5河南专升本高数真题及答案

高等数学 试卷

题号 分数

得分 评卷人 一 二 三 四 五 六 总分 核分人 一、单项选择题（每小题2分，共计60分）

在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题 干后面的括号内。不选、错选或多选者，该题无分。 ln(x1)1。函数y的定义域为为 ( ）

5xA。x1 B.x5C。1x5D. 1x5

x10解:1x5C.

5x02。下列函数中，图形关于y轴对称的是 （ ）

A．yxcosx B. yx3x1

2x2x2x2x C. y D。y

222x2x解：图形关于y轴对称，就是考察函数是否为偶函数,显然函数y为

2偶函数，应选D.

3. 当x0时，与ex1等价的无穷小量是 （ ) A。 xB。x2 C。2x D. 2x2

解： ex1~xex1~x2,应选B。

2224.lim1 （ ） nnA。 e B。e2 C。e3 D.e4

解：lim1n2nn1n1lim1n2nn2(n1)2nlim1n2nn2nlim2(n1)ne2,应选B。

5.设

11x,x0f(x)在x0处连续,则 常数a xa,x0（ ）

1 / 12

11A。 1 B。—1 C。 D。

2211xx11解:limf(x)limlimlim，应选C.

x0x0x0xx(11x)x0(11x)2f(12h)f(1)16.设函数f(x)在点x1处可导,且lim，则f(1)

h0h2（ )

111 A. 1 B. C。 D.

244f(12h)f(1)f(12h)f(1)11解:lim2lim2f(1)f(1)，

h02h0h2h24应选D。

dx7.由方程xyexy确定的隐函数x(y)的导数为

dy（ ）

x(y1)y(x1)y(1x)x(y1)A。 B. C. D。

y(1x)x(1y)x(y1)y(x1)解：对方程xyexy两边微分得xdyydxexy(dxdy)，

即(yexy)dx(exyx)dy， (yxy)dx(xyx)dy，

所以

dxx(y1),应选A。 dyy(1x)8。设函数f(x)具有任意阶导数，且f(x)[f(x)]2，则f(n)(x) （ ） A。 n[f(x)]n1 B。 n![f(x)]n1

C。 (n1)[f(x)]n1D。 (n1)![f(x)]n1

[f(x)]4, 解：f(x)2f(x)f(x)2[f(x)]3f(x)23f2(x)f(x)3！f(n)(x)n![f(x)]n1，应选B.

9。下列函数在给定的区间上满足罗尔定理的条件是 ( ） A。f(x)1x2,[1,1] B。f(x)xex,[1,1]

1C。f(x),[1,1] D．f(x)|x|,[1,1] 21x解：由罗尔中值定理条件：连续、可导及端点的函数值相等来确定,只有f(x)1x2,[1,1]满足,应选A.

1

10。设f(x)(x1)(2x1),x(,)，则在(,1)内,f(x)单调 （ ）

2

A。增加,曲线yf(x)为凹的 B。减少,曲线yf(x)为凹的 C。增加,曲线yf(x)为凸的 D。减少,曲线yf(x)为凸的

1解： 在(,1)内,显然有f(x)(x1)(2x1)0,而f(x)4x10，故函

21

数f(x)在(,1)内单调减少，且曲线yf(x)为凹的,应选B。

2

2 / 12

ye11.曲线

（ ）

A. 只有垂直渐近线 B。 只有水平渐近线

C. 既有垂直渐近线，又有水平渐近线， D。 无水平、垂直渐近线 解：limy1y1;limyx0，应选C。

xx01x

12.设参数方程为（ )

xacostybsint，则二阶导数

d2y 2dxbbB。 asin2ta2sin3tbbC。D。 222acostasintcostdyytbcostd2ybcostbcostdt解：2

dxxtasintasintasintdxxtdxb1b,应选B。 asin2tasinta2sin3tA.

