2021-2022学年浙江省台州市高一（上）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）
1. 已知集合𝐴={−2,−1,0,1,2}，𝐵={𝑥∈𝑅|−1≤𝑥<2}，则𝐴∩𝐵=( )
A. ⌀ B. {−1,0,2} C. {−1,0} D. {−1,0,1}
2. 设𝑓(𝑥)是定义在𝑅上的奇函数，若𝑓(−1)=1，则𝑓(1)=( )
A. −1
B. 0 C. 1 3. 不等式𝑥
𝑥−1<0的解集是( )
A. (−∞,0)
B. (0,1) C. (−∞,0)∪(1,+∞)
D. (1,+∞)
4. 计算𝑠𝑖𝑛75°𝑐𝑜𝑠15°−𝑐𝑜𝑠75°𝑠𝑖𝑛15°的值等于( )
A. 0
B. 1
2
C. √22 5. 函数𝑓(𝑥)=
𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑒|𝑥|
的部分图象大致为( )
A.
B.
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D. 2
D. √32
C.
D.
6. 设𝑎，𝑏∈𝑅，则“𝑎>1，𝑏>1”是“𝑎+𝑏<𝑎𝑏”的( )
A. 充分不必要条件 C. 充要条件
B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 在天文学中，天体的明喑程度可以用星等或亮度来描述，两颗星的星等与亮度满足
2𝑚1+5𝑙𝑔𝐸1=2𝑚2+5𝑙𝑔𝐸2，其中星等为𝑚𝑘的星的亮度为𝐸𝑘(𝑘=1,2).已知甲天体的星等是−26.7，甲天体与乙天体的亮度的比值为1010.1，则乙天体的星等是( )
A. 1.45 B. −1.45 C. −2.9 D. −11.9
8. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+2𝑥的定义域为区间[𝑚,𝑛]，其中𝑎，𝑚，𝑛∈𝑅，若𝑓(𝑥)的值
域为[−4,4]，则𝑛−𝑚的取值范围是( )
A. [4,4√2]
B. [2√2,8√2] C. [4,8√2] D. [4√2,8]
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9. 下列函数中，定义域为(0,+∞)的函数是( )
A. 𝑦=𝑙𝑛𝑥
B. 𝑦=𝑥−2
𝜋
1
C. 𝑦=√𝑥 D. 𝑦=2𝑥
10. 设函数𝑓(𝑥)=sin(2𝑥+3)，则下列结论正确的是( )
A. 点(−6,0)是函数𝑓(𝑥)图象的一个对称中心 B. 函数𝑓(𝑥)的最小正周期为𝜋
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𝜋
C. 𝑥=12是函数𝑓(𝑥)图象的一条对称轴 D. 函数𝑓(𝑥)在[−6,6]上单调递增
11. 若𝑎，𝑏，𝑐∈𝑅，则下列命题正确的是( )
𝜋𝜋
𝜋
A. 若𝑐>𝑎>𝑏>0，则𝑐−𝑎>𝑐−𝑏 B. 若𝑎>𝑏>𝑐>0，则 𝑎<𝑏 C. 若𝑎>𝑏>𝑐>0，则 𝑏+𝑐>𝑏 D. 𝑎2+𝑏2+𝑐2≥4(𝑎+𝑏−3)
12. 若存在𝛼，𝛽∈𝑅，使得函数𝑓(𝑥)=sin(𝑥+𝛼)，𝑔(𝑥)=cos(𝑥+𝛽)在区间[0,2]上均
单调递增，则可能成立的是( )
𝜋
𝑎+𝑐
𝑎
𝑐
𝑐
𝑎𝑏
A. sin(𝛼+𝛽)>0，cos(𝛼+𝛽)>0 C. sin(𝛼+𝛽)>0，cos(𝛼+𝛽)<0
三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
B. sin(𝛼+𝛽)<0，cos(𝛼+𝛽)<0 D. sin(𝛼+𝛽)<0，cos(𝛼+𝛽)>0
