方城县高中2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学

方城县高中2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 若f（x）为定义在区间G上的任意两点x1，x2和任意实数λ（0，1），总有f（λx1+（1﹣λ）x2）≤λf（x1）+（1﹣λ）f（x2），则称这个函数为“上进”函数，下列函数是“上进”函数的个数是（ ） ①f（x）=

，②f（x）=

，③f（x）=

，④f（x）=

．

A．4 B．3 C．2 D．1

2． 已知△ABC的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A的轨迹方程是（ ） A．C．

（x≠0） （x≠0）

B． D．

（x≠0） （x≠0）

3． 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．

（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值； （Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．

【考点】直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算；用空间向量求直线间的夹角、距离．

4． 某校新校区建设在市二环路主干道旁，因安全需要，挖掘建设了一条人行地下通道，地下通道设计三视图中的主（正）视力（其中上部分曲线近似为抛物）和侧（左）视图如图（单位：m），则该工程需挖掘的总土方数为（ ）

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精选高中模拟试卷

A．560m3 B．540m3 C．520m3 D．500m3

5． 如图，一隧道截面由一个长方形和抛物线构成现欲在随道抛物线拱顶上安装交通信息采集装置若位置C对隧道底AB的张角θ最大时采集效果最好，则采集效果最好时位置C到AB的距离是（ ）

A．2m B．2

﹣ C．

m C．4 m D．6 m

=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=1相切，则双曲线的离心率为（ ） D．

6． 已知双曲线A．

B．

7． 在等差数列{an}中，a3=5，a4+a8=22，则{A．

B．

C．

D．

}的前20项和为（ ）

8． 函数y=x+xlnx的单调递增区间是（ ） A．（0，e﹣2） 9． （A．120

+

B．（e﹣2，+∞） C．（﹣∞，e﹣2） D．（e﹣2，+∞）

2n*

）（n∈N）展开式中只有第6项系数最大，则其常数项为（ ）

B．210 C．252 D．45

10．AB=6，AC=4如图，在△ABC中，A=45°，O为△ABC的外心，，则•等于（ ）

A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2

11．设集合AxR|2x2，Bx|x10，则A【命题意图】本题主要考查集合的概念与运算，属容易题.

(ðRB)（ ）

A.x|1x2 B.x|2x1 C. x|2x1 D. x|2x2

212．fx2axa 在区间0,1上恒正，则的取值范围为（ ）

第 2 页，共 16 页

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A．a0 B．0a2 C．0a2 D．以上都不对

二、填空题

13．已知向量a,b满足a4，|b|2，(ab)(3ab)4，则a与b的夹角为 .

【命题意图】本题考查向量的数量积、模及夹角知识，突出对向量的基础运算及化归能力的考查，属于容易题. 14．【泰州中学2018届高三10月月考】设函数fxex22x1axa，其中a1，若存在唯一的整数

Sn（其中Sn是数列{an}

x0，使得fx00，则a的取值范围是

15．对于|q|＜1（q为公比）的无穷等比数列{an}（即项数是无穷项），我们定义的前n项的和）为它的各项的和，记为S，即S=

Sn=

，则循环小数0. 的分数形式是 ．

16．若函数f（x）=x2﹣（2a﹣1）x+a+1是区间（1，2）上的单调函数，则实数a的取值范围是 ． 17．B，C对应的边分别为a，b，c，b=2， △ABC外接圆半径为，内角A，若A=60°，则c的值为 ．

18．已知变量x，y，满足

，则z=log4（2x+y+4）的最大值为

．

三、解答题

19．已知数列{an}和{bn}满足a1•a2•a3…an=2（1）求an和bn； （2）设cn=

20．已知函数f（x）=

（a＞0）的导函数y=f′（x）的两个零点为0和3．

*

（n∈N），记数列{cn}的前n项和为Sn，求Sn．

*

（n∈N），若{an}为等比数列，且a1=2，b3=3+b2．

（1）求函数f（x）的单调递增区间；

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（2）若函数f（x）的极大值为

21．已知矩阵M坐标．

22．（本小题满分12分）

，求函数f（x）在区间[0，5]上的最小值．

所对应的线性变换把点A（x，y）变成点A′（13，5），试求M的逆矩阵及点A的

已知直三棱柱ABCA1B1C1中，上底面是斜边为AC的直角三角形，E、F分别是A1B、AC1的中点.

