2020学年马鞍山市新高考高一数学下学期期末学业质量监测试题

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1,x021．已知函数f(x)m，若方程3mf(x)(2m3)f(x)20有5个解，则m的取值范围是

ex,x0（） A．(1,)

B．(0,1)(1,)

3C．1,

2D．1,33, 222．已知a2,1，b1,1，则a在b方向上的投影为（ ） A．2 2B．

2 2C．5 5D．5 53．已知全集U0,1,2,3,4,M0,1,2,N2,3则CUMN ( ) A．2

B．3

C．2,3,4

D．0,1,2,3,4

4．下列命题中错误的是（ ） ．．A．若ab,bc，则ac C．若ab，则2a2b

B．若ab0，则lnblna D．若ab， 则ac2bc2

5．设m,n是两条不同的直线,,是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ） A．若m//,m//,则// C．若m,m//n,则n 6．在△ABC中，ACA．30°

B．若m，mn,则n D．若,m,则m//

2，BC＝1，∠B＝45°，则∠A＝（ ）

B．60°

C．30°或150°

D．60°或120°

7．以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的标准方程是( ) A．(x－1)2＋(y－2)2＝10 C．(x－1)2＋(y－2)2＝5

B．(x－1)2＋(y－2)2＝100 D．(x－1)2＋(y－2)2＝25

8．圆x2y22x2y20与圆x2y24x6y120的位置关系为( ) A．相交

B．相离

C．相切

D．内含

29．已知公式为正数的等比数列an满足：a11，a2a84a4，则前5项和S5( )

A．31 B．21 C．15 D．11

10．已知函数f(x)Asin(x)(A0,0,||)是奇函数，将yfx的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为gx.若gx的最小正周期为2π，且

g2，则4A．2

3f8（ ） C．2 D．2

B．2

11．设b，c表示两条直线，，表示两个平面，则下列命题正确的是（ ） A．若b，c//，则c//b C．若c，，则c

B．若b，b//c，则c// D．若c，c，则

12．设C的内角，，C的对边分别为a，b，c．若a2，c23，cos则b（ ） A．3 B．2

C．22 D．3

3，且bc，2二、填空题：本题共4小题

13．在高一某班的元旦文艺晚会中，有这么一个游戏：一盒子内装有6张大小和形状完全相同的卡片，每张卡片上写有一个成语，它们分别为意气风发、风平浪静、心猿意马、信马由缰、气壮山河、信口开河，从盒内随机抽取2张卡片，若这2张卡片上的2个成语有相同的字就中奖，则该游戏的中奖率为________.

2ex1，x214．f(x){，则f（f（2））的值为____________．

log3(x21)，x215．若点1,a到直线xy10的距离是

32，则实数a=______． 216．已知ABC中内角A,B,C的对边分别是a,b,c，A6，B7，a2，则c为_____． 12三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．函数fx3sinxcosxcosxxR.

2（1）求函数fx的周期和递增区间； （2）若x0,，求函数fx的值域. 218．已知数列an满足a12a23a3（1）求数列an的通项公式； （2）若bnnann2nN*.

1nN*，Tn为数列bnbn1的前n项和，求证：Tn1 nan219．（6分）如图，为了测量河对岸A、B两点的距离，观察者找到一个点C，从C点可以观察到点A、

B；找到一个点D，从D点可以观察到点A、C；找到一个点E，从E点可以观察到点B、C．并测量

得到以下数据，DCA105，ADC30，BCE90，ACBCEB60，DC2002

米，CE1003米．求A、B两点的距离．

20．（6分）从代号为A、B、C、D、E的5个人中任选2人 （1）列出所有可能的结果；

（2）若A、B、C三人为男性，D、E两人为女性，求选出的2人中不全为男性的概率.