13. 若实数𝑎满足𝑎−𝑎−1=2，则𝑎2+𝑎−2=______． 14. 设函数𝑓(𝑥)={
𝑥2+𝑎,𝑥≥1,
若𝑓(𝑓(−2))=9，则实数𝑎的值为______．
−𝑥,𝑥<1,
2
3
1315. 在△𝐴𝐵𝐶中，若𝑠𝑖𝑛𝐴=,𝑡𝑎𝑛𝐵=√，则𝑐𝑜𝑠𝐶=______．
𝑏>0，16. 设𝑎>0，若3𝑎+2𝑏=𝑎𝑏−3，则log3(𝑎−2)⋅log3(𝑏−3)的最大值为______．
四、解答题（本大题共5小题，共70.0分）
17. 已知集合𝐴={𝑥||𝑥−1|<2}，集合𝐵={𝑥|(𝑥−1)(𝑥+𝑎)<0}．
(Ⅰ)求集合𝐴；
(Ⅱ)若−2∈𝐴∪𝐵，求实数𝑎的取值范围．
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18. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥−√3cos2𝑥,𝑥∈𝑅．
(Ⅰ)当𝑥∈[0,2]时，求𝑓(𝑥)的最小值； (Ⅱ)求使𝑓(𝑥)≥0成立的𝑥的取值集合．
19. 已知函数𝑓(𝑥)=2𝑠𝑖𝑛2𝑥，若将函数𝑓(𝑥)的图象向左平移12个单位长度，再向上平移
32
1
𝜋
𝜋
个单位长度得到函数𝑔(𝑥)的图象．
(Ⅰ)求函数𝑔(𝑥)的解析式和值域；
(Ⅱ)若对任意的𝑥∈𝑅，𝑔2(𝑥)−𝑚𝑔(𝑥)+2≤0恒成立，求实数𝑚的取值范围．
20. 一家农产品网店要对指定的四件商品进行优恵促销活动，商品原价分别为110元、
75元、50元、𝑚元．促销方案如下：若购买的商品总价超过100元，则可享受8折优惠；享受8折优蕙后，若满200元可再减免𝑥元(𝑥≥10)：但顾客享受的优惠总额不得超过所购商品原总价的30%．
(Ⅰ)若𝑚=200，𝑥=25，且顾客只选购了其中的两件商品，求优惠总额最多时顾客支付的金额；
(Ⅱ)若顾客支付220元垥好买齐这四件商品，求𝑚的最小值．
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21. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥−𝑙𝑛𝑥(𝑎>0,𝑒=2.71828…为自然对数的底数)．
(Ⅰ)当𝑎=1时，判断函数𝑓(𝑥)的单调性和零点个数，并证明你的结论； (Ⅱ)当𝑥∈[1,𝑒]时，关于𝑥不等式𝑓(𝑥)>2𝑥−𝑙𝑛𝑎恒成立，求实数𝑎的取值范围． 𝑎
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答案和解析
1.【答案】𝐷
【解析】解：∵集合𝐴={−2,−1,0,1,2}， 𝐵={𝑥∈𝑅|−1≤𝑥<2}， ∴𝐴∩𝐵={−1,0,1}． 故选：𝐷．
利用交集定义直接求解．
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】𝐴
【解析】解：根据题意，设𝑓(𝑥)是定义在𝑅上的奇函数， 若𝑓(−1)=1，则𝑓(1)=−𝑓(−1)=−1， 故选：𝐴．
根据题意，由奇函数的性质可得𝑓(1)=−𝑓(−1)，计算可得答案． 本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
3.【答案】𝐵
【解析】解：不等式𝑥−1<0，即𝑥(𝑥−1)<0， 求得0<𝑥<1， 故选：𝐵．
把分式不等式转化为与之等价的一元二次不等式，从而求出它的解集． 本题主要考查分式不等式、一元二次不等式的解法，属于基础题．
𝑥
4.【答案】𝐷
