可交换矩阵的几个充要条件和性质

可交换矩阵的几个充要条件及其性质

在高等代数中,矩阵是一个重要的内容.由矩阵的理论可知,矩阵的乘法不同于数的乘法,矩阵的乘法不满足交换律,即当矩AB有意义时,矩阵BA未必有意义,即使AB,BA都有意义时它们也不一定相等.但是当A,B满足一定条件是,就有ABBA,此时也称A与B是可交换的,可交换矩阵有许多良好的性质,本文主要研究矩阵可交换的几个条件及其常见的性质.本文矩阵均指n阶实方阵.

§1 矩阵可交换成立的几个充分条件

定理1.1(1)设A,B至少有一个为零矩阵,则A,B可交换; (2)设A,B至少有一个为单位矩阵,则A,B可交换; (3)设A,B至少有一个为数量矩阵,则A,B可交换; (4)设A,B均为对角矩阵,则A,B可交换; (5)设A,B均为准对角矩阵,则A,B可交换; (6)设A*是A的伴随矩阵,则A与A*可交换; (7)设A可逆,则A与A1可交换; (8)设ABE,则A,B可交换.

证 (1)对任意矩阵A,均有AOOA,O表示零距阵,所以A,B至少有一个为零矩阵时,

A,B可交换;

(2)对任意矩阵A,均有AEEA,E表示单位矩阵，所以A,B至少有一个为单位矩阵时,A,B可交换;

(3)对任意矩阵A,均有A(kE)(kE)A,k为任意实数,则(kE)为数量矩阵,所以A,B至少有一个为数量矩阵时,A,B可交换;

(4),(5)显然成立;

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(6)AA*AEA*A,所以矩阵A与其伴随矩阵可交换; (7)AA1EA1A,所以矩阵A与其逆矩阵可交换;

(8)当ABE时,A,B均可逆,且互为逆矩阵,所以根据(7)可知A,B可交换. 定理1.2(1)设ABAB,其中,为非零实数, 则A,B可交换, (2)设AmABE,其中m为正整数,为非零实数,则A,B可交换. 证 (1)由ABAB可得(AE)(BE)E,即

11(AE)(BE)E,故依

定理1.1(8)得

(BE)(AE)E,于是BAABEE,所以

BAABAB;

(2)由AmABE得A(Am1B)E,故依定理1.1(8)得(Am1B)AE,于是

AmBAE,所以可得ABBA.

定理1.3(1)设A可逆,若ABO或AAB或ABA,则A,B可交换; (2)设A,B均可逆,若对任意实数k,均有A(AkE)B,则A,B可交换.

证 (1)若ABO,由A可逆得B(A1A)BA1(AB)O,从而BAO,故ABBA; 若AAB,同理可得B(A1A)BA1(AB)E,故ABBA; 若ABA,则BB(AA1)(BA)A1E,故ABBA.

(2)因A,B均可逆,故由A(AkE)B得AkE可逆,且B(AkE)1A,则

A'B'[(AkE)B]'[(AkE)1A]'B'(AkE)'A'[(AkE)']1B'(A'A'kA')(A'kE)1B'A'(A'kE)(A'kE)1B'A',

两边取转置可得ABBA.或由

A1B1[(AkE)B]1[(AkE)1A]1B1(AkE)1A1(AkE)B1(A2kA)1(AkE)B1[(AkE)A]1(AkE)B1A1,word 可编辑.

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两边取逆可得ABBA.

§2 矩阵可交换成立的几个充要条件

定理2.1下列均是A,B可交换的充要条件: (1)(AB)*A*B*; (2)(AB)'A'B';

(3)A2B2(AB)(AB)(AB)(AB); (4)(AB)2A22ABB2.