21．（6分）某市电视台为了宣传举办问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了人，回答问题统计结果如图表所示．

回答正确 组号 分组 的人数 第1组 第2组 第3组 27 5 回答正确的人数 占本组的概率 0.5 0.9

第4组 第5组 3 0.36 (Ⅰ) 分别求出的值；

(Ⅱ) 从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2,3,4组每组应各抽取多少人? (Ⅲ) 在(Ⅱ)的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求:所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．

22．（8分）从含有两件正品a1,a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求：

（1）一切可能的结果组成的基本事件空间． （2）取出的两件产品中恰有一件次品的概率

参考答案

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．D 【解析】 【分析】

利用因式分解法，求出方程的解，结合函数f(x)的性质，根据题意可以求出m的取值范围. 【详解】

3mf2(x)(2m3)f(x)20[3f(x)2][mf(x)1]0，

21121，或f(x)，由题意可知：f(0)，由题可知：当x0时，f(x)有2个解且f(x)3mm3m213有2个解且m ，

3m21x1x1xx当x0时，f(x)e()，因为f(x)()()f(x)，所以函数f(x)是偶函数，当x0eeef(x)时，函数f(x)是减函数，故有0f(x)1，函数f(x)是偶函数，所以图象关于纵轴对称，即当x0时有，0f(x)1，所以011m1，综上所述； m

33m的取值范围是1,,，故本题选D.

22【点睛】

本题考查了已知方程解的情况求参数取值问题，正确分析函数的性质，是解题的关键. 2．A 【解析】

a在b方向上的投影为

3．B 【解析】 【分析】

abb12，选A.

22先求M的补集，再与N求交集． 【详解】

∵全集U＝{0，1，2，3，4}，M＝{0，1，2}， ∴∁UM＝{3，4}． ∵N＝{2，3}， ∴（∁UM）∩N＝{3}． 故选：B． 【点睛】

本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础题． 4．D 【解析】 【分析】

根据不等式的性质、对数函数和指数函数的单调性，对选项逐一分析，由此得出正确选项. 【详解】

对于A选项，根据不等式传递性可知，A选项命题正确.对于B选项，由于ylnx在定义域上为增函数，

x故B选项正确.对于C选项，由于y2在定义域上为增函数，故C选项正确.对于D选项，当c0时，

命题错误.故选D. 【点睛】

本小题主要考查不等式的性质，考查指数函数和对数函数的单调性，属于基础题. 5．C 【解析】 【分析】

在A中，与相交或平行；在B中，n//或n；在C中，由线面垂直的判定定理得n；在D中，m与平行或m． 【详解】

设m,n是两条不同的直线，,是两个不同的平面，则： 在A中，若m//，m//，则与相交或平行，故A错误； 在B中，若m，mn，则n//或n，故B错误；

在C中，若m，m//n，则由线面垂直的判定定理得n，故C正确； 在D中，若，m，则m与平行或m，故D错误． 故选C． 【点睛】

本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题． 6．A 【解析】 【分析】

直接利用正弦定理求出sinA的大小，根据大边对大角可求A为锐角，即可得解A的值． 【详解】

因为：△ABC中，BC＝1，AC2，∠B＝45°，

2BCAC1所以：，sinABCsinB21． sinAsinBAC22因为：BC＜AC，可得：A为锐角， 所以：A＝30°． 故选：A． 【点评】

本题考查正弦定理在解三角形中的应用，考查计算能力，属于基础题． 7．D 【解析】

分析：由条件求出圆心坐标和半径的值，从而得出结论． 详解：

圆心坐标为(1,2)，半径r＝515222＝5，

故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.故选D.

点睛：本题主要考查求圆的标准方程的方法，求出圆心坐标和半径的值，是解题的关键，属于基础题． 8．B 【解析】 【分析】

首先把两个圆的一般方程转化为标准方程，求出其圆心坐标和半径，再比较圆心距与半径的关系即可. 【详解】

有题知：圆xy2x2y20，

22即：(x1)(y1)4，圆心C1(1,1)，半径r12.

2222圆xy4x6y120，

22即：(x2)+(y+3)1，圆心C2(2,3)，半径r21.

C1C2(12)2(13)213r1r23

所以两个圆的位置关系是相离. 故选：B 【点睛】

本题主要考查圆与圆的位置关系，比较圆心距和半径的关系是解决本题的关键，属于简单题. 9．A 【解析】 【分析】

由条件求出数列an的公比q．再利用等比数列的前n项求和公式即可得出． 【详解】

2公比为正数的等比数列an满足：a11，a2a84a4

22则a2a8a54a4，即a52a4.

