概率论第三版答案详解

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第二章

作业题解：

掷一颗匀称的骰子两次，以X表示前后两次出现的点数之和 ，求X的概率分布，并验证 其满足式• 解：

1 2 3 4 5 6 1 / 2 3 4 5 \\ 6 7 2 / 3 4 5 6 7 8 P 3 4 5 6 7 8 \\ 9 4 5 6 7 8 9 ]10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12\\ 由表格知X的可能取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 0 并1 2 且， P(X 2) P(X 12) P(X 11) 36；P(X 3) 36 P(X 4) P(X 10) 3 36；P(X 5) P(X 9) 4 36 P(X 6) P(X 8) 5 6 -36； P(X 7) 36 0 即 P(X k) 6 |7 k| (k=2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12) 36 设离散型随机变量的概率分布为

P{X k} aek,k 1,2 ,试确定常数a .

1

解：根据 P(X k) 1，得 ae k 1，即1。 k 0 k 0

1 e

\\ 故 a e 1

甲、乙两人投篮时，命中率分别为 和，今甲、乙各投篮两次，求下列事件的概率：

(1)

两人投中的次数相同；(2) 甲比乙投中的次数多•

解：分别用Aj,Bj(i 1,2)表示甲乙第一、二次投中，则

P(AJ P(A2)0.7, P(A1) P(A2)0.3,P(BJ P®?) 0.4,P(Bj

P($2)0.6，

两人两次都未投中的概率为： P(A^A2瓦瓦)0.3 0.3 0.6 0.6 0.0324，

两人各投中一次的概率为：

P(A1A2B1 B2) P(A1 A2 B2B1) P(A2AB1B2)P(A1A2 B2B1) 4 0.7 0.3 0.4 0.6

两人各投中两次的概率为： P(A1A2B1 B2) 0.0784。所以： (1)

两人投中次数相同的概率为 0.0324 0.2016 0.0784

0.3124

(2) 甲比乙投中的次数多的概率为：

1

0.2016

-

P (A1A2 B1B2) P( A1A2 B2 Bi) 2 0.49 0.4 0.6 0.49 0.36

P( A1A2 B1B2) P (A1A2 Bi B2) P (A1A2 B1B2)

2 0.21

0.36 0.5628

设离散型随机变量 X的概率分布为P{X

k

k} —,k 1,2,3,4,5，求

15

(1) P(1 X

解：⑴P(1 X

3)

(2) P(0.5 X 2.5)

3)

15 15 15

2.5) P(X

1)

k}

2k,k

P(0.5

P(X 2)丄 2

15 15

1,2,3,

,，求

设离散型随机变量 X的概率分布为P{ X

(1) P{X

解：(1)P{X

2,4,6 }⑵P{X

1 1 24 26

3}

1 22

；

2,4,6 3} 1

P{X

(2) P{X 1} P{X

当A发生3次或3 次以上时，指示灯发出

设事件A在每次试验中发生的概率均为 ,求下列事件的概率： 信号

(1) 进行4次独立试验，指示灯发出信号

；(2) 进行5次独立试验，指示灯发出信号

4)

0.1792

解: (1) P(X 3) P(X 3) P(X

C：0.43 0.6 0.44

⑵ P(X 3) P(X 3)

P(X 4) P(X 5)

C〕0.43 0.62 Cs0.44

0.6 0.45

0.31744

某城市在长度为t (单位：小时) 松分布，且与时间间隔的起点无关

的时间间隔内发生火灾的次数 ,求下列事件的概率：

X服从参数为的泊

(1) 某天中午12 时至下午15时未发生火灾； 某天中午12 时至下午16时至少发生两次火灾.

⑵

k

解: (1) P(X k)

k! 0

e ，由题意,

0.5 3 1.5,k

1 5

0 ,所求事件的概率为 e .

P(X 2)

件的概率为1 3e 2.

e 0! 1!

