方城县第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

方城县第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 已知双曲线C 的一个焦点与抛物线y2=8渐近线方程是（ ） A．y=±

x B．y=±

C．xy=±2

x

D．y=±

x

x的焦点相同，且双曲线C过点P（﹣2，0），则双曲线C的

2． 下列各组函数为同一函数的是（ ） A．f（x）=1；g（x）= B．f（x）=x﹣2；g（x）=C．f（x）=|x|；g（x）=

D．f（x）=

•

；g（x）=

3． 已知函数 f（x）的定义域为R，其导函数f′（x）的图象如图所示，则对于任意x1，x2∈R（ x1≠x2），下列结论正确的是（ ） ①f（x）＜0恒成立；

②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0； ③（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0； ④⑤

； ．

A．①③ B．①③④ C．②④ D．②⑤

4． 已知函数f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x＜0时，函数的部分图象如图所示，则不等式xf（x）＜0的解集是（ ）

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精选高中模拟试卷

A．（﹣2，﹣1）∪（1，2） B．（﹣2，﹣1）∪（0，1）∪（2，+∞）

C．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（1，2） D．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（0，1）∪（2，+∞）

5． 已知函数f（x）=1+x﹣

+

﹣

+…+

，则下列结论正确的是（ ） B．f（x）在（﹣1，0）上恰有一个零点 D．f（x）在（﹣1，0）上恰有两个零点

A．f（x）在（0，1）上恰有一个零点 C．f（x）在（0，1）上恰有两个零点

6． 已知两点M（1，），N（﹣4，﹣），给出下列曲线方程： ①4x+2y﹣1=0；

22

②x+y=3；

③④

+y2=1；

2

﹣y=1．

在曲线上存在点P满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是（ ）

A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④

7． 在抛物线y2=2px（p＞0）上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为（ ） A．x=1 B．x= C．x=﹣1

8． 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）

D．x=﹣

x22A、f(x)x与f(x) B、f(x)x1 与f(x)(x1)

x C、f(x)x与

f(x)3x3 D、f(x)x与f(x)(x)2

9． 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a=5，b=4，cosC=，则△ABC的面积是（ ） A．16

B．6

C．4

D．8

10．已知四个函数f（x）=sin（sinx），g（x）=sin（cosx），h（x）=cos（sinx），φ（x）=cos（cosx）在x∈[﹣π，π]上的图象如图，则函数与序号匹配正确的是（ ）

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A．f（x）﹣①，g（x）﹣②，h（x）﹣③，φ（x）﹣④ h（x）﹣④

B．f（x）﹣①，φ（x）﹣②，g（x）﹣③，

C．g（x）﹣①，h（x）﹣②，f（x）﹣③，φ（x）﹣④ D．f（x）﹣①，h（x）﹣②，g（x）﹣③，φ（x）﹣④

11．为了解决低收入家庭的住房问题，某城市修建了首批108套住房，已知A,B,C三个社区分别有低收入家 庭360户，270户，180户，现采用分层抽样的方法决定各社区所分配首批经济住房的户数，则应从C社 区抽取低收入家庭的户数为（ ）

A．48 B．36 C．24 D．18

【命题意图】本题考查分层抽样的概念及其应用，在抽样考查中突出在实际中的应用，属于容易题． 12．已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点M（0，2）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ） A．3

B．

C．

D．

二、填空题

13．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面AB1D1和平面BC1D的位置关系为 ． 14．数列{an}是等差数列，a4=7，S7= ．

15．设函数f（x）=16．已知函数

，则f（f（﹣2））的值为 ．

为定义在区间[﹣2a，3a﹣1]上的奇函数，则a+b= ．

ym17．设mR，实数x，y满足2x3y60，若2xy18，则实数m的取值范围是___________．

3x2y60【命题意图】本题考查二元不等式（组）表示平面区域以及含参范围等基础知识，意在考查数形结合的数学思想与运算求解能力．

18．已知z，ω为复数，i为虚数单位，（1+3i）z为纯虚数，ω=

，且|ω|=5

，则复数ω= ．

三、解答题

19．生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下： 测试指标 [70，76） [76，82） [82，88） [88，94） [94，100] 第 3 页，共 17 页

