双曲线学案

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学习过程

一、复习预习

x2y2x2y2

1． 与双曲线a2－b2＝1 (a>0，b>0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为a2－b2＝t (t≠0)．

2． 已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方

x2y2x2y2

程a2－b2＝0就是双曲线a2－b2＝1 (a>0，b>0)的两条渐近线方程．

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二、知识讲解

考点1 双曲线的与概念

平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距．

集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0： (1)当ac时，P点不存在．

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双曲线的标准方程和几何性质

2标准方程 xa2－y2＝1 (a>0，b>0) y2x2b2a2－b2＝1(a>0，b>0) 图形 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 性 渐近线 y＝±bax y＝±a质 bx 离心率 e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2 线段AA实虚轴 12叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a、b、c的关系 c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0) 4

考点2

考点3 双曲线方程的求法

(1)若不能明确焦点在哪条坐标轴上，设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)． x2y2(2)与双曲线2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x2y2

a2－ba2－b2＝λ(λ≠0)． (3)若已知渐近线方程为mx＋ny＝0，则双曲线方程可设为m2x2－n2y2＝λ(λ≠0)．

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三、例题精析

考点一 双曲线的定义及标准方程

x2y2x2y2

例1已知双曲线a2－b2＝1 (a>0，b>0)和椭圆16＋9＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲

线的方程为________．

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x2y27x2y2x2

【规范解答】椭圆16＋9＝1的焦点坐标为F1(－7，0)，F2(7，0)，离心率为e＝4.由于双曲线a2－b2＝1与椭圆16y2

＋9＝1有相同的焦点，因此a2＋b2＝7. 又双曲线的离心率e＝

2

2

2

a2＋b27727

＝，所以aaa＝4，

x2y2

所以a＝2，b＝c－a＝3，故双曲线的方程为4－3＝1.

x2y2

【总结与反思】设双曲线方程为a2－b2＝1，求双曲线方程，即求a、b，为此需要关于a、b的两个方程，由题意易得关于a、b的两个方程；也可根据双曲线的定义直接确定a、b、c；根据双曲线的定义求轨迹方程．(注意条件)

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考点二 双曲线的几何性质

x22

例2 如图，F1，F2是椭圆C1：4＋y＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．

若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（ )

A.2 B.3

C.32 D.6

2

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x2y2

【规范解答】|F1F2|＝23.设双曲线的方程为a2－b2＝1.

∵|AF2|＋|AF1|＝4，|AF2|－|AF1|＝2a，∴|AF2|＝2＋a，|AF1|＝2－a. 在Rt△F1AF2中，∠F1AF2＝90°，∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2， 即(2－a)2＋(2＋a)2＝(23)2， c36

∴a＝2，∴e＝a＝＝2. 故选D.

2

【总结与反思】在研究双曲线的性质时，实半轴、虚半轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容；双曲线c

的离心率涉及的也比较多．由于e＝a是一个比值，故只需根据条件得到关于a、b、c的一个关系式，利用b2＝c2－a2消去b，然后变形求e，并且需注意e>1.同时注意双曲线方程中x，y的范围问题．

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考点三 直线与双曲线的位置关系

例3 已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1.

(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；

(2)若l与C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为2，求实数k的值．

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【规范解答】(1)双曲线C与直线l有两个不同的交点，则方程组x2－y2＝1，

1

有两个不同的实数根，

y＝kx－整理得(1－k21－k2≠0，)x2＋2kx－2＝0. ∴

Δ＝4k2＋81－k2

>0，

解得－2双曲线C与直线l有两个不同的交点时，k的取值范围是(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)． (2)设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l与y轴交于点D(0，－1)， x1

＋x－2k

2

＝2

C与l联立的方程为(1－k2

2

＋2kx－2＝0.∴1－k，由(1)知，)x

x1x2

＝－2

1－k

2

.

当A，B在双曲线的一支上且|x－S△OBD＝11

1|>|x2|时，S△OAB＝S△OAD2(|x1|－|x2|)＝2|x1－x2|；

当A，B在双曲线的两支上且x>x11

12时，S△OAB＝S△ODA＋S△OBD＝2(|x1|＋|x2|)＝2|x1－x2|.

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－2k218622

∴S△OAB＝2|x1－x2|＝2，∴(x1－x2)＝(22)，即()＋＝8，解得k＝0或k＝±2. 1－k21－k26

又∵－2(2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验．

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四、课堂运用

【基础】

πx2y2y2x2

1、已知0＜θ<4 ，则双曲线C1：cos2θ－sin2θ＝1与C2：sin2θ－sin2θtan2θ＝1的( )

A．实轴长相等

B．虚轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 13

x2y2

2、已知双曲线n－＝1的离心率是3，则n＝________.

12－n

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【巩固】

x2y2

1、已知双曲线a2－b2＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线

的离心率e的最大值为________．

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x2y2

2、已知F为双曲线C：9－16＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，

则△PQF的周长为________．

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【拔高】

1、直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A、B.

(1)求实数k的取值范围；

(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

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2、已知离心率为5的椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，双曲线以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为234. (1)求椭圆及双曲线的方程；

(2)设椭圆的左、右顶点分别为A、B，在第二象限内取双曲线上一点P，连接BP交椭圆于点M，连接PA并延长交椭圆于点N，若BM→＝MP→，求四边形ANBM的面积．

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课程小结

1. 区分双曲线与椭圆中a、b、c的关系 2．渐近线与离心率

3．直线与双曲线交于一点时，不一定相切．

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