双曲线学案

年级：高二 科目：数学选修1-1 第 课时 班级 姓名 制作人：刘源光 制作日期：2012—11—7

§3.1 双曲线及其标准方程（一）

学习目标 1.掌握双曲线的定义，能说出其焦点、焦距的意义。

2．能根据定义，按照求曲线方程的步骤推导出双曲线的标准方程，并能熟练的写出两类标准方程。 3．能解决较简单的求双曲线标准方程的问题。

学习重点、难点 重点：双曲线的定义和标准方程。

自学指导 请同学们用10分钟的时间认真看课本38---39页的内容，同时用红笔标出自己

看不懂的地方，并在你认为应该掌握的知识处用签字笔画出着重号。10分钟后进行检测。

【自学检测】请同学们独立完成下列问题。时间为8分钟。

1. 平面内到两个定点F1,F2的距离的____________________等于常数(__________________) 的点的集合叫做双曲线。此定义式为：________________。

定点F1,F2叫做双曲线的_______，两个焦点之间的_______叫做双曲线的______。 注意：（1）到两个定点F1,F2的距离之差，即：MF1MF2；

（2）差的绝对值为定值，即：MF1MF22a； （3）定值大于零且小于焦距，即： 02a2c 2．与椭圆一样，双曲线的标准方程也有两种形式：

当焦点在x轴上时，方程为___________________________；

当焦点在y轴上时，方程为______________________________ ． 两种标准方程的比较。”

① 方程用“—”号连接，并且可以化成右侧“=1”的形式；

222②分母是a2,b2，（a0,b0），但a,b大小不定；③cab；

④如果x的系数是正的，焦点在x轴上，如果y2地系数是正的，焦点在y轴上。

23．如何判断双曲线焦点的位置呢？对于双曲线的标准方程（即右侧为“=1”的形式） 当x项的系数是正的，那么焦点在x轴上；y项的系数是正的，那么焦点在y轴上。 (与分母的大小无关)

4．双曲线标准方程中a,b,c之间的关系为：___________________.

22讨论：双曲线的定义中，为什么常数要小于F1F2?

提示：(1)如果定义中|PF1||PF2|=F1F2，此时动点的轨迹是以F1,F2为端点的

1

两条射线(包括端点)．

(2)如果定义中|PF1||PF2|=0，此时动点轨迹为线段F1,F2的垂直平分线． (3)如果定义中|PF1||PF2|＞F1F2，此时动点轨迹不存在． 5．如何建系求双曲线标准方程？

1. 建系.

2.设点．3.列式 4.化简 【当堂训练】

1．判断以下双曲线的焦点位置，并写出焦点坐标

y2x2（1）、双曲线

1691 的焦点在 轴，焦点坐标是：_________， _____________； （2）、双曲线 9y216x2144 的焦点在 轴，焦点坐标是：_________， __________；（3）、双曲线 x215y215 的焦点在 轴，焦点坐标是：_________， __________；2．已知双曲线的焦点为. F1 (-5,0), F2 F2(5,0)，双曲线上一点P 到F1,F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.

x2y23．已知双曲线

36451 （1）求次双曲线的左、右焦点F1,F2的坐标;

(2)如果双曲线上一点p与焦点F1 的距离等于16，求点p与焦点F2的距离

（选做题）4．证明：椭圆

x225y291与双曲线x215y215的焦点相同

【课堂小结】（你在本节课学到了哪些基础知识？你又有哪些感受与体会，不妨写在下面。）

组长意见：

2

年级：高二 科目：数学选修1-1 第 课时 班级 姓名 制作人：刘源光 制作日期：2012-12-07

§3.1 双曲线及其标准方程（二）

学习目标 1.掌握双曲线的定义，能说出其焦点、焦距的意义。

2．能根据定义，按照求曲线方程的步骤推导出双曲线的标准方程，并能熟练的写出两类标准方程。 3．能解决较简单的求双曲线标准方程的问题。

学习重点、难点 重点：双曲线的定义和标准方程。

自学指导 请同学们用5分钟的时间再次认真的看课本39---40页的内容，复习并回顾上节课所讲的重要知识点，5分钟后进行检测。

【自学检测】请同学们独立完成1—4题。时间为10分钟。

1. 双曲线的定义：______________________________________________________________

__________________________。定义式为：_____________________________。 2.双曲线的标准方程为

________________________； ____________________________。

其焦点分别在_______________； ______________。 3.思考：如果将定义中的绝对值去掉，动点的轨迹是什么呢？ 即： 在02a|F1F2|条件下：

