导数高考常见题型

一、常用不等式与常见函数图像

1、exx1 ln(x1)x 1-lnxx-1 2、常见函数图像

二、选择题中的函数图像问题

2ìïa-ab,a?b(一)新型定义问题 对与实数a,b，定义运算“*”：a*b=í2,设

ïîb-ab,a>b1xf(x)=(2x-1)*(x-1)且关于x的方程f(x)=m(m?R)恰有三个互不相等的实数根

x1,x2,x3，则x1x2x3的取值范围为

（二）利用导数确定函数图像

①已知函数f(x)=ax3-3x2+1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围为（ ）

A、(2,+?) B、(-?,2) C、(1,+?) D、(-?,1) ②设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a1，若存在唯一的整数x0，使得f(x0)0，则a的取值范围是（ ） (A)[-333333，1） (B)[-，） (C)[，） (D)[，1） 2e2e42e42e三、导数与单调性

实质：导数的正负决定了原函数的单调性 处理思路：①求导,解不等式[f'(x)0或f'(x)0] ②求解f'(x)0，分段列表 ③根据yf'(x)的图像确定

(一)分段列表

①已知函数fx=exex2x

（Ⅰ）讨论fx的单调性；

（Ⅱ）设gxf2x4bfx，当x0时，gx0,求b的最大值； ②已知函数f(x)(x2)exxe2x，讨论函数的单调性 ③设函数f(x)emxx2mx

（Ⅰ）证明：f(x)在(-，0)单调递减，在(0,+)单调递增； （Ⅱ）若对于任意x1,x2[0,1]，都有f(x1)f(x2)e1，求m的取值范围

（二）根据导函数图像确定

①已知函数f(x)ax2(a1)xlnx，试讨论函数的单调性

②已知函数f(x)2(xa)lnxx22ax2a2a，其中a0.设g(x)是f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性

③已知函数f(x)ax2bxlnx(a,bR)，a0，求f(x)的单调区间

（三）已知单调性，求参数取值范围

12①已知函数f(x)x2lnxax在x(0,1)是增函数,求a的取值范围; ②已知函数g(x)x3(a2)x2，h（x）=2alnx，f(x)g(x)h(x)。 （1）当a∈R时，讨论函数f(x)的单调性．

（2）是否存在实数a，对任意的x1,x2(0,)，且x1x2，都有恒成立，若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由。

四、极值与零点问题

f(x2)f(x1)a

x1x21612 实质：第一种说法：导函数或原函数对应方程的根 第二种说法：导函数或原函数图像与x轴的交点 处理方法：

根源：利用讨论导函数和原函数的图像处理极值点与零点问题 ①利用导数对函数图像的三个影响要素，数形结合 I.单调性 函数图像大致形状

II.极值 函数图像相对位置

III.某些特殊点的函数值，两端的趋势 完善函数图像 ②代入法

将极值点或零点满足的等式带入求解表达式进行后续处理 代入后目前似乎有三种处理思路

I.保留两个横坐标，利用替换法（通常令tx1x）构建新函数 2II.保留一个坐标，另一个坐标被替换，构建新函数 III不保留坐标，坐标全用参数替换构建新函数 ③构建对称函数 ④构建比较函数

⑤利用对数不等式、指数不等式放缩

（一）数形结合

①已知函数f(x)x3ax2b(a,bR) (1)试讨论函数的单调性

（2）若b1a，函数有三个零点，求实数a的取值范围 ②知函数f(x)=x3+ax+14,g(x)=-lnx

（1）当a为何值时，x轴为y=f(x)的切线；

（2）用min{m,n}表示m,n中的最小值，设函数h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0)，讨论

h(x)的零点个数

（二）代入法

①f(x)x443x3-a有两个零点x1,x2

(1)求实数a的取值范围 (2)证明x1x22

②已知常数a0,函数f(x)ln(1ax)2x x2 （1）讨论f(x)在(0，)上的单调性

（2）若f(x)存在两个极值点x1,x2，且f(x1)f(x2)0，求实数a的取值范围 ③设函数f(x)xalnx(aR)

(I)讨论f(x)的单调性；（II）若f(x)有两个极值点x1和x2，记过点

A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))1x的直线的斜率为k，问：是否存在a，使得k2-a若存在，求

出a的值，若不存在，请说明理由．

（三）构建比较函数

已知函数f(x)exax有两个零点x1,x2

(1)求实数a的取值范围 (2)证明:x1x22lna (3)证明：x1x22 ，x1x21

（四）构建对称函数

已知函数f(x)ax2(a1)xlnx，若函数有两个零点x1,x2 （1）求实数a的取值范围 （2）比较f'(x1x2)与0的大小，并证明你的结论 212 （五）利用对数不等式、指数不等式放缩 ①已知函数f(x)xex