13.若f(x)edxeC，则f(x) （ ）

A。 1x1x1111 B。2 C。 D。2 xxxx1111 解：两边对x求导 f(x)exex(2)f(x)2，应选B。

xx14. 若f(x)dxF(x)C ，则cosxf(sinx)dx

（ ）

A.F(sinx)C B。F(sinx)C C。F(cosx)C D.F(cosx)C 解：cosxf(sinx)dxf(sinx)d(sinx)F(sinx)C,应选A。

15。下列广义积分发散的是 （ ）

1lnx11dxC。A。dxB。dxD.exdx 20001xex1x21111dxarcsinx解：。。 dxarctanx000201x2221x16

elnx1dx(lnx)2x2e。0exdxex01,应选C。

。

11x|x|dx

（ ）

242A。0 B。C.D。

333解：被积函数x|x|在积分区间[-1，1］上是奇函数,应选A。

3 / 12

17。设f(x)在[a,a]上连续，则定积分

aaf(x)dx

（ ）

A.0 B.2f(x)dx C.f(x)dx D。f(x)dx

0aaaaa解：f(x)dxaatuaaf(u)d(u)f(u)duf(x)dx，应选D。

aaaa18。设f(x)的一个原函数是sinx，则f(x)sinxdx （ )

1111A。xsin2xC B.xsin2xC

222411C。sin2x D。sin2xC

22解：(sinx)f(x)f(x)cosxf(x)sinx

1cos2x112f(x)sinxdxsinxdxdxxsin2xC，应选B. 22419.设函数f(x)在区间[a,b]上连续,则不正确的是 ( ）

A。f(x)dx是f(x)的一个原函数 B。f(t)dt是f(x)的一个原函数

aabxC。f(t)dt是f(x)的一个原函数 D.f(x)在[a,b]上可积

xa解：baf(x)dx是常数，它的导数为零,而不是f(x)，即f(x)dx不是f(x)的

ab原函数 ，应选A.

20。直线

x3yz2与平面xyz10的关系是 112（ )

A。 垂直 B.相交但不垂直 C。 直线在平面上 D. 平行

解：s{1,1,2},n{1,1,1)sn ，另一方面点(3,0,2)不在平面内，所以应为平行关系，应选D..

zz21。函数zf(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数和存在是它在该点处

xy可微的 ( ）

A.充分条件 B。必要条件 C。充要条件 D.无关条件

解:两个偏导数存在,不一定可微,但可微一定有偏导数存在,因此为必要条件，应选B.

2x22。设zln ，则dz(1,2) （ )

yy1111A。dx B。dxdy C。dxdy D。dxdy

2x222212x11解：zlnln2xlnydzdxdydz(1,2)dxdy,应选C.

yxy223。函数f(x,y)x2xyy2xy1的极小值点是 （ )

4 / 12

A.(1,1) B.(1,1) C。(1,1) D。(1,1)

z2xy10x解：(x,y)(1,1)，应选B.

zx2y10y24。二次积分dxf(x,y)dy写成另一种次序的积分是 （ ）

002x2A。dy04042y2f(x,y)dx B。 0dy04024yf(x,y)dx f(x,y)dx

C。dy2f(x,y)dx D。 dyxy解：积分区

D{(x,y)|0x2,0yx2}{(x,y)|0y4,yx2}，应选A.

域

25.设D是由上半圆周y2axx2和x轴所围成的闭区域，则

f(x,y)d（)

DA。dC.d020202a0f(rcos,rsin)rdr B。df(rcos,rsin)dr

02acosf(rcos,rsin)rdr D。d20202a2acos0f(rcos,rsin)dr

π,0r2acosθ}，2解：积分区域在极坐标下可表示为：D{(r,θ)|0θ从而f(x,y)dD20d2acos0f(rcos,rsin)rdr，应选C。

L26.设L为抛物线yx2上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧,2xydxx2dy（） A。 —1 B。1 C. 2 D. —1

xx解：L:,x从0变到1 ， 2yxL2xydxx2dy2x3dx2x3dx4x3dxx40011101，应选B.

27。

（ ）

下

n列级数中，条件收敛的是

n1A．(1) B．(1)n

23n1n1n1n(1)nn1C．(1)2 D． n(n1)nn1n1n(1)n1n1 解:(1)发散， (1)2和绝对收敛，(1)n3n1nn1n(n1)n1n1n1n2211是收敛的,但是p的级数发散的，从而级数(1)n条件收敛，

22333n1n1nnn应选B.

28

。 下列命

5 / 12

题正确的是

（ ）

A．若级数un与vn收敛，则级数(unvn)2收敛

n1n1n1

22vn)收敛 B．若级数un与vn收敛，则级数(unn1n1n1C．若正项级数un与vn收敛，则级数(unvn)2收敛

n1n1n1D．若级数unvn收敛，则级数un与vn都收敛

n1n1n12解：正项级数un与vn收敛u与vn收敛，

2nn1n12nn1n1而(unvn)2(uv),所以级数(unvn)2收敛 ，应选C.

