高一数学复习考点题型专题练习29 三角函数的应用

专题29 三角函数的应用

题型一 几何中的三角函数模型

1．第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如图，会标是由4个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，若小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，设直角三角形中较大的锐角为，则tan4π（ ）．

A．5 B． C．7 D．7172 102．一半径为2m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1m；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3s转一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计算时间.

（1）试建立适当的坐标系，将点P距离水面的高度h（m）表示为时间t（s）的函数； （2）点P第一次到达最高点大约要多长时间？

（3）记fth，求证：不论t为何值，ftft1ft2是定值.

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3．如图，在矩形ABCD中，AB1，BC3，此矩形沿地面上一直线滚动，在滚动过程中始终与地面垂直，设直线BC与地面所成的角为，矩形周边上最高点离地面的距离为

f()．求：

（1）的取值范围．（2）f()的解析式．（3）f()的值域．

4．甲同学从一个半径为r的半圆形铁板中截取一块矩形ABCD，记其最大面积为S甲，乙同学从一个半径为R的圆形铁板中截取一块矩形EFGH，记其最大面积为S乙，试问r和R满足什么关系时，S甲S乙？说明理由.

题型二 三角函数在生活中的应用

5．一观览车的主架示意图如图所示，其中O为轮轴的中心，距地面32m（即OM长），巨轮的半径长为30m，AMBP2m，巨轮逆时针旋转且每12分钟转一圈，若点M为吊舱P的初始位置，经过t分钟，该吊舱P距离地面的高度为（ ）

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30sint3030sintA．B．30 22126C．30sint32D．30sint

62626．哈尔滨文化公园的摩天轮始建于2003年1月15日，2003年4月30日竣工，是当时中国第一高的巨型摩天轮，其旋转半径50米，最高点距地地面110米，运行一周大约21分钟.某人在最低点的位置坐上摩天轮，则第14分钟时他距地面大约为__米. 7．我国古代数学家赵爽利用“勾股圆方图”巧妙地证明了勾股定理，成就了我国古代数学的骄傲，后人称之为“赵爽弦图”．如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，若直角三角形中AFa，BFb，较小的锐角FAB．若ab196，正方形ABCD的面积为100，则cos2________，

sin22cos2________．

8．如图为一个观览车示意图，该观览车圆半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m，60秒转动一圈.图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ到OB.设B点与地面的距离为h.

（1）求h与θ的函数关系式；

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（2）设从OA开始转动，经过10秒到达OB，求h.

题型三 三角函数在物理学中的应用

9．电流强度IA随时间ts变化的函数IAsintA0,0,0的图象如图

2所示，则当t1s时，电流强度是____________A． 100

10．下图是一个按正弦规律变化的交流电的图象，根据图象求出它的周期、频率和电流的最大值，并写出图象的函数解析式．

11．已知弹簧上挂着的小球做简谐运动时，小球离开平衡位置的位移s（cm）随时间t（s）的变化规律满足关系式s4sin2t，t[0,).用五点作图法作出这个函数在一

3个周期内的简图，并回答下列问题：

（1）小球在开始运动（t0）时，离开平衡位置的位移是多少?

（2）小球上升到最高点、下降到最低点时离开平衡位置的位移分别是多少? （3）经过多长时间小球往返运动一次?

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12．如图，一个摩天轮的半径为10m，轮子的最低处距离地面2m.如果此摩天轮按逆时针匀速转动，每30min转一圈，且当摩天轮上某人经过点P（点P与摩天轮中心O的高度相同）时开始计时.

（1）求此人相对于地面的高度h（单位：m）关于时间t（单位：min）的函数关系式； （2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间此人相对于地面的高度不小于17m？

题型四 三角函数新定义

13．如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它对应

12x的方程为y2sinx(0x2)其中记x为不超过x的最大整数），且过点

2P,2，若葫芦曲线上一点M到y轴的距离为5π，则点M到x轴的距离为（ ）

34

A．B．14133C．2D． 4214．高斯是世界四大数学家之一，一生成就极为丰硕，以他的名字“高斯”命名的成果达

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110个，属数学家中之最．对于高斯函数yx，x表示不超过实数x的最大整数，如

1.71，1.22，x表示x的非负纯小数，即xxx．若函数yx1logax（a0且a1）有且仅有3个零点，则实数a的取值范围为（ ） A．3,4B．3,4C．3,4D．3,4

15．已知函数fxsincosxcossinx，其中x表示不超过实数x的最大整数，则（ ）

A．fx是奇函数B．f3π2πf 3C．fx的一个周期是πD．fx的最小值小于0

16．在直角坐标系中，横､纵坐标均为整数的点叫格点.若函数yfx的图像恰好经过k个格点，则称函数yfx为k阶格点函数.在x,上，下列函数中，为一阶格点函数的是___________.(选填序号)①ysinx；②yex1；③ylnx；④yx2 17．设x表示不超过实数x的最大整数，则函数fxsincosxcossinx的最小值为______.

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