|PF1||PF2|2a时；动点的轨迹是____________________________；

|PF2||PF1|2a时动点的轨迹是____________________________________。

4.判断下列双曲线焦点所在的坐标轴，并写出它们的焦距和焦点坐标。

x2y2x2y21 ； 1 ； （2）（1）

2520916

x2y2x2y21 ； （4）1 . （3）

106169

3

【当堂训练】

2

2

1.（1）点P在双曲线x4 -y

9 =1上，F1、F2为焦点，若PF1=5,则PF2=

（2）(k+1)y2

-x2

=k-1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围是 2

2

（3）以椭圆x64 +y

16

=1的短轴长为2a值，长轴长为焦距的双曲线方程是

2.方程

x2y23kk11表示双曲线，求k的取值范围。

3.已知双曲线的焦点为0,5,0,5，又经过点2,352 ，求此双曲线的标准方程。 

x24.求与双曲线

16y241共焦点，且过点(32,2)的双曲线的方程.

x2y2（选做题）5.求与椭圆

2551共焦点且过点(32,2)的双曲线的方程. 组长意见：

4

【课堂小结】（你在本节课学到了哪些基础知识？你又有哪些感受与体会，不妨写在下面。）

【学后反思】反思你自己在课堂上的表现，不足的地方进行改进，好的地方继续发扬。 年级：高二 科目：数学选修1-1 第 课时 班级 姓名 制作人：刘元光 制作日期：2011、12、8

双曲线及其标准方程（训练案）

训练目标 1.掌握双曲线的定义，能说出其焦点、焦距的意义。

2．能根据定义，按照求曲线方程的步骤推导出双曲线的标准方程，并能熟练的写出两类标准方程。3．能解决较简单的求双曲线标准方程的问题。

训练重点、难点 重点：双曲线的定义和标准方程。

训练指导请同学们独立完成下列问题。时间为30分钟。（每题10分，共100分）

1． 判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三量a,b,c的值

①x2y2x2421 ②y2221

③x2y21 ④4y29x24236

2．若方程x2siny2cos1表示焦点在y轴上的双曲线，则角所在象限是（ ） A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

5

x2y23．设双曲线1上的点P到点(5,0)的距离为15，则P点到(5,0)的距离是（ ）A．7

169B.23 C.5或23 D.7或23

x2y21表示双曲线的 （ ） 4. k3是方程

3kk1A. 充分但不必要条件 B. 充要条件

C. 必要但不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

5.设动点M到A5,0的距离与它到B(5,0)的距离的差等于6，则P点的轨迹方程是（ ）

x2y2y2x2A. 1 B. 1

916916x2y2x2y21 (x3) D. 1 (x3) C. 916916x2y21 表示双曲线，则实数m的取值范围是____________； 6.已知方程

2mm1注意：若双曲线的焦点位置难以确定，可将它的方程设为mx2ny21(mn0)的形式，再根据条件求出m与n的值． 7.求过点3,42,

5

8. 已知与双曲线－＝1共焦点的双曲线过点 P－，－6 ，求该双曲线的标准方程．

1692

9,5的双曲线的标准方程。 4x2y2

（选做题）9.若F，F是双曲线9－16＝1的两个焦点，P是双曲线上的点，且|PF|·|PF|＝32，

1

2

1

2

x2y2

试求△F1PF2的面积．

组长意见：

6

10.变式：将本例的条件|PF1|·|PF2|＝32改为|PF1|∶|PF2|＝1∶3，求△F1PF2的面积．

【规律总结】

年级：高二 科目：数学选修1-1 第 课时 班级 姓名 制作人：刘元光 制作日期：2012—12—8

§3.2 双曲线的简单性质（一）

学习目标 1．能用对比的方法分析双曲线的范围、对称性、顶点等几何性质，并熟记之； 2．明确双曲线方程中a,b,c的几何意义；

3．能根据双曲线的几何性质，确定双曲线的方程并解决简单问题； 4．了解双曲线的渐近线的概念和证明。

学习重点、难点 重点：双曲线的定义和标准方程。 难点：双曲线标准方程的推导。

自学指导 请同学们用10分钟的时间认真看课本40---41页的内容，同时用红笔标出自己

看不懂的地方，并在你认为应该掌握的知识处用签字笔画出着重号。10分钟后进行检测。

【自学检测】请同学们独立完成下列表格，时间为5分钟。 双曲线定义 焦点的位置

|PF1||PF2|2a(2a|FF12|且2a是常数) 焦点在x轴上 焦点在y轴上 7

图形 对称轴是________________,对称中心为___________. 标准方程 性 质 焦点坐标 顶点坐标 范围 长轴的长度 虚轴的长度 焦距 离心率 对称性 a,b,c的关系 渐近线方程 注意：1.离心率e越大，双曲线开口_____________；

