安培力做功与电路中产生的焦耳热的关系

探讨安培力做功与回路中焦耳热的本质关系

在高三物理复习中，不少学生认为:在电磁感应闭合回路中产生的焦耳热(Q)在数值上等于安培力所做的功(W)。至于安培力做负功还是做正功，很少有学生注意这个区别。安

究其原因，笔者认为是对“电磁感应中的能量转化关系模糊不清”造成的。本文拟用如下几道例题的分析和解答来说明。

一、安培力做负功时，回路中焦耳热与负功的关系

【例1】水平面内有一宽度为L电阻不计的导体框架，左端接一电阻R，一质量为m，电阻为r的导体棒垂直于框架的两臂且横跨其上，导体棒与框架始终接触良好，整个空间有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B，导体棒在恒定外力F作用下向右运动，如图1所示。不计棒与框架的摩擦和空气阻力，试分析导体棒的受力、回路中产生的焦耳热及能量变化情况。 【分析】导体棒在水平方向受到:恒力F，方向向右;安培

力F，方向向左;在竖直方向受到:重力mg，方向竖直向安 下;框架的支持力F，方向竖直向上。 N E 在F作用时间内，设导体棒的动能变化量为?k 对导体棒，根据动能定理有: ? W，W,,E Fk安

对导体棒、框架、电阻R组成的整个回路，根据能量守恒定律，有: ? WEEQ，,，Fkk12

,,,EEE ? kkk21

由???式，得:Q,,W，即:克服安培力所做的功等于回路中产生的焦耳热。 安 【点评】由于外力作用使导体棒切割磁感线产生了电磁感应现象，导体棒克服安培力做功的过程，就是其它形式能转化为电能的过程。而且克服安培力做多少功，回路中就得到多少电能，回路(必须是纯电阻回路)中就产生多少焦耳热。本题若将电阻R改为电动机，回路中得到的电能就大于回路中产生的焦耳热。

二、安培力不做功时，回路中焦耳热的来源

【例2】如图2a所示，间距L,1 m的足够长U型金属导轨竖直放置，导轨上端与虚线距离d,2 m，以虚线为边界，上方有垂直纸面向里的磁场，磁感应强度大小如图2b所示规律变化，虚线下方有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度B,1 T。质量为m,1 kg的金属棒cd通过棒两端的套环水平地套在金属导轨上，在t,0时刻cd棒由静止释放。已知cd棒与导轨

2间动摩擦因数μ,0.6，cd棒电阻R,0.4 Ω，导轨电阻不计。(重力加速度g=10m/s)

(1)分析运动过程中cd棒受到的安培力方向;

(2)求2 s内cd金属棒产生的焦耳热以及棒和导轨间产生的摩擦热，并分析系统的能量转化关系。

【分析】(1)由楞次定律可判断出cd棒中的电流方向向右(c?d)，受到的安培力F方向垂直安于纸面向里。

,,,B(2) 回路中由于磁场均匀变化产生恒定的感生电动势:ELd,,,4V ,,tt

EI,,10A回路中的感应电流 R

22 s内cd金属棒产生的焦耳热 QIRt,,80J cd棒受到的摩擦力: fFILB,,,,,6NN

12xat,对cd棒:由牛顿第二定律和运动学公式得:，， mgfma,,v,at2 2由上式得:，， x,8mv,8m/sa,4m/s Qfx,由能量守恒得: 摩

Q,48J联立上式得棒和导轨间产生的摩擦热: 摩

系统中的能量转化关系有两条途径:一是在磁场强弱的变化引起回路中磁通量的变化的电磁感应现象中，磁场能转化为电能，再全部转化为内能(焦耳热);二是在下滑过程中，cd棒重力势能减少，减少量，动能增量。可见，，ΔEP减,80JΔEk加,32JΔEP减,ΔEk加，Q摩

减少的重力势能，转化为动能和内能(摩擦热)。 即cd棒

【点评】本题一方面是在磁场变化的电磁感应现象中，磁场能转化为电能，得到的电能又全部转化为内能(焦耳热)。另一方面，在cd棒下滑过程中减少的重力势能，一部分转化为棒的动能，其余部分则转化为内能(摩擦热)。回路中产生的焦耳热与金属棒下滑过程中减少的重力势能在数值上相等(80J)，其实他们之间并不存在必然联系。因此，回路中产生的焦耳热，与重力和摩擦力做功无关，而是由变化的磁场提供的，它们是两个不同能量来源及其之间的转换关系。