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【解析】解：𝑠𝑖𝑛75°𝑐𝑜𝑠15°−𝑐𝑜𝑠75°𝑠𝑖𝑛15°=sin(75°−15°)=𝑠𝑖𝑛60°=√．
2
3故选：𝐷．
直接利用两角差的正弦化简求值．
本题考查三角函数的化简求值，考查两角差的正弦，是基础的计算题．
5.【答案】𝐴
【解析】解：𝑓(−𝑥)=对称，排除𝐶𝐷，
当0<𝑥<2时，𝑓(𝑥)>0，排除𝐵， 故选：𝐴．
判断函数的奇偶性和对称性，利用函数值符号的对应性进行排除即可．
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性，利用排除法是解决本题的关键，是基础题．
𝜋
sin(−2𝑥)𝑒|−𝑥|=−
𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑒|𝑥|=−𝑓(𝑥)，即函数𝑓(𝑥)是奇函数，图象关于原点
6.【答案】𝐷
【解析】解：∵𝑎>1，𝑏>1，
当𝑎=𝑏=2时，𝑎+𝑏=3，𝑎𝑏=4=2.25， 𝑎+𝑏>𝑎𝑏，
反之，当𝑎=−1，𝑏=−4时，
𝑎+𝑏=−5，𝑎𝑏=4，𝑎+𝑏<𝑎𝑏，但𝑎<1，𝑏<1，
所以“𝑎>1，𝑏>1”是“𝑎+𝑏<𝑎𝑏”的既不充分也不必要条件． 故选：𝐷．
由题意看命题“𝑎>1，𝑏>1”与命题“𝑎+𝑏<𝑎𝑏”能否互推，然后根据必要条件和充分条件的定义进行判断．
本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3
9
7.【答案】𝐵
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【解析】解：设甲天体的星等与𝑚1=−26.7，亮度为𝐸1，乙天体的星等与𝑚2，亮度为𝐸2，
1
则𝐸=1010.1， 2
𝐸
由2𝑚1+5𝑙𝑔𝐸1=2𝑚2+5𝑙𝑔𝐸2，得2×(−26.7)+5𝑙𝑔𝐸1=2𝑚2+5𝑙𝑔𝐸2， 2𝑚2=2×(−26.7)+5𝑙𝑔所以𝑚2=−1.45， 故选：𝐵．
由已知条件代入公式2𝑚1+5𝑙𝑔𝐸1=2𝑚2+5𝑙𝑔𝐸2中直接求解 本题考查对数函数的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．
𝐸1𝐸2
=−53.4+5𝑙𝑔1010.1=−2.9，
8.【答案】𝐶
【解析】解：①当𝑎=0时，𝑓(𝑥)=2𝑥，在[𝑚,𝑛]上单调递增， 𝑓(𝑚)=2𝑚=−4𝑚=−2∴{，∴{， 𝑓(𝑛)=2𝑛=4𝑛=2∴𝑛−𝑚=4；
②当𝑎>0时，作图如下：
为使𝑛−𝑚最大，则𝑛尽量大，𝑚尽量小，此时𝑎=4，
2𝑓(𝑛)=4+2𝑚=4，即𝑚，𝑛是关于𝑥的方程𝑎𝑥²+2𝑥−4=0的两根， 由{可得{𝑎𝑚2𝑓(𝑚)=4𝑎𝑛+2𝑛=4
1
则𝑚+𝑛=−𝑎，𝑚𝑛=−𝑎，
所以𝑛−𝑚=√(𝑚+𝑛)2−4𝑚𝑛=√2+
𝑎
1
1
4
16𝑎
24
=8√2，即𝑛−𝑚≤8√2，
当−𝑎<−4时，即0<𝑎<4时，𝑚，𝑛在对称轴同侧时𝑛−𝑚最小，由抛物线的对称性，不妨设𝑛，𝑚都在对称轴右侧，
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则由𝑓(𝑛)=𝑎𝑛²+2𝑛=4，𝑓(𝑚)=𝑎𝑚²+2𝑚=−4， 解得𝑛=
−2+√4+16𝑎2𝑎
，𝑚=
−2+√4−16𝑎2𝑎
，
=
8√1+4𝑎+√则𝑛−𝑚=
√4+16𝑎−√4−16𝑎2𝑎
=
√1+4𝑎−√1−4𝑎𝑎
≥1−4𝑎82√
1+4𝑎+1−4𝑎2=4，
当仅当1+4𝑎=1−4𝑎，即𝑎=0时取“=”，但𝑎>0，故等号取不到，所以𝑛−𝑚4， 𝑎<0时，同理可得当𝑎=−4时，(𝑛−𝑚)的最大值为8√2，当𝑎>−4时，(𝑛−𝑚)的最小值大于4，
