由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度x(km/h)的平方成正比，比例系数为a，固定部分为b元，请问，是不是汽车的行驶速度越快，其全程运输本钱越小？假设不是，那么为了使全程运输本钱最小，汽车应以多大的速度行驶？

分析：根据汽车运输本钱y元与行驶速度xkm/h之间的关系，建立函数模型，结合函数式的特点，运用函数有关知识去解决。

解：设汽车运输本钱为y元，依题意得汽车运输本钱y与汽车行驶速度x之间的关系为：

ssax2. xxbb∴y=s(ax+)(其中x∈(0,+∞).即将此时的问题转化成：“函数y=s(ax+)是否随着x的不断增大

xxb而减小？当x取何值时，y取最小值？〞下面讨论函数y=s(ax+)[x∈(0,+∞),a＞0,b＞0]在其定义域内

xy=b·的单调性。

设x1，x2∈(0,+∞)，且x1＜x2，那么

f(x1)-f(x2)=s[(ax1+

bx1)-(ax2+

bx2)]

=s[a(x1-x2)+

b(x2x1)]

x1x2=

s(x1x2)(ax1x2b)

x1x2bas(x1x2)(x1x2)a =

x1x2∵x1，x2＞0，且x1＜x2 ∴x1x2＞0，a(x1-x2)＜0

∴当x1，x2∈(0,

ba]时，x1x2＜

bb，x1x2-＜0，∴f(x1)＞f(x2)， aabb，x1x2-＞0，∴f(x1)＜f(x2). aa当x1，x2∈[

ba，+∞)时，x1x2＞

综上所述，我们看到函数y=s(ax+

b)(a＞0，b＞0)并不是整个区间〔0，+∞〕上是随着x的不断增大xba时，y获得最小值即ymin=2s

而减小的，而且由上述分析可看出当x=

ab.那么，在这个实际问题当

中可答复为：并不是汽车的行驶速度越快，其全程运输本钱越小；并且为了使全程运输本钱最小，汽车应

以x=

bakm/h的速度行驶。

评述：〔1〕以上实际问题考察了学生灵敏应用数学知识于理论的才能，可见“逐步增强函数的应用意识〞应及早实现。

〔2〕对函数关系式的处理需要有扎实的根本功才能顺利完成，可见从不同角度不同方向去考虑问题在教学中尤为重要，并且应指导学生养成多分析失败原因，多总结成功经历的好习惯。

二、参考练习题 1.判断以下函数的增减性

(1)y＝

1x－1 2答案：在x∈R上是单调递增函数 (2)y＝｜x｜

答案：在x∈〔－∞，0〕上是单调递减函数 在x∈[0，＋∞〕上是单调递增函数 (3)y＝－x2＋2x

答案：在x∈〔－∞，1]上是单调递增函数 在x∈[1，＋∞〕上是单调递减函数 (4)y＝

k〔k≠0〕 xk在〔－∞，0〕上是单调递减函数，在〔0，＋∞〕上也是单调递减函数 x答案：当k＞0时，函数y＝当k＜0时，函数y＝2.选择题

k在〔－∞，0〕上是单调递增函数，在〔0，＋∞〕上也是单调递增函数 x(1)函数f〔x〕在R上是增函数，假设a＋b＞0，那么有〔〕 A.f〔a〕＋f〔b〕＞f〔－a〕＋f〔－b〕 B.f〔a〕＋f〔b〕＞f〔－a〕－f〔－b〕 C.f〔a〕＋f〔－a〕＞f〔b〕＋f〔－b〕 D.f〔a〕＋f〔－a〕＞f〔b〕－f〔－b〕

(2)定义域为R的函数f(x)在区间〔－∞，5〕上单调递减，对任意实数t，都有f〔5＋t〕＝f〔5－t〕，那么以下式子成立的是〔〕

A.f〔－1〕＜f〔9〕＜f〔13〕 B.f〔13〕＜f〔9〕＜f〔－1〕 C.f〔9〕＜f〔－1〕＜f〔13〕

D.f〔13〕＜f〔－1〕＜f〔9〕

(3)函数f(x)是R上的增函数,A〔0，－1〕,B〔3，1〕是其图象上两点,那么｜f〔x＋1〕｜＜1的解集的补集是〔〕

A.〔－1，2〕

B.〔1，4〕 C.〔－∞，－1]∪[4，＋∞]

答案：(1)A(2)C(3)D

D.〔－∞，－1]∪[2，＋∞)