期权价格计算公式

期权价格计算公式

股票的价格变化遵循一维维纳过程，其微分方程如下

dsa(s,t)dtb(s,t)dz

式中：dz的差分满足如下条件的正态分布

zt

在一般情况下，ds 可用下式表示：

dssdtsdz----------- （1）

或表示为：

dsdtdz s式中：s股票价格的期望漂移率， 为一个恒定参数；(s)2为股票价格波动的方差，  为股票价格的波动率，可以通过观察

股票价格的动态系列数据获得。

如果存在一个变量 G ，它是股票S的一种衍生证卷，它的价格是S 和 t 的函数，G(s,t)，那么，S和G都受到同一个基本的不确定性因素的影响。根据ITO定理，函数G的行为遵循如下微

分方程描述的过程：

GG12G22GdG(SS)dtSdz 2St2SS-------------（2）

函数G的漂移率为

GG12G22SS 2St2S方差为

(G222)S S学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹

阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根

如果G代表股票S的一种期权，我们想用S和G构造一组风险中性的证卷组合。为此，首先将公式（1）、（2）改写成对应的差

分形式：

SStSz

---------------（3）

----------（4）

GG12GGG(S)tSz

St2S2S由于公式（3）、（4）中的z(t）是相同的维纳过程，只要证

卷数量的搭配合理，整卷组合就可以消除z。

恰当的证卷组合是： -1； 卖空一个期权

GS；买入期权价值变化对股票价格的敏感度，也就是他的偏微

分那样多的股票。定义这个证卷组合的价值为，表达式为

GGGS S ---------（5）

t时间后，这个证卷组合的价值变化为：

GS S -----------（6）

将（3）、（4）带入（6），消去z，得：

G12G22(S)t 2t2S ---------（7）

由于这个证卷组合是风险中性的，所以，它的收益一定与任何一

个无风险证卷的收益相同，就是

rt

---------（8）

将（5）、（7）带入（8），得：

学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹

阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根

G12G22G(S)tr(GS)t t2S2S将上式进一步化简，得：

GG1222GrSSrG 2tS2S --------（9）

这就是获得诺贝尔奖的Black-Scholes微分方程。这个微分方程

的解，与它的边界条件有关。 欧式看涨期权的边界条件是， G=max(S-X,0) 当 t=T时 欧式看跌期权的边界条件是： G=max(X-S,0) 当t=T时

在风险中性世界中，欧式看涨期权到期日的期望价值是：

E[max(STX,0)]

Black-Scholes证明，欧式看涨期权的价格c是这个数学期望值的

贴现结果，解析表达式为

cSN(d1)Xer(Tt)N(d2)

------（10）

其中：

d1ln(S/X)(r2/2)(Tt)Tt

d2ln(S/X)(r2/2)(Tt)Ttd1Tt式中，N(x)表示标准正态分布变量的累积概率分布函数，所有小

于x的随机变量出现的机会的总和。 同理，看跌期权价格的计算公式如下：

学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹

阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根

pXer(Tt)N(d2)SN(d1)

------（11）

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学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