所以q故选：A

2,所以S5a11q51q12531. 12【点睛】

本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 10．C 【解析】 【分析】

只需根据函数性质逐步得出A,,值即可。 【详解】

因为f(x)为奇函数，∴f(0)Asin0，=k,k0,0；

12g(x)Asinx,T2, 1又222，A2，又g()2 4∴f(x)2sin2x，f(故选C。 【点睛】

本题考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数gx。 11．D 【解析】 【分析】

对选项进行一一判断，选项D为面面垂直判定定理. 【详解】

对A，c与b可能异面，故A错；对B，c可能在平面内；

对C，c与平面可能平行，故C错；对D，面面垂直判定定理，故选D. 【点睛】

本题考查空间中线、面位置关系，判断一个命题为假命题，只要能举出反例即可. 12．B 【解析】

由余弦定理得：a2b2c22bccos，所以22b223解得：b2或b4，因为bc，所以b2，故选B． 考点：余弦定理． 二、填空题：本题共4小题 13．

3)2. 822b233，即b26b80，22 5【解析】 【分析】

先列举出总的基本事件，在找出其中有2个成语有相同的字的基本事件个数，进而可得中奖率. 【详解】

解：先观察成语中的相同的字，用字母来代替这些字，气—A，风—B，马—C，信—D，河—E，意—F，用ABF，B，CF，CD，AE，DE分别表示成语意气风发、风平浪静、心猿意马、信马由缰、气壮山河、信口开河，

则从盒内随机抽取2张卡片有

ABF,B,ABF,CF,ABF,CD,ABF,AE,ABF,DE,B,CF,B,CD,B,AE,B,DE,CF,CD,CF,AE,CF,DE, CD,AE,CD,DE,AE,DE共15个基本事件，

其中有相同字的有ABF,B,ABF,CF,ABF,AE,CF,CD,CD,DE,AE,DE共6个基本事件，

该游戏的中奖率为P故答案为：【点睛】

本题考查古典概型的概率问题，关键是要将符合条件的基本事件列出，是基础题. 14．1 【解析】 【分析】

先求f（1），再根据f（1）值所在区间求f（f（1））. 【详解】

由题意，f（1）=log3（11–1）=1，故f（f（1））=f（1）=1×e1–1=1，故答案为：1． 【点睛】

本题考查分段函数求值，考查对应性以及基本求解能力. 15．1或1 【解析】 【分析】

由点到直线的距离公式进行解答，即可求出实数a的值． 【详解】

点（1，a）到直线x﹣y+1＝0的距离是

62， 1552. 532， 2∴

1a11212322；

即|a﹣2|＝3，

解得a＝﹣1，或a＝1， ∴实数a的值为﹣1或1． 故答案为：﹣1或1． 【点睛】

本题考查了点到直线的距离公式的应用问题，解题时应熟记点到直线的距离公式，是基础题． 16．22 【解析】 【分析】

根据正弦定理即可． 【详解】 因为A6，B7，a2；所以C1267124，由正弦定理可得

acc22 sinAsinC【点睛】

本题主要考查了正弦定理：

abc2R,属于基础题． sinAsinBsinC三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）周期为，单调递增区间为k,kkZ；（2）1,.

263【解析】 【分析】

（1）利用二倍角降幂公式、两角差的正弦公式将函数yfx的解析式化简为

11fxsin2x，然后利用周期公式可计算出函数yfx的周期，解不等式

622k22x62k2kZ即可得出函数yfx的单调递增区间；

（2）由x0,值域. 【详解】 （1）

sin2x2x计算出的取值范围，可得出进而可得出函数yfx的的范围，266fx3sinxcosxcos2x31cos2x311sin2xsin2xcos2x22222sin2xcos6cos2xsin611sin2x， 262

所以，函数yfx的周期为由2k2， 222x62k2kZ，解得k6xk3kZ，

因此，函数yfx的单调递增区间为k6,kkZ； 3（2）当x0,151sin2x11fx2x时，，则，， 262266611,. 上的值域为22因此，函数yfx在区间0,【点睛】

本题考查正弦型三角函数周期、单调区间以及值域的求解，解题的关键就是利用三角恒等变换思想将解析式进行化简，考查运算求解能力，属于中等题. 18．（1）an【解析】 【分析】

