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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列运算正确的是( )A. −|−2|=2
B. 16=4
C. 9=±3
D. 23=6
2. 下列四个数中，属于有理数的是( )A. 111B. 315C. 𝜋D. − 23. 若𝑎>𝑏，则下列式子中正确的是( )A. 2<2𝑎𝑏B. 𝑎−3<𝑏−3C. −3𝑎<−3𝑏D. 𝑎−𝑏<0
4. 估计2+ 19的值是( )A. 在5和6之间
B. 在6和7之间
C. 在7和8之间
D. 在8和9之间
5. 下列计算正确的是( )A. (𝑎𝑏)3=𝑎𝑏3B. (𝑎3)3=𝑎6C. 𝑎8÷𝑎4=𝑎2D. 𝑎3⋅𝑎3=𝑎6其中1𝑛𝑚=0.000000001𝑚，将2𝑛𝑚6. 2021年5月7日𝐼𝐵𝑀公司宣布推出全球首个2𝑛𝑚芯片，用科学记数法可表示为( )
A. 2×10−10𝑚B. 2×10−9𝑚C. 2×1010𝑚D. 2×109𝑚
7. 若(𝑥+8)(𝑥−1)=𝑥2+𝑚𝑥+𝑛对任意𝑥都成立，则𝑚+𝑛=( )A. −8
B. −1
C. 1
D. 8
8. 商店为了对某种商品促销，将定价为30元的商品，以下列方式优惠销售：若购买不超过5
件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分打八折，现有270元，最多可以购买该商品的件数是( )
A. 9件B. 10件C. 11件D. 12件
9. 已知：𝑎+𝑏=𝑚，𝑎𝑏=−4，化简(𝑎−2)(𝑏−2)的结果是( )A. 6
B. 2𝑚−8
C. 2𝑚
D. −2𝑚
1567，−，，…，则第2017个数是( )10. 有一列数按如下规律排列：−22，−43，4，−163264A. −220172016 B.
201722016C. −220182017 D.
201822017二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 38的相反数是______．
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12. 若(𝑚+1)𝑥|𝑚|+2>0是关于𝑥的一元一次不等式，则𝑚=______．
113. 计算：(−2)2+2−2−(2−𝜋)0= ______ ．
14. 不等式组𝑥+3<0
{3𝑥2+5≤−1
的解集是为______ ．
15. 2𝑎−1和−𝑎+2是一个正数𝑥的的平方根，则𝑥的值为______．16. 已知𝑥−𝑎=3，则𝑥2𝑎= ______ ．
𝑥+9>2(𝑥−3)
17. 若关于𝑥的不等式组2(𝑥+1)<𝑥+𝑎只有4个整数解，则𝑎的取值范围是______ ．
3𝑎−1𝑏−23−𝑐18. 已知非负实数𝑎，𝑏，𝑐满足2=3=4，设𝑆=𝑎+2𝑏+3𝑐的最大值为𝑚，最小值
{为𝑛，则𝑚的值为______．
三、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
𝑛19. (本小题8.0分)
计算
(1)解方程：9(𝑥−3)2−121=0；(2)计算：(𝑥−2𝑦)(𝑥2+2𝑥𝑦+4𝑦2).