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元件A 元件B 8 7 12 18 40 40 32 29 8 6 （Ⅰ）试分别估计元件A，元件B为正品的概率； （Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（Ⅰ）的前提下，

（ⅰ）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望； （ⅱ）求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率．

20．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且满足2bcosC=2a﹣c． （Ⅰ）求B； （Ⅱ）若△ABC的面积为

21．某校从高一年级学生中随机抽取40名学生作为样本，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），[90，100）后得到如图的频率分布直方图． （Ⅰ）求图中实数a的值；

（Ⅱ）根据频率分布直方图，试估计该校高一年级学生其中考试数学成绩的平均数；

（Ⅲ）若从样本中数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．

，b=2求a，c的值．

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2x22．【启东中学2018届高三上学期第一次月考（10月）】设a1,函数fx1xea.

（1）证明（2）若曲线证明:m

3在0,a1上仅有一个零点；

在点

处的切线与轴平行,且在点

处的切线与直线

平行（,O是坐标原点）,

a21 e23．（本小题满分12分）

已知函数fx3sinxcosxcos2x3. 2（1）当x，时，求函数yfx的值域；

36x2，若函数gx在区间，上是增函数，求的最大值． （2）已知0，函数gxf62123

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24．已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）

（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程； （2）求函数f（x）的极值．

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方城县第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】A

2

【解析】解：抛物线y=8

x的焦点（2，0），

，

．

2

双曲线C 的一个焦点与抛物线y=8

x的焦点相同，c=2

双曲线C过点P（﹣2，0），可得a=2，所以b=2双曲线C的渐近线方程是y=±故选：A．

x．

【点评】本题考查双曲线方程的应用，抛物线的简单性质的应用，基本知识的考查．

2． 【答案】C

【解析】解：A、函数f（x）的定义域为R，函数g（x）的定义域为{x|x≠0}，定义域不同，故不是相同函数；B、函数f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为{x|x≠﹣2}，定义域不同，故不是相同函数； C、因为

综上可得，C项正确．

故选：C．

3． 【答案】 D

【解析】解：由导函数的图象可知，导函数f′（x）的图象在x轴下方，即f′（x）＜0，故原函数为减函数， 并且是，递减的速度是先快后慢．所以f（x）的图象如图所示． f（x）＜0恒成立，没有依据，故①不正确；

②表示（x1﹣x2）与[f（x1）﹣f（x2）]异号，即f（x）为减函数．故②正确； ③表示（x1﹣x2）与[f（x1）﹣f（x2）]同号，即f（x）为增函数．故③不正确， ④⑤左边边的式子意义为x1，x2中点对应的函数值，即图中点B的纵坐标值， 右边式子代表的是函数值得平均值，即图中点A的纵坐标值，显然有左边小于右边， 故④不正确，⑤正确，综上，正确的结论为②⑤． 故选D．

，故两函数相同；

D、函数f（x）的定义域为{x|x≥1}，函数g（x）的定义域为{x|x≤1或x≥1}，定义域不同，故不是相同函数．

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4． 【答案】D

【解析】解：根据奇函数的图象关于原点对称，作出函数的图象，如图 则不等式xf（x）＜0的解为：

或

解得：x∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（0，1）∪（2，+∞） 故选：D．

5． 【答案】B

232014

【解析】解：∵f′（x）=1﹣x+x﹣x+…+x

=（1﹣x）（1+x2+…+x2012）+x2014； ∴f′（x）＞0在（﹣1，0）上恒成立； 故f（x）在（﹣1，0）上是增函数； 又∵f（0）=1，

＜0；

f（﹣1）=1﹣1﹣﹣﹣…﹣故选B．

故f（x）在（﹣1，0）上恰有一个零点；

【点评】本题考查了导数的综合应用及函数零点的个数的判断，属于中档题．

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6． 【答案】 D

【解析】解：要使这些曲线上存在点P满足|MP|=|NP|，需曲线与MN的垂直平分线相交． MN的中点坐标为（﹣，0），MN斜率为∴MN的垂直平分线为y=﹣2（x+），