（1）由a12a23a32n1．（2）证明见解析 nnann2nN*，

n1an1n1，两式相减可求数列的通项公式；

2可得当n2时，a12a23a3（2）将an带入bn【详解】

（1）解：∵a12a23a3∴a12a23a31nN*，再计算bnbn1，通过裂项相消计算Tn，即可证明出Tn1。 nan2nann2nN*，

2， n1an1n1（n2，nN*）

两式相减得：nan2n1，∴an当n1时，a11，满足上式， ∴an2n1n2． n2n1． n112n1，∴bn， na2n1nn（2）证明：由（1）知an∴bnbn1111，

2n12n122n12n111 2n12n11∴Tn111112335

1111． 22n12【点睛】

本题考查利用公式anSnSn1求解数列的通项公式及裂项相消求数列的前n项和，属于基础题。 19．AB1007米 【解析】 【分析】

在ACD中，求出DAC，利用正弦定理求出AC，然后在RtBCE中利用锐角三角函数定义求出BC，最后在ABC中，利用余弦定理求出AB. 【详解】

由题意可知，在ACD中，DAC45， 由正弦定理得

DCsinADCACDC200米， ，所以ACsinADCsinDACsinDAC在RtBCE中，BC10033300米， 在ABC中，由余弦定理得

1AB2AC2BC22ACBCcos6020023002220030070000，

2所以，AB1007米. 【点睛】

本题考查利用正弦、余弦定理解三角形应用题，要将实际问题转化为三角形的问题，并结合已知元素类型选择正弦、余弦定理解三角形，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 20．（1）见解析（2）0.7 【解析】 【分析】

（1）从代号为A、B、C、D、E的5个人中任选2人，利用列举法能求出所有可能的结果． （2）A、B、C三人为男性，D、E两人为女性，利用列举法求出选出的2人中不全为男性包含的基本事件有7种，由此能求出选出的2人中不全为男性的概率． 【详解】

（1）从代号为A、B、C、D、E的5个人中任选2人． 所有可能的结果有10种，分别为：

(A,B)，(A,C)，(A,D)，(A,E)，(B,C)，(B,D)，(B,E)，(C,D)，(C,E)，(D,E)．

（2）A、B、C三人为男性，D、E两人为女性，

选出的2人中不全为男性包含的基本事件有7种，分别为：

(A,D)，(A,E)，(B,D)，(B,E)，(C,D)，(C,E)，(D,E)． 选出的2人中不全为男性的概率p【点睛】

本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

21． (Ⅰ) a18,b9,x0.9,y0.2；(Ⅱ)第2组抽2人；第3组抽3人；第4组抽1人；（III）【解析】 【分析】 【详解】

(Ⅰ)由频率表中第1组数据可知,第1组总人数为

,再结合频率分布直方图可知

,

7． 103. 5∴a=100×0.020×10×0.9=18,b=100×0.025×10×0.36=9,

(Ⅱ)第2,3,4组中回答正确的共有54人．∴利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为:第2组:

人, 第3组:

人, 第4组:,第3组的3人为，

，

，、

人． 、，

,第4组的1人为,则从6人中抽2人所有可能，

，

，

，，

，，

，，

，，

，，

(Ⅲ)设第2组的2人为、的结果有：

，，

，

，

，共15个基本事件,其中第2组至少有1人被抽中的有，

这9个基本事件．

∴第2组至少有1人获得幸运奖的概率为

本题考查分层抽样方法、统计基础知识与等可能事件的概率．注意等可能事件中的基本事件数的准确性．22． (1) a1,a2和a1,b1,a2,a1,a2,b1,b1,a1,b1,a2 ；(2) 【解析】 【分析】

（1）注意先后顺序以及是不放回的抽取；（2）在所有可能的事件中寻找符合要求的事件，然后利用古典概型概率计算公式求解即可. 【详解】

（1）每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个， 即a1,a2和a1,b1,a2,a1,a2,b1,b1,a1,b1,a2

其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品 （2）用A表示“取出的两种中，恰好有一件次品”这一事件，

2 3

则Aa1,b1,a2,b1,b1,a1,b1,a2 ∴事件A由4个基本事件组成，因而，PA【点睛】

本题考查挂古典概型的基本概率计算，难度较易.对于放回或不放回的问题，一定要注意区分其中的不同.