22nn1 29。 微分方程(x2y)y2xy( ）

A。 x2y2C B。xyC

C。yx1 D.x2xyy2C2

的通解为

解：注意对所给的方程两边求导进行验证，可得通解应为x2xyy2C2，应选D。

d2x230。微分方程的通解是 βx02dt( ）

A. xC1cosβtC2sinβt B。 xC1eβtC2eβt

C.xcosβtsinβt D.xeβteβt

解:微分方程的特征方程为λ2β20,有两个复特征根λβi，所以方程的通解为xC1cosβtC2sinβt,应选A。 得评卷人 二、填空题（每小题2分，共30分）

分 1。设f(x1)x22 ,则f(x2)_________。

解：f(x1)(x1)22(x1)3f(x)x22x3

f(x2)x26x11。

x2ax65，则a_____________。 2。limx2x2解：因lim(x2)0lim(x2ax6)0a1。

x2x2π 3。设函数yarctanx在点(1,)处的切线方程是__________。

46 / 12

解：kyx1即x2y11x11x2x11π1，则切线方程为y(x1)， 242π0。 2lnxxx14。设yxex,则dy___________。

lnx1lnxdyed(x)xxex[1]dx 。 解：yexx25.函数y2x2lnx的单调递增区间是 __________.

lnxxx111114x0解：y4xx(,) 或[,)。 x22x2x06。曲线ye解：yexx的拐点是_________.

12xyx30ex(x1)4xx0x1,得拐点为(1,e).

7。设f(x)连续,且f(t)dtx，则f(27)_________。 解：等式f(t)dtx两边求导有f(x3)3x21,取x3有f(27)0x31。 278。设f(0)1,f(2)2,f(2)3，则 xf(2x)dx__________。

01解：xf(2x)dx01111111xdf(2x)xf(2x)f(2x)d2x 0002241111151f(2)f(2x)0f(2)f(2)f(0)。 2424449.函数ytetdt的极小值是_________。

0x解:yxex0x0f(0)0。

1sinx10。dx ________。

xcosx1sinxd(xcosx)解：dxln|xcosx|C。

xcosxxcosx11。由向量a{1,0,1},b{0,1,2}为邻边构成的平行四边形的面积为______.

ijk解： ab101i2jkS|ab|6 。

0112。设

2xzzz_________。 ln ，则 xyzyxzx解:令Flnlnzlny ,则

zyz7 / 12

Fx11x1xz,Fy,Fz22. zyzzzFyFxzzzz2zzz(yz) ,所以 。 ;xyy(xz)xFzxzyFzy(xz)13。设D是由y1x2,yx,y0，所围成的第一象限部分,则

y2()dxdy xD=_______。

解:积分区域在极坐标系下表示为D{(r,θ)|0θπ2ππ,0r1}，则 41sinθ1y24dθ4(sec2θ1)dθrdr ()dxdyrdr00cosθ00xDπ1411π22(secθ1)dθ(tanθθ)4。

020228π

3展开为x的幂级数是_________。

2xx23311111解:f(x)， 2x(1x)(2x)1x2x1x22xx121xn1n所以f(x)(x)()(1)nn1xn,(1x1).

2n022n0n015.用待定系数法求方程y4y4y(2x1)e2x的特解时，特解应设为__________。

解：2是特征方程λ24λ40的二重根，且(2x1)是一次多项式，特解应设为

x2(AxB)e2x. 三、计算题（每小题5分，共40分） 得评卷人 分 x21．lim.

x01xsinxcosx14。将f(x)x2(1xsinxcosx)解:lim limx0x01xsinxcosx1xsinxcosxx2limlim(1xsinxcosx) x01xsinxcosxx02limx2x2lim

x01xsinxcosxx02sinxxcosx200x28 / 12

1144。

x03cosxxsinx33dy3x22,f(x)arctanx2。已知y,求。 dxx05x23x2解：令u，则yf(u) ，

5x22dydydu3x23x216f(u), arctan2dxdudx5x25x2(5x2)dy16πarctan124π. 所以

dxx0424lim3。求不定积分 解:00x31x2dx。 xdxx2d1x2

x31x2dxx21x23x21x21x2d(x2)x21x21x2d(1x2) 2x1x(1x2)2C.

