几何压轴—圆的综合
1．如图，AB是⊙O的直径，BM切⊙O于点B，点P是⊙O上的一个动点（点P不与A，B两点重合），连接AP，过点O作OQ∥AP交BM于点Q，过点P作PE⊥AB于点C，交QO的延长线于点E，连接PQ，OP，AE． （1）求证：直线PQ为⊙O的切线； （2）若直径AB的长为4．
①当PE＝ 时，四边形BOPQ为正方形； ②当PE＝ 时，四边形AEOP为菱形．
2．已知AB是⊙O的直径，DA为⊙O的切线，切点为A，过⊙O上的点C作CD∥AB交AD于点D，连接BC、AC．
（1）如图①，若DC为⊙O的切线，切点为C，求∠ACD和∠DAC的大小．
（2）如图②，当CD为⊙O的割线且与⊙O交于点E时，连接AE，若∠EAD＝30°，求∠ACD和∠DAC的大小．
3．已知AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，点D为AB延长线一点，连接AC． （Ⅰ）如图①，OB＝BD，若DC与⊙O相切，求∠D和∠A的大小；
（Ⅱ）如图②，CD与⊙O交于点E，AF⊥CD于点F连接AE，若∠EAB＝18°，求∠FAC的大小．
4．AB＝AC，BC于点M、N，如图，在等腰三角形ABC中，以AC为直径的⊙O分别交AB、过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P． （1）求证：∠CAB＝2∠BCP； （2）若⊙O的直径为5，sin∠BCP＝
，求△ABC内切圆的半径；
（3）在（2）的条件下，求△ACP的周长．
5．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，延长BC到点D，使BD＝BA，P是BC边上一点．点Q在射线BA上，PQ＝BP，以点P为圆心，PD长为半径作⊙P，交AC于点E，连接PQ，设PC＝x．
（1）AB＝ ，CD＝ ，当点Q在⊙P上时，求x的值；
（2）x为何值时，⊙P与AB相切？ （3）当PC＝CD时，求阴影部分的面积；
（4）若⊙P与△ABC的三边有两个公共点，直接写出x的取值范围．
6．如图1，以AB为直径作⊙O，点C是直径AB上方半圆上的一点，连结AC，BC，过点C作∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作AB的平行线交CB的延长线于点E． （1）如图1，连结AD，求证：∠ADC＝∠DEC． （2）若⊙O的半径为5，求CA•CE的最大值．
（3）如图2，连结AE，设tan∠ABC＝x，tan∠AEC＝y， ①求y关于x的函数解析式； ②若
＝
，求y的值．
7．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，
＝
，CO的延长线交⊙O于点E，
交BD的延长线于点F，连接FA，且恰好FA∥CD，连接BE交CD于点P，延长BE交FA于点G，连接DE．
（1）求证：FA是⊙O的切线； （2）求证：点G是FA的中点；
（3）当⊙O的半径为6时，求tan∠FBE的值．
8．如图1，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P是斜边AC上一个动点，以BP为直径作⊙O交BC于点D，与AC的另一个交点为E（点E在点P右侧），连结DE、BE，已知AB＝3，BC＝6．
（1）求线段BE的长；
（2）如图2，若BP平分∠ABC，求∠BDE的正切值；
（3）是否存在点P，使得△BDE是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的CP的长；若不存在，请说明理由．
9．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点（不与点A、B重合），D是DE⊥AB于点E，过点C作半圆O的切线，交ED的延长线于点F． （1）求证：∠FCD＝∠ADE； （2）填空：
的中点，
①当∠FCD的度数为 时，四边形OADC是菱形； ②若AB＝2
，当CF∥AB时，DF的长为 ．
10．如图，在∠DAM内部做Rt△ABC，AB平分∠DAM，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，点N为BC的中点，动点E由A点出发，沿AB运动，速度为每秒5个单位，动点F由A点出发，沿AM运动，速度为每秒8个单位，当点E到达点B时，两点同时停止运动，过A、E、F作⊙O．