综上：𝑛−𝑚的取值范围是[4,8√2]， 故选：𝐶．
先讨论𝑎=0，再结合二次函数图像与性质分析𝑎>0时，𝑛−𝑚的最大值与最小值，同理可得𝑎<0时的情况，即可得解．
本题考查二次函数的图像与性质，考查基本不等式求最值，分类讨论思想，数形结合思想，属于中档题．
1
1
9.【答案】𝐴𝐵
【解析】解：函数𝑦=𝑙𝑛𝑥的定义域为(0,+∞)； 函数𝑦=𝑥
−
1
2=
1√𝑥的定义域为(0,+∞)；
𝑦=√𝑥的定义域为[0,+∞)； 𝑦=2𝑥的定义域为𝑅． 故选：𝐴𝐵．
分别求得四个函数的定义域得答案． 本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
10.【答案】𝐴𝐵𝐶
【解析】解：对于函数𝑓(𝑥)=sin(2𝑥+3)，
令𝑥=−6，求得𝑓(𝑥)=0，可得点(−6,0)是函数𝑓(𝑥)图象的一个对称中心，故A正确； 函数𝑓(𝑥)的最小正周期为2=𝜋，故B正确；
令𝑥=12，求得𝑓(𝑥)=1，为最大值，故𝑥=12是函数𝑓(𝑥)图象的一条对称轴，故C正
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𝜋
𝜋
2𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
确；
在[−6,6]上，2𝑥+3∈[0,故选：𝐴𝐵𝐶．
由题意，利用正弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论． 本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．
𝜋𝜋
𝜋
2𝜋3
]，函数𝑓(𝑥)没有单调性，故D错误，
11.【答案】𝐴𝐵
∴𝑐−𝑎>𝑐−𝑏，∴>∴0<𝑐−𝑎<𝑐−𝑏，【解析】解：对于𝐴：若𝑐>𝑎>𝑏>0，，𝑐−𝑎𝑐−𝑏故A正确；
对于𝐵：若𝑎>𝑏>𝑐>0，∴𝑎<𝑏，∴𝑎<𝑏，故B正确；
对于𝐶：若𝑎>𝑏>𝑐>0，∴𝑏𝑐<𝑎𝑐，∴𝑎𝑏+𝑏𝑐<𝑎𝑐+𝑎𝑏，即𝑏(𝑎+𝑐)<𝑎(𝑏+𝑐)，∴𝑏+𝑐<𝑏，故错误；
对于𝐷：(𝑎−2)2+(𝑏−2)2+𝑐2=𝑎2−4𝑎+4+𝑏2−4𝑏+4+𝑐2≥0，即𝑎2+𝑏2+𝑐2≥4(𝑎+𝑏−2)>4(𝑎+𝑏−3)，故D错误． 故选：𝐴𝐵．
分别根据不等式的性质即可判断．
本题考查了不等式的性质，考查了转化能力，属于基础题．
𝑎+𝑐
𝑎
1
1
𝑐
𝑐
1
1
𝑎
𝑏
12.【答案】𝐵𝐶
【解析】解：因为𝑓(𝑥)=sin(𝑥+𝛼)在区间[0,2]上单调递增，所以𝛼∈[−2+2𝑘1𝜋,2𝑘1𝜋](𝑘1∈𝑍)，
因为𝑔(𝑥)=cos(𝑥+𝛽)在区间[0,2]上单调递增，所以𝛽∈[−𝜋+2𝑘2𝜋,−2+2𝑘2𝜋](𝑘2∈𝑍)，
所以𝛼+𝛽∈[−
3𝜋2
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
+2(𝑘1+𝑘2)𝜋,−2+2(𝑘1+𝑘2)𝜋](𝑘1,𝑘2∈𝑍)．
3𝜋2
𝜋
设𝑡=𝛼+𝛽，根据函数的周期性，现只考虑𝑡∈[−
,−2]的情况：如图所示：
𝜋
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𝑠𝑖𝑛𝑡>0,𝑐𝑜𝑠𝑡<0；𝑡∈[−𝜋,−2]时，𝑡∈[−2𝜋,−𝜋]时，𝑠𝑖𝑛𝑡<0，𝑐𝑜𝑠𝑡<0． 由图可知，故选：𝐵𝐶．
根据题意先求出𝛼，𝛽的范围，进而得到𝛼+𝛽的范围，然后通过数形结合求得答案． 本题考查了三角函数的单调性，属于中档题．
3𝜋
13.【答案】6
【解析】解：∵𝑎−𝑎−1=2， ∴(𝑎−𝑎−1)2=𝑎2+𝑎−2−2=4， ∴𝑎2+𝑎−2=6， 故答案为：6．
