极限承载力的计算

在土力学的发展中，已经提出了许多极限荷载公式，1920年普朗特首先根据塑性平衡理论导出了介质达到极限荷载时，沿着曲面发生滑动的数学方程，并认为介质的抗剪强度性质，可以用强度指标c，表示，但是，他的研究结果只适用于无重量的介质的极限平衡平面课题。

随后不少学者根据他的研究结果，引用来求解地基土的极限荷载，并进一步作了不同形式的修正和补充，以便在工程中加以应用。太沙基根据普朗特相似的概念，导出了考虑地基土自重影响的极限荷载公式。但这些公式都忽略了基础底面以上覆盖土层的抗剪强度的影响，故只适用于计算浅基础的极限荷载。

梅耶霍夫进一步考虑了基础底面以上覆盖层的抗剪强度的影响，从而提出了浅基础和深基础的极限荷载公式。

一．普朗特尔极限承载力公式

普朗特尔公式是求解宽度为b的条形基础，置于地基表面，在中心荷载P作用下的极限荷载Pu值。

普朗特尔的基本假设及结果，归纳为如下几点：

（1）地基土是均匀，各向同性的无重量介质，即认为土的0，而只具有c，的材料。 （2）基础底面光滑，即基础底面与土之间无摩擦力存在，所以基底的压应力垂直于地面。 （3）当地基处于极限平衡状态时，将出现连续的滑动面，其滑动区域将由朗肯主动区I，径向剪切区II或过渡区和朗肯被动区III所组成。其中滑动区I 边界BC或AC为直线，并与水平面成（45＋/2）角；即三角形ABC是主动应力状态区；滑动区II的边界CE或

tgCＤ为对数螺旋曲线，其曲线方程为 rr0e，r0为起始矢径；θ为射线r与r0夹角，滑

动区III的边界E G，DF为直线并与水平面成（45－φ/2）角。

（4）当基础有埋置深度d时，将基础底面以上的两侧土体用相当的均布超载qd来代替。

根据上述的基本假设，采用刚体平衡方法或特征线法，可以得到地基极限承载力为：

purdNqcNc

式中：r：基础两侧土的容重

d：基础的埋置深度

Nq，Nc：承载力系数，它们是土的内摩擦角的函数，可查下表：

其中Nqetgtg2(4502)

Nc(Nq1)ctg

 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

Nr 0 0.01 0.05 0.14 0.27 0.47 0.76 1.16 1.72 2.49 3.54 4.96 Nq 1.00 1.20 1.43 1.72 2.06 2.47 2.97 3.58 4.33 5.25 6.40 7.82 Nc 5.14 5.69 6.17 6.82 7.52 8.35 9.29 10.4 11.6 13.1 14.8 16.9  24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 45 Nr 6.90 9.53 13.1 18.1 25.0 34.5 48.1 67.4 95.5 137 199 241 Nq 9.61 11.9 14.7 18.4 23.2 29.5 37.8 48.9 64.2 85.4 115 134 Nc 19.3 22.3 25.8 30.2 35.5 42.2 50.6 61.4 75.4 93.7 118 133 二、斯肯普顿地基极限承载力公式

对于矩形基础，斯肯普顿（1952年）给出的地基极限承载力公式为：

pu5c(15bl)(15db)0d

c——地基土粘聚力;

b、l——分别为基础的宽度和长度；

0——基础埋置深度d范围内土的重度。

三．太沙基极限承载力公式

对于均匀地基上的条形基础，当受中心荷载作用时，若把土作为有重量的介质，即不等于零，求其极限承载力时，太沙基作了如下假设：

1．基础底面粗糙，即的与土之间有摩擦力存在

当地基达到破坏并出现连续的滑动面时，其基底下有一部分土体将随着基础一起移动而处于弹性平衡状态，该部分土体称为弹性核或叫弹性契体，如图8-9中ABC所示。

弹性核的边界AC或BC为滑动面的一部分，它与水平面的夹角为，而它的具体数值又与基底的粗糙程度有关。

2．当把基底看作是完全粗糙时，则滑动区域由径向过渡区剪切区II和朗肯被动区III所组成。其中滑动区域II的边界CE和ＤC为对数螺旋曲线，其曲线方程为（r0为起始矢径）。朗肯区域III的边界DFA为直线，它与水平面成（450－φ/2）角。

