考研数学公式

导数公式：

(tgx)sec2x(arcsinx)1(ctgx)csc2x1x2(secx)secxtgx(arccosx)1(cscx)cscxctgx1x2(ax)axlna(arctgx)11x2(log1ax)xlna(arcctgx)11x2基本积分表：

tgxdxlncosxCdxsec2ctgxdxlnsinxCcos2xxdxtgxCdxsecxdxlnsecxtgxCcsc2sin2xxdxctgxCcscxdxlncscxctgxCsecxtgxdxsecxCdxcscxctgxdxcscxCa2x21aarctgxaCdx1xaaxdxaxlnaCx2a22alnxaCshxdxchxCdxa2x21ax2alnaxCchxdxshxCdxxa2x2arcsinaCdx2x2a2ln(xxa2)C22Innsinxdxcosnxdxn1nIn2002x2a2dxx22a2xa2ln(xx2a2)Cdxx2x2a222a2xa2lnxx2a2Cdxx2a2x222ax2ax2arcsinaC三角函数的有理式积分：

2u1u2sinx1u2，　cosxx2du1u2，　utg2，　dx1u2

一些初等函数： 两个重要极限：

双曲正弦:shxexex

2limsinxx0x1 ex:chxex双曲余弦 2limx(11x)xe2.718281828459045... shxex:thxex双曲正切 chxexex arshxln(xx21） archxln(xx21) arthx11x 2ln1x

三角函数公式： ·诱导公式：

函数 角A sin cos tg ctg -α -sinα cosα -tgα -ctgα 90°-α cosα sinα ctgα tgα 90°+α cosα -sinα -ctgα -tgα 180°-α sinα -cosα -tgα -ctgα 180°+α -sinα -cosα tgα ctgα 270°-α -cosα -sinα ctgα tgα 270°+α -cosα sinα -ctgα -tgα 360°-α -sinα cosα -tgα -ctgα 360°+α sinα cosα tgα ctgα

·和差角公式： ·和差化积公式：

sin()sincoscossinsinsin2sincos()coscossinsin2cos2tg(tgtgsinsin2cos)1tgtg2sin2coscos2cosctg()ctgctg12cos2ctgctgcoscos2sin2sin2

·倍角公式：

sin22sincoscos22cos2112sin2cos2sin2sin33sin4sin3ctg2ctg21cos34cos33cos2ctgtg33tgtg3tg22tg13tg21tg2

·半角公式：

sin21cos2　　　　　　　　　　　　cos21cos2tg1cos1cossin1cos1cos21cossin1cos　　ctg21cossinsin1cos·正弦定理：aAbsinBcsinC2R ·余弦定理：c2sina2b22abcosC

·反三角函数性质：arcsinx2arccosx　　　arctgx2arcctgx

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：

n(uv)(n)Ck(nk)(k)nuvk0

u(n)vnu(n1)vn(n1)u(n2)vn(n1)(nk1)k!u(nk)v(k)uv(n)2!中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理：f(b)f(a)f()(ba)柯西中值定理：f(b)f(a)f()F(b)F(a)F()

当F(x)x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。曲率：

弧微分公式：ds1y2dx,其中ytg平均曲率：Ks.:从M点到M点，切线斜率的倾角变化量；s：MM弧长。M点的曲率：Klims0sddsy(1y2)3.

直线：K0;半径为a的圆：K1a.定积分的近似计算：

b矩形法：f(x)ban(y0y1yn1)ab梯形法：f(x)baan[12(y0yn)y1yn1]

b抛物线法：f(x)baa3n[(y0yn)2(y2y4yn2)4(y1y3yn1)]定积分应用相关公式：

功：WFs水压力：FpA引力：Fkm1m2r2,k为引力系数

b函数的平均值：y1baf(x)dxab均方根：1baf2(t)dta平面的方程：1、点法式：A(xx0)B(yy0)C(zz0)0，其中n{A,B,C},M0(x0,y0,z0)2、一般方程：AxByCzD03、截距世方程：xyzabc1平面外任意一点到该平面的距离：dAx0By0Cz0DA2B2C2空间直线的方程：xxxx0mt0myy0nzz0pt,其中s{m,n,p};参数方程：yy0ntzz0pt二次曲面：x2、椭球面：y2z21a2b2c21x22、抛物面：2py22qz（,p,q同号）3、双曲面：x2y2z2单叶双曲面：a2b2c21x2双叶双曲面：y2z2a2b2c2（马鞍面）1