,由题意,

0.5 4 1.5，所求事

2

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为保证设备的正常运行，必须配备一定数量的设备维修人员 •现有同类设备180台，且

各台设备工作相互独立，任一时刻发生故障的概率都是，假设一台设备的故障由一人进行 修理，

问至少应配备多少名修理人员 ，才能保证设备发生故障后能得到及时修理的概率不

小于？

解：设应配备 m名设备维修人员。又设发生故障的设备数为 X,则X ~ B（180,0.01）。 依题意，设备发生故障能及时维修的概率应不小于，即

P(X

m） 0.99，也即

P(X m 1)

0.01

因为n=180较大，p=较小，所以X近似服从参数为 查泊180 0.01 1.8的泊松分布。

松分布表，得，当

叶仁7时上式成立，得 m=6。

故应至少配备6名设备维修人员。

某种元件的寿命X（单位：小时）的概率密度函数为:

1000

f(x)

x22 ',

, x 1000 0, x 1000

求5个元件在使用1500小时后，恰有2个元件失效的概率。 解：一个元件使用 1500小时失效的概率为

1500

1500

P(1000 X 1500)

1000

100C

1000

1000

设5个元件使用1500小时失效的元件数为

1

Y,则Y ~ B（5-）。所求的概率为

2 1 2 2 3 P

(Y 2) c3

q)2(；#3

80 243

。

设某地区每天的用电量 X（单位：百万千瓦？时）是一连续型随机变量，概率密度函数为:

2f(x)

12x(1 x),0假设该地区每天的供电量仅有 80万千瓦？时，求该地区每天供电量不足的概率 .若每天的

供电量上升到90万千瓦？时，每天供电量不足的概率是多少

？

解：求每天的供电量仅有80万千瓦？时，该地区每天供电量不足的概率， 只需要求出该地区

用电量X超过80万千瓦？时（亦即 百万千瓦？时）的概率：

0.8 0.8 2

P(X

0.8)=1-P(X 0.8)=1- f (x)dx 1

0 12x(1 x) dx

1 (6x2 8x3 3x4)

0'

8

0.0272

若每天的供电量上升到 90万千瓦？时，每天供电量不足的概率为:

3

-

0.9 0.9

P(X

0.9)= 1-P(X 0.9)=1- f(x)dx 1

1 (6x2 8x3 3x4) 0.9

0.0037

2

0 12x(1 x)2dx

设随机变量 K ~U ( 2,4),求方程 x 2Kx

2

2K 3 0有实根的概率.

4K 2 8K 12

解：方程x2 显然，当K

2Kx 2K 3 0有实根，亦即

方程x2 2Kx

4(K 3)(K 1) 0,

3 K

1

时，

2K 3 0有实根；又由于K ~U ( 2,4),所

求概率为： 1 ( 2)

4 3

4 ( 2) 1 3

某型号的飞机雷达发射管的寿命 事件的概率：

(1)发射管寿命不超过100小时；

X(单位：小时)服从参数为 的指数分布，求下列

⑵发射管的寿命超过300小时；

(3) 一只发射管的寿命不超过 100小时，另一只发射管的寿命在 100至300小时之间. 解：(1)发射管寿命不超过100小时的概率：

P(X 100) 0 0.005e dx e 0

100c ccl 0.005X | 0.005x

100

丿

0.5

1 e =

⑵发射管的寿命超过 300小时的概率：

P(X 300) 1 P(x 300) 1 (1 e 1.5) e 1.5 0.223

(3) 一只发射管的寿命不超过 100小时，另一只发射管的寿命在 100至300小时之间.