利用有理数指数幂的运算性质，结合完全平方公式求解．
本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，以及完全平方公式的应用．属于基础题．
14.【答案】5
𝑥2+𝑎,𝑥≥1,
【解析】解：根据题意，函数𝑓(𝑥)={，
−𝑥,𝑥<1,则𝑓(−2)=−(−2)=2，
则𝑓(𝑓(−2))=4+𝑎=9，则𝑎=5； 故答案为：5．
根据题意，由函数的解析式求出𝑓(𝑓(−2))的表达式，求出𝑎的值，即可得答案． 本题考查分段函数的性质，涉及函数值的计算，属于基础题．
15.【答案】−2
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1
【解析】解：因为𝑡𝑎𝑛𝐵=√，𝐵∈(0,𝜋)，
3所以𝐵=6，所以𝐴∈(0,又𝑠𝑖𝑛𝐴=2， 所以𝐴=6，𝐶=
1𝜋
2𝜋
1𝜋
5𝜋6
3)，
，𝑐𝑜𝑠𝐶=−2． 3
1
故答案为：−2．
由已知结合特殊角的三角函数值可求𝐵，𝐴，进而可求𝐶，然后结合特殊角三角函数值可求𝑐𝑜𝑠𝐶．
本题主要考查了特殊角的三角函数值的应用，属于基础题．
16.【答案】1
【解析】解：∵3𝑎+2𝑏=𝑎𝑏−3，∴𝑏−3=
3+2𝑏𝑎
>0，𝑎−2=
3𝑎+3𝑏
>0，
又∵log3(𝑎−2)+log3(𝑏−3)=log3[(𝑎−2)(𝑏−3)]=log3(𝑎𝑏−2𝑏−3𝑎+6)=log39=2，
由基本不等式可得log3(𝑎−2)⋅log3(𝑏−3)≤
[𝑙𝑜𝑔3(𝑎−2)+𝑙𝑜𝑔3(𝑏−3)]2
4
=1，
𝑎−2=𝑏−3𝑎=5
当且仅当log3(𝑎−2)=log3(𝑏−3)，即{，即{时，等号成立，
3𝑎+2𝑏=𝑎𝑏−3𝑏=6∴log3(𝑎−2)⋅log3(𝑏−3)的最大值为1， 故答案为：1．
由题意可知log3(𝑎−2)+log3(𝑏−3)=log3(𝑎𝑏−2𝑏−3𝑎+6)=log39=2，再利用基本不等式即可求出结果．
本题主要考查了对数的运算性质，考查了基本不等式的应用，属于基础题．
(Ⅰ)集合𝐴={𝑥||𝑥−1|<2}={𝑥|−2<𝑥−1<2}={𝑥|−1<𝑥<3}；【答案】解： 17.
(Ⅱ)∵集合𝐴={𝑥|−1<𝑥<3}，集合𝐵={𝑥|(𝑥−1)(𝑥+𝑎)<0}， −2∈𝐴∪𝐵，
∴𝐵={𝑥|−𝑎<𝑥<1}，且−𝑎<−2，解得𝑎>2． ∴实数𝑎的取值范围是(2,+∞)．
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【解析】(Ⅰ)解绝对值不等式能求出集合𝐴；
(Ⅱ)由−2∈𝐴∪𝐵，得到𝐵={𝑥|−𝑎<𝑥<1}，且−𝑎<−2，由此能求出实数𝑎的取值范围．
本题考查集合的运算，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】解：(Ⅰ)因为函数𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥−√3cos2𝑥=2𝑠𝑖𝑛2𝑥−√3×
sin(2𝑥−)−
3𝜋𝜋
√3， 2
𝜋
𝜋2𝜋
3
11+𝑐𝑜𝑠2𝑥
2
=
当𝑥∈[0,2]时，2𝑥−3∈[−3,
𝜋
𝜋
]，
33所以当2𝑥−3=−3，即𝑥=0时，𝑓(𝑥)𝑚𝑖𝑛=−√−√=−√3；
2
2
(Ⅱ)令sin(2𝑥−)−√≥0，即sin(2𝑥−)≥√，
3
2
3
2
𝜋3𝜋3则3+2𝑘𝜋≤2𝑥−3≤
𝜋𝜋2𝜋3
+2𝑘𝜋,𝑘∈𝑍，解得3+𝑘𝜋≤𝑥≤2+𝑘𝜋,𝑘∈𝑍，
𝜋
𝜋
𝜋𝜋
所以𝑓(𝑥)≥0成立的𝑥的取值集合为{𝑥|3+𝑘𝜋≤𝑥≤2+𝑘𝜋,𝑘∈𝑍}.