20. (本小题8.0分)
解不等式
𝑥−25𝑥+1−1≤，并把解集在数轴上表示出来．2421. (本小题8.0分)
已知3𝑎=4，3𝑏=5，3𝑐=8．(1)求3𝑏+𝑐的值；(2)求32𝑎−3𝑏的值．
22. (本小题8.0分)
一个长方形的长和宽分别为𝑥厘米和𝑦厘米(𝑥,𝑦为正整数)，如果将长方形的长和宽各增加5厘米得到新的长方形，面积记为𝑆1，将原长方形的长和宽各减少2厘米得到新的长方形，面积记为𝑆2，
(1)如果𝑆1比𝑆2大196平方厘米，求原长方形的周长．(2)请说明：𝑆1−𝑆2的差一定是7的倍数．
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(3)如果一个面积为𝑆1的长方形和原来长方形能够没有缝隙没有重叠的拼成一个新的长方形，请直接写出𝑥与𝑦的关系．
23. (本小题8.0分)
某商场“双11”前准备从供货商家处新选购一批商品，已知按进价购进1件甲种商品和2件乙种商品共需320元，购进3件甲种商品和2件乙种商品共需520元．(1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？
(2)若甲种商品的售价为每件120元，乙种商品的售价为每件140元，该商场准备购进甲、乙两种商品共50件，且这两种商品全部售出后总利润不少于1350元，不高于1375元．若购进甲种商品𝑚件，请问该商场共有哪几种进货方案？
(3)根据往年销售情况，商场计划在“双11”当天将现有的甲、乙两种商品共46件按(2)中的售价全部售完．但因受拉尼娜现象形成的冷空气持续影响，当天出现的雨雪天气使得46件商品没有全部售完，两种商品的实际销售利润总和为1220元．那么，“双11”当天商场至少卖出乙种商品多少件？
24. (本小题8.0分)
阅读以下材料：
指数与对数之间有密切的联系，它们之间可以互化．
对数的定义：一般地，若𝑎𝑥=𝑁(𝑎>0且𝑎≠1)，那么𝑥叫做以𝑎为底𝑁的对数，记作𝑥=log𝑎𝑁，比如指数式24=16可以转化为对数式4=log216，对数式2=log525，可以转化为指数式52=25．
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
log𝑎(𝑀⋅𝑁)=log𝑎𝑀+log𝑎𝑁(𝑎>0,𝑎≠1,𝑀>0,𝑁>0)，理由如下：设log𝑎𝑀=𝑚，log𝑎𝑁=𝑛，则𝑀=𝑎𝑚，𝑁=𝑎𝑛，
∴𝑀⋅𝑁=𝑎𝑚⋅𝑎𝑛=𝑎𝑚+𝑛，由对数的定义得𝑚+𝑛=log𝑎(𝑀⋅𝑁)又∵𝑚+𝑛=log𝑎𝑀+log𝑎𝑁，
∴log𝑎(𝑀⋅𝑁)=log𝑎𝑀+log𝑎𝑁.
请解决以下问题：
(1)将指数式34=81转化为对数式______；
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(2)求证：log𝑎=log𝑎𝑀−log𝑎𝑁(𝑎>0,𝑎≠1,𝑀>0,𝑁>0)；(3)拓展运用：计算log69+log68−log62=______．
𝑀𝑁第4页，共15页
答案和解析
1.【答案】𝐵
【解析】解：𝐴、−|−2|=−2，原计算错误，故此选项不符合题意；B、 16=4，原计算正确，故此选项符合题意；C、 9=3，原计算错误，故此选项不符合题意；D、23=8，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：𝐵．
根据绝对值、算术平方根、有理数的乘方的意义进行化简即可．
此题主要考查了绝对值、算术平方根、有理数的乘方．解题的关键是掌握绝对值、算术平方根、有理数的乘方的意义．
2.【答案】𝐴
【解析】解：𝐴、是有理数，故A符合题意；B、315是无理数，故B不符合题意；C、𝜋是无理数，故C不符合题意；D、− 2是无理数，故D不符合题意；故选：𝐴．
根据有理数和无理数统称为实数，判断即可．本题考查了实数，熟练掌握实数的分类是解题的关键．
1113.【答案】𝐶
【解析】解：𝐴、不等式𝑎>𝑏的两边同时除以2，不等式仍成立，即2>，故本选项不符合题意；B、不等式𝑎>𝑏的两边同时减去3，不等式仍成立，即𝑎−3>𝑏−3，故本选项不符合题意；C、不等式𝑎>𝑏的两边同时乘−3，不等式仍成立，即−3𝑎<−3𝑏，故本选项符合题意；D、不等式𝑎>𝑏的两边同时减去𝑏，不等式仍成立，即𝑎−𝑏>0，故本选项不符合题意．故选：𝐶．
根据不等式的性质进行判断．
本题主要考查了不等式的性质，运用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以(或除以
𝑎𝑏2第5页，共15页
)同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以(或除以)含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
4.【答案】𝐵
【解析】解：因为4< 19<5，所以6<2+ 19<7，故选：𝐵．
根据无理数的估算方法即可得结果．
本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是掌握估算的方法．
5.【答案】𝐷
【解析】解：𝐴.(𝑎𝑏)3=𝑎3𝑏3，故A不符合题意；B.(𝑎3)3=𝑎9，故B不符合题意；C.𝑎8÷𝑎4=𝑎4，故C不符合题意；D.𝑎3⋅𝑎3=𝑎6，故D符合题意；故选：𝐷．
根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方运算法则进行计算即可．本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
6.【答案】𝐵
【解析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为𝑎×10−𝑛，其中1≤|𝑎|<10，𝑛为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为𝑎×10−𝑛，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解：∵1𝑛𝑚=0.000000001𝑚=1×10−9𝑚，
∴2𝑛𝑚=0.000000002𝑚=2×10−9𝑚.