0.5

0.5

1.5

(1 e )(e e ) 0.15。

设每人每次打电话的时间(单位：分钟)服从参数为的指数分布.求282人次所打 的电话中，有两次或两次以上超过

解：设每人每次打电话的时间为

10分钟的概率.

x, X~E则一个人打电话超过

C L

10分钟的概率为

P(X 10)

/ X,

A C \\

0.5 X ]

0.5e dx e

' 7 10 10

0.5 x

e

5

又设282人中打电话超过10分钟的人数为 Y，则Y ~ B(282,e 5)。 因为n=282较大，p较小，所以Y近似服从参数为

所求的概率为

282 e 5 1.9的泊松分布。

P(Y 2) 1 P(Y 0) P(Y 1)

1 e 1.9 1.9e 1.9 1 2.9e \"9

0.56625

4

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某高校女生的收缩压 X(单位：毫米汞柱)服N(110,122),求该校某名女生: (1)收缩压不超过105的概率；

⑵ 收缩压在100至120 之间的概率.

解: (1) P(X 105)

(105 110) (

12

(0.42) 1

(0.42)

1 0.6628 0.3372

(2) P(100 X

120) ( 120 110 100 110、

12

)

( )

12

(0.83) ( 0.83)

2 (0.83) 1

2 0.7967

1

0.5934

公共汽车门的高度是按成年男性与车门碰头的机会不超过

设计的，设成年男性的

身高X(单位：厘米)服从正态分布N170, 622),问车门的最低高度应为多少 ？ 解：设车门高度分别为 x。则：

P(X x) 1 0.01 0.99

( x 170 ) x 170 查表得，(2.33) 0.99，因此

6

2.33，由此求得车门的最低高度应为

184厘米。

已知20件同类型的产品中有2件次品，其余为正品.今从这20件产品中任意抽取4次, 每次只取一件，取后不放回.以X表示4次共取出次品的件数，求X的概率分布与分布函 数.

解: X的可能取值为0,1,2。

因为P(X 0)

18171615 12

2019 1817P(X 2)

C20 95 ；

19’

P(X 1) 1

12 _3 32 19 95

95

所以X的分布律为

X 0 1 2 \\ P 12 32 3 X 19— 95— 95 的分布函数为

12 F(x) 1992

95 2

1

5

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袋中有同型号小球5只，编号分别为123,4,5. 今在袋中任取小球3只，以X表示取 出的3只中的最小号码 求随机变量X的概率分布和分布函数 解：X的可能取值为 1,2,3。

因为P(X 1)

C4

C

1 0.6 0.1 0.3

X P 1 \\ 1 P(X 3)石

C

01

.；

P(X 2)

所以X的分布律为

2 3

X的分布函数为

0 0.6

F(x)

x 1 1 x 2

0.9 2x3 1 x 3

0, 1,

x 1, x e

3}，P{2

X 2.5}.

设连续型随机变量X的分布函数为:

F (x) In x, 1 x e,

求(1)P{X 2}，P{0 X

(2)求X的概率密度函数f (x)。

解：(1) P(X 2)

F(2) In 2

F(3) 2.5)

F(0)

1 0 1

P(0 X 3) P(2 X

F(2.5) F(2) In 2.5 In 2 In 1.25

⑵ f(x) F (x)

x 1 1 x e 0 其它

设连续型随机变量X的分布函数为:

x2

a be 2,

F(x)

x 0, x 0.

0,

(1)求常数a,b

6

-

(2)求X的概率密度函数 f(X)。

(3)求 P{,ln4 X

解：⑴ 由F()

、一 1H16}.

1 及 lim F(x) F(0)，得

x 0

a

a b 0

X ，故 a=1, b=-1.

x2

f(x) F (x)

xeT 0

F( , ln16)

ln 4

P( Jn 4

ln16

F(、. ln4)

(1 e〒)

(1 e 2 )

1 4

1

0.25。

设随机变量X的概率分布为：

X 0

2

Pk

解: (1) Y的可能取值为0, n 2, 4 n 2。

因为 P(Y 0) P(X )