2．双曲线渐近线的求法：将双曲线标准方程等号右边的1改为0，即可得到双曲线的渐近线方程。 温馨提示：在画双曲线草图时，往往先画渐近线，再画双曲线，这样特别方便和准确。 思考题：不同的双曲线，渐近线能相同吗？试举例说明。

【当堂训练】请同学们用15分钟的时间独立完成下列题目。

1．求双曲线9y16x144的实半轴和虚半轴长、焦距、离心率、焦点坐标和渐近线方程。

222． ①双曲线25x16y400的实轴长等于 ，虚轴长等于 ，焦距______，

顶点坐标为 ， 焦点坐标为 ，渐近线方程为 ___________，

22离心率等于 ． （若方程改为16y25x400呢？） 3．求适合下列条件的双曲线的标准方程

①a=4,b=3，焦点在x轴上；

②焦点为(0,－6),(0,6)，经过点(2,－5)

22组长意见：

8

4．求下列双曲线 的渐近线

（1） 9y216x2144； （2） 9y216x2144 .

x2y2（选做题）5．已知F1，F2是双曲线221(a0,b0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于xab轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率．

【课堂小结】（你在本节课学到了哪些基础知识？你又有哪些感受与体会，不妨写在下面。）

【学后反思】反思你自己在课堂上的表现，不足的地方进行改进，好的地方继续发扬。

年级：高二 科目：数学选修1-1 第 课时 班级 姓名 制作人：刘元光 制作日期：2012—12—8

§3.2 双曲线的简单性质（一）训练案

训练目标 1．能用对比的方法分析双曲线的范围、对称性、顶点等几何性质； 2．明确双曲线方程中a,b,c的几何意义；

3．能根据双曲线的几何性质，确定双曲线的方程并解决简单问题； 4．了解双曲线的渐近线的概念。

训练重点、难点 重点：双曲线的定义和标准方程。

训练指导请同学们独立完成下列问题。时间为30分钟。（每题10分.，共80分）

能不能直接由双曲线方程得出它的渐近线方程？

x2y2x2y2xy结论：1)双曲线22的渐近线方程是220,即0.

abababxyx2y22)渐近线方程为0的双曲线方程是22..(0)

abab

9

例1．已知双曲线的渐近线是x2y0 ，并且双曲线过点M(4,3),求双曲线方程。

解：双曲线的渐近线方程为x2y0

可设所求双曲线的方程为x24y2.

双曲线过点M(4,3) 424(3)2. 4

所求双曲线方程为x2－4y2＝4.

3练习：求过点（1，2），且渐近线为yx 的双曲线方程。（10分）

4

1. 如果双曲线

x2y21的离心率等于m22，则实数m等于 ( )

A．－6 B．－14 C．－4 D．－8.

2. 双曲线的焦点到相应准线的距离为3，离心率为2，则双曲线的标准方程为（ ）

x2y2x2y21 B．1 A．124412x2y2x2y2y2x2x2y21或1 D．1或1 C．124412412412y21的两个焦点分别为F1、F2，3. 已知双曲线x点P为双曲线上一点，且F1PF290，32则F1PF2的面积等于 （ ）

1 A. B. 1 C. 3 D. 6

24. 若双曲线的实轴长与虚轴长之比为2，则双曲线的离心率等于 ；中心在原点，虚轴长为6，离心率等于2的双曲线标准方程是 ．

5. 过点(2，－2)且与双曲线x2－2y2=2有公共渐近线的双曲线方程是 .

x2y26. 给出问题：F1、F2是双曲线=1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F1的距1620离等于9，求点P到焦点F2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由 ||PF1|－|PF2||=8，即|9－|PF2||=8，得|PF2|=1或17. 该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的结果填在下面空格内. .