故选：𝐵．
7.【答案】𝐵
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【解析】【分析】
此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，根据多项式相等的条件即可求出𝑚、𝑛的值，相加即可求解．【解答】
解：∵(𝑥+8)(𝑥−1)=𝑥2−𝑥+8𝑥−8=𝑥2+7𝑥−8=𝑥2+𝑚𝑥+𝑛，∴𝑚=7，𝑛=−8，∴𝑚+𝑛=7−8=−1．故选B．
8.【答案】𝐵
【解析】解：设可以购买该商品𝑥件(𝑥>5)，根据题意得：30×5+30×0.8(𝑥−5)≤270，解得：𝑥≤10，
即最多可以购买该商品10件，故选：𝐵．
由购买5件商品只需150元可设可以购买该商品𝑥件(𝑥>5)，根据30×5+30×0.8×超出5件部分≤270，列出关于𝑥的一元一次不等式，解之取其最大的正整数即可．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
9.【答案】𝐷
【解析】【分析】
本题考查了代数式的求值，整式的加减，正确对所求的代数式进行变形是关键．(𝑎−2)(𝑏−2)=𝑎𝑏−2(𝑎+𝑏)+4，然后代入求值即可．【解答】
解：(𝑎−2)(𝑏−2)=𝑎𝑏−2(𝑎+𝑏)+4=−4−2𝑚+4=−2𝑚．故选D．
10.【答案】𝐶
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【解析】【分析】
本题考查了数式规律问题、算术平方根，先观察−为−
56 7231，−，，−，−，，…，可将其变形
4163264422,−12 3 4 5 6 7 𝑛,,−,−,…𝑛2，，故发现分母总是为的形式，为序号数，分子总是为2223242526𝑛+1，每个数的符号变化规律为−，−，+，−，−，+，…，故可推断出第2017个数字．【解答】解：−
2 3 4 5 6 756 7231，−，，−，−，，…可变形为−1,−2,3,−4,−5,6，(其中每个数的符号
416326442222222变化规律为−，−，+，−，−，+，…)，∵2017÷3=672……1，
∴第2017个数的符号为“−”，绝对值为故选：𝐶．
2018．2201711.【答案】−2
【解析】解：∵38=2，∴38的相反数是−2．故答案为：−2．
首先求出8的立方根是多少；然后根据相反数的含义和求法，求出38的相反数是多少即可．此题主要考查了立方根的含义和求法，以及相反数的含义和求法，要熟练掌握．
12.【答案】1
【解析】解：∵(𝑚+1)𝑥|𝑚|+2>0是关于𝑥的一元一次不等式，∴𝑚+1≠0，|𝑚|=1．解得：𝑚=1．故答案为：1．
根据一元一次不等式的定义可知𝑚+1≠0，|𝑚|=1，从而可求得𝑚的值．
本题主要考查的是一元一次不等式的定义，掌握一元一次不等式的特点是解题的关键．
13.【答案】−2 1第8页，共15页
【解析】解：(−)2+2−2−(2−𝜋)0 =+−1 44=−1 =−，故答案为：−．先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了负整数指数幂，有理数的减法，有理数的乘方，零指数幂，准确熟练地化简各式是解题的关键．
121212111214.【答案】𝑥≤−4
【解析】解：
{3𝑥2+5≤−1①
，
𝑥+3<0②
解不等式①得：𝑥≤−4；解不等式②得：𝑥<−3，∴原不等式组的解集为：𝑥≤−4，故答案为：𝑥≤−4．
按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
15.【答案】9
【解析】解：根据题意得：(2𝑎−1)+(−𝑎+2)=0，解得：𝑎=−1，
∴2𝑎−1=2×(−1)−1=−3，∴𝑥=(−3)2=9．故答案为：9．
一个正数的两个平方根互为相反数，它们的和为0，列出方程求出𝑎的值，求出2𝑎−1的值，再求出𝑥的值即可．
