三角函数综合练习题及参考答案

一、选择题

1． 已知sinθ＝，sin2θ＜0,则tanθ等于 A．－ B． C．－或 D．

2． 已知α、β均为锐角，若P:sinα〈sin(α＋β)，q：α＋β<

，则P是q的（ ） 2343445343435（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 3、函数ylncosxD．既不充分也不必要条件

ππx的图象是( A )

22y y y y π 2O πx π  22O πx π  22O πx πO  22D．

πx

2

A． B． C．

4．已知,函数y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数（0＜θ＜π) 其图象与直线y＝2的交点的横坐标为x1，x2,若｜ x1－x2｜的最小值为π，则 A．ω＝2，θ＝

( ）

D．ω＝2，θ＝

2

11B．ω＝，θ＝C．ω＝，θ＝

4 422 25． 把曲线y cosx＋2y－1＝0先沿x轴向右平移线方程为

（ ）

，再沿y轴向下平移1个单位,得到的曲2A．(1－y）sinx＋2y－3＝0 B．(y－1）sinx＋2y－3＝0 C．(y＋1）sinx＋2y＋1＝0 D．－（y＋1)sinx＋2y＋1＝0 6．为得到函数ycos2xA．向左平移

π的图像，只需将函数ysin2x的图像（A ） 35π5π个长度单位 B．向右平移个长度单位 12125π5πC．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位

66sinx7.函数f(x)是（A）

xsinx2sin2A．以4为周期的偶函数 B．以2为周期的奇函数 C．以2为周期的偶函数 D．以4为周期的奇函数

8.函数f(x)=sin2x+3sinxcosx在区间,上的最大值是（C) 42C。

A.1 B.

13 2

3 2D。1+3 9。若动直线xa与函数f(x)sinx和g(x)cosx的图像分别交于M，N两点，则

MN的最大值为（ B ）

A．1

B．2

C．3

D．2

（ D）

10． 设a〉0，对于函数f(x)A．有最大值而无最小值 B．有最小值而无最大值 C．有最大值且有最小值 D．既无最大值又无最小值 二、填空题

sinxa(0x),下列结论正确的是 sinxc,，1．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、若A105,B45， b22,b、

由c= ．

2．已知函数y=tanx在(,)内是减函数,则的取值范围是 。

22003．已sin（

3－x)＝5，则sin2x的值为 。 44．f(x)sinx2sinx,x[0,2]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同交点，则k的取值范围是 ． 5．函数ysinx2π3πsinx的最小正周期T ．

26．函数y2cosxsin2x的最小值是_____________

7. 若,(0,2)，cos(2)31，sin()，则cos()的值等222于 ．

8。在ABC中，AB3,BC1， ACcosBBCcosA，则ACAB________ 。 9。 若x∈（0，

）则2tanx+tan(-x)的最小值为________ 。 2210.下面有五个命题：

①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是. ②终边在y轴上的角的集合是{a|a=

k,kZ｜. 2③在同一坐标系中,函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点。 ④把函数y3sin(2x⑤函数ysin(x)的图象向右平移得到y3sin2x的图象. 36)在〔0，〕上是减函数. 2其中真命题的序号是 （写出所言 ） 答案：① ④ 三、解答题

1．已知函数f(x)4sinx2sin2x2，xR.

（1)求f(x)的最小正周期、f(x)的最大值及此时x的集合; （2)证明:函数f(x)的图像关于直线x2π对称. 825, 5sinα)，b=(cosβ，sinβ)，|ab|2．已知向量a(cosα，(1) 求cos(αβ)的值； (2)

（2）若0αππ5，β0，且sinβ，求sinα的值。 2213ππ2xsinx2cos，xR(其中0） 6623．已知函数f(x)sinx(I）求函数f(x)的值域;

（II)若函数yf(x)的图象与直线y1的两个相邻交点间的距离为的单调增区间． 4． 已知函数y=

π，求函数yf(x)2312

cosx+sinx·cosx+1 (x∈R）,

22(1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合;

（2）该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 5．在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边,且

cosC3ac， cosBb(1)求sinB的值；（2)若b42，且a=c,求ABC的面积。 6。设函数f(x）=cos(2x+

2）+sinx. 3（1）求函数f(x)的最大值和最小正周期.

（2)设A,B，C为ABC的三个内角，若cosB=7. 在ABC中，sin(CA)1, sinB=

1c1，f()，且C为锐角，求sinA. 3241。 3（I）求sinA的值；(II）设AC=6，求ABC的面积。

8．已知函数f(x)Asin(x)(A0，0π),xR的最大值是1，其图像经过点

312π1πM，．（1）求f(x)的解析式；（2)已知，0，，且f()，f(),

513322求f()的值．

29．已知函数f(x)2sinπππx3cos2x，x，． 442（I)求f(x)的最大值和最小值；

（II）若不等式f(x)m2在x，上恒成立，求实数m的取值范围．

42πππ1，g(x)1sin2x． 122（I）设xx0是函数yf(x)图象的一条对称轴，求g(x0)的值． （II）求函数h(x)f(x)g(x)的单调递增区间．

10．已知函数f(x)cosx2

参考答案

一、选择题 ABADC AACBD 二、填空题 三、解答题

1、解:f(x)4sinx2sin2x22sinx2(12sinx)

22π2sin2x2cos2x22sin(2x)