∵①4x+2y﹣1=0与y=﹣2（x+），斜率相同，两直线平行，可知两直线无交点，进而可知①不符合题意．

222

②x+y=3与y=﹣2（x+），联立，消去y得5x﹣12x+6=0，△=144﹣4×5×6＞0，可知②中的曲线与MN的

=

垂直平分线有交点，

③中的方程与y=﹣2（x+），联立，消去y得9x﹣24x﹣16=0，△＞0可知③中的曲线与MN的垂直平分线

2

有交点，

2

④中的方程与y=﹣2（x+），联立，消去y得7x﹣24x+20=0，△＞0可知④中的曲线与MN的垂直平分线有

交点，

故选D

7． 【答案】C

【解析】解：由题意可得抛物线y2=2px（p＞0）开口向右， 焦点坐标（，0），准线方程x=﹣，

由抛物线的定义可得抛物线上横坐标为4的点到准线的距离等于5， 即4﹣（﹣）=5，解之可得p=2 故抛物线的准线方程为x=﹣1． 故选：C．

【点评】本题考查抛物线的定义，关键是由抛物线的方程得出其焦点和准线，属基础题．

8． 【答案】C 【解析】

试题分析：如果两个函数为同一函数，必须满足以下两点：①定义域相同，②对应法则相同。

选项A中两个函数定义域不同，选项B中两个函数对应法则不同，选项D中两个函数定义域不同。故选C。 考点：同一函数的判定。 9． 【答案】D

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【解析】解：∵a=5，b=4，cosC=，可得：sinC=∴S△ABC=absinC=故选：D．

10．【答案】 D

=8．

=，

【解析】解：图象①是关于原点对称的，即所对应函数为奇函数，只有f（x）；

图象②④恒在x轴上方，即在[﹣π，π]上函数值恒大于0，符合的函数有h（x）和Φ（x）， 又图象②过定点（0，1），其对应函数只能是h（x）， 那图象④对应Φ（x），图象③对应函数g（x）． 故选：D．

【点评】本题主要考查学生的识图、用图能力，从函数的性质入手结合特殊值是解这一类选择题的关键，属于基础题．

11．【答案】C

【解析】根据分层抽样的要求可知在C社区抽取户数为10812．【答案】B 则F（，0），

180210824．

3602701809

【解析】解：依题设P在抛物线准线的投影为P′，抛物线的焦点为F，

．

依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP′|=|PF|， 则点P到点M（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和， d=|PF|+|PM|≥|MF|=

=

．

即有当M，P，F三点共线时，取得最小值，为故选：B． 想．

【点评】本题主要考查抛物线的定义解题，考查了抛物线的应用，考查了学生转化和化归，数形结合等数学思

二、填空题

13．【答案】 平行 ．

【解析】解：∵AB1∥C1D，AD1∥BC1，

AB1⊂平面AB1D1，AD1⊂平面AB1D1，AB1∩AD1=A

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C1D⊂平面BC1D，BC1⊂平面BC1D，C1D∩BC1=C1 由面面平行的判定理我们易得平面AB1D1∥平面BC1D 故答案为：平行．

【点评】本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，在判断线与面的平行与垂直关系时，正方体是最常用的空间模型，大家一定要熟练掌握这种方法．

14．【答案】49 【解析】解：==7a4 =49． 故答案：49．

【点评】本题考查等差数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细求解．

15．【答案】 ﹣4 ．

【解析】解：∵函数f（x）=

2

∴f（﹣2）=4﹣=

，

， ）=

=﹣4．

f（f（﹣2））=f（

故答案为：﹣4．

16．【答案】 2 ．

【解析】解：∵f（x）是定义在[﹣2a，3a﹣1]上奇函数， ∴定义域关于原点对称， 即﹣2a+3a﹣1=0， ∴a=1， ∵函数∴f（﹣x）=

xx

即b•2﹣1=﹣b+2，

为奇函数，

=﹣

，

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∴b=1． 即a+b=2，

故答案为：2．

17．【答案】[3,6]. 【

解

析

】

18．【答案】 ±（7﹣i） ．

．

【解析】解：设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，∴ 又ω=

=．

=

，|ω|=

，∴

2

把a=3b代入化为b=25，解得b=±5，∴a=±15．

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∴ω=±

故答案为±（7﹣i）．

=±（7﹣i）．

【点评】熟练掌握复数的运算法则、纯虚数的定义及其模的计算公式即可得出．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）元件A为正品的概率约为元件B为正品的概率约为次B次．