本题考查了平方根，立方根的定义，知道一个正数的两个平方根互为相反数，列出方程求出𝑎的值
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是解题的关键．
16.【答案】9 【解析】解：∵𝑥−𝑎=3，∴𝑥𝑎=，
则𝑥2𝑎=(𝑥𝑎)2=()2=；故答案为：．
由负整数指数幂的意义、逆用幂的乘方即可完成．
本题考查了负整数指数幂及幂的乘方，掌握这两个运算性质是关键．
19131913117.【答案】−3<𝑎≤−3
𝑥+9>2(𝑥−3)①
【解析】解：2(𝑥+1)<𝑥+𝑎②，
38{由①去括号得：𝑥+9>2𝑥−6，解得：𝑥<15，
由②去分母得：2(𝑥+1)<3𝑥+3𝑎，去括号得：2𝑥+2<3𝑥+3𝑎，解得：𝑥>2−3𝑎，
∴不等式组的解集为2−3𝑎<𝑥<15，∵不等式组只有4个整数解，∴其整数解为11，12，13，14，则10≤2−3𝑎<11，2−3𝑎≥10③
可化为：2−3𝑎<11④，由③解得：𝑎≤−；由④解得：𝑎>−3，则𝑎的范围为−3<𝑎≤−．故答案为：−3<𝑎≤−．838383{第10页，共15页
将原不等式组的两不等式分别记作①和②，分别利用不等式的基本性质表示出①和②的解集，找出公共部分，表示出不等式组的解集，根据此解集只有4个整数解，列出关于𝑎的不等式组，求出不等式组的解集即可得到𝑎的取值范围．
此题考查了一元一出不等式组的整数解，涉及的知识有：去括号法则，不等式的基本性质，不等式组取解集的方法，以及双向不等式与不等式组的互化，其中根据题意不等式组只有4个整数解列出关于𝑎的方程组是解本题的关键．
18.【答案】16 【解析】解：设
𝑎−1𝑏−23−𝑐===𝑘，则𝑎=2𝑘+1，𝑏=3𝑘+2，𝑐=3−4𝑘，
42311∴𝑆=𝑎+2𝑏+3𝑐=2𝑘+1+2(3𝑘+2)+3(3−4𝑘)=−4𝑘+14．∵𝑎，𝑏，𝑐为非负实数，2𝑘+1≥0
∴3𝑘+2≥0，3−4𝑘≥0解得：−≤𝑘≤．
∴当𝑘=−时，𝑆取最大值，当𝑘=时，𝑆取最小值．∴𝑚=−4×(−)+14=16，𝑛=−4×+14=11．∴𝑚=
𝑛11．161116341212341234{故答案为：．设
𝑎−1𝑏−23−𝑐===𝑘，则𝑎=2𝑘+1，𝑏=3𝑘+2，𝑐=3−4𝑘，可得𝑆=−4𝑘+14；利用𝑎，𝑏，𝑐
423为非负实数可得𝑘的取值范围，从而求得𝑚，𝑛的值，结论可求．本题主要考查了不等式的性质，非负数的应用，设
𝑎−1𝑏−23−𝑐===𝑘是解题的关键．
42319.【答案】解(1)原方程可化为：(𝑥−3)2=
由平方根的定义得：𝑥−3=±
11，3121，9第11页，共15页
由𝑥−3=
1120，解得𝑥=；3311323由𝑥−3=−，解得𝑥=−；即方程的解为𝑥=
202或−．33(2)(𝑥−2𝑦)(𝑥2+2𝑥𝑦+4𝑦2)
=𝑥3+2𝑥2𝑦+4𝑥𝑦2−2𝑥2𝑦−4𝑥𝑦2−8𝑦3 =𝑥3−8𝑦3．
【解析】(1)变形后，利用平方根的定义即可求解；
(2)利用多项式乘多项式的法则展开，最后合并同类项即可．
本题考查了用平方根的定义解方程，多项式的乘法运算，掌握平方根的概念，熟练运用多项式乘多项式的法则进行运算是解题的关键．
20.【答案】解：
𝑥−25𝑥+1−1≤，242(𝑥−2)−4≤5𝑥+1，2𝑥−4−4≤5𝑥+1，2𝑥−5𝑥≤1+4+4，−3𝑥≤9，𝑥≥−3，
∴该不等式的解集在数轴上表示如图所示：
【解析】按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
21.【答案】解：(1)∵3𝑏=5，3𝑐=8，
∴3𝑏+𝑐 =3𝑏+3𝑐 =5×8
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=40；
(2)∵3𝑎=4，3𝑏=5，∴32𝑎−3𝑏 =32𝑎÷33𝑏 =(3𝑎)2÷(3𝑏)3 =42÷53 =
16． 125【解析】(1)根据同底数幂的乘法运算法则进行计算即可；