多元函数微分法及应用

全微分：dzzxdxzydy　　　duuxdxuydyuzdz全微分的近似计算：zdzfx(x,y)xfy(x,y)y多元复合函数的求导法：zf[u(t),v(t)]　　　dzzuzvdtutvt　zf[u(x,y),v(x,y)]　　　zzuzvx　uxvx当uu(x,y)，vv(x,y)时，duuuvvxdxydy　　　dvxdxydy　隐函数的求导公式：隐函数F(x,y)0，　　dyFxFFdydxF，　　d2ydx2(x)＋(x)yxFyyFydx隐函数F(x,y,z)0，　zFzFyxxF，　　yzF

zF隐函数方程组：(x,y,u,v)0FF(F,GFvG(x,y,u,v)0　　　J)(u,v)GuGvFuGuGvuvu1(F,G)v1(F,xJ(x,v)　　　　xJG)(u,x)

uy1J(F,G)(y,v)　　　　v1(F,G)yJ(u,y)微分法在几何上的应用：

x(t)空间曲线y(t)在点M(xxx0yy0zz00,y0,z0)处的切线方程：z(t)(t0)(t0)(t0)在点M处的法平面方程：(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0若空间曲线方程为：F(x,y,z)0FyFzFzFxFxFyG(x,y,z)0,则切向量T{GyG,zGzG,xGxG}y曲面F(x,y,z)0上一点M(x0,y0,z0)，则：1、过此点的法向量：n{Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}2、过此点的切平面方程：Fx(x0,y0,z0)(xx0)Fy(x0,y0,z0)(yy0)Fz(x0,y0,z0)(zz0)03、过此点的法线方程：xx0yy0zz0F,yx(x00,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)

多元函数的极值及其求法：

设fx(x0,y0)fy(x0,y0)0，令：fxx(x0,y0)A,　fxy(x0,y0)B,　fyy(x0,y0)CACB20时，A0,(x0,y0)为极大值A0,(x0,y则：0)为极小值ACB20时，　　　　　　无极值

ACB20时,　　　　　　　不确定重积分及其应用：

f(x,y)dxdyf(rcos,rsin)rdrdDD22曲面zf(x,y)的面积A1zzDxydxdyy)dy(x,y)d平面薄片的重心：xMxx(x,DDM(x,y)d,　　yMyMD(x,y)dD平面薄片的转动惯量：对于x轴I2xy(x,y)d,　　对于y轴IyDx2(x,y)dD平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M(0,0,a),(a0)的引力：F{Fx,Fy,Fz}，其中：F(x,y)xdxf，　　F(x,y)yd(x,y)xd3yf3，　　FzfaD(x2y2a23)2D(x2y2a2)2D(x2y2a2)2

常数项级数：

1qn等比数列：1qq2qn11q等差数列：123n(n1)n2 调和级数：112131n是发散的

交错级数u1u2u3u4(或u1u2u3,un0)的审敛法——莱布尼兹定理：如果交错级数满足unun1s limu1,其余项rn的绝对值rnun1。nun0，那么级数收敛且其和

函数展开成幂级数：

函数展开成泰勒级数：f(x)f(x)f(x0)(xx2f(n)(x0)n0)(xx02!0)n!(xx0)Rf(n1)余项：()n(n1)!(xx0)n1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：limnRn0

0时即为麦克劳林公式：f(x)f(0)f(0)xf(0)(n)x2f(0)n02!xn!x一些函数展开成幂级数：

(1x)m1mxm(m1)2m(m1)(m2!xn1)n!xn　　　(1x1)sinxxx3x52n1 3!5!(1)n1x(2n1)!　　　(x)

欧拉公式：

eixeixcoseixcosxisinx　　　或x2 ixeixsinxe2

(x)af0nxnx2(ancosbnsin)，周期2ln1ll周期为2l的周期函数的傅立叶级数：an1lf(x)cosnxdx　　　(n0,1,2)

其中llllb1f(x)sinnxdx　　　(n1,nl2,3)ll微分方程的相关概念：

一阶微分方程：yf(x,y)　或　P(x,y)dxQ(x,y)dy0可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g(y)dyf(x)dx的形式，解法：g(y)dyf(x)dx　　得：G(y)F(x)C称为隐式通解。齐次方程：一阶微分方程可以写成dydxf(x,y)(x,y)，即写成yx的函数，解法： 设uyx，则dydxuxdududxduydx，udx(u)，x(u)u分离变量，积分后将x代替u，即得齐次方程通解。一阶线性微分方程：

1、一阶线性微分方程：dydxP(x)yQ(x)当Q(x)0时,为齐次方程，yCeP(x)dx当Q(x)0时，为非齐次方程，y(Q(x)eP(x)dxdxC)eP(x)dx

2、贝努力方程：dydxP(x)yQ(x)yn，(n0,1)全微分方程：

如果P(x,y)dxQ(x,y)dy0中左端是某函数的全微分方程，即：du(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy0，其中：uxP(x,y)，uyQ(x,y)

u(x,y)C应该是该全微分方程的通解。二阶微分方程：

d2ydx2P(x)dyf(x)0时为齐次dxQ(x)yf(x)，f(x)0时为非齐次 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

(*)ypyqy0，其中p,q为常数；求解步骤：1、写出特征方程：()r2prq0，其中r2，r的系数及常数项恰好是(*)式中y,y,y的系数；2、求出()式的两个根r1,r23、根据r1,r2的不同情况，按下表写出(*)式的通解：

r(*)式的通解 1，r2的形式 两个不相等实根(p24q0) yc1x2x1erc2er 两个相等实根(p24q0) y(c1c2x)er1x 一对共轭复根(p24q0) yex(c1cosxc2sinx) r1i，r2ip4qp22， 2二阶常系数非齐次线性微分方程

ypyqyf(x)，p,q为常数f(x)exPm(x)型，为常数；

f(x)ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]型