组长意见：

10

x2y2(选做题)7.已知双曲线221(a0,b0)，求过它的焦点且垂直于x轴的弦长．

ab

【规律总结】

年级：高二 科目：数学选修1-1 第 课时 班级 姓名 制作人：刘元光 制作日期：2012—12—9

§3.2 双曲线的简单性质（二）

学习目标 1．能用对比的方法分析双曲线的范围、对称性、顶点等几何性质； 2．明确双曲线方程中a,b,c的几何意义；

3．能根据双曲线的几何性质，确定双曲线的方程并解决简单问题； 4．了解双曲线的渐近线的概念。

学习重点、难点 重点：双曲线的定义和标准方程。

自学指导 请同学们用5分钟的时间再次认真的看课本41---42页的内容，复习并回顾上节课所讲的重要知识点，5分钟后进行检测。

【自学检测】请同学们独立完成1—4题。时间为30分钟。

1．等轴双曲线：

11

1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。 2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：yx ；（2）渐近线互相垂直。

x2y2y2x22．注意1与1的区别：三个量a,b,c中a,b不同（互换）c相同，还有焦点所

169916在的坐标轴也变了。

共轭双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双

曲线。（通过分析曲线的方程，发现二者具有相同的渐近线。此即为共轭之意。） 1）性质：共用一对渐近线。双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上。 2）如何确定双曲线的共轭双曲线？将1变为1。

3）与双曲线有同一对渐近线的双曲线的方程可设为x2y2a2b2(0)，

当0时焦点在x轴，当0时焦点在y轴上。

3．求适合下列条件的双曲线的标准方程

⑴ a=4, c=5, 焦点在x轴上； ⑵ 焦点为（-5，0），（5，0），且b=3

⑶ a=4, 经过点A(1,4103)； ⑷ 焦点在y轴上，且过点(3,42),(94,5)

(5)两顶点之间的距离是16，离心率是5

4

； (6)过点(－5，6)，e＝10.

（7）焦点在x轴上，经过点 (2,3),(153,2)

4．求与双曲线4x2y24有共同渐近线，且过点M(2,2)的双曲线的方程.

5．求以2x±3y＝0为渐近线，且过点(1,2)的双曲线方程．

组长意见：

12

（选做题）6．设双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A位于y轴右侧

x2y2

2736且纵坐标为4，求此双曲线的方程．

【课堂小结】（你在本节课学到了哪些基础知识？你又有哪些感受与体会，不妨写在下面。）

【学后反思】反思你自己在课堂上的表现，不足的地方进行改进，好的地方继续发扬。

年级：高二 科目：数学选修1-1 第 课时 班级 姓名 制作人：刘元光 制作日期：2012—12—9

§3.2 双曲线的简单性质（二）训练案

训练目标 1．能用对比的方法分析双曲线的范围、对称性、顶点等几何性质，并熟记之； 2．明确双曲线方程中a,b,c的几何意义；

3．能根据双曲线的几何性质，确定双曲线的方程并解决简单问题； 4．了解双曲线的渐近线的概念。

训练重点、难点 重点：双曲线的定义和标准方程。

训练指导请同学们独立完成下列问题。时间为30分钟。（每题10分，共110）

1. 已知方程

x2y22kk11的图象是双曲线，那么k的取值范围是（ ） Ａ．k＜１ Ｂ．k＞２ Ｃ．k＜１或k＞２ Ｄ．１＜k＜２

13

x2y22. 双曲线221（a>0,b>0）的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是( )

baA.2 B.3 C.2 D.

3 2x2y21上的一点，且|PF1|=12，则|PF2| =（ ） 3. 点P是以 F1、F2为焦点的双曲线259A．2 B．22 C．4或22 D．2或22

y21的渐近线中，斜率较小的一条渐近线的倾斜角是 （ ） 4. 双曲线x32Ａ．600 Ｂ．900 Ｃ．1200 Ｄ．1500

x2y25. 如果双曲线=1上一点P到右焦点的距离等于13,那么点P到右准线的距离是

1312( )

A.

135 B. 13 C. 5 D. 5136. 若双曲线的渐近线方程为y3x，它的一个焦点是10,0，则双曲线的方程是__________.

x2y21的焦点，直线l过F1，且与双曲线的同一支交于A、B两7. 设F1、F2是双曲线2516点，已知｜AB｜＝8,则△ABF 2的周长为 ．

x2y21表示焦点在x轴上的双曲线，则实数k的取值范围8. 若方程

9k4k是 ，其焦点坐标是 ． 9. 已知双曲线C1与椭圆

点M(－4,

273x2y2C2：1有公共的焦点，且双曲线

4936C1经过

)，试求双曲线C1的方程．

(选做题)10. 已知双曲线3x2－5y2＝75，焦点为F1、F2，P是双曲线上的一点，且∠F1PF2

组长意见：

14

＝120°，试求△PF1F2的面积．

(选做题)11.已知圆F1:(x＋2)2＋y2＝1，圆F2：(x－2)2＋y2＝4，动圆与圆F1内切且与圆

F2外切，试求动圆圆心的轨迹．

【规律总结】

15