2

0.2 ；

\\ P(Y 2) P(X 0) P(X )0.7 ；

3

P(Y 4 2) P(X ——)0.1

Y \\ P 2

所以Y的分布律为

\\ 0 2 n 4n 2 ⑵Y的可能取值为\\-1,1。 因为 P(Y 1)\\P(X 0) P(X )0.7 ； P(Y 1) P(X -) P(X

所以Y的分布律为

0.3

Y -1 1 P 设随机变量X的分布函数为

7

-

解：(1) X的可能取值为F(x) 0.3 F(x)的分界点，即

1 x 1 -1,1,2 。 因为 P(X/ 1)0.8 1 x 2 P(X 1) 0.8 0.3 0.5 ； P(X 2) 0.3 x 2 ； (1 )/ 求X的概率分布; X /(2)求Y -1 X的概率分布。1 2 P ⑵

Y的可能取值为1,2。

因为 P(Y 1) P(X 1) P(X 1) 0.8 ；

P(Y 2) P(X 2)

0.2

所以Y的分布律为

Y 1 2 P 设随机变量 X ~ N(0,1)，求下列随机变量 Y概率密度函数: (1)Y 2X 1;

(2) Y e X ；

Y X2.

2

eT解: (1)已知 fx(X)

2

因为 FY(y) P(Y y) P(2X 1 y) P(X 写)FX(专) 舟fX与)

求导得

f】

Y(y)

fX (

)

1 1 2— e 2 1 (y 1)2

2 2

2,2 e

所以Y参数分别为-1,2 2服从正态分布。

x2

1 一 ⑵已知fx(x)

1

e 2

8

1 0.8 0.2

-

FYW)

因为

P(Y

X

y) P(e y)

P( X In y)

t2

In y

P(X

In y) 1 P(X In

In2 x y) 1 Fx( Iny)

求导得

fY(y)

1 y ,/e 0

,y

⑶已知fx(X)

FYW) P(Y y) FxC.y) FX( ...y)

求导得

fY(y)

解：⑴已知fX(x)

FY(y)

P(Y 求导得

fY(y)

因为，即当

所以

fY(y)

二、第二章定义、9

,y 0;

X2 ~2

P(X2 y)

P(

X J)

,y 0;

其他

y

_y

y)

P(2ln X

y)

P(X e㊁)

Fx@)

y y

y

fx(e2)(e2)

fX(e2)

_y

y

2ln 时,

fx唐)丄；当 y取其他值时fx(e2)

0

。

y 2ln 为所求的密度函其他

数。

定理、公式、 公理小结及补充:

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(1)离散 型随机变 量的分布 律 设离散型随机变量 X的可能取值为 X(k=1,2,…)且取各个值的概率，即事 件(X=Xk)的概率为 P(X=Xk)=pk, k=1,2,…， 则称上式为离散型随机变量 式给出： / 。 \\ X的概率分布或分布律。有时也用分布列的形 \\ \\ \\ X | X1.X2, ,xk, P(X/xk) p1, p2, , pk, 显然分布律应满足下列条件： (1) pk 0 , k 1,2, , pk 1 (2) k 1 。 \\ f(2)连续 /设F (x)是随机变量X的分布函数，若存在非负函数 型随机变 量有 的分布 密度 (x)，对任意实数X , \\ F(x) x f(x)dx \\ 则称X为连续型随机变量。f(X)称为X的概率密度函数或密度函数， 简称概 率密度。 密度函数具有下面4个性质： 1° \\ f(x) 0。 2 。 f(x)dx 1 (3)离散 与P(X x) P(x X x dx) f (x)dx 连续型 随机变量 的关系 积分元f(x)dx在连续型随机变量理论中所起的作用与 散型随机变量理论中所起的作用相类似。 P(X xk) pk在离 10

