2017年高考理科数学(全国卷1)试题与答案(word版)

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的。

1．已知集合A={x|x<1}，B={x|3x1}，则（ ）

A．AB{x|x0} B．ABR

C．AB{x|x1} D．AB

2．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图. 正方形内切圆 中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称. 在正方形内 随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）

A．

1 4 B．

3．设有下面四个命题

π1C．

8 2 D．

π 41p1：若复数z满足R，则zR； p2：若复数z满足z2R，则zR；

zp3：若复数z1,z2满足z1z2R，则z1z2； p4：若复数zR，则zR.

其中的真命题为（ ） A．p1,p3 B．p1,p4

C．p2,p3

D．p2,p4

4．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4a524，S648，则{an}的公差为（ ）

A．1

B．2

C．4

D．8

5．函数f(x)在(,)单调递减，且为奇函数．若f(1)1，则满足1f(x2)1的x的取值范围是

A．[2,2] B．[1,1] C．[0,4] D．[1,3] 6．(11)(1x)6展开式中x2的系数为（ ） 2x

B．20

C．30

D．35

A．15

7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和 等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三 角形该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和 为（ ） A．10 B．12 C．14 D．16

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8．右面程序框图是为了求出满足3n－2n>1000的最小偶数n，那么 在和两个空白框中，可以分别填入（ ） A．A>1 000和n=n+1 B．A>1 000和n=n+2 C．A1 000和n=n+1 D．A1 000和n=n+2

9．已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+

2π)， 3则下面结论正确的是（ ）

A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，

再把得到的曲线向右平移

π个单位长度，得到曲线C2 6π个单位长12B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移度，得到曲线C2

C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的度，得到曲线C2

D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的度，得到曲线C2

1π倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长261π倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长212

10．已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两

点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为 A．16 B．14 C．12 D．10

11．设x、y、z为正数，且2x3y5z，则（ ）

A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z

12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件. 为激发大家学习数学的兴趣，他们推出

了“解数学题获取软件激活码”的活动. 这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推. 求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂. 那么该款软件的激活码是（ ） A．440 B．330 C．220 D．110

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2b |= ___ .

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x2y114．设x，y满足约束条件2xy1，则z3x2y的最小值为 ____ .

xy0

x2y215．已知双曲线C：221（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与

ab双曲线C的一条渐近线交于M、N两点. 若∠MAN=60°，则C的离心率为________.

16．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形

ABC的中心为O. D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB 分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形. 沿虚线剪开后，分别以 BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重 合，得到三棱锥. 当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积 （单位：cm3）的最大值为_______.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试

题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

a217．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为 .

3sinA（1）求sinBsinC;

（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长.

18.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且BAPCDP90.

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC，APD90，

求二面角A-PB-C的余弦值.

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19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个

零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(,2)． （1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)之外的零件数，求P(X1)及X的数学期望；

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；

（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95

11611611622xi9.97，s经计算得x(xix)(xi16x2)20.212，其中xi为抽16i116i116i1取的第i个零件的尺寸，i1,2,,16．

ˆ，用样本标准差s作为的估计值ˆ，利用估计值判断是否需用样本平均数x作为的估计值ˆ3ˆ,ˆ3ˆ)之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到对当天的生产过程进行检查？剔除(0.01）．

附：若随机变量Z服从正态分布N(,2)，则P(3Z3)0.997 4，

0.997 4160.959 2，0.0080.09．

3x2y220.（12分）已知椭圆C：22=1（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），

2ab3P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.

2（1）求C的方程；

（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，

证明：l过定点.

21.（12分）已知函数f(x)＝ae2x+(a﹣2) ex﹣x. （1）讨论f(x)的单调性；

（2）若f(x)有两个零点，求a的取值范围.

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（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）

x3cos,在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为

ysin,xa4（ty1tt为参数）. （1）若a=−1，求C与l的交点坐标；

（2）若C上的点到l的距离的最大值为17，求a.

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知函数f（x）＝－x2+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│. （1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；

（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值范围.

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答案及解析

一、选择题：ABBCD CBDDA DA

二、填空题： 13. 23 14. 5 15.

17、 【解析】

23 16. 415 31a21a

（1）S△ABC＝2absin C＝3sin A，得 2bsin C＝3sin A

112

由正弦定理，得 sin B·sin C＝， 解得sin B·sin C＝.

233

1211π

（2）由题知cos(B＋C)＝cos B·cos C－sin B·sin C＝－＝－，即cos A＝，A＝.

63223

bca323 b23sinB, c23sinC sinBsinCsinA322则有bc23sinB23sinC12sinBsinC128

3由余弦定理，得9a2b2c2bc ，解得bc33

由正弦定理，

∴△ABC的周长为333 18、【解析】

（1）由∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，CD⊥PD. ∵AB//CD，∴AB⊥PD， 又AP∩PD＝P，∴AB⊥平面PAD， ∴平面PAB⊥平面PAD.

（2）记AD的中点为O，连接PO，则有PO⊥AD，

∵AB⊥平面PAD， ∴OP⊥AB， 又AD∩AB＝A，∴OP⊥平面ABCD.

以O为原点，分别以OA、DC、OP方向为x轴、y轴、 z轴建立如右图所示的空间直角坐标系. 不妨假设OA＝1， 于是有A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(－1，2，0)， D(－1，0，0)，P(0，0，1).