3．当基础有埋置深度时，则基底以上两侧的土体用相当的均布超载qd来代替。根据上述假定，经推导可得地基的极限承载力

pu1rbNrqNqcNc 23()tg2式中：Nr，Nq，Nc称为承载力系数，都是土的内摩擦角的函数。

其中：Nqe2cos2(4502

)Nc(Nq1)ctg

但对Nr，太沙基并未给出公式。太沙基将Nr，Nq，Nc可以查表8－4得。 几点说明：

（1）当把基础底面假定为光滑时，则基底以下的弹性核就不存在，而成为朗肯主动区I了，而AC面与水平面的夹角ψ＝（450＋φ/2）而整个滑动区域将完全与普朗特尔的情况相似，因此，由C,q所引起的承载力系数即可直接取用普朗特尔的结果，即：

Nqetgtg2(450)

2Nc(Nq1)ctg

而由土容重所引起的承载力系数则采用下列半经验公式来表达：

Nr1.8Nctg2

将Nqetgtg2(4502)

Nc(Nq1)ctg

Nr1.8Nctg2

代入：pu1rbNrqNqcNc 2即可得基础底面完全光滑情况下的太沙基地基极限承载力，或Nq，Nc，Nr可直接查表取得。

（2）太沙基承载力公式都是在整体剪切破坏的条件下得到的，对于局部剪切破坏时的承载力，应进行修正。

2c 32tgtg,

3c再用修正后的c，，就可计算局部剪切破坏时松软土的地基承载力

pu1rbNr'qNq'cNc' 2，Nq，Nr：修正后的承载力系数。 式中：Nc（3）对于方形或圆形基础，太沙基建议用下列修正公式计算地基极限承载力：

圆形基础：pur0.6rRNrrdNq1.2cNc 整体破坏

pur0.6rRNr'rdNq'1.2cNc' 局部破坏

方形基础： pus0.4rbNrrdNq1.3cNc 整体破坏

pus0.4rbNr'rdNq'1.3cNc' 局部破坏

4．地基的容许承载力

将上述各公式算出的极限承载力pu，除以安全系数K，即得到地基的容许承载力

ppu K在设计时，基底压力p应满足p≤[p]的要求。

例题1：某办公楼采用砖混结构基础。设计基础宽度b=1.50m，基础埋深d=1.4m，地基为粉土， =18.0kN/m3,

＝30度，c＝10kPa，地下水位深7.8m，计算此地基的极限荷载和

地基承载。

解：（1）条形，由太沙基公式：pu01rbNrqNqcNc 2因为30，查得，Nr＝19，Nc＝35，Nq＝18

代入公式pu＝18.0×1.5×19÷2＋10×35＋18.0×1.4×18＝1060.1 kPa （2）地基承载力：ppu＝1060.1/3.0＝353.4 kPa K例题2：在例题1中，若地基的为20度，其余条件不变，求pu和p 解：（1）当20，查曲线：Nr＝4，Nc=17.5，Nq＝7，

0pu1rbNrqNqcNc 2pu＝18.0×1.5×4÷2＋10×17.5＋18.0×1.4×7＝405.4kPa

（2）ppu＝405.4/3.0＝135 kPa K评论：由上两例计算结果可见：基础的形式，尺寸与埋深相同，地基土的，c不变，只是由30度减小为20度，极限荷载与地基承载力均降低为原来的38％，可知：的大小，对pu和p影响很大。

