216考研数学一真题及解析答案

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．（1）若反常积分a1x1xb0dx收敛，则（ ）

2x1,x1（2）已知函数fx，则fx的一个原函数是（ ）

lnx,x1（3）若y1x221x,y1x2221x2是微分方程ypxyqx的两个解，则qx（ ）

x,x0（4）已知函数fx11，则（ ） 1,x,n1,2,Knnn1（A）x0是fx的第一类间断点 （B）x0是fx的第二类间断点 （C）fx在x0处连续但不可导 （D）fx在x0处可导 （5）设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是（ ） （A）AT与BT相似 （B）A1与B1相似 （C）AAT与BBT相似 （D）AA1与BB1相似

（6）设二次型fx1,x2,x3x12x22x324x1x24x1x34x2x3，则fx1,x2,x32在空间直角坐标下表示的二次曲面为（ ）

（A）单叶双曲面 （B）双叶双曲面 （C）椭球面 （C）柱面 （7）设随机变量X~N,20，记pPX2，则（ ） （A）p随着的增加而增加 （B）p随着的增加而增加 （C）p随着的增加而减少 （D）p随着的增加而减少

（8）随机试验E有三种两两不相容的结果A1,A2,A3，且三种结果发生的概率均

1为，将试验E独立重复做2次，X表示2次试验中结果A1发生的次数，Y表3示2次试验中结果A2发生的次数，则X与Y的相关系数为（ ）

二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置．．．上.

tln1tsintdt__________（9）lim0x0x1cosx2

（10）向量场Ax,y,zxyzixyjzk的旋度rotA_________

（11）设函数fu,v可微，zzx,y由方程x1zy2x2fxz,y确定，则

dz0,1_________

（12）设函数fxarctanxx，且f''01，则a________

1ax21001（13）行列式

004320011____________.

（14）设x1,x2,...,xn为来自总体N,2的简单随机样本，样本均值x9.5，参数的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，则的置信度为0.95的双侧置信区间为______.

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写．．．出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10分）已知平面区域Dr,2r21cos,，

22计算二重积分xdxdy.

D（16）（本题满分10分）设函数y(x)满足方程y''2y'ky0,其中0k1.

证明：反常积分0y(x)dx收敛；

若y(0)1,y(0)1,求0'y(x)dx的值.

（17）（本题满分10分）设函数f(x,y)满足

f(x,y)(2x1)e2xy,且xf(0,y)y1,Lt是从点(0,0)到点(1,t)的光滑曲线，计算曲线积分

I(t)Ltf(x,y)f(x,y)dxdy，并求I(t)的最小值 xy（18）设有界区域由平面2xy2z2与三个坐标平面围成，为整个表面的外侧，计算曲面积分Ix21dydz2ydzdx3zdxdy

（19）（本题满分10分）已知函数f(x)可导，且f(0)1，0f'(x)列xn满足xn1f(xn)(n1,2...)，证明： （I）级数(xn1xn)绝对收敛；

n11，设数2（II）limxn存在，且0limxn2.

nn1112（20）（本题满分11分）设矩阵A2a1,B111aa1 22a当a为何值时，方程AXB无解、有唯一解、有无穷多解？

011（21）（本题满分11分）已知矩阵A230

000（I）求A99

（II）设3阶矩阵B(,2,3)满足B2BA，记B100(1,2,3)将1,2,3分别表示为1,2,3的线性组合。

（22）（本题满分11分）设二维随机变量(X,Y)在区域

Dx,y0x1,x2yx上服从均匀分布，令

（I）写出(X,Y)的概率密度；

（II）问U与X是否相互独立？并说明理由； （III）求ZUX的分布函数F(z).

3x2,0x为未知参（23）设总体X的概率密度为fx,3，其中0，0,其他数，X1,X2,X3为来自总体X的简单随机样本，令TmaxX1,X2,X3。 （1）求T的概率密度

（2）确定a，使得aT为的无偏估计

一、选择题1、C2、D 3、A 4、D 5、C 6、B 7、B 8、

二、填空题 9、 10、 11、

12、13、 14、

三、解答题 15、 16、 17、

18、 19、 20、 21、 22、 23、