4（1)所以f(x)的最小正周期Tπ，因为xR，

ππ3π2kπ，即xkπ时,f(x)最大值为22； 428π(2）证明：欲证明函数f(x)的图像关于直线x对称，只要证明对任意xR，有

8ππf(x)f(x)成立，

88所以,当2xππππx)22sin[2(x)]22sin(2x)22cos2x， 8842ππππf(x)22sin[2(x)]22sin(2x)22cos2x，

8842πππ所以f(x)f(x)成立，从而函数f(x)的图像关于直线x对称。

888因为f(sinα)，b=(cosβ，sinβ)，2、解：（1）因为a(cosα， sinαsinβ)，所以ab(cosαcosβ，

又因为|ab|252522,所以(cosαcosβ)(sinαsinβ)， 5543；

55ππ（2） 0α，β0，0αβπ,

2234又因为cos(αβ)，所以 sin(αβ)，

55512sinβ，所以cosβ，所以sinαsin[(αβ)β]1313即22cos(αβ)，cos(αβ)3、答案： f(x)2(3131sinxcosxsinxcosx(cosx1)222263 6531sinxcosx)122

2sin(cos6)1.由-1≤sin(cosx6可知函数f(x)的值域为[-3,1]。

)≤1，得-3≤2sin(cosx6)1≤1。

（Ⅱ）解：由题设条件及三角函数图象和性质可知,yf(x)的周其为w,又由w＞0,得即得w=2。

于是有f(x)2sin(2x2，w6)1，再由2k2262k2(kZ)，解得

k6xk3(kZ)。

所以yf(x)的单调增区间为[k4、解：（1）y=

6,k3(kZ)］

3311122

cosx+sinx·cosx+1= （2cosx－1）+ +(2sinx·cosx)+1

2244431515=cos2x+sin2x+=（cos2x·sin+sin2x·cos)+

4442664=

15sin(2x+）+ 246=+2kπ，（k∈Z），即 x=+kπ,（k∈Z)。 626所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x=+kπ,k∈Z｝

6所以y取最大值时，只需2x+

(2）将函数y=sinx依次进行如下变换：

,得到函数y=sin（x+）的图像; 661（ii)把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变）,得到函数y=sin（2x+）

26（i）把函数y=sinx的图像向左平移的图像;

(iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的（2x+

11倍（横坐标不变），得到函数y=sin22）的图像； 6515个单位长度，得到函数y=sin(2x+)+的图像. 4264（iv)把得到的图像向上平移综上得到y=

312

cosx+sinxcosx+1的图像.

22cosC3accosC3sinAsinC5、解：（1）由正弦定理及，有, cosBbcosBsinB即sinBcosC3sinAcosBsinCcosB,所以sin(BC)3sinAcosB，

又因为ABCπ，sin(BC)sinA，所以sinA3sinAcosB，因为sinA0,

所以cosB2212，又0Bπ，所以sinB1cosB。

3322(2)在ABC中，由余弦定理可得ac所以有

2ac32,又ac, 342a32，即a224，所以ABC的面积为 311SacsinBa2sinB82。

226、解：

（1）f(x)=cos(2x+

1cos2x132sin2x )+sinx.=cos2xcossin2xsin33222313,最小正周期. 2所以函数f(x)的最大值为

（2）f()=

c21331sinC=－， 所以sinC， 因为C为锐角, 所以C， 22243又因为在ABC 中， cosB=

12， 所以 sinB3， 所以 3321132232 32326,∴

sinAsin(BC)sinBcosCcosBsinC7、解:(Ⅰ）由

CAB，且CAB，∴A242B2BBsinAsin()(cossin)，

42222311∴sin2A(1sinB)，又sinA0，∴sinA

323C

ACBC（Ⅱ）如图,由正弦定理得 sinBsinAACsinAsinB6•13A B

∴BC3332，又sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB

322616 33333116AC•BC•sinC63232 223∴SABC8、解(1)依题意有A1，则f(x)sin(x)，将点M(11,)代入得sin(),而32320，（

2

5，，故f(x)sin(x)cosx； 3622312）依题意有cos,cos513,而

34125,(0,),sin1()2,sin1()2，

25513139、解：(Ⅰ）∵f(x)1cosπ2x3cos2x1sin2x3cos2x 2π12sin2x．

3又∵x，,∴≤2x≤，即2≤12sin2x≤3，

363342ππππ2ππ∴f(x)max3，f(x)min2．

(Ⅱ）∵f(x)m2f(x)2mf(x)2，x，，

42ππ∴mf(x)max2且mf(x)min2,

，4)． ∴1m4，即m的取值范围是(110、答案:解：(I)由题设知f(x)1π[1cos(2x)]． 26πkπ, 6因为xx0是函数yf(x)图象的一条对称轴，所以2x0即2x0kπ π（kZ）． 611π所以g(x0)1sin2x01sin(kπ)．

226113π当k为偶数时，g(x0)1sin1，

26441π15当k为奇数时,g(x0)1sin1．

26441π1（II）h(x)f(x)g(x)1cos2x1sin2x

26231π3131cos2xsin2xcos2xsin2x 26222221π3sin2x． 232πππ5ππ当2kπ2x2kπ，即kπxkπ（kZ）时，

23212121π3函数h(x)sin2x是增函数，

2325ππ，kπ（kZ）故函数h(x)的单调递增区间是kπ． 1212