(2)根据同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方运算法则进行计算即可．
本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
22.【答案】解：(1)𝑆1−𝑆2=(𝑥+5)(𝑦+5)−(𝑥−2)(𝑦−2)
=𝑥𝑦+5𝑥+5𝑦+25−(𝑥𝑦−2𝑥−2𝑦+4) =7𝑥+7𝑦+21 =7(𝑥+𝑦+3)，
由题意得：7(𝑥+𝑦+3)=196，∴𝑥+𝑦=25，
∴原长方形的周长为：2(𝑥+𝑦)=2×25=50(𝑐𝑚)；(2)由(1)知：𝑆1−𝑆2=7(𝑥+𝑦+3)，∵𝑥，𝑦为正整数，
∴𝑆1−𝑆2的差一定是7的倍数；
(3)新长方形的宽等于原长方形的长，即𝑥=𝑦+5．
【解析】(1)分别表示出𝑆1，𝑆2，然后化简，由题意即可求得𝑥+𝑦的值，从而求得原长方形的周长；(2)由(1)所求的𝑆1−𝑆2即可作出判断；
(3)易得新长方形的宽等于原长方形的长，则可得𝑥与𝑦的关系．
本题考查了整式的混合运算，求代数式的值，列代数式等知识，掌握题意并表示出𝑆1，𝑆2是问题的关键．
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23.【答案】解：(1)设甲商品的进价为每件𝑥元，乙商品的进价为每件𝑦元，
𝑥+2𝑦=320,𝑥=100,
根据题意得：3𝑥+2𝑦=520,解得：𝑦=110,
答：甲商品的进价为每件100元，乙商品的进价为每件110元．(2)由题意得：1350≤(120−100)𝑚+(140−110)(50−𝑚)≤1375，解得：12.5≤𝑚≤15，∵𝑚为正整数，∴𝑚=13、14、15，∴共有三种方案：
方案①：购进甲种商品14件，乙种商品37件；方案②：购进甲种商品14件，乙种商品36件；方案③：购进甲种商品15件，乙种商品35件．
(3)设“双11”当天商场卖出甲种商品𝑎件，乙种商品𝑏件，∴(120−100)𝑎+(140−110)𝑏=1220，即2𝑎+3𝑏=122，∴𝑎=61−𝑏，又∵𝑎+𝑏<46，
∴61−𝑏+𝑏<46，即𝑏>30，∵𝑎，𝑏为正整数，
∴当𝑏=31时，𝑎=14.5，不符合题意；当𝑏=32时，𝑎=13，
∴“双11”当天商场至少卖出乙种商品32件．
【解析】(1)设甲商品的进价为每件𝑥元，乙商品的进价为每件𝑦元，根据题意得列出方程组，求解即可；
(2)由题意得：1350≤(120−100)𝑚+(140−110)(50−𝑚)≤1375，解得：12.5≤𝑚≤15，因为𝑚为正整数，可得𝑚的取值，由此可得出方案；
(3)设“双11”当天商场卖出甲种商品𝑎件，乙种商品𝑏件，根据题意列出方程，可得出𝑎和𝑏的关系：𝑎=61−𝑏，又因为𝑎+𝑏<46，所以61−𝑏+𝑏<46，即𝑏>30，结合𝑎，𝑏为正整数，可得出结论．
本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用不
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等式的性质解答．
24.【答案】解：(1)4=log381．
(2)设log𝑎𝑀=𝑚，log𝑎𝑁=𝑛，则𝑀=𝑎𝑚，𝑁=𝑎𝑛，∴
𝑀=𝑎𝑚÷𝑎𝑛=𝑎𝑚−𝑛．𝑁∴log𝑎𝑀
=log𝑎𝑎𝑚−𝑛=𝑚−𝑛=log𝑎𝑀−log𝑎𝑁.𝑁𝑀
∴log𝑎=log𝑎𝑀−log𝑎𝑁.
𝑁(3)2． 【解析】【分析】
本题考查用新定义的知识解题，理解新定义，找到指数和对数的关键是求解本题的关键．(1)根据指数与对数的关系求解．(2)根据指数与对数的关系求证．(3)利用对数运算法则求解．【解答】
解：(1)根据指数与对数关系得：4=log381．故答案为：4=log381．(2)见答案．
(3)原式=log6(9×8÷2)
=log636
=2．
故答案为：2．
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