3ln(1x),x024。设f(x)1 ,求f(x1)dx。

0,x02x22 解：令x1t ，则f(x1)dxf(t)dt

012111f(t)dtf(t)dtdtln(1t)dt 1012t01t01ln(2t)1tln(1t)0dt

01t11ln2ln2(1)dt

01t112ln2t0ln(1t)03ln21。 0105.设zf(exsiny,x2y2) ，其中f(u,v)可微，求

zz,. xy解：令exsinyu,x2y2v，则zf(u,v)，复合关系结构如图05—1所

y 示，

zzuzvu x  xuxvxy exsinyfu(u,v)2xfv(u,v)，

z vzzuzvx

yuyvy图05-1

xecosyfu(u,v)2yfv(u,v).

9 / 12

x26．求2dxdy，其中D是由xy1,yx及x2所围成的闭区域.

Dy解:积分区域如图05—2所示,曲线xy1,yx在第一象限内的交点为（1,1）,

1积分区域可表示为：1x2,yx.

x 则D2xx2x12dxdydxdyx()dx 12211y1yxyx22xy 1y xyx

2121xxdx(x3x)dx

1x2O 1 x4x29。 42412x

x2 (1)2n1x的收敛域（考虑区间端点)。 2n1n0解： 这是缺项的规范的幂级数,

un1(1)n1x2n32n12n122因为 ρlim， limxlimxn2n1nunn2n32n3(1)xn7．求幂级数n图05-2

当ρ1,即1x1时,幂级数绝对收敛； 当ρ1，即x1或x1时，幂级数发散; 当ρ1，即x1时,

(1)n若x1时,幂级数化为是交错级数，满足来布尼兹定理的条件，

n02n1(1)n1是收敛的，若x1时,幂级数化为也是交错级数，也满足来布尼兹定

n02n1理的条件,是收敛的.

故幂级数的收敛域为[—1,1]。

8．求微分方程 (x21)y2xycosx0通解。

2xcosx解：微分方程可化为 y2，这是一阶线性非齐次微分方程，y2x1x12xC它对应的齐次线性微分方程y2。 y0的通解为y2x1x1C(x)2xC(x)C(x)设非齐次线性微分方程的通解为y2，则y2，代入x1(x21)2x1方程得C(x)cosx，所以C(x)sinxC.

sinxC故原微分方程的通解为y（C为任意常数）。

x21 四、应用题（每小题7分，共计14分） 得评卷人 分 1。 一房地产公司有50套公寓要出租,当月租金定为2000

10 / 12

元时，公寓会全部租出去，当月租金每增加100元时,就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花费200元的维修费.试问租金定为多少可获得最大收入？最大收入是多少？

解：设每套公寓租金为x元时，所获收入为y元，

x2000则 y[50](x200),(x2000),

1001整理得 y(x27200x1400000),

1001y(2x7200)均有意义，

1001令y0得唯一可能的极值点x3600，而此时y0，所以x360050是使y达到极大值的点，即为最大值的点。

36002000最大收入为y[50](3600200)343400115600（元).

100故 租金定为每套3600元时，获得的收入最大，最大收入为115600元.

1

2.平面图形由抛物线y22x与该曲线在点(,1)处法线所围成,试求：

2

（1）该平面图形的面积。

（2)该平面图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积.

1解：平面图形如图05—3所示，切点A(,1)处的切线斜率为kyx1，

221由y22x得y，故A点处的切线斜率

yy kyx1yy11,

y22x 21从而A点处的法线斜率为—1，

1 A(,1) 23法线方程为xy0。 3x 2C(,0) O 2y22x9B(,3) 9-3 2联立方程组得另一交点B(,3). 33xy0 2xy022图05-3

(1) 把该平面图形看作Y型区域，其面积为

3y23y2y316S(y)dy(y)。

32226332（2） 根据抛物线的对称性知,该平面图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积等于平面图形OBC绕x轴旋转所成旋转体的体积，有

113故 Vxπ2xdxπ(x)2dxπx292092329220931π(xx2x3)

3423292π[得81459]π. 44评卷人 11 / 12

分 五、证明题（6分）

11x1 试证：当x0 时，有ln.

1xxx证明:构造函数f(x)lnx，它在(0，)内连续, 当x0时，函数在区间[x,1x]上连续，且f(x)1。 x故f(x)在[x,1x]上满足Lagrange中值定理,存在ξ(x,x1), 使得f(1x)f(x)f(ξ),(xξx1)。 而

11111ln(1x)lnx， f(ξ)，故有

1xξx1xx即x0时，

11x1ln成立. 1xxx

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