42=． 63

2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ） A．3 B．23 C．33 D．43 2．已知点A1,2在直线axby10(a0,b0)上，若存在满足该条件的a,b使得不等式

12m28m成立，则实数m的取值范围是（） abA．(,1][9,)

B．(,9][1,) C．1,9

D．9,1

3．若一个数列的前三项依次为6，18，54，则此数列的一个通项公式为（ ） A．an4n2

B．an2n4

nC．an23

nD．an32

4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则该人最后一天走的路程为（ ）. A．24里

B．12里

C．6里.

D．3里

5．已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2bcosC2ac，若b3，则ABC的外接圆面积为（ ） A．

 48B．

12

nC．12 D．3

6．数列an满足an11an2n1，则数列an的前60项和等于（ ） A．1830

B．1832

C．1834

D．1836

7．若a,b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是（ ） A．相交

B．异面

C．平行

D．异面或相交

218．若x0,y0，且1，x2ym27m恒成立，则实数m的取值范围是（ ）

xyA．(8,1)

C．(,1)(8,)

B．(,8)(1,) D．(1,8)

x1,9．已知变量x，y满足约束条件xy0,则z2xy取最大值为（ ）

xy20,A．2

B．1

C．1

D．2

10． 下列函数中，图象的一部分如图所示的是 （ ）

A．ysinx6

B．ysin2x 6C．ycos4x3

D．ycos2x 611．若不等式x2x2a16b恒成立，则实数x的取值范围是（ ） 对任意a， b0，ba0 A．2，12．集合A{xR|A．0

2 B．4，20， C．，4D．， 2，13x3}，BxZx11，则A(CZB)中元素的个数为（ ） 3B．1 C．2 D．3

二、填空题：本题共4小题

13．已知0,2，若方程sinx3cosx2sinx的解集为R，则__________． 14．长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5 ，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是

15．将边长为1的正方形ABCD1中，把ACD1沿对角线AC折起到ACD，使平面ADC⊥平面ABC，则三棱锥DABC的体积为________.

16．22cos821sin8的化简结果是_________. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．已知数列an中，a11，an1annN*．

an311（1）证明数列为等比数列，并求an的通项公式；

an2（2）数列bn满足bn31nnan，数列bn的前n项和为Tn，求证Tn4． n218．已知在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，AD1,AB2，E,F分别是AB，PD的中点，PC与平面ABCD所成的角的正切值是5； 5

（1）求证：AF//平面PCE； （2）求二面角PECD的正切值．

19．（6分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，3sinBcosB1. （1）求角B； （2）若b3，求ABC周长的取值范围.

20．（6分）在国内汽车市场中，国产SUV出现了持续不退的销售热潮，2018年国产SUV销量排行榜完整版已经出炉，某品牌车型以惊人的销量成绩击退了所有虎视眈眈的对手，再次霸气登顶，下面是该品牌国产SUV分别在2017年与2018年7～11月份的销售量对比表 时间 2017年（单位：万辆） 2018年（单位：万辆） 7月 2.8 3.8 8月 3.9 3.9 9月 3.5 4.5 10月 4.4 4.9 11月 5.4 5.4 （Ⅰ）若从7月至11月中任选两个月份，求至少有一个月份这两年该国产品牌SUV销量相同的概率． （Ⅱ）分别求这两年7月至11月的销售数据的平均数，并直接判断哪年的销售量比较稳定．

21．（6分）为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下：

服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：

0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4 服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：

3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5

（1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果来看，哪种药的效果好？ （2）完成茎叶图，从茎叶图来看，哪种药疗效更好？ 22．（8分）如图为函数

的图象.

(Ⅰ)求函数(Ⅱ)若

时，函数

的解析式；

有零点，求实数m的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．A 【解析】 【分析】 【详解】

三棱锥的表面积为四个边长为1的等边三角形的面积和， 故S表面4(2．B 【解析】 【分析】

根据题干得到a2b1，存在满足该条件的a,b使得不等式

321)3，故选A. 412m28m成立，即ab12m28m，再根据均值不等式得到最小值为9，再由二次不等式的解法得到结果.

