(物理)物理万有引力定律的应用练习题含答案含解析

一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用

1．2018年是中国航天里程碑式的高速发展年，是属于中国航天的“超级2018”．例如，我国将进行北斗组网卫星的高密度发射，全年发射18颗北斗三号卫星，为“一带一路”沿线及周边国家提供服务．北斗三号卫星导航系统由静止轨道卫星（同步卫星）、中轨道卫星和倾斜同步卫星组成．图为其中一颗静止轨道卫星绕地球飞行的示意图．已知该卫星做匀速圆周运动的周期为T，地球质量为M、半径为R，引力常量为G．

（1）求静止轨道卫星的角速度ω； （2）求静止轨道卫星距离地面的高度h1；

（3）北斗系统中的倾斜同步卫星，其运转轨道面与地球赤道面有一定夹角，它的周期也是T，距离地面的高度为h2．视地球为质量分布均匀的正球体，请比较h1和h2的大小，并说出你的理由．

22πGMT3【答案】（1）=；（2）h1=R （3）h1= h2 2T4【解析】 【分析】

（1）根据角速度与周期的关系可以求出静止轨道的角速度； （2）根据万有引力提供向心力可以求出静止轨道到地面的高度； （3）根据万有引力提供向心力可以求出倾斜轨道到地面的高度； 【详解】

（1）根据角速度和周期之间的关系可知：静止轨道卫星的角速度=（2）静止轨道卫星做圆周运动，由牛顿运动定律有：G2GMT解得：h1=3R 24π2π TMm2π2=m(Rh)() 1(Rh1)2T

（3）如图所示，同步卫星的运转轨道面与地球赤道共面，倾斜同步轨道卫星的运转轨道面与地球赤道面有夹角，但是都绕地球做圆周运动，轨道的圆心均为地心．由于它的周期也是T，根据牛顿运动定律，G2GMT解得：h2=3R 24Mm22=m(Rh)() 2(Rh2)2T因此h1= h2．

22πGMT3故本题答案是：（1）=；（2）h1=R （3）h1= h2 2T4【点睛】

对于围绕中心天体做圆周运动的卫星来说，都借助于万有引力提供向心力即可求出要求的物理量．

2．一宇航员站在某质量分布均匀的星球表面上沿竖直方向以初速度v0抛出一个小球，测得小球经时间t落回抛出点，已知该星球半径为R，引力常量为G，求： (1)该星球表面的重力加速度； (2)该星球的密度；

(3)该星球的“第一宇宙速度”． 【答案】(1)g【解析】

(1) 根据竖直上抛运动规律可知，小球上抛运动时间t可得星球表面重力加速度：g2v03v0 (3)v (2) t2πRGt2v0R t2v0 g2v0． tGMm R2(2)星球表面的小球所受重力等于星球对小球的吸引力，则有：mggR22v0R2得：M

GGt4R3因为V

3则有：3v0M V2πRGtv2(3)重力提供向心力，故mgm

R该星球的第一宇宙速度vgR2v0R t【点睛】本题主要抓住在星球表面重力与万有引力相等和万有引力提供圆周运动向心力，掌握竖直上抛运动规律是正确解题的关键．

3．一艘宇宙飞船绕着某行星作匀速圆周运动，已知运动的轨道半径为r，周期为T，引力常量为G，行星半径为求： (1)行星的质量M；

(2)行星表面的重力加速度g； (3)行星的第一宇宙速度v． 【答案】（1）【解析】 【详解】

（2）

（3）

(1)设宇宙飞船的质量为m，根据万有引力定律

求出行星质量(2)在行星表面

求出:

(3)在行星表面求出:【点睛】

本题关键抓住星球表面重力等于万有引力，人造卫星的万有引力等于向心力．

4．“天舟一号”货运飞船于2017年4月20日在海南文昌航天发射中心成功发射升空，完成了与天宫二号空间实验室交会对接。已知地球质量为M，半径为R，万有引力常量为G。 （1）求质量为m的飞船在距地面高度为h的圆轨道运行时的向心力和向心加速度大小。 （2）若飞船停泊于赤道上，考虑地球的自转因素，自转周期为T0，求飞船内质量为m0的小物体所受重力大小G0。

（3）发射同一卫星到地球同步轨道时，航天发射场一般选取低纬度还是高纬度发射基地更为合理？原因是什么？

【答案】(1)【解析】 【详解】

(2)(3) 借助接近赤道的低纬度发射基地更

为合理，原因是低纬度地区相对于地心可以有较大线速度，有较大的初动能

（1）根据万有引力定律和牛顿第二定律有

解得

（2）根据万有引力定律及向心力公式，有

解得

及

（3）借助接近赤道的低纬度发射基地更为合理，原因是低纬度地区相对于地心可以有较大线速度，有较大的初动能。

5．2019年3月3日，中国探月工程总设计师吴伟仁宣布中国探月工程“三步走”即将收官，我国对月球的探索将进人新的征程。若近似认为月球绕地球作匀速圆周运动，地球绕太阳也作匀速圆周运动，它们的绕行方向一致且轨道在同一平面内。

(1)已知地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R，月心地心间的距离为r，求月球绕地球一周的时间Tm；

(2)如图是相继两次满月时，月球、地球和太阳相对位置的示意图。已知月球绕地球运动一周的时间Tm＝27.4d，地球绕太阳运动的周期Te＝365d，求地球上的观察者相继两次看到满月满月的时间间隔t。

r3 (2)29.6 【答案】(1) Tm22gR【解析】

【详解】

（1）设地球的质量为M，月球的质量为m，地球对月球的万有引力提供月球的向心力，则

22MmG2mr rTm地球表面的物体受到的万有引力约等于重力，则

GMm0m0g R2r3解得 Tm2 2gR（2）相继两次满月有，月球绕地心转过的弧度比地球绕日心转过的弧度多2，即

mt2et

而m2 Tme2 Te解得 t29.6天

6．半径R=4500km的某星球上有一倾角为30o的固定斜面，一质量为1kg的小物块在力F作用下从静止开始沿斜面向上运动，力F始终与斜面平行．如果物块和斜面间的摩擦因数

3，力F随时间变化的规律如图所示（取沿斜面向上方向为正），2s末物块速度恰311好又为0，引力常量G6.6710Nm2/kg2．试求：

（1）该星球的质量大约是多少？

（2）要从该星球上平抛出一个物体，使该物体不再落回星球，至少需要多大速度？（计算结果均保留二位有效数字）

24【答案】（1）M2.410kg （2）6.0km/s

【解析】 【详解】

（1）假设星球表面的重力加速度为g，小物块在力F1=20N作用过程中，有：F1-mgsinθ-

μmgcosθ=ma1

小物块在力F2=-4N作用过程中，有：F2+mgsinθ+μmgcosθ=ma2 且有1s末速度v=a1t1=a2t2 联立解得：g=8m/s2． 由G

Mm=mg R2解得M=gR2/G．代入数据得M=2.4×1024kg

v12（2）要使抛出的物体不再落回到星球，物体的最小速度v1要满足mg=m

R解得v1=gR=6.0×103ms=6.0km/s

即要从该星球上平抛出一个物体，使该物体不再落回星球，至少需要6.0km/s的速度． 【点睛】

本题是万有引力定律与牛顿定律的综合应用，重力加速度是联系这两个问题的桥梁；第二题，由重力或万有引力提供向心力，求出该星球的第一宇宙速度．

7．宇航员在某星球表面以初速度2.0m/s水平抛出一小球，通过传感器得到如图所示的运动轨迹，图中O为抛出点。若该星球半径为4000km，引力常量G=6.67×10