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(4)分布 函数 设X为随机变量，x是任意实数，则函数 F(x) P(X x) 称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。 P(a X b) F(b) F(a) 可以得到X落入区间(a,b］的概率。分布 函数F(x)表示随机变量落入区间(- 分布函数具有如下性质： / 1° 0 F(x) a, x］内的概率。 \\ 1, x X1 ; 2° F(x)是单调不减的函数，即 3° 4° 5° X2时，有 F(X1)\\. F(X2)； F( ) lim F(x) 0, x F( ) lim F(x) 1; \\ x F(x 0) F(x)，即 F(x)是右连续的； '、 P(X x) F(x) F(x 0)。 \\ 对于离散型随机变量， F(x) xk x pk ； x 对于连续型随机变量，F(x) f (x)dx 。 (5)八大 分0-1分布 P(X=1)=p, P(X=0)=q 11

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布 二项分布 在n重贝努里试验中，设事件 A发生的概率为 p。事件A发生 的次数是随机变量，设为 k X，则X可能取值为0,1,2, ,n。 k n k P(X k) q 1 Pn(k) CnP q p,0 p 1,k 0,1,2, , n , , 其 / 中- 则称随机变量X服从参数为n , p的二项分布。记为 X ~ B(n,p)。 当 n 1 时，P(X k) / pkq>k, k 0.1，这就是(0-1 )分 布，所以(0-1 )分布是二项分布的特例。 12

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泊松分布 设随机变量X的分布律为 k P(X k)武 , 0, k 0,1,2 , 则称随机变量X服从参数为 的泊松分布，记为 X ~ ()或 /者 P()。 泊松分布为二项分布的极限分布（\"\\np=入，nTS） 。 超几何分布 —P(X k) zx, ■、 CM ?CMN NkM k 0,1,2 \\,l ' / n Q n C l min (M,n) N 随机变量X服从参数为 n,N,M的超几何分布，记为 H(n,N,M)。 几何分布 P(X k) qk1p,k 1,2,3,，其中 p> 0, q=1-p。 随机变量X服从参数为 p的几何分布，记为 G（p） 。 均匀分布 设随机变量X的值只落在［a , b］内，其密度函数 f(x)在[a , b] 1 上为常数 b a ，即 1 aw xw b f (x) b a 其他， 0, 则称随机变量 X在［a , b］上服从均匀分布，记为 X~U(a, b)。 分布函数为 广 0, xb。 当aw X113

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指数分布 f（X） X {e，乂 , x 0 x 0 5 \\ 其中 0，则称随机变量X服从参数为 的指数分布。 X的分布函数为 广/ X F(x) j 1 e , x 0 x<0。 I 0, 记住积分公式： xne Xdx n! 0 正态分布 设随机变量X的密度函数为 A f(x)(x )2 厶 2 2 vr 其中 、 e , , 0为常数，则称随机变量 X服从参数为 2 x x 、 的止态分布或咼斯 （Gauss）分布，记为 X ~ N （，）。 f （ X）具有如下性x） 质： 1 ° f ( 的图形是 :关于X 时， 2 对称的； 2° 当X 1 f （ ） —为最大值； 若 X~N( F(x)- 厂e )x, 则玄的分布函数为 2 dt O。 参数 0、 1时的正态分布称为标准正态分布，记为 X ~ N（0,1）l其密度函数记为 (x) , X , / 分布函数为 1 X匸 \\(x)- ] 2 （X）是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。 ①（-X）= 1-①（x）且 TT e dt。 // 1 ①（0）=厂。 如果X ~ N(\\ ) 2 X 2 ，则 -------- N(0,1)。 X2 X1 P(X1 X X2) 。 14

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(6)分位 数 下分位表：P(X 上分位表：P(X (7)函数 分离散型 布 )=； )=。、 已知X的分布列为 \\ 、xn, /X / P(X X1, X2, Xi) P1, P2, , pn,' Y g(X)的分布列(y g(Xi)互不相等)如下： Y g(x1), g(X2), , g(xn),\\ ，若有某些g(xf相等,^^则应将对应的?pi相加作为g(Xi)的概率。 连续型 先利用X的概率密度fx(x)写出Y的分布函数FY(y) = P(g(X) < y)，再利用变上下限积分的求导公式求出 fY(y)。 \\ 15