abmin

【详解】

点A1,2在直线axby10(a0,b0)上,故得到a2b10a2b1， 存在满足该条件的a,b使得不等式

121222m8mm8m成立，即

ababmin122a2b12a2b5549 ababba故原题转化为m28m9m1或m9. 故答案为：B 【点睛】

本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解决二元的范围或者最值问题，常用的方法有：不等式的应用，二元化一元的应用，线性规划的应用，等. 3．C 【解析】 【分析】

616306，1836316，5496326，可以归纳出数列的通项公式．

【详解】

依题意，616306，1836316，5496326，

n-1n所以此数列的一个通项公式为an6323，

故选：C． 【点睛】

本题考查了数列的通项公式，主要考查归纳法得到数列的通项公式，属于基础题． 4．C 【解析】 【分析】

由题意可知，每天走的路程里数构成以项公式求得该人最后一天走的路程． 【详解】

解：记每天走的路程里数为an，可知an是公比q1为公比的等比数列，由S6378求得首项，再由等比数列的通21的等比数列， 21a1162由S6378，得S6378，解得：a1192，

112

a6192故选C． 【点睛】

16， 52本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题． 5．D 【解析】 【分析】 先化简得B【详解】

2，再利用正弦定理求出外接圆的半径，即得ABC的外接圆面积. 3a2b2c2由题得2b2ac，

2ab所以a2b2c22a2ac， 所以a2b2c2ac， 所以2accosBac,cosB所以B1, 22. 33=2R,R3, 由正弦定理得32所以ABC的外接圆面积为3=3. 故选D 【点睛】

本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 6．A 【解析】 【分析】

当n为正奇数时，可推出anan22，当n为正偶数时，可推出anan24n，将该数列的前60项和表示为a1a3a5a72a57a59a2a4a6a8a58a60结合前面的规律，

可计算出数列an的前60项和. 【详解】

当n为正奇数时，由题意可得an1an2n1，an2an12n1，

两式相减得anan22；

当n为正偶数时，由题意可得an1an2n1，an2an12n1， 两式相加得anan24n. 因此，数列an的前60项和为

a1a3a5a72154246故选:A. 【点睛】

a57a59a2a4a6a845830a58a6042458151830.

2本题考查数列求和，找出数列的规律是解题的关键，考查推理能力，属于中等题. 7．D 【解析】 【详解】 若则但是

若选项故选8．A 【解析】 【分析】

． 与与

为异面直线，且直线可能相交，也可能异面， 不能平行， ，则、

、

，与已知矛盾， 不正确

，

21将代数式与x2y相乘，展开式利用基本不等式求出x2y的最小值8，将问题转化为解不等式

xym27mx2ymin，解出即可.

【详解】

由基本不等式得x2y214yx4yxx2y4248， xyxyxy

当且仅当

4yxx,y0，即当x2y时，等号成立，所以，x2y的最小值为8. xy2由题意可得m7mx2ymin8，即m27m80，解得8m1. 因此，实数m的取值范围是(8,1)，故选A. 【点睛】

本题考查基本不等式的应用，考查不等式恒成立问题以及一元二次不等式的解法，对于不等式恒成立问题，常转化为最值来处理，考查计算能力，属于中等题． 9．C 【解析】 【分析】

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 【详解】

x1,xy0x1由约束条件xy0,作出可行域如图，当，即点A1,1，

xy20y1xy20,化目标函数z2xy为y2xz，由图可知，当直线y2xz过A时， 直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2111． 故选：C．

【点睛】

本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题． 10．D 【解析】 【分析】 【详解】

设图中对应三角函数最小正周期为T，从图象看出，T=

1264，

所以函数的最小正周期为π，函数应为y=sin2x向左平移了个单位， 即ysin2(x11．B 【解析】

∵不等式x2x∵ 2)=sin(2x)cos(2x)cos(2x)，选D.