证 (1))因为(AB)*A*B*,两边同时取伴随矩阵可得ABBA;

)因为ABBA,两边同时取伴随矩阵可得(AB)*A*B*; (2))因为(AB)'A'B',两边取转置可得ABBA;

)因为ABBA,两边取转置可得(AB)'A'B';

(3))因为(AB)(AB)A2ABBAB2,A2B2(AB)(AB), 所以ABBA;

同理由(AB)(AB)A2ABBAB2,可证ABBA,

)因为ABBA,且(AB)(AB)A2ABBAB2, 所以A2B2(AB)(AB);

同理由(AB)(AB)A2ABBAB2,可证A2B2(AB)(AB);

(4))因为(AB)2A2ABBAB2,又由条件知(AB)2A22ABB2,所以

ABBA;

)因为ABBA,(AB)2A2ABBAB2,所以(AB)2A22ABB2; 定理2.2可逆矩阵A,B可交换的充要条件是(AB)1A1B1. 证 )因为(AB)1A1B1,两边取逆可得ABBA;

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)因为ABBA,两边取逆可得(AB)1A1B1;

定理2.3(1)设A,B均为(反)对称矩阵,则A,B可交换的充要条件是AB为对称矩阵; (2)设A,B有一个为对称矩阵,另一个为反对称矩阵,则A,B可交换的充要条件是AB为反对称矩阵.

证 (1)设A,B均为对称矩阵,由定理2.1(2)(AB)'A'B'AB,因此AB为对称矩阵; 若A,B均为反对称矩阵,则(AB)'A'B'(A)(B)AB,因此AB也为对称矩阵.

(2)若A,B中有一个为对称矩阵,不妨设A为对称矩阵,则B为反对称矩阵,则

(AB)'A'B'A(B)AB,

因此AB为反对称矩阵.

定理2.4设A,B均为对称正定矩阵,则A,B可交换的充要条件是AB为对称正定矩阵. 证 充分性由定理2.3(1)可得,下面证明必要性.

因A,B为对称正定矩阵,故有可逆矩阵P,Q,使APP',BQQ',于是

ABPP'QQ',P1ABP(P'Q)(P'Q)'

所以P1ABP为对称正定矩阵,其特征值全为正数.而AB与P1ABP相似,从而AB的特征值也全为正数,因此AB为对称正定矩阵.

§3 可交换矩阵的一些性质

定义3.1 (1)幂等矩阵:若A为矩阵,且A2A,则A幂等矩阵.

(2)幂零矩阵:若A为矩阵,且AkO(kZ*),则A为幂零距阵. (3)幂幺矩阵:若A为矩阵,且AkE,E为单位矩阵,则A为幂幺矩阵.

性质3.1设A,B可交换,则有: (1)

AmBm(AB)(Am1Am2BBm-1)(Am1Am2BBm-1)(AB);

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k(2)(AB)CnAnkBk(矩阵二项式定理).

nk0n(3)ABmBmA,(AB)kAkBk,AlBBAl,其中m,k,l都是正整数; (4)Af(B)f(B)A,其中f(B)是B的多项式,即A与B的多项式可交换; 证 (1)对m用数学归纳法可证得. 当m1时,明显成立. 假设当mk时,有

AkBk(AB)(Ak1Ak2BBk1),

下证当mk1时结论也成立.

Ak1Bk1(AB)(AkAk1BBk)(AB)(AB)(Ak1Ak2BBk1)(AB)(Ak1Ak2BBk1)(AB)

(AkAk1BBk)(AB),故对一切正整数m,结论成立.

(2)用数学归纳法

当n1时,(AB)1A1B1AB,结论成立. 假设当nk时,有

1k1-1k1(AB)kAkCkABCkBk, kAB下面证当nk1时结论也成立.由ABBA得AiBjBjAi,于是

1k1-1k1(AB)k1(AB)k(AB)(AkCkABCkBk)(AB)kABA而CkiCki1k1(C1)AB(CC)A1kkiki1kk1iBBik1,

k!k!k!(k1i)k!i(k1)!Cki1.

i!(ki)!(i1)!(k1i)!i!(k1i)!i!(k1i)!1kkkk1所以(AB)k1Ak1Ck. 1ABCk1ABB故对一切正整数n,二项式定理成立.

（3）由ABBA可得

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mABmABBBBABBBBBBABA, m个(m1)个m个同理可证(AB)kAkBk,AlBBAl.