（1）求证：EF//平面ABC； （2）求证：平面AEF平面AA1B1B.

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）=f（x1）﹣f（x2）．

23．已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足f（（1）求f（1）的值；

（2）若当x＞1时，有f（x）＜0．求证：f（x）为单调递减函数；

（3）在（2）的条件下，若f（5）=﹣1，求f（x）在[3，25]上的最小值．

24．已知y=f（x）是R上的偶函数，x≥0时，f（x）=x2﹣2x （1）当x＜0时，求f（x）的解析式．

（2）作出函数f（x）的图象，并指出其单调区间．

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方城县高中2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】C

【解析】解：由区间G上的任意两点x1，x2和任意实数λ（0，1）， 总有f（λx1+（1﹣λ）x2）≤λf（x1）+（1﹣λ）f（x2），

等价为对任意x∈G，有f″（x）＞0成立（f″（x）是函数f（x）导函数的导函数）， ①f（x）=②f（x）=③f（x）=＜0恒成立，

故③不为“上进”函数； ④f（x）=

的导数f′（x）=

，f″（x）=

，当x∈（2，3）时，f″（x）＞0恒成立．

的导数f′（x）=的导数f′（x）=

，f″（x）=，f″（x）=﹣•

，故在（2，3）上大于0恒成立，故①为“上进”函数； ＜0恒成立，故②不为“上进”函数；

，f″（x）=

的导数f′（x）=

故④为“上进”函数． 故选C．

【点评】本题考查新定义的理解和运用，同时考查导数的运用，以及不等式恒成立问题，属于中档题．

2． 【答案】B 【解析】解：∵△ABC的周长为20，顶点B （0，﹣4），C （0，4）， ∴BC=8，AB+AC=20﹣8=12， ∵12＞8

∴点A到两个定点的距离之和等于定值， ∴点A的轨迹是椭圆， ∵a=6，c=4

2

∴b=20，

∴椭圆的方程是故选B．

【点评】本题考查椭圆的定义，注意椭圆的定义中要检验两个线段的大小，看能不能构成椭圆，本题是一个易错题，容易忽略掉不合题意的点．

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3． 【答案】

【解析】解：（I）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD， 又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，PA∩AC=A 所以BD⊥平面PAC 所以BO=1，AO=OC=坐标系O﹣xyz，则

，

，0），B（1，0，0），C（0，

（II）设AC∩BD=O，因为∠BAD=60°，PA=AB=2，

以O为坐标原点，分别以OB，OC为x轴、y轴，以过O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角P（0，﹣，2），A（0，﹣ 所以=（1，，﹣2），

，0）

，设

=0， 令

， ，

，

设PB与AC所成的角为θ，则cosθ=|（III）由（II）知则则所以

设平面PBC的法向量=（x，y，z）

平面PBC的法向量所以同理平面PDC的法向量所以所以PA=

=0，即﹣6+．

=0，解得t=

，

，因为平面PBC⊥平面PDC，

【点评】本小题主要考查空间线面关系的垂直关系的判断、异面直线所成的角、用空间向量的方法求解直线的夹角、距离等问题，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力