∴PA(1,0,1)，AB(0,2,0)， 设n1(x,y,z)是平面PAB的一个法向量

xznPAxz0 ∴1， 得，令x＝1，得n1(1,0,1)

y0n1AB2y0 同理可求得n2(0,1,2)是平面PBC的一个法向量. ∴cosn1,n2n1n223 3|n1||n2|233. 3- 6 -

由于二面角A-PB-C是钝二面角，则二面角A-PB-C的余弦值为

19、【解析】

（1）由题意知，X~B(16，0.0026)，

∴P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997416＝1－0.9592＝0.0408， X的数学期望E(X)＝16×0.0026＝0.0416.

（2）（i）由（1）知，出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率为0.0408，如果如此小的概率

在一次试验中发生了，有理由相信出现异常情况.

（ii）3=9.970.636=9.334，3=9.970.636=10.606，剔除9.22，

剔除后，9.97169.221610.02，x22215i0.2121616x1591.13，

i11591.139.2221510.022150.09.

20、【解析】

（1）由椭圆的对称性可知，P2，P3，P4在椭圆C上.

把P2(0，1)代入C，得

1b2=1，即b2

＝1，把P4(1，3132)代入C，得a24=1，即a2＝4. ∴ 椭圆C的方程为x24y21.

（2）设直线l的方程为y＝kx＋n（n≠1），A(x1，y1)，B(x2，y2).

联立x24y24， 得(14k2)x28knx4n240

ykxn4n2由韦达定理，得x8kn41x214k2，x1x214k2 ky11y1kx1n1kx2n1P2AkP2Bx2xx1，即(2k1)x1x2(n1)(x1x2)012x12 (2k1)4n2414k2(n1)8kn14k20，即(2k1)(n1)(n1)2kn(n1)0

由于n≠1，n－1≠0，得(2k1)(n1)2kn0，解得n2k1

∴直线l的方程为ykx2k1，即y1k(x2)，∴l过定点(2，－1).

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21、【解析】

（1） 由题知，f(x)的定义域为R，

f'(x)2ae2x(a2)ex1(aex1)(2ex1)，其中2ex1＞0恒成立.

若a≤0，则aex1＜0恒成立，f'(x)＜0，则f(x)在R上单调减； 若a＞0，令aex1＞0，解得x＞lna；令aex1＜0，解得x＜lna. 即当x＜lna时，f'(x)＜0；当x＞lna时，f'(x)＞0. ∴ f(x)在(,lna)上单调减，在(lna，)上单调增.

（2）若a≤0，f(x)在R上单调减，至多只有一个零点，不符，舍去；

若a＞0，当x→＋∞时，f(x)→＋∞；x→－∞时，f(x)→＋∞. 要使f(x)有两个零点，只要fmin(x)f(lna)＜0即可

2只要a11a(a2)11alna＜0即可，即1aln1a＜0 令t1a＞0，则g(t)1tlnt在(0，＋∞)上单调减

又g(1)0，∴当t1a＞1，即0＜a＜1时，g(t)＜0，f(lna)＜0.

即f(x)有两个零点时，a的取值范围为(0，1).

22、【解析】

（1）消去参数θ，得曲线C的普通方程为x29y29.

当a＝－1时，消去参数t，得直线l的普通方程为x4y3.

22 联立x9y9，解得x4y3x130，x22125 y1y22425 ∴C与l的交点坐标为(3，0)和2125，2425.

（2）设曲线C上任意一点P3cos，sin，

消去参数t，得直线l的普通方程为x4y(a4)0.

∴点P到直线l的距离d|3cos+4sin(a4)||5sin()(a4)| 1242=17由题知，dmax17，即|5sin()(a4)|max17

当a＋4＞0时，则有5(a4)17，解得a8；

当a＋4≤0时，则有5(a4)17，解得a16；综上，a的值为8或－16.

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23、【解析】

2x，x＜1（1）当a＝1时，f(x)x2x4，又g(x)2，1x1， 2x，x＞1 当x＜－1时，x2x42x，解得1x4，舍去

当－1≤x≤1时，x2x42，解得1x2，即1x1

当x≥1时，x2x42x，解得1171171172x2，即1x2， 综上，不等式f(x)g(x)的解集为1，1172.



（2）当－1≤x≤1时，g(x)2. 要使不等式f(x)g(x)的解集包含[–1，1]， 只要f(x)g(x)在[–1，1]上恒成立，只要x2ax42在[–1，1]上恒成立 法一：数形结合法

只要x2ax20在[–1，1]上恒成立，令g(x)x2ax2

只要g(1)01ag(1)0，即20，解得1a1，即a的取值范围为1a2011，.

法二：参数分离法

只要axx22 ①在[–1，1]上恒成立，令h(x)x2x

当x＝0时，不等式①显然恒成立；

当0＜x≤1时，只要ax2x在(0，1]上恒成立，由于h(x)在(0，1]上单调增

∴hmax(x)h(1)121，a1.

当－1≤x＜0时，只要ax2x在[－1，0)上恒成立，由于h(x)在[－1，0)上单调增 ∴hmin(x)h(1)121，a1. 综上所述，a的取值范围为11，.

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