四、考虑其它因素影响时的极限承载力计算公式

1、汉森极限承载力公式

对于均质地基基础底面完全光滑，在中心倾斜荷载作用下，汉森建议按下式计算竖向地基极限承载力。

pu1bNrsrdrirdrdNqsqdqiqccscdcicNc 2式中：(1)s，sq，sc为基础的形状系数，

Nqbbs1sr10.4ir0.6cNcllbb取：sq1iqsin或sq1tg

llbbsc10.2icsr10.4ll(2) ir,iq,ic为荷载倾斜系数

ir1(10.7ph0pcActg00(0.7/450)ph5)0pcActg0.5ph)50

pcActg

iq(1ic(iq1iq) Nq1（3）dr,dq,dc深度修正系数

dr1dq12tg(1sin)2dc10.40DB

DD,dc10.35BB（4）gr,gq,gc地面倾斜系数

grgq(10.5tg)5gc114.7

（5）br,bq,bc基底倾斜系数

brexp(2.7tgbqexp(2tg) bc1/14.7（6）Nr，Nc，Nq承载力系数，由下式表示：

Nqetgtg2(45Nc(Nq1)ctgNr1.8Nctg2几点说明：

2)上式中βη分别为地面和基底的倾角。

（1）应用公式时，应满足phCaAptg，以保证基底不因水平力过大而产生水平滑动。

Ph：作用在基底上的水平分力 P：作用在基底上的垂直分力 Ca：为基底与土之间的粘滞力 δ：为基底与土之间的摩擦力 A=L×B

（2）当基底受到偏心荷载作用时，先将其换成有效的基底面积，然后按中心荷载情况下的极限承载力公式进行计算。

若条形基础，其荷载的偏心距为e，则用有效宽度 B’=B－2e，来代替原来的宽度B。 若是矩形基础，并且在两个方面均有偏心，则用有效面积A’=B’×L’来代替原来的面积A。其中B’=B－2eB,L’=L－2eL

(3)对于成层土所组成的地基，当各土层的强度相差不大的情况下，汉森建议按下式近似确定持力层的深度。

Zmax＝λB

式中：λ：为系数，根据土层平均内摩擦角和荷载的倾角β从下表查出：

B：为基础的原宽度。

λ值表：单位为（度）

ψ tgβ ≤0.2 0.21～0.30 0.4 ≤20 0.6 21～35 1.20 0.90 36～45 2.00 1.60 0.31～0.40

0.2 0.60 1.20 持力层范围内土的容重和强度指标按层厚求其平均值：

rihirhicihi chiihihi式中ri,Ci, ψi分别为第i土层的容重，凝聚力和内摩擦角，hi为第i层的厚度。 例题：有一宽4m的条形基础，埋置在中砂层下2米深处，其上作用中心倾斜荷载（竖直分量P＝900Kn/m，水平方向Ph＝150Kn/m）中砂层的内摩擦角ψ＝32度，湿容重r=18.5Kn/m3 浮容重r’=9.5Kn/m3,距基底2米处有一粘土层，其固结不排水剪的强度指标为C＝18Kn/㎡, ψ=22度，浮容重r’=9.7Kn/m3,设地下水位与基底齐平，试按汉森公式确定地基的极限承载力。

解：荷载的倾斜率：

tgβ＝Ph/P=150/900=0.17

该地基属层状地基，应先确定持力层的最大深度Zmax值，为此固结tgβ＝0.17并假设土层的平均内摩擦角21~35之间，从表查得λ＝1.2，于是公式Zmax＝λB可得 Zmax＝1.2×4＝4.8m，

求持力层内土层的平均指标：

r'cr1h1r2h29.529.72.89.6Kn/m3h1h222.8c1h1c2h202182.810.5Kn/m3

h1h222.81h12h2h1h2322222.802622.8可见求得的在假设范围内，查表可得： Nr＝9.53，Nq＝11.90，Nc＝22.3

求荷载倾斜系数：

0.7ph)50.57pcBctg0.5ph iq(1)50.67pcBctg1iq10.67ic(iq)0.670.64Nq111.901ir(1求深度修正系数：

dr1dq12tg(1sin)2dc10.4D1.2BD1.158 B地面倾斜系数：a=0,

grgq(10.5tga)51所以

agc11147

同理基底倾斜系数：

0

brexp(2.7tg)1bq1bc1

B0基础的形状系数：L

srsqsc1所以地基的极限承载力：

pu1r'BNrirdrrDNqiqdqcNcicdc219.69.5340.57118.5211.90.671.15810.522.30.641.2 2104.3340.0158.75603.05Kn/m22、偏心与水平荷载下地基稳定性的圆弧滑动分析法（略）