——张青楠
第一章
1.
（1） �（2） （3） （4） （5） （6）
{3,4,…,18} {10,11,12,…} {1,2,3,…}
{(x,y)|x2+y2<1}
{(x,y,z)|x>0,𝑦𝑦>0,𝑧𝑧>0,𝑥𝑥+𝑦𝑦+𝑧𝑧=1}
30
i�i=0,1,2,…,3000�（貌似每个人的分数按整数处理了）
2.
（1） (A−AB)∪B=�A∩AB�∪B=(A∪B)∩�AB∪B�=(A∪B)∩
�A∪B∪B�=A∪B
（2） (A∪B)−B=(A∪B)∩B=AB∪BB=AB A−AB=A∩AB=A∩�A∪B�=AA∪AB=AB （3） (A∪B)−AB=(A∪B)∩AB=�A∩AB�∪�B∩AB�=A�A∪B�∪
B�A∪B�=AB∪AB ∴(A∪B)−B=A−AB=AB
3.
设从排列成上述单词为事件A 则Ω中有A2526个基本点，事件A有55个基本点。
555511则P(A)= 25= =
A2626·25130
4.
设事件A=｛号码后四个数全部相同｝ 则基本空间有104个基本点，A有A410个基本点 9·8·7则P(A)= 4= =0.504 100010
A1041
简明概率论教程习题详解
——张青楠
5.
设A=｛取k+1次球最后取出白球｝
1k
则基本空间有Ak+1a+b个基本点，A有CaAa+b−1个基本点
则P(A)=
kk+1C1aAa+b−1Aa+b+1Aka+b
a = a+b 6.
设A=｛某层有两位乘客离开｝，B=｛有两位或两位以上乘客在同一层离开｝
64
则基本空间有106个基本点，A有C29个基本点，B有A610个基本点。
（1） P(A)=
106A610（2） P(B)= 6
10
4C6109
7.
设A=｛恰好收到其定货｝ 9432
则基本空间有C17个基本点，A有C10C4C3个基本点 则P(A)=
32C410C4C3
C917
=
2431
252 8.
设A=｛恰好90件次品｝，B=｛至多有1件次品｝
200110902001991
则基本空间有C1500个基本点，A有C1100C400个基本点，B有C1100+C1100C400个基
本点。
（1） P(A)=
90C1101100C400（2） P(B)=1－P(B)=1－
C2001500
1991C2001100+C1100C400C2001500
9.
2
简明概率论教程习题详解
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以x，y分别表示甲、乙两轮到达时刻。x，y取0时至24时任意值 取基本空间Ω={(x,y)|0≤x,y≤24}。 令A=｛不需等待码头空出｝
即A=�(x,y)�x−y≥1或y−x≥2,(x,y)∈Ω� 即A是图1-1阴影部分
232+222其面积为 2
232+2222则P(A)= ≈0.819
242第一折长度为x，第二折长度为y，则第三折长度为a-x-y。 取基本空间Ω={(x,y)|x>0,𝑦𝑦>0,𝑥𝑥+𝑦𝑦<𝑎𝑎} 令A=｛三折能构成三角形｝ 则
A={(x,y)||x−y|<𝑎𝑎−𝑥𝑥−𝑦𝑦<𝑥𝑥+𝑦𝑦,(x,y)∈Ω} 即A是图1-2的阴影部分 其面积为
8
10.
a28则P(A)= a22
a2
= 4 111.
设D=｛A,B,C至少有一个出现｝即D=A∪B∪C
111P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)－P(AB) －P(BC) －P(AC)+P(ABC)=++
444
15－0－0－+0= 88
12.
（1） P�A∪B�=P�AB�=1−P(AB)=1−z （2） P�AB�=P(B)−P(AB)=y−z
3
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（3） P�A∪B�=P�AB�=1−�AB�=1−�P(A)−P(AB)�=1−x+z （4） P�AB�=1−P(AB)=1−z
注：按出题者意图，原题应为P�A∩B�
则P�A∩B�=P�A∪B�=1−P(A∪B)=1−P(A)−P(B)+P(AB)=1−
x−y+z
13.
令A=｛一个部件强度太弱｝ 基本空间有
�A33�A305010个基本点，A
有
27C110A47则P(A)=
27C110A479�A33�A305010�A3�3
�A33�
9个基本点
=
1960
1
14.
令A=｛每节车厢至少有一个旅客｝，Bi=｛第i姐车厢有乘客｝i=1,2,…,n 即A=｛至少一节车厢没有旅客｝ 则P(A)=1−P�A�=1−P�⋃ni=1Bi�
j
因为P�⋂i=1Bi�
则P(A)=1−
�C1n
=�
n−jknn
�1−�−
�=�1−�其中j=1,2,…,n
1k
2
Cn�1
n
2kn
jk
n−1
−�+⋯+(−1)nCn�1−
n−1kn
��
15.
P(A|B)>P(A)
⇒P(A|B)P(B)>P(A)P(B) ⇒P(AB)>P(A)P(B)
⇒P(B|A)P(A)>P(A)P(B) ⇒P(B|A)>P(B)
16.