【解析】(Ⅰ)利用正余弦的倍角公式以及辅助角公式化简函数的解析式，然后根据定义域以及正弦函数的性质即可求解；(Ⅱ)令sin(2𝑥−)−√≥0，即sin(2𝑥−)≥√，然
3232后根据正弦函数的性质建立不等式关系即可求解．
本题考查了求解三角函数解析式以及最值问题，考查了求解三角不等式问题，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
(Ⅰ)将函数𝑓(𝑥)的图象向左平移12个单位长度，【答案】解：得到𝑦=2𝑠𝑖𝑛2(𝑥+12)=19.
1
𝜋
1
𝜋
𝜋
3𝜋
3sin(2𝑥+)，
26
再向上平移2个单位长度得到函数𝑔(𝑥)=2sin(2𝑥+6)+2， 因为𝑥∈𝑅，所以sin(2𝑥+6)∈[−1,1]，所以𝑔(𝑥)∈[1,2]， 故函数𝑔(𝑥)的解析式为𝑔(𝑥)=2sin(2𝑥+6)+2，值域为[1,2]． (Ⅱ)因为𝑔2(𝑥)−𝑚𝑔(𝑥)+2≤0恒成立，且𝑔(𝑥)>0， 所以𝑚≥
𝑔2(𝑥)+2𝑔(𝑥)
1
𝜋
3
𝜋
3
1
𝜋
3
𝜋
=𝑔(𝑥)+𝑔(𝑥)恒成立，
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2
令𝑡=𝑔(𝑥)，则𝑡∈[1,2]，
因为函数ℎ(𝑡)=𝑡+𝑡在[1,√2]上单调递减，在(√2,2]上单调递增， 所以ℎ(𝑡)𝑚𝑎𝑥=𝑚𝑎𝑥{ℎ(1),ℎ(2)}=𝑚𝑎𝑥{3,3}=3， 故实数𝑚的取值范围为[3,+∞)．
【解析】(Ⅰ)根据函数图象的平移法则可得𝑔(𝑥)=2sin(2𝑥+6)+2，再结合正弦函数的值域，即可得解．
(Ⅱ)可将原问题转化为𝑚≥𝑔(𝑥)+𝑔(𝑥)恒成立，再结合对勾函数的图象与性质，即可得解．
本题考查三角函数的图象变换，函数的恒成立问题，熟练掌握函数图象的平移法则，对勾函数的图象与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
2
1
𝜋
3
2
20.【答案】解：(𝐼)因为𝑚=200，𝑥=25，所以顾客选购的2商品的原总价可能为250，
275，310(元)
当2件商品的原总价为250元时，250×80%=200，200−25=175=250×70%， 优惠总额为250−175=75元：
当2件商品的原总价为275元时，275×80%=220>200，220−25=195>275×70%，优惠总额为275−195=80元；
当2件商品的原总价为310示时，310×80%=248>200，248−25=223>310×70%，优惠总额为310−223=87元
所以优惠总额最大为87元，此时顾客需支付的金额为223元．
(𝐼𝐼)由题意得，买齐这四种商品的原总价为(𝑚+235)，超过了100元，享受8折优惠后应付款金额为(𝑚+235)×80%=0.8𝑚+188，
𝑥≥10
0.8𝑚+188−𝑥=220