32366a16ba16b恒成立，∴x22x（）对任意a， b0，min，

babaa16ba16ba16ba16b），即a4b时取等号，∴（28，当且仅当min8，

babababa2，故选B. ∴x22x8，∴4x2，∴实数x的取值范围是4，12．C 【解析】

Ax|1x1,BxZ|x0,或x2，则CzB0,1,2，

所以ACzB0,1，元素个数为2个。故选C。 二、填空题：本题共4小题 13．

 3【解析】 【分析】

将sinx3cosx利用辅助角公式化简，可得出的值. 【详解】

13sinx3cosx2sinxcosx2sinxcoscosxsin2sinx， 221cos2其中，sin32【点睛】

02，因此，3，故答案为

. 3本题考查利用辅助角公式化简计算，化简时要熟悉辅助角变形的基本步骤，考查运算求解能力，属于中等题. 14．50 【解析】 【分析】

利用长方体的体对角线是长方体外接球的直径,求出球的半径，从而可得结果. 【详解】

本题主要考查空间几何体的表面积与体积． 长方体的体对角线是长方体外接球的直径, 设球的半径为R，则(2R)34550,

2222可得R52，球的表面积4R250 2故答案为50. 【点睛】

本题主要考查长方体与球的几何性质，以及球的表面积公式，属于基础题. 15．

2 12【解析】 【分析】

由面面垂直的性质定理可得DO面ABC，再结合三棱锥的体积的求法求解即可. 【详解】

解：取AC中点O,连接DO，

因为四边形ABCD1为边长为1的正方形， 则DADC,即DOAC, 又平面ADC⊥平面ABC，

由面面垂直的性质定理可得：DO面ABC， 且DO22, AB2211122, SABCDO123322122. 12则VDABC故答案为：

【点睛】

本题考查了三棱锥的体积的求法，重点考查了面面垂直的性质定理，属中档题. 16．2sin4 【解析】 原式4cos242sin4cos42532cos42sin4cos4，因为4，所以cos40，且

42sin4cos4，所以原式2cos42sin4cos42sin4．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（1）证明见解析；an【解析】 【分析】

2n2T42 ；（）n3n12n111311113n13n3，（1）先证明数列是以3为公比，以为首项的等比数列，从而

a22a2a2221nn由此能求出an的通项公式；（2）由（1）推导出bnn，从而2n111111Tn102132n1n2nn1，利用错位相减法求和，利用放缩法证明

22222Tn4．

【详解】

1由an1得

an，nN*， an31an1an331， anan1an11113， 2an2

数列11311是以3为公比，以为首项的等比数列，

a122an2113n13n3， 从而

an222an2. n312数列bn满足bn31nnan， n2bnn， 2n111111Tn102132n1n2nn1，

22222Tn11111122n1n1nn， 22222两式相减得：

Tn11111n2012n1nn2n， 2222222n2Tn4n1.

2n20，nN*，Tn4. n12【点睛】

本题主要考查等比数列的定义、通项公式与求和公式，以及错位相减法的应用，是中档题．一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列bn的公比，然后作差求解, 在写出“Sn”与“qSn” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式. 18． (1)见证明；(2) 【解析】 【分析】

（1）取PC的中点M，连接MF,ME，通过证明四边形AEMF是平行四边形，证得AF//EM，从而证得AF//平面PCE.（2）连接AC，证得PCA为PC与平面ABCD所成角.根据tanPCA的值求 得PA的长，作出二面角PECD的平面角并证明，解直角三角形求得二面角PECD的正切值．【详解】

（1）证明：取PC的中点M，连接MF,ME.∵F是PD中点

2

//CD ∴MF2//CD 又E是AB的中点,∴ AE2

11

//MF，从而四边形AEMF是平行四边形， 故AF//EM ∴AE又AF平面PCE，EM平面PCE，∴AF//PCE （2）∵PA平面ABCD，∴AC是PC在平面ABCD内的射影

PCA为PC与平面ABCD所成角，

四边形ABCD为矩形， ∵AD1,AB2,∴AC∴PA1

过A点作AH⊥CE交CE的延长线于H，连接PH， ∵PA平面ABCD

据三垂线定理知PHCE.∴PHA是二面角PECD的平面角 易知道AHE为等腰直角三角形，∴AHAEsin45∴tanPHA5,tanPCAPA5 AC52 2PA=2 AH∴二面角PECD的正切值为2