（1）判断△AEF的形状为 ，并判断AD与⊙O的位置关系为 ； （2）求t为何值时，EN与⊙O相切？求出此时⊙O的半径，并比较半径与劣弧的大小；
（3）直接写出△AEF的内心运动的路径长为 ；（注：当A、E、F重合时，内心就是A点）
（4）直接写出线段EN与⊙O有两个公共点时，t的取值范围为 ． （参考数据：sin37°＝
，tan37°＝
，tan74°≈
，sin74°≈
，cos74°≈
）
长度
参考答案
1．（1）证明：∵OQ∥AP，
∴∠EOC＝∠OAP，∠POQ＝∠APO， 又∵OP＝OA， ∴∠APO＝∠OAP，
又∵∠BOQ＝∠EOA＝∠OAP， ∴∠POQ＝∠BOQ， 在△BOQ与△POQ中，
，
∴△POQ≌△BOQ（SAS）， ∴∠OPQ＝∠OBQ＝90°， ∵点P在⊙O上， ∴PQ是⊙O的切线；
（2）解：①∵△POQ≌△BOQ， ∴∠OBQ＝∠OPQ＝90°，
当∠BOP＝90°，四边形OPQB为矩形，
而OB＝OP，则四边形OPQB为正方形，此时点C、点E与点O重合，PE＝PO＝＝2； ②∵PE⊥AB，
∴当OC＝AC，PC＝EC，四边形AEOP为菱形， ∵OC＝∴PC＝∴PE＝2PC＝2故答案为：2；2
OA＝1，
＝． ．
＝
，
AB
2．解：（1）∵AB是⊙O的直径，DA为⊙O的切线，切点为A， ∴DA⊥AB， ∴∠DAB＝90°，
∵DC为⊙O的切线，切点为C， ∴DC＝DA， ∵CD∥AB，
∴∠D+∠DAB＝180°， ∴∠D＝90°，
∴∠ACD＝∠DAC＝45°；
（2）∵AB是⊙O的直径，DA为⊙O的切线，切点为A， ∴DA⊥AB， ∴∠DAB＝90°， ∠DEA＝∠EAB， ∴∠ADC＝90°， ∵∠EAD＝30°， ∴∠DEA＝60°， ∴∠EAB＝60°， ∴∠BCE＝120°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠BCA＝90°， ∴∠ACD＝30°， ∴∠DAC＝60°．
3．解：（Ⅰ）如图①，连接OC，BC，
∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵DC与⊙O相切， ∴∠OCD＝90°，
∵OB＝BD， ∴BC＝
OD＝OB＝BD，
∴BC＝OB＝OC， ∴△OBC是等边三角形，
∴∠OBC＝∠OCB＝∠COB＝60°， ∴∠BCD＝∠OCA＝30°， ∴∠D＝∠A＝30°； （Ⅱ）如图②，连接BE，
∵AB为⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∵AF⊥CD， ∴∠AFC＝90°，
∵∠ACF是圆内接四边形ACEB的外角， ∴∠ACF＝∠ABE， ∴∠FAC＝∠EAB＝18°， 答：∠FAC的大小为18°． 4．解：（1）如图，连接AN，
∵AC为直径，
∴AN⊥BC， ∵AB＝AC， ∴AN平分∠BAC， ∵PC是圆的切线， ∴∠ACP＝90°，
∵∠NAC+∠ACB＝∠PCB+∠ACB＝90°， ∴∠NAC＝∠BCP， 即∠BAC＝2∠BCP；
（2）由（1）知，AN平分∠BAC，则∠NAC＝∠BCP， 故sin∠NAC＝sin∠BCP＝在Rt△NAC中，AC＝5， NC＝AC•sin∠NAC＝5×则BC＝2NC＝2S△ABC＝
；
2
×2
＝10，
＝
，同理AN＝2
，
，则tan∠NAC＝
，
×BC•AN＝
设△ABC内切圆的半径为r， 则S△ABC＝解得：r＝
（AB+AC+BC）•r＝
；
；
×（5+5+2
）•r＝10，
故△ABC内切圆的半径为
（3）在△ABC中，设AC边长的高为h， 则S△ABC＝sin∠BAC＝
AC•h＝＝
，
×5×h＝10，解得：h＝4，
在Rt△ACP中， ∵sin∠BAC＝
＝
，
设PC＝4m，则AP＝5m，
则AC＝3m＝5，解得m＝，
△ACP的周长＝3m+4m+5m＝12m＝20．
5．解：（1）∵△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB＝5， ∵BD＝BA， ∴BD＝5， ∴CD＝1． 故答案为：5，1；
当点Q在⊙P上时，如图1，
PQ＝PD． ∴BP＝PD， 即4﹣x＝x+1． 解得x＝
．
（2）作PF⊥AB于点F，当PF＝PD时，⊙P与AB相切，如图2，
则PF＝PD＝x+1，sinB＝∴
＝
．
＝，
解得x＝．