4
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——张青楠
P(B|A∪B)= P�B�A∪B��P�A∪B�P(AB)=P(A)－P(AB)=1－P(𝐴𝐴)－P(AB)=0.2 P(AB)=P(B)－P(AB)=0.2 则P(B|A∪B)= 0.2 =
P�AB�P(AB) = 1−P�AB�P(AB)
1−0.2
= 4
117.
令A=｛取到一级品｝，B=｛取到合格品｝
475P(B)=，P(A|B)= 100100P(A)=P(AB)=P(A|B)P(B)=
10075�1−
100
4�=0.72
18.
P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(AB)=P(A)+ P(AB)=P(A)P(B|A)= P(A∪B)=
14
+
1121214−
12
1× = =
313
1 12
1
P(A|B)
P(AB)－P(AB)
19.
P(A|B)= P(AB)P(B)
因为P�A∪B�≤P�A�+P�B�=2−P(A)−P(B) 则P(A|B)≥
P(A)+P(B)−1P(B)
= 1−P�A∪B�P(B) 20. =
a+b−1b
令A=｛拒绝接受｝
55
则基本空间有C100个基本点，A有C95个基本点
5
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则P(A)=1－P(A)=1－
C5100
C595 ≈0.23
21.
令A=｛孩子感冒｝，B=｛母亲感冒｝，C=｛父亲感冒｝
则P(A)=0.6，P(B|A)=0.5，P(C|AB)=0.4
则P�ABC�=P(AB)P�C�AB�=P(A)P(B|A)�1－P(C|AB)�=0.6×0.5×(1−0.4)=0.18
22.
令Ai=�第i次取出正品� 则P(A1)=
10898P�A2�A1�=，P�A2�A1�=�1−P�A2�A1��=， （1） P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=2845
， P�A1�=
10
2，P(A2|A1)=，P�A2�A1�=�1−P(A2|A1)�=，
9
19
9
72（2） P�A1∩A2�=P�A1�P�A2�A1�=
（3） P�A1A2∪A1A2�=P�A1A2�+P�A1A2�=P(A1)P�A2�A1�+P�A1�P�A2�A1�=108451 （4） P�A2�=P�A2�A1�P(A1)+P�A2�A1�P�A1�=×
9
×+
921022×=91088164519
+×
10
2=
5
123.
令Ai=�第i次取出废品� 则P(A1)=
121则P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P�A1�P�A2�A1�=
，则P(A2|A1)=
10+11+1=
11
2，P�A2�A1�=121×
11
210+1
1+
1112
=×
111111
=
132
13
24.
令A1=�由I号机器制造�，A2=�由II号机器制造�，A3=�由III号机器制造�，
6
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B=�产品为废品� 则P(A1)=且P(B|A1)=
100255所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=10000
255×P(A1)P(B|A1)10010025则P(A1|B) == 345=
69P(B)
10000354P(A2)P(B|A2)100×10028P(A2|B) == 345= 69P(B)
10000402×P(A3)P(B|A3)10010016P(A3|B) == 345= 69P(B)
10000100
，P(A2)=
，P(B|A2)=
100
35，P(A3)=
1004，P(B|A3)=
100
40，
1002 345
25.
令A={传送的信号是0}，B={传送正确} 即A={传送的信号是1}
则P(A)=，P�A�=，P�B�A�=，P�B�A�= 3×�1−�= 858311P�AB�=P�A�P�B�A�=×�1−�= 83431即0确为0的概率是，1确为1的概率是
84
58
38
25
13
所以P(AB)= P(A)P(B|A)=
5226.
令A1=�从甲袋取出白球�，A2=�从乙袋取出白球�，A3=�从丙袋取出白球� 则P(A1)=，P(A2|A1)=
54 P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P�A1�P�A2�A1�= P(A3|A2)=
3+12+14+2
3+2=，P�A2�A1�=6
233034
2+15，
4+2
3=，
2
1 P(A3)=P(A2)P(A3|A2)+P�A2� P�A3�A2�=
=，P�A3�A2�=
4
33+1
= 437
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（1） P�A2�A3�=
34
P�A2�P�A3�A2�P(A3)
（2） P�A3�A1�=PA1(A3)=PA1(A3|A2)PA1(A2)+PA1�A3�A2�PA1�A2�=×+
P�A1�A3�= ×= 2
4134
2
=
73+3043 4=
30
7
31
P�A1�P�A3�A1�P(A3)
=
13+5434 = 5
127.
P(B)=P(A)P(B|A)+P�A�P�B�A�=P(A)P(B|A)+P�A�P(B|A)=P(B|A) 所以A与B相互独立
28.
令Ai=�第i人译出�，A=�至少有一人译出�， 则P(A1)=，P(A2)=，P(A3)=。 因为Ai是独立事件
5
4
3
11143233()PA=1−P�A�=1−P�⋂i=1Ai�=1−P�A1�P�A2�P�A3�=1－×× = 5435
29.
