极坐标旋转体体积

用guldin公式,取dθ分成的小扇形，由三角形重心公式知其重心位置高2/3*r(θ)*sinθ，微元面积为ds=1/2*(r(θ))*(r(θ))d(θ)；

用guldin公式重心轨迹长为2π*2/3*r(θ)*sinθ，所以微元的面积dV=2/3*r(θ)三次方*sinθ积分即可。 例如：

r = a(1 + cosθ),绕极轴旋转，求体积 0 <= θ <= π.

曲线上一点(θ,a(1 + cosθ)) 到极轴的距离的平方为 [a(1 + cosθ)sinθ]^2

当θ变化到(θ+dθ)时，点在曲线上变化的弧长为 a(1+cosθ)dθ 所以 ，旋转体的体积

= 关于θ的从0到π的定积分，被积函数为{π[a(1 + cosθ)sinθ]^2a(1+cosθ)} = 关于θ的从0到π的定积分，被积函数为{a^3π(1 + cosθ)^3[sinθ]^2} = 关于θ的从0到π的定积分，被积函数为{a^3π[1 + 3cosθ + 3(cosθ)^2 + (cosθ)^3 ](sinθ)^2}

关于θ的从0到π的定积分，被积函数为{a^3π(sinθ)^2}

= 2a^3π*关于θ的从0到π/2的定积分，被积函数为{[1-cos(2θ)]/2} = 2a^3π[π/4] = a^3π^2/2

关于θ的从0到π的定积分，被积函数为{a^3π[3cosθ](sinθ)^2}= 0 关于θ的从0到π的定积分，被积函数为{a^3π[3(cosθ)^2](sinθ)^2} = 3a^3π/2*关于θ的从0到π/2的定积分，被积函数为{[sin(2θ)]^2} = 3a^3π/2*关于θ的从0到π/2的定积分，被积函数为{[1-cos(4θ)]/2} = 3a^3π/2[π/4] = 3a^3π^2/8

关于θ的从0到π的定积分，被积函数为{a^3π[(cosθ)^3 ](sinθ)^2}= 0 所以，旋转体的体积= 关于θ的从0到π的定积分，被积函数为{a^3π[1 + 3cosθ + 3(cosθ)^2 + (cosθ)^3 ](sinθ)^2} = a^3π^2/2 + 0 + 3a^3π^2/8 + 0 = 7a^3π^2/8