2

﹣11

N•m2•kg﹣

．试求：

(1)该行星表面处的重力加速度的大小g行； (2)该行星的第一宇宙速度的大小v；

(3)该行星的质量M的大小（保留1位有效数字）。 【答案】(1)4m/s2(2)4km/s(3)1×1024kg 【解析】 【详解】

(1)由平抛运动的分位移公式，有：

x=v0t y=

联立解得：

t=1s g行=4m/s2；

(2)第一宇宙速度是近地卫星的运行速度，在星球表面重力与万有引力相等，据万有引力提供向心力有：

1g行t2 2mMv2G2＝mg行＝m RR可得第一宇宙速度为：

v＝g行R44000103m/s4.0km/s

(3)据

G可得：

mM＝mg行 2Rg行R24(4000103)224Mkg110kg 11G6.6710

8．我国首颗量子科学实验卫星于2016年8月16日1点40分成功发射。量子卫星成功运行后，我国已首次实现了卫星和地面之间的量子通信，成功构建了天地体化的量子保密通信与科学实验体系。假设量子卫星轨道在赤道平面， 如图所示。已知量子卫星的轨道半径是地球半径的m倍，同步卫星的轨道半径是地球半径的n倍，图中P点是地球赤道上一点，求量子卫星的线速度与P点的线速度之比。

【答案】

【解析】试题分析：研究量子卫星和同步卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，求出两颗卫星的线速度；研究地球赤道上的点和同步卫星，具有相等角速度，求P点的线速度，从而比较量子卫星的线速度与P点的线速度之比。 设地球的半径为R，对量子卫星，根据万有引力提供向心力

则有：，又

解得：

对同步卫星，根据万有引力提供向心力

则有：，又

解得：

同步卫星与P点有相同的角速度，则有：

解得：

则量子卫星的线速度与P点的线速度之比为

【点睛】求一个物理量之比，我们应该把这个物理量先用已知的物理量表示出来，再根据表达式进行比较．向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用．

9．今年6月13日，我国首颗地球同步轨道高分辨率对地观测卫星高分四号正式投入使用，这也是世界上地球同步轨道分辨率最高的对地观测卫星．如图所示，A是地球的同步卫星，已知地球半径为R，地球自转的周期为T，地球表面的重力加速度为g,求：

（1）同步卫星离地面高度h （2）地球的密度ρ(已知引力常量为G)

223ggRT【答案】（1）3 （2） R24GR4【解析】 【分析】 【详解】

（1）设地球质量为M，卫星质量为m，地球同步卫星到地面的高度为h，同步卫星所受万有引力等于向心力为

42RhmM Gm22(Rh)T在地球表面上引力等于重力为

G故地球同步卫星离地面的高度为

Mmmg 2Rh（2）根据在地球表面上引力等于重力

3gR2T2R 24G结合密度公式为

Mmmg R2gR2M3gG

4VR34GR3

10．已知地球质量为M，万有引力常量为G。将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体。忽略地球自转影响。 （1）求地面附近的重力加速度g； （2）求地球的第一宇宙速度v；

（3）若要利用地球绕太阳的运动估算太阳的质量，需要知道哪些相关数据？请分析说明。 【答案】（1）gGMGM（2）（3）若要利用地球绕太阳的运动估算太阳的质vR2R量，需要知道地球绕太阳运动的轨道半径、周期和万有引力常量。 【解析】 【详解】

（1）设地球表面的物体质量为m , 有

G 解得

Mmmg 2RGM R2g（2）设地球的近地卫星质量为m，有

Mmv2G2m RR解得

vGM R（3）若要利用地球绕太阳的运动估算太阳的质量，需要知道地球绕太阳运动的轨道半径、周期和万有引力常量。 设太阳质量为M，地球绕太阳运动的轨道半径为r、周期为T，根

MM42据G2M2r可知若知道地球绕太阳运动的轨道半径、周期和万有引力常量可求

rT得太阳的质量。