是分式方程的解，且满足题意．
经检验，x＝∴x＝
时，⊙P与AB相切．
（3）如图3，连接PE，
∵Rt△PEC中，PC＝CD＝1，PE＝PD＝1+1＝2， ∴∠EPC＝60°，EC＝
．
∴S阴影＝S扇形PDE﹣S△PCE ＝＝
﹣
﹣．
时，⊙P与△ABC的三边有两个公共点；由图1可知，当
×1×
（4）由图2可知，当0≤x＜
＜x＜4时，⊙P与△ABC的三边有两个公共点． ∴x的取值范围为：0≤x＜6．（1）证明：∵AB∥DE， ∴∠ABC＝∠E， ∵∠ADC＝∠ABC， ∴∠ADC＝∠E；
（2）解：∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠DCE， 又∠ADC＝∠E， ∴△ADC∽△DEC，
或
＜x＜4．
∴，
即CD2＝CA•CE， 又∵⊙O的半径为5， ∴CA•CE＝CD2≤102＝100． 即CA•CE的最大值为100． （3）解：①连接AD，
∵△ADC∽△DEC，∴y＝tan∠AEC＝
，
，
过点D作DF⊥CE，不妨设EF＝a， ∵∠CED＝∠CBA，∠DCE＝45°， ∴CF＝DF＝ax， ∴CD＝∴y＝
ax， ＝
．
②∵∴∴
，
，
＝9：4，
即x：y＝9：4， 将y＝
x代入y＝
得，
，
解得，x1＝2，x2＝当x＝2时，y＝
，
，
当x＝时，y＝，
∴y＝或．
＝
，
7．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，∴AB⊥CD， 又∵FA∥CD， ∴FA⊥AB， ∵OA过O， ∴FA是⊙O的切线；
（2）证明：连接AE，
∵AB是⊙O的直径， ∴AE⊥BG， 又∵FA⊥AB， ∴∠GEA＝∠BAG， 又∵∠BGA＝∠EGA， ∴△GAB∽△GEA， ∴
＝
，
EG， ∴GA2＝GB×∵FA∥CD， ∴∠C＝∠EFG，
又∵∠C＝∠FBE， ∴∠EFG＝∠FBE， 又∵∠FGE＝∠BGF， ∴△FEG∽△BFG， ∴
＝
，
GE， ∴GF2＝GB×∴GF＝GA， ∴G为AF的中点；
（3）解：∵FA∥CD， ∴
＝
＝
，
又∵GF＝GA， ∴DP＝HP，
又∵CE是⊙O的直径，D在圆上， ∴CD⊥DE，
又∵AB⊥CD于点H，EO＝OC， ∴点H是CD的中点，AB∥DE， 又∵DP＝HP， ∴DE＝BH，
又∵点O是CE中点，点H是CD的中点， ∴OH＝
DE＝
BH，
又∵⊙O的半径为6， ∴OH＝2，CH＝∴tan∠FBE＝tanC＝
＝
＝＝
＝4．
，
8．解：（1）∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝6， ∴AC＝
＝
＝3
，
∵BP为⊙O的直径， ∴∠BEP＝90°，
∴BE⊥AC， ∵S△ABC＝∴BE＝
；
×AB×AC，
（2）∵BP平分∠ABC， ∴∠DBP＝
∠ABC＝45°，
连接DP，如图1，
∵BP为⊙O的直径， ∴∠DBP＝∠DPB＝45°， ∴可设DP＝BD＝x， ∵∠CDP＝∠ABC＝90°∴PD∥AB， ∴△CPD∽△CAB， ∴
＝2，
∴CD＝2x， ∴CB＝3x＝6， ∴x＝2，
∴DP＝BD＝2，CD＝4， ∴CP＝∴CE＝
＝＝
＝2
， ＝
，
∴tan∠BDE＝tan∠BPE＝＝＝3．
（3）解：存在这样的点P．
由△DCP∽△BCA，得，∴CP＝
CD，
，
若△BDE是等腰三角形，可分三种情况： ①当BD＝BE时，BD＝BE＝∴CD＝BC﹣BD＝6﹣∴CP＝
， ＝3
﹣3． ，
②当BD＝DE时，此时点D是Rt△CBE斜边的中点， ∴CD＝∴CP＝
BC＝3， ；
③当DE＝BE时，作EH⊥BC于点H，则H是BD的中点，
∵∠ABC＝∠EHC＝90°， ∴EH∥AB， ∴
，
﹣＝
＝．
﹣3或
或
．
，
，
＝
，
又∵AE＝AC﹣CE＝3∴BH＝DH＝∴CD＝6﹣∴CP＝
综上所述，△BDE是等腰三角形，符合条件的CP的长为39．（1）证明：连接OC、AC．如图1所示： ∵D是∴
＝
的中点， ，
∴DA＝DC， ∴∠DAC＝∠DCA． ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA．
∴∠DAC+∠OAC＝∠DCA+∠OCA， 即∠OAD＝∠OCD． ∵CF是半圆O的切线， ∴CF⊥OC，
∴∠FCD+∠OCD＝90°， ∵DE⊥AB，
∴∠ADE+∠OAD＝90°， ∴∠FCD＝∠ADE．