因为求𝑚的最小值，所以𝑚满足{，
0.7(𝑚+235)≤220200≤0.8𝑚+188解得52.5≤𝑚≤
【解析】(𝐼)根据题意，求得2件商品的原总价为250元时、2件商品的原总价为275元时和当2件商品的原总价为310元时的优惠总额，即可求解；
(𝐼𝐼)由题意得到买齐这四种商品的原总价为(𝑚+235)，以及付款金额，列出不等式组，求得𝑚的取值范围，即可求解．
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5557
，所以𝑚的最小值为52.5．
本题考查函数的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(Ⅰ)当𝑎=1时，𝑓(𝑥)=𝑒𝑥−𝑙𝑛𝑥(𝑥>0)，
则𝑓′(𝑥)=−
1𝑒
1
=−𝑥−
𝑥
1
𝑥+𝑒𝑥𝑥𝑒𝑥，
因为𝑥>0且𝑒𝑥>0， 所以
𝑥+𝑒𝑥𝑥𝑒𝑥>0，
所以𝑓′(𝑥)<0，
所以𝑓(𝑥)在(0,+∞)上单调递减，
当𝑥→0且𝑥>0时，𝑒𝑥→0，𝑒𝑥→+∞，𝑙𝑛𝑥→−∞， 所以当𝑥→0且𝑥>0时，𝑓(𝑥)=𝑒𝑥−𝑙𝑛𝑥→+∞，
当𝑥→+∞时，𝑒𝑥→0，𝑙𝑛𝑥→+∞，𝑓(𝑥)=𝑒𝑥−𝑙𝑛𝑥→−∞， 所以𝑓(𝑥)在(0,+∞)上有一个零点．
(Ⅱ)由题意，𝑥∈[1,𝑒]，不等式𝑒𝑥−𝑙𝑛𝑥>2𝑥−𝑙𝑛𝑎恒成立， 等价于𝑒𝑥−𝑙𝑛𝑥−2𝑥+𝑙𝑛𝑎>0恒成立， 令𝑔(𝑥)=𝑒𝑥−𝑙𝑛𝑥−2𝑥+𝑙𝑛𝑎(𝑥>0)， 则𝑔′(𝑥)=−𝑎𝑒−𝑥−𝑥−2，
因为𝑎>0，𝑥>0，则𝑔′(𝑥)<0在(0,+∞)上恒成立， 所以𝑔(𝑥)在(0,+∞)上单调递减， 所以𝑔(𝑥)在[1,𝑒]上为减函数，
所以𝑔(𝑒)>0，𝑔(1)>0且𝑔(1)>𝑔(𝑒)， −1−2𝑒+𝑙𝑛𝑎>0
𝑒𝑒𝑎
所以𝑒−2+𝑙𝑛𝑎>0，
𝑎𝑎
{𝑒𝑒−1−2𝑒+𝑙𝑛𝑎<𝑒−2+𝑙𝑛𝑎所以𝑎>
𝑒𝑒+1(1−2𝑒)
𝑒𝑒−𝑒𝑎
1
𝑎𝑎
𝑎
1
1
11
，
又𝑎>0， 综上所述𝑎>0，
所以𝑎的取值范围为(0,+∞)．
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【解析】(Ⅰ)当𝑎=1时，𝑓(𝑥)=𝑒𝑥−𝑙𝑛𝑥(𝑥>0)，求导分析单调性，又当𝑥→0且𝑥>0时，𝑒𝑥→0，𝑒𝑥→+∞，𝑙𝑛𝑥→−∞，即可得出𝑓(𝑥)零点的个数．
(Ⅱ)由题意，𝑥∈[1,𝑒]，不等式𝑒𝑥−𝑙𝑛𝑥>2𝑥−𝑙𝑛𝑎恒成立，等价于𝑒𝑥−𝑙𝑛𝑥−2𝑥+𝑙𝑛𝑎>0恒成立，令𝑔(𝑥)=𝑒𝑥−𝑙𝑛𝑥−2𝑥+𝑙𝑛𝑎(𝑥>0)，只需𝑔(𝑥)𝑚𝑖𝑛>0． 本题考查导数额的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
𝑎
𝑎
𝑎
1
1
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