考研数学一（高等数学）-试卷30
(总分70,考试时间90分钟)
1. 选择题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1. 设f(x)在x=a处可导，且f(a)≠0，则｜f(x)｜在x=a处( )． A. 可导 B. 不可导 C. 不一定可导 D. 不连续
2. 设f(x)在x=a处二阶可导，则等于( )．
A. 一f\"(a) B. f\"(a) C. 2f\"(a) D. f\"(a)
3. 设f(x)在x=0处二阶可导，f(0)=0且=2，则( )．
A. f(0)是f(x)的极大值 B. f(0)是f(x)的极小值
C. (0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点
D. f(0)不是f(x)的极值，(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点
4. 设f(x)在x=a处的左右导数都存在，则f(x)在x=a处( )． A. 一定可导 B. 一定不可导 C. 不一定连续 D. 连续
5. f(x)g(x)在x0处可导，则下列说法正确的是( )． A. f(x)，g(x)在x0处都可导
B. f(x)在x0处可导，g(x)在x0处不可导 C. f(x)在x0处不可导，g(x)在x0处可导 D. f(x)，g(x)在x0处都可能不可导
6. f(x)在x0处可导，则｜f(x)｜在x0处( )． A. 可导 B. 不可导 C. 连续但不一定可导 D. 不连续
7. 设f(x)为二阶可导的奇函数，且x＜0时有f\"(x)＞0，f\"(x)＜0，则当x＞0时有( )． A. f\"(x)＜0，f\"(x)＜0 B. f\"(x)＞0，f\"(x)＞0 C. f\"(x)＞0，f\"(x)＜0 D. f\"(x)＜0，f\"(x)＞0
2. 填空题
1. 设ξ为f(x)=arctanx在[0，a]上使用微分中值定理的中值，则为___________．
2. 设两曲线y=x2+ax+b与一2y=一1+xy3在点(一1，1)处相切，则a=___________，b=___________。
3. 设函数y==___________．
4. 设f(x)在x=1处一阶连续可导，且f\"(1)=一2，则=___________。
5. 设f(x)=x2，则f\"(x)=___________．
6. 设f(x)满足f(x)=f(x+2)，f(0)=0，又在(一1，1)内f\"(x)=｜x｜，则f()=___________．
7. 若f(x)=2nx(1一x)n，记Mn==___________．
3. 解答题
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 1. 设y=，求y\"．
2. 设x=x(t)由sint—．
3. 设x3一3xy+y3=3确定y为x的函数，求函数y=y(x)的极值点． 4. 设f(x)=求f(x)的极值．
5. 求{IMG}}}的最大项．
6. 设f(x)连续，φ(x)=∫01f(xt)dt，且=A，求φ\"(x)，并讨论φ\"(x)在x=0处的连续性．
7. 设函数f(x)在x=1的某邻域内有定义，且满足｜f(x)一2ex｜≤(x一1)2，研究函数f(x)在x=1处的可导性．
8. 设f(x)在x=0的邻域内二阶连续可导，=2，求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的曲率．
9. 设f(x)=且f\"(0)存在，求a，b，c．
10. 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，f(0)=0，f()=1，f(1)=0．证明： (1)存在η∈(，1)，使得f(η)=η； (2)对任意的k∈(—∞，+∞)，存在ξ∈(0，η)，使得f\"(ξ)一k[f(ξ)一ξ]=1．
11. 设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，且f(x)dx，证明：存在ξ∈(0，2)，使得f\"(ξ)+f\"(ξ)=0．
12. 设f(x)在[0，1]上可导，f(0)=0，｜f\"(x)｜≤｜f(x)｜．证明：f(x)=0，x∈[0，1]．
13. 设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内可导，f(a)=f(b)=1．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得2e2ξ—η=(ea+eb)[f\"(η)+f(η)]．
14. 设f(x)二阶可导，f(0)=f(1)=0且=一1．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f\"(ξ≥8．
15. 一质点从时间t=0开始直线运动，移动了单位距离使用了单位时间，且初速度和末速度都为零．证明：在运动过程中存在某个时刻点，其加速度绝对值不小于4．
16. 设f(x)在[0，1]上二阶可导，且｜f\"(x)｜≤1(x∈[0，1])，又f(0)=f(1)，证明： ｜f\"(x)｜≤(x∈[0，1])．
17. 设f(x)在(一1，1)内二阶连续可导，且f\"(x)≠0．证明： (1)对(一1，1)内任一点x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使得f(x)=f(0)+xf\"[θ(x)x]； (2)．
18. 设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f\"(a)=f\"(b)=0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得 ｜f\"(ξ)｜≥｜f(b)一f(a)｜．
19. f(x)在[_一1，1]上三阶连续可导，且f(一1)=0，f(1)=1，f\"(0)=0．证明：存在ξ∈(一1，1)，使得f\"\"(ξ)=3．
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