4． 【答案】A ﹣1），其方程为y=﹣S1=

【解析】解：以顶部抛物线顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系，易得抛物线过点（3，

，那么正（主）视图上部分抛物线与矩形围成的部分面积=2

=4，

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精选高中模拟试卷

下部分矩形面积S2=24，

故挖掘的总土方数为V=（S1+S2）h=28×20=560m．

3

故选：A．

【点评】本题是对抛物线方程在实际生活中应用的考查，考查学生的计算能力，属于中档题．

5． 【答案】A

2

【解析】解：建立如图所示的坐标系，设抛物线方程为x=﹣2py（p＞0）， 将点（4，﹣4）代入，可得p=2，

2

所以抛物线方程为x=﹣4y，

设C（x，y）（y＞﹣6），则

由A（﹣4，﹣6），B（4，﹣6），可得kCA=

，kCB=

，

∴tan∠BCA===，

令t=y+6（t＞0），则tan∠BCA=∴t=2

=≥

时，位置C对隧道底AB的张角最大，

故选：A．

【点评】本题考查抛物线的方程与应用，考查基本不等式，确定抛物线的方程及tan∠BCA，正确运用基本不等式是关键．

6． 【答案】D 【解析】解：双曲线

﹣

=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为 y=±x，即x±y=0．

22

根据圆（x﹣2）+y=1的圆心（2，0）到切线的距离等于半径1，

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可得，1=，∴ =，

，可得e=

故此双曲线的离心率为：故选D．

． ．

【点评】本题考查点到直线的距离公式，双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出的值，是解题的关键．

7． 【答案】B

【解析】解：在等差数列{an}中，由a4+a8=22，得2a6=22，a6=11． 又a3=5，得d={=

故选：B．

8． 【答案】B

【解析】解：函数的定义域为（0，+∞）

2

求导函数可得f′（x）=lnx+2，令f′（x）＞0，可得x＞e﹣，

，∴a1=a3﹣2d=5﹣4=1．

=

．

}的前20项和为：

∴函数f（x）的单调增区间是（e﹣，+∞）

2

故选B．

9． 【答案】 B

【解析】

【专题】二项式定理．

【分析】由已知得到展开式的通项，得到第6项系数，根据二项展开式的系数性质得到n，可求常数项．

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【解答】解：由已知（+2n*

）（n∈N）展开式中只有第6项系数为最大，

所以展开式有11项，所以2n=10，即n=5， 又展开式的通项为令5﹣

=0解得k=6，

=210；

=

，

所以展开式的常数项为故选：B

【点评】本题考查了二项展开式的系数以及求特征项；解得本题的关键是求出n，利用通项求特征项． 10．【答案】A

【解析】解：结合向量数量积的几何意义及点O在线段AB，AC上的射影为相应线段的中点， 可得﹣2； 故选A．

【点评】本题考查了向量数量积的几何意义和三角形外心的性质、向量的三角形法则，属于中档题

11．【答案】B

【解析】易知Bx|x10x|x1，所以A12．【答案】C 【解析】

2试题分析：由题意得，根据一次函数的单调性可知，函数fx2axa在区间0,1上恒正，则

，，则•==16﹣18=

(ðRB)x|2x1，故选B.

a0f(0)0，即，解得0a2，故选C. 2f(1)02aa0考点：函数的单调性的应用.

二、填空题

13．【答案】【

2 3解

析

】

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14．【答案】

,由题设可知存在唯一的整数x0，使得

,故当

时,

单调递增;故且

,解之得,函数

在直线单调递减; ,而当,应填答案

【解析】试题分析:设

的下方.因为

当时,

时,

,函数

,故当

3,1. 2e考点：函数的图象和性质及导数知识的综合运用．

【易错点晴】本题以函数存在唯一的整数零点x0，使得fx00为背景,设置了一道求函数解析式中的参数的取值范围问题,目的是考查函数的图象和性质及导数在研究函数的单调性最值等有关知识的综合运用.同时也综合考查学生运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时先运用等价转化得到数学思想将问题等价转化为存在唯一的整数x0，使得据题设建立不等式组求出解之得15．【答案】

【解析】解：0. =故答案为：

．

+

+…+=

=

，

．

在直线

.

的下方.然后再借助导数的知识求出函数的最小值,依

【点评】本题考查数列的极限，考查学生的计算能力，比较基础．

16．【答案】 {a|

2

或} ．

【解析】解：∵二次函数f（x）=x﹣（2a﹣1）x+a+1 的对称轴为 x=a﹣，

f（x）=x2﹣（2a﹣1）x+a+1是区间（1，2）上的单调函数，∴区间（1，2）在对称轴的左侧或者右侧，

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∴a﹣≥2，或a﹣≤1，∴a≥，或 a≤， 故答案为：{a|a≥，或 a≤}．

【点评】本题考查二次函数的性质，体现了分类讨论的数学思想．

17．【答案】 ．

【解析】解：∵△ABC外接圆半径为，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A=60°，b=2， ∴由正弦定理可得：