（2）解：①当∠FCD的度数为30°时，四边形OADC是菱形；理由如下： 连接OD，如图2所示： ∵∠FCD＝30°， ∴∠ADE＝30°， ∵DE⊥AB， ∴∠OAD＝60°， ∵OA＝OD，
∴△OAD是等边三角形， ∴AD＝OA，∠AOD＝60°， ∵D是∴
＝
的中点， ，
∴∠AOD＝∠COD＝60°， ∵OC＝OD，
∴△COD是等边三角形， ∴CD＝OD＝OC， ∴OA＝AD＝CD＝OC， ∴四边形OADC是菱形； 故答案为：30°；
②连接OD，如图3所示： ∵AB＝2
，
，
∴OA＝OD＝
∵CF∥AB，DE⊥AB， ∴CF⊥EF，
∴∠CFD＝90°＝∠DEA， 在△ADE和△DCF中，∴△ADE≌△DCF（AAS）， ∴AE＝DF，DE＝CF， ∵CF半圆O的切线， ∴CF⊥OC，
∴四边形OCFE是矩形， ∴CF＝OE， ∴DE＝OE，
∴△ODE是等腰直角三角形， ∴OE＝
OD＝1，
﹣1；
，
∴DF＝AE＝OA﹣OE＝故答案为：
﹣1．
10．解：（1）过点E作EH⊥AF于H，连接OA、OE、OH，如图1所示： ∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8， ∴BC＝
＝
＝6，
设运动时间为t，则AE＝5t，AF＝8t， ∵∠AHE＝∠ACB＝90°，∠EAH＝∠BAC， ∴△EAH∽△BAC， ∴
＝
，即：
＝
，
∴AH＝4t，
∴FH＝AF﹣AH＝8t﹣4t＝4t， ∴AH＝FH， ∵EH⊥AF，
∴△AEF是等腰三角形， ∴E为
的中点，∠EAF＝∠EFA，
∵AH＝FH， ∴OH⊥AC，
∴E、H、O三点共线， ∴∠OAF+∠AOE＝90°， ∵AB平分∠DAM， ∴∠DAE＝∠EAF＝∠EFA， ∵∠AOE＝2∠EFA，
∴∠AOE＝∠DAE+∠EAF＝∠DAF，
∴∠DAF+∠OAF＝90°＝∠DAO，即OA⊥AD， ∵OA为⊙O的半径， ∴AD与⊙O相切；
故答案为：等腰三角形，相切；
（2）连接OA、OF、OE，OE于AC交于H，如图2所示： 由（1）知：EH⊥AC， ∵EN与⊙O相切， ∴∠OEN＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴四边形EHCN为矩形， ∴EH＝NC， 在Rt△AHE中，EH＝∴NC＝3t，
∵点N为BC的中点， ∴BC＝2NC＝6t， ∵BC＝6， ∴6t＝6， ∴t＝1，
∴AH＝4，EH＝3，
设⊙O的半径为x，则OH＝x﹣3，
在Rt△AOH中，由勾股定理得：OA2＝OH2+AH2，即x2＝（x﹣3）2+42， 解得：x＝
，
，
＝
＝3t，
∴⊙O的半径为∴OH＝
，
∴tan∠AOH＝＝，
∴∠AOH＝74°，
∵∠AOH＝60°时，△AOE是等边三角形，AE＝OA，74°＞60°， ∴AE＞OA， ∴劣弧
长度的大于半径；
5＝2， （3）当点E运动到B点时，t＝10÷
8＝16，AE＝EF＝AB＝10， ∴AF＝2×
此时△AEF的内心记为G，当A、E、F重合时，内心为A点， ∴△AEF的内心运动的路径长为AG，
作GP⊥AE于P，GQ⊥EF于Q，连接AG、GF，则CG＝PG＝NQ，如图3所示： S△AEF＝
AF•BC＝
×16×6＝48，
设CG＝PG＝NQ＝a，
则S△AEF＝S△AGF+S△AEB+S△FEG＝48， 解得：a＝
，
）2＝AG，
AF•CG+
AE•PG+
EF•GQ＝
×（16+10+10）a＝
在Rt△AGC中，AC2+CG2＝AG2，即82+（∴AG＝故答案为：
，
；
（4）分别讨论两种极限位置，
①当EN与⊙O相切时，由（2）知，t＝1； ②当N在⊙O上，即ON为⊙O的半径，
连接OA、ON、OE，OE交AC于H，过点O作OK⊥BC于K，如图4所示： 则四边形OKCH为矩形，OA＝OE＝ON， ∴OH＝CK，AH＝4t，EH＝3t， 设⊙O的半径为x，
则在Rt△AOH中，AH2+OH2＝OA2，即（4t）2+（x﹣3t）2＝x2， 解得：x＝∴OH＝CK＝
t， t﹣3t＝
t，
t）2＝（
t）2，
在Rt△OKN中，OK2+KN2＝ON2，即（8﹣4t）2+（3+解得：t＝
，
∴线段EN与⊙O有两个公共点时，t的取值范围为：1＜t≤，
故答案为：1＜t≤．
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