(4)由(3)可证得. 性质3.2设A,B可交换,

(1)若A,B均为幂等矩阵,则AB,ABAB也为幂等矩阵; (2)若A,B均为幂零距阵,则AB,AB均为幂零距阵; (3)若A,B均为幂幺矩阵,则AB也为幂幺矩阵;

证 (1)由ABBA,A2A,B2B,(AB)2A2B2AB,及

(ABAB)2A2B2(AB)22AB2A2B2BABABAB2AB2AB2ABABAB,即可证得;

2

(2)设AkO,BlO,取hmax{k,l},则(AB)hAhBhO,即AB为幂零距阵;令

kAmkBkO,所以AB为幂零距阵. mkl1,则(AB)Cmmk0m(3)由ABBA,AkE,BkE,(AB)kAkBkE2E可证得;

性质3.3设A,B可交换,若A,B分别为n阶Hermite正定矩阵和非负定矩阵,则AB为Hermite非负定矩阵;

证 因为(AB)HBHAHBAAB,所以AB是Hermite矩阵. 又因为A0,所以存在n阶可逆Hermite矩阵C使AC2.于是

C1(AB)CCBCCHBC,

则AB与CHBC具有相同的特征值.由B0知CHBC0,故CHBC的特征值均为非负数,从而AB的特征值均为非负数.即AB0.

性质3.4(1)AB与BA的特征多项式相等,即fAB()fBA(),从而AB与BA的特征值也

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相同(包括重数也一致).

(2)多项式|EAB|与|EBA|相等,即|EAB||EBA|. 推论3.4.1(1)EAB与EBA的特征多项式相等. (2)EAB与EBA的特征多项式相等.

证 因为|E(EAB)||(1)EAB|,|E(EBA)||(1)EBA|,由性质3.4可知|(1)EAB||(1)EBA|,所以|E(EAB)||E(EBA)|. 同理可证|E(EAB)||E(EBA)|.

推论3.4.2(1)ABA与BAA的特征多项式相等. (2)ABA与BAA的特征多项式相等.

证 (1)因为ABAA(BE),BAA(BE)A.根据性质3.4知A(BE)与

(BE)A的特征多项式相等,故ABA与BAA的特征多项式相等.

同理可证ABA与BAA的特征多项式相等.

性质3.5(1)矩阵EAB与EBA的秩相等(0),即秩(EAB)=秩(EBA).特别地,秩(EAB)=秩(EBA).

(2)AB与BA的特征矩阵的秩相等(0),即秩(EAB)=秩(EBA).特别地, 秩

(EAB)=秩(EBA).

性质3.6若A,B中有一个是可逆的,则AB与BA相似. 证 不妨设A可逆,由BAA1(AB)A知,AB与BA相似. 性质3.7(1)AB与BA同为可逆矩阵或同为不可逆矩阵. (2)|AB||BA|.

(3)AB与BA的迹相等,即tr(AB)tr(BA). 性质3.8(1)ABBA不可能相似于kE(k0).

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(2)对可逆矩阵A,不可能有ABBAA.

证 (1)因为tr(ABBA)tr(AB)tr(BA)0,而tr(kEkn0(当k0时),由于相似矩阵的迹相等,所以ABBA不可能相似于非零矩阵kE.

(2)若存在可逆矩阵A,使ABBAA则BA1BAE,于是A1BABE,即B与

BE相似,从而tr(BE)tr(B)ntr(B)这是不可能的.

性质3.9(1)设A,B同为(反)对称矩阵,则ABBA是对称矩阵,ABBA是反对称矩阵. (2)设A,B有一个为对称矩阵,另一个为反对称矩阵,则ABBA是反对称矩阵,

ABBA是对称矩阵.

推论3.9.1(1)设A,B同为实(反)对称矩阵,则ABBA的特征值的实部为零.

(2)设A,B有一为实对称矩阵,另一个为实反对称矩阵,则ABBA的特征值的实部为零.

证 (1)由性质3.9(1)知ABBA是实反对称矩阵.因为实反对称矩阵的特征值只能是零或纯虚数,所以ABBA的特征值的实部为零. 同理可证(2).

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参考文献

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宁可累死在路上，也不能闲死在家里！宁可去碰壁，也不能面壁。是狼就要练好牙，是羊就要练好腿。什么是奋斗？奋斗就是每天很难，可一年一年却越来越容易。不奋斗就是每天都很容易，可一年一年越来越难。能干的人，不在情绪上计较，只在做事上认真；无能的人！不在做事上认真，只在情绪上计较。拼一个春夏秋冬！赢一个无悔人生！早安！—————献给所有努力的人

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