∴随机变量X的所有取值为90，45，30，﹣15． ∵P（X=90）=P（X=﹣15）=

∴随机变量X的分布列为： EX=

．

=；P（X=45）=

=

．

=

；P（X=30）=

=；

．

．

（Ⅱ）（ⅰ）∵生产1件元件A和1件元件B可以分为以下四种情况：两件正品，A次B正，A正B次，A

（ⅱ）设生产的5件元件B中正品有n件，则次品有5﹣n件． 依题意得 50n﹣10（5﹣n）≥140，解得

．

所以 n=4或n=5． 设“生产5件元件B所获得的利润不少于140元”为事件A， 则P（A）=

20．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）已知等式2bcosC=2a﹣c，利用正弦定理化简得： 2sinBcosC=2sinA﹣sinC=2sin（B+C）﹣sinC=2sinBcosC+2cosBsinC﹣sinC， 整理得：2cosBsinC﹣sinC=0， ∵sinC≠0， ∴cosB=， 则B=60°；

（Ⅱ）∵△ABC的面积为

=acsinB=

ac，解得：ac=4，①

=

．

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22222

又∵b=2，由余弦定理可得：2=a+c﹣ac=（a+c）﹣3ac=（a+c）﹣12，

∴解得：a+c=4，② ∴联立①②解得：a=c=2．

21．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由频率分布直方图，得： 10×（0.005+0.01+0.025+a+0.01）=1， 解得a=0.03．

（Ⅱ）由频率分布直方图得到平均分：

=0.05×45+0.1×55+0.2×65+0.3×75+0.25×85+0.1×95=74（分）．

（Ⅲ）由频率分布直方图，得数学成绩在[40，50）内的学生人数为40×0.05=2，这两人分别记为A，B， 数学成绩在[90，100）内的学生人数为40×0.1=4，这4人分别记为C，D，E，F， 若从数学成绩在[40，50）与[90，100）两个分数段内的学生中随机选取2名学生， 则所有的基本事件有：

（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），（B，E）， （B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F），共15个， 如果这两名学生的数学成绩都在[40，50）或都在[90，100）内， 则这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10，

记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M，

则事件M包含的基本事件有：（A，B），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F），共7个，

所以这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率P=

．

【点评】本题考查频率和概率的求法，二查平均分的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图和列举法的合理运用．

（﹣，）22．【答案】（1）（在上有且只有一个零点（2）证明见解析 fx）【解析】试题分析：

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（1）fxexx22x1exx12，fx0，

fx1x2exa在,上为增函数．

a1，f01a0，

又fa1aea1aaea11，

a10,ea11，即fa10，

由零点存在性定理可知，fx在,上为增函数，且f0fa10，

fx在0,a1上仅有一个零点。

（2）fxexx12，设点Pxx00,y0，则fx0ex201，

yfx在点P处的切线与x轴平行，fx00exx2010，x01，P1,2ea2，kOPae，

点M处切线与直线OP平行，

点M处切线的斜率kfmemm12a2e， 又题目需证明m3a2e1，即m13a2e，

则只需证明m13emm12，即m1em。

令gmemm1，则gmem1，

易知，当m,0时，gm0，单调递减， 当m0,时，gm0，单调递增，

gmmming00，即gmem10，

m1em，

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试题解析：

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m3a21，得证。 e323．【答案】（1），3；（2）．

2【解析】

13试题分析：（1）化简fxsin2x2，结合取值范围可得sin2x1值域为，3；（2）

62622x2sinx2和x，，，上是增函易得gxf由gx在333363621232，2k，2k，kZ 数363223252k1533k32k，kZk01的最大值为. 412122k112k326考

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点：三角函数的图象与性质. 24．【答案】

【解析】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），（1）当a=2时，f（x）=x﹣2lnx，因而f（1）=1，f′（1）=﹣1，

所以曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程为y﹣1=﹣（x﹣1）， 即x+y﹣2=0 （2）由

，x＞0知：

，

．

①当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）为（0，+∞）上的增函数，函数f（x）无极值； ②当a＞0时，由f′（x）=0，解得x=a．

又当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0．

从而函数f（x）在x=a处取得极小值，且极小值为f（a）=a﹣alna，无极大值． 综上，当a≤0时，函数f（x）无极值；

当a＞0时，函数f（x）在x=a处取得极小值a﹣alna，无极大值．

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