三、安培力做正功时，回路中焦耳热与正功的关系

【例3】如图(a)所示，平行长直金属导轨置于水平面内，间距为L、导轨左端接有阻值为R的电阻，质量为m的导体棒垂直跨接在导轨上。导轨和导体棒的电阻均不计，且接触良好。在导轨平面上有一矩形区域内存在着竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。开始时，导体棒静止于磁场区域的右端，当磁场以速度v匀速向右移动时，导体棒随之开始运动，1

受到水平向左的摩擦阻力大小恒为f，并很快达到恒定速度，此时导体棒仍处于磁场区域内。

v

× ×m × × v tF 安v1 × × × × R B L × × × × O t t (a)(b)

(1)求导体棒所达到的恒定速度v; 2

(2)导体棒以恒定速度运动时，单位时间内克服阻力所做的功和电路中消耗的电功率，并分析系统的能量转化关系。

【分析】由于磁场匀速向右移动，棒和电阻R组成的回路磁通量减少，根据楞次定律，可知安培力F方向水平向右，故安培力在这个过程中对导体棒做正功。 安

(1)当棒达到最大速度v时，由法拉第电磁感应定律:有 2 E,BL(v,v) ? 12 感应电流:I,E/R ? 导体棒所受到的安培力: 22BLvv(),12FBIL,, ? 安R 22BLvv(),12,f速度恒定时有: ? R fRvv,, 可得: ? 2122BL

(2)由于导体棒速度恒定，故回路中感应电流恒定，则在单位时间内克服阻力所做的功即

fRPfvfv,,,()为克服阻力做功的功率: ? 21克阻22BL 22222BLvv(),EfR12P,,, ? 电路22RRBL

系统的能量转化关系:对导体棒、导轨、磁场组成的整个系统，我们仔细分析一下不难

发现，导体棒所受安培力的反作用力作用在磁场上，阻碍磁场的移动，就需要一个外力F来克服这个反作用力做功，就需要消耗外界其他形式的能量，外界提供的能量最终转化为电路中的焦耳热、导体棒的动能和摩擦热。再以导体棒为研究对象，由功能关系可知，安培力做的正功等于导体棒的动能增量与摩擦热之和。若导体棒达到匀速状态时，安培力等于阻力，棒的动能不变，即，即安培力做功全部克服阻力只增加系统的摩擦热。 W=WF安f

【点评】从能量转化的角度，不少学生误认为安培力做的功一部分用来克服阻力做功，另一部分使导体棒的动能增加，并在回路中产生焦耳热。其实，当导体棒以恒定速度运动时，安培力应该等于阻力，棒的动能并无改变，即W=W，但回路中仍然有焦耳热产生，这一热量F安f

来源于移动磁场的外力F做功时提供的能量，而与安培力做正功的多少无关。进一步分析发现，导体棒达到匀速状态时，，由?、?式可得到，

FFf,,PFvfvPP,,,，F11安电路克阻而，。这三个式子也直观地说明了电路中的焦耳热的能PP,PPP,,电路焦耳热安培力摩擦热克阻

量来源，它与安培力做正功的多少无关。 四、归纳、对比与反思

归纳:通过对以上三道例题的分析，可知磁场对导体棒的安培力可以做负功，也可以不做功，还可以做正功。安培力做负功时，使机械能转化为电能，再由电能转化为内能(焦耳热)，且整个回路(纯电阻电路)的总焦耳热在数值上等于克服安培力所做的功。安培力不做功时，不影响回路中焦耳热的产生。安培力做正功时，使回路中的电能转化为机械能或其它形式的能，回路中产生的焦耳热与安培力做正功的多少无关。

对比:通过对安培力做功特点的分析，不难发现安培力做功与滑动摩擦力做功具有相似性。当物体在粗糙的水平地面上滑动时，滑动摩擦力对物体做负功，反作

用力对地面不做功，使机械能转化为系统的内能，产生的热量等于物体克服摩擦力所做的功。当物体轻放于水平向右匀速运动的传送带左端时，滑动摩擦力对物体做正功，反作用力对传送带做负功，做功之和为负值，摩擦产生的热量等于系统克服一对滑动摩擦力所做的功。同样，导体棒在静止的匀强磁场中切割磁感线时，安培力对导体棒做负功，反作用力不做功，使机械能转化为电能，得到的电能等于导体棒克服安培力所做的功。如果运动的磁场引起导体棒运动，安培力对导体棒做正功，反作用力对磁场做负功，做功之和为负值，得到的电能等于系统克服这一对安培力所做的功。若回路是纯电阻电路，那么得到的电能将全部转化为内能(焦耳热)。

反思:在处理电磁感应现象的能量问题时，安培力做功与能量的关系，不能单纯的认为数值上相等，而应该透过运动的现象看清能量的来源与功和能之间转换的依存关系，这样

才能理解回路中焦耳热与安培力的本质关系以及认识电磁感应的本质。