22222

∴利用余弦定理：a=b+c﹣2bccosA，可得：9=4+c﹣2c，即c﹣2c﹣5=0，

，解得：a=3，

∴解得：c=1+故答案为：基础题．

18．【答案】 【解析】解：作

，或1﹣．

（舍去）．

【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和计算能力，属于

的可行域如图：

易知可行域为一个三角形， 验证知在点A（1，2）时， z1=2x+y+4取得最大值8， ∴z=log4（2x+y+4）最大是， 故答案为：．

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【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）设等比数列{an}的公比为q，∵数列{an}和{bn}满足a1•a2•a3…an=2∴，，

， ∴b1=1，

=2q＞0，

=2q2，

又b3=3+b2．∴23=2q2

，解得q=2． ∴an=2n

．

∴=a1•a2•a3…an=2×22×…×2n=

，

∴． （2）cn=

==

﹣

=

，

∴数列{cn}的前n项和为Sn=

﹣+…+

=﹣2

=﹣2+

=

﹣

﹣1．

【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推式的应用、了推理能力与计算能力，属于中档题．

20．【答案】

【解析】解：f′（x）=

令g（x）=﹣ax2

+（2a﹣b）x+b﹣c

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（n∈N*

），a1=2，

裂项求和”，考查“精选高中模拟试卷

2

函数y=f′（x）的零点即g（x）=﹣ax+（2a﹣b）x+b﹣c的零点 2

即：﹣ax+（2a﹣b）x+b﹣c=0的两根为0，3

则解得：b=c=﹣a，

令f′（x）＞0得0＜x＜3

所以函数的f（x）的单调递增区间为（0，3）， （2）由（1）得：

函数在区间（0，3）单调递增，在（3，+∞）单调递减， ∴∴a=2， ∴

；

，

，

∴函数f（x）在区间[0，4]上的最小值为﹣2．

21．【答案】

【解析】解：依题意，由M=从而由

=

得

═

1

得|M|=1，故M﹣=

=

故A（2，﹣3）为所求．

【点评】此题考查学生会求矩阵的逆矩阵及掌握矩阵的线性变换，考查学生的计算能力，比较基础．

22．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【

解

析

】

试

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精选高中模拟试卷

题解析：证明：（1）连接A1C，∵直三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1C1C是矩形， 故点F在A1C上，且F为A1C的中点，

在A1BC中，∵E、F分别是A1B、AC1的中点，∴EF//BC. 又EF平面ABC，BC平面ABC，∴EF//平面ABC.

考点：1.线面平行的判定定理；2.面面垂直的判定定理. 23．【答案】

【解析】解：（1）令x1=x2＞0， 代入得f（1）=f（x1）﹣f（x1）=0， 故f（1）=0．…（4分）

＞1，

（2）证明：任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，则由于当x＞1时，f（x）＜0，所以f（

）＜0，

即f（x1）﹣f（x2）＜0，因此f（x1）＜f（x2），

所以函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调递减函数．…（8分） （3）因为f（x）在（0，+∞）上是单调递减函数， 所以f（x）在[3，25]上的最小值为f（25）． 由f（

）=f（x1）﹣f（x2）得，

f（5）=f（）=f（25）﹣f（5），而f（5）=﹣1，

所以f（25）=﹣2．

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即f（x）在[3，25]上的最小值为﹣2．…（12分）

【点评】本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法以及函数单调性的定义是解决本题的关键． 24．【答案】

【解析】解：（1）设x＜0，则﹣x＞0， ∵x＞0时，f（x）=x﹣2x．

2

22

∴f（﹣x）=（﹣x）﹣2（﹣x）=x+2x

∵y=f（x）是R上的偶函数

∴f（x）=f（﹣x）=x+2x

（2）单增区间（﹣1，0）和（1，+∞）；

2

单减区间（﹣∞，﹣1）和（0，1）．

【点评】本题主要考查利用函数的奇偶性来求对称区间上的解析式，然后作出分段函数的图象，进而研究相关性质，本题看似简单，但考查全面，具体，检测性很强．

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