（1）求函数的单调性及极值 （2）如果x1x2，且f(x1)f(x2)，证明x1x22 ②设函数f(x)exaxa(aR)，其图像与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点，且

x1x2

（1）求实数a的取值范围 （2）证明：x1x22lna （3）证明：f'(x1x2)0

③已知函数f(x)lnxax2(2a)x

（1）讨论f(x)的单调性 （2）若函数yf(x)的图像与x轴交于A、B两点，线段

AB的中点的横坐标为x0，求证：f'(x0)0

四、导数与最值、恒成立、存在问题 实质：恒成立问题 存在问题 处理思路：①数形结合 ②分离函数 ③分离参数 ④主元思想

例：a2b3ab0对于a1恒成立，求b的最大值）

（一）不含参数类

1.直接翻译成最值

①已知函数f(x)exaxb，若f(x)0恒成立，求ab的最大值

②已知函数f(x)x2lnx，求证：在区间[1,)上，函数f(x)的图象在函数

g(x)23x图象的下方 3122、分离函数，数形结合分别讨论

bex-1设函数f(x)=aelnx+，曲线y=f(x)在(1,f(1)) 处的切线为y=e(x-1)+2

xx（1）求a,b （2）证明f(x)>1 3、某点处函数值相等，利用函数变化快慢 ①已知函数f(x)=ln(1+x)，g(x)=kx,(k?R), (Ⅰ)证明：当x>0时，f(x)(Ⅱ)证明：当k<1时，存在x0>0,使得对任意xÎ(0，x0),恒有f(x)>g(x)； ②已知函数f(x)=ln1+x．

1-x（Ⅰ）求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程； （Ⅱ）求证：当xÎ(0,1)时，（Ⅲ）设实数k使得③已知函数f(x)=骣x3f(x)>2琪x+琪桫3；

骣x3f(x)>k琪x+琪桫3对xÎ(0,1)恒成立，求k的最大值

ax+b在点(-1,f(-1))处的切线方程为x+y+3=0 x2+1（1）求函数f(x)的解析式

（2）设g(x)=lnx，求证：g(x)³f(x)在x?[1,?)恒成立 4、利用常用函数、基本不等式放缩 已知函数f(x)=ax+b在点(-1,f(-1))处的切线方程为x+y+3=0 x2+1（1）求函数f(x)的解析式（2）设g(x)=lnx，求证：g(x)³f(x)在x?[1,?)恒成立 5、构建关于最值点的新函数 ①讨论函数f(x)x2xe 的单调性，并证明当x >0时，(x2)exx20; x2exaxagx）=(x0) 有最小值.设g（x）的最小值(II)证明：当a[0,1) 时，函数（x2为h(a)，求函数h(a) 的值域.

（二）含参数类

1.直接讨论最值

lnxax2,x(0,1]，求f(x)在区间（0,1]上的最大值． ①f(x）(1x)22ln(1x)，若定义域内存在x0，使得不等式f(x0)-m0成 ②设函数f(x）立，求实数m的最小值；

③已知函数f(x)ax1lnx(aR)，若函数f(x)在x1处取得极值，对x(0,),f(x)bx2恒成立，求实数b的取值范围；

④已知函数f(x)xalnx，g(x)1a, (aR).

x（1）若a1，求函数f(x)的极值；（2）设函数h(x)f(x)g(x)，求函数h(x)的单调区间；（3）若在1,e上存在一点x0，使得f(x0)g(x0)成立，求a的取值范围. ⑥设函数f(x)emxx2mx

（Ⅰ）证明：f(x)在(-，0)单调递减，在(0,+)单调递增； （Ⅱ）若对于任意x1,x2[0,1]，都有f(x1)f(x2)e1，求m的取值范围 ⑦设函数f(x)lnxax1a1． x(Ⅰ)当a1时，求曲线f(x)在x1处的切线方程；(Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性； (Ⅲ)当a时，设函数g(x)x22bx成立，求实数b的取值范围. ⑨已知函数fxxabx0，其中a,bR. x135x20,1，，若对于x11,2，使f(x1)g(x2)12（1）若曲线yfx在点P2,f2处的切线方程为y3x1,求函数fx的解析式；

（2）若对于任意的a,2,不等式fx10在,1上恒成立,求b的取值范围.

2411⑩已知函数f(x)(x23x3)ex定义域为[2,t](t2),设f(2)m,f(t)n.

nm； （1）试确定t的取值范围，使得函数f(x)在[2,t]上为单调函数； （2）求证：

f(x0)2(t1)2，并确定这 x03e（3）求证：对于任意的t2,总存在x0(2,t),满足样的x0的个数. 2、分离参数

①分离参数直接求最值

已知函数f(x)=2lnx+ax，若f(x)已知函数f(x)是奇函数，f(x)的定义域为(,)．当x0时，f(x)13ln(ex) x(1)若函数f(x)在区间(a,a)(a0)上存在极值点，求实数a的取值范围；

(2)如果当x≥1时，不等式f(x)③分离参数多次求导，洛必达法则 设函数f(x)=ex-1-x-ax2. （Ⅰ)若a=0,求f(x)的单调区间;

k恒成立，求实数k的取值范围. x1（Ⅱ）若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围. ④分离参数后，构建关于新函数极值点的函数

已知函数f(x)xlnx，若k为正整数，且f(x)k1xk对任意x1恒成立，求k的最大值．

3、某点处函数值相等，利用函数变化快慢 设函数f(x)=ln(x+1)+a(x2-x)，其中aÎR. （Ⅰ）讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由； （Ⅱ）若\"x>0,f(x)?0成立，求a的取值范围. 4、分离出一次函数，利用切线数形结合 ①已知函数f(x)=ax+xlnx(a?R)

(1)若函数f(x)在[e,+?)上为增函数，求实数a的取值范围

（2）当a=1且kÎZ时，不等式k(x-1)①已知函数f(x)x2ex(x0)与g(x)x2ln(xa)图象上存在关于y轴对称的点，求a的取值范围 6、构建关于极值点的函数

已知函数f(x)xlnx，若k为正整数，且f(x)k1xk对任意x1恒成立，

12求k的最大值．