则P(A1)=0.1，P(A2)=0.2，P(A3)=0.3，
C=�仪器发生故障�
令Ai=�烧坏第i个指示灯�，Bi=�烧坏i个灯�，
P(C|B1)=0.25，P(C|B2)=0.6，P(C|B3)=0.9 P(B1)=P(A1)P�A2�P�A3�+P�A1�P(A2)P�A3�+P�A1�P�A2�P(A3)=0.398 P(B2)=P(A1)P(A2)P�A3�+P�A1�P(A2)P(A3)+P(A1)P�A2�P(A3)=0.092
P(B3)=P(A1)P(A2)P(A3)=0.006
则P(C)=P(C|B1)P(B1)+P(C|B2)P(B2)+P(C|B3)P(B3)=0.1601
8
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30.
（1） P(K1∪K2)=P(K1)+P(K2)−P(K1)P(K2)=0.6+0.5−0.6×0.5=0.8 （2） P(A)=P(A1)P(A2)P(A3)=0.4×0.7×0.9=0.252
（3） P(K1∪K2∪A)=P(K1)+P(K2)+P(A)−P(K1)P(K2)−P(K1)P(A)−
P(K2)P(A)+P(K1)P(K2)P(A)=0.6+0.5+0.252−0.6×0.5−0.6×0.252−0.5×0.252+0.6×0.5×0.252=0.8504
则P(K1)=0.6，P(K5)=0.5，P(A1)=0.4，P(A2)=0.7，P(A3)=0.9
令Ki=�ki发生故障�，Ai=�Λi发生故障�，A=�Λ1,Λ2,Λ3同时发生故障�，
31.
令Ω=�取一枚硬币抛掷r次出现国徽�，A=�取得正品抛掷r次出现国徽� 则A有m个基本点，当取到次品的时候每抛掷一次有两种可能出现国徽，则抛掷了r次有2r种可能，所以Ω有m+n2r个基本点
m则P(A)=
m+n2r
32.
令N1=�如果输入A输出B或如果输入B输出C或如果输入C输出A�， M=�输出原字母�，A=�将字母串AAAA输入�，B=�将字母串BBBB输入�， 则P(M)=a，P(N1)=P(N2)=
1−a2
N2=�如果输入A输出C或如果输入B输出A或如果输入C输出B�，
C=�将字母串CCCC输入�，D=�输出字母串ABCA� P(D|A)=P(M)P(N1)P(N2)P(M)=
[(1−a)a]2a(1−a)3884
，P(A)=p1，P(B)=p2，P(C)=1−p1−p2
P(D|B)=P(N2)P(M)P(N1)P(N2)= P(D|C)=P(N1)P(N2)P(M)P(N1)=
a(1−a)3则P(D)=P(D|A)P(A)+P(D|B)P(B)+P(D|C)P(C)=
[(1−a)a]24
[(1−a)a]2p1P(D|A)P(A)2ap14则P(A|D)==[(1−a)a]2=a(1−a)3(3𝑎𝑎−1)p1+1−aP(D)p+(1−p)1148
p1+
a(1−a)38
(1−p1)
9
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33.
令Ai=�第一个元件发出警报�，A=�系统可靠� 则P(Ai)=0.96，P�Ai�=0.04
2
（1） P(A)=1−P�A�=1−P(⋂2i=1Ai)=1−P�A1�P�A2�=1−0.04=0.9984 n（2） P(A)=1−P�A�=1−P(⋂ni=1Ai)=1−P�A1�⋯P�An�=1−0.04
令P(A)≥0.9999
则1−0.04n≥0.9999 ⇒0.04n≤0.0001 ⇒n≥3 所以n=3
34.
0(则P(A0)=b(0;4,0.3)=C40.3)0(0.7)4=0.2401
13
P(A1)=b(1;4,0.3)=C14(0.3)(0.7)=0.4116
2( P(A2)=b(2;4,0.3)=C40.3)2(0.7)2=0.2646 3( P(A3)=b(3;4,0.3)=C40.3)3(0.7)1=0.0756 4( P(A4)=b(4;4,0.3)=C40.3)4(0.7)0=0.0081
P(B)=P(B|A0)P(A0)+P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+P(B|A3)P(A3)+P(B|A4)P(A4)=0×0.2401+0.1×0.4116+0.2646+0.0756+0.0081=0.38946
k(有b(k;4,0.3)=C40.3)k(0.7)4−k，k=0,1,⋯,4
则P(A)=0.3，P(B|A0)=0，P(B|A1)=0.1，P(B|A2)=P(B|A3)=P(B|A4)=1
令A=�A出现�，Ai=�A出现了i次�，B=�B出现�
令p=P(A)，则1−b(0;4,p)=0.59
则b(0;4,p)=0.41 因为b(0;4,p)=P�A�
4
35.
所以P�A�=4�P(A0)=0.8 即P(A)=1−P�A�=0.2
10
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36.
nkkn−k
令q=1－p，则有∑n=(p+q)n=1 k=0b(k;n,p)=∑k=0Cnpq
则∑k=0b(2k;n,p)=
kkn−k=(q−p)n=(1−2p)n ∑nk=0Cn(−p)q
n2kn−kkkn−k+∑nk∑nk=0Cnpqk=0Cn(−p)q2
=
1+(1−2p)n2
11
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