【点睛】

本小题主要考查线面平行的证明，考查线面角的定义和应用，考查面面角的正切值的求法，考查逻辑推理能力和空间想象能力，属于中档题. 19．（1）【解析】 【分析】

（1）根据辅助角公式和B的范围，得到B的值；

（2）利用余弦定理和基本不等式，得到ac的范围，结合三角形三边关系，从而得到周长的取值范围. 【详解】

2；（2）23,32 3

（1）因为3sinBcosB1，

311sinB， sinBcosB1所以2，即2622因为B0,，所以B所以B7,， 666652，所以B；

36（2）在ABC中，由余弦定理得

b2a2c22accosB

a2c2acacac

2ac，

由基本不等式可知ac22ac

又b3，所以3ac222解得0ac2，

根据三角形三边关系得acb，即ac故ac3，

3,2

所以ABC周长的范围为23,32. 【点睛】

本题考查辅助角公式，余弦定理解三角形，基本不等式求最值，三角形三边关系，属于中档题. 20．（Ⅰ）【解析】 【分析】

（Ⅰ）列举出所有可能的情况，在其中找到至少一个月份两年销量相同的情况，根据古典概型概率公式求

22得结果；（Ⅱ）根据平均数和方差的计算公式分别计算出两年销量的平均数与方差；由s2018s2017可得结

7；（Ⅱ）x20174，x20184.5，2018年销售量更稳定. 10论. 【详解】

（Ⅰ）从7月至11月中任选两个月份，记为a,b，所有可能的结果为：

7,8，7,9，7,10，7,11，8,9，8,10，8,11，9,10，9,11，10,11，共10种情况

记事件A为“至少有一个月份这两年国产品牌SUV销量相同”，则有：

7,8，7,11，8,9，8,10，8,11，9,11，10,11，共7种情况

77，即至少有一个月份这两年国产品牌SUV销量相同的概率为

10102.83.93.54.45.44 （Ⅱ）2017年销售数据平均数为：x201751222222方差s20172.843.943.544.445.440.764

53.83.94.54.95.44.5 2018年销售数据平均数为：x20185PA方差

1222222s20183.84.53.94.54.54.54.94.55.44.50.364522s2018s2017

2018年的销售量更稳定

【点睛】

本题考查古典概型概率问题的求解、计算数据的平均数、利用方差评估数据的稳定性的问题；处理古典概型问题的关键是通过列举的方式得到所有基本事件个数和满足题意的基本事件个数，从而利用公式求得结果.

21．（4）服用A药睡眠时间平均增加4.4；服用B药睡眠时间平均增加4.6；从计算结果来看，服用A药的效果更好； （4） A药 6 4 5 8 4 5 7 8 4 4 5 6 7 9 4 4 4 5 4 4 4． 4． 4． 4． B药 8 9 5 6 5 7 9 4 4 4 6 8 4 4 4 6 4 5 7 4 从茎叶图来看，A的数据大部分集中在第二、三段，B的数据大部分集中在第一、二段，故A药的药效好. 【解析】

(4)设A药观测数据的平均数为

B药观测数据的平均数为，

.由观测结果可得：＝×(4.6＋4.4＋4.4＋4.5

＋4.5＋4.8＋4.4＋4.4＋4.4＋4.4＋4.5＋4.6＋4.7＋4.7＋4.8＋4.9＋4.4＋4.4＋4.4＋4.5)＝4.4，

＝×(4.5＋4.5＋4.6＋4.8＋4.9＋4.4＋4.4＋4.4＋4.4＋4.4＋4.6＋4.7＋4.8 ＋4.9＋4.4＋4.4＋4.5＋4.6＋4.7＋4.4)＝4.6. 由以上计算结果可得＞

，因此可看出A药的疗效更好．

(4)由观测结果可绘制如下茎叶图：

从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有叶集中在茎4,4上，由此可看出A药的疗效更好． 考点：茎叶图、平均数. 22． (Ⅰ)

；(Ⅱ)

的叶集中在茎4,4上，而B药疗效的试验结果有的

【解析】 【分析】

(Ⅰ)根据三角函数的图像，得到周期，求出

，再由函数零点，得到

，结合题

中条件，即可求出，从而可得函数解析式；

(Ⅱ)先由题意得到，再将函数有零点，化为方程

有实根，从而可求出结果.

【详解】 (Ⅰ)由图象知，

∴∵

，

，及

得

而，，得

故

(Ⅱ)∵

∴，则

又函数∵

有零点，故方程有实根

∴

.

因此，实数m的取值范围是【点睛】

本题主要考查由三角函数的部分图像求解析式的问题，以及由函数的零点求参数的问题，熟记三角函数的图像与性质即可，属于常考题型.