1. 咼考命题回顾
例1已知函数f(x)= e- In(x + m) (2013全国新课标H卷)
(1) 设x= 0是f(x)的极值点，求m,并讨论f(x)的单调性 x
(2) ;⑵当*2时，证明f(x)>0.
例 2 已知函数 f(x) = /+ax+ b, g(x)= e(cx + d),若曲线 y= f(x)和曲
线y = g(x)都过点P(0, 2),且在点P处有相同的切线y=4x+2 (2013全国新课标I卷)
x
(I) 求 a, b, c, d 的值
(H)若x>- 时，f
(x)空kg(x)，求k的取值范围。
2例3已知函数f(x)满足f(x)二f'(1)ex」—f(0)x * ( 2012全国新课标)
2
(1) 求 f(x)的解析式及单调区间；
1
(2) 若 f (x^-x2 ax b，求(a 1)b 的最大值。
例4已知函数f (x)二匹 ，曲线y二f(x)在点(1,f(1))处的切线方程 X
b
+1 x
为x 2y—3 = 0。( 2011全国新课标)
(I)求a、b的值；
(H)如果当，且x\"时，f(x).丛*，求的取值范围。
x 0
k
X —1 x
例5设函数f (x) =ex _ 1 一 x 一 ax2 (2010全国新课标)
(1) 若 a=0，求f(x)的单调区间； (2) 若当x_0时f(x)_0，求a的取值范围
例 6 已知函数 f(x)= (x+3x+ax+b)e. (2009 宁夏、海南)
(1)若a= b=-3,求f(x)的单调区间；
32x
⑵若f(X)在(-^ , a ),(2单调增加，在(a ,2),( P单+调减少，证明B— a>6.
2. 在解题中常用的有关结论※
(1)曲线y=f(x)在x=xo处的切线的斜率等于f (xo)，且切线方程为 y 二 f (xo)(x-Xo) f(x°)。 ⑵若可导函数y=f(x)在 x0处取得极值，则「纸)=0。反之，不成立。 ⑶对于可导函数f(x)，不等式f (x) 0 o：： 0)的解集决定函数f(x)的递增(减)区间。 ⑷函数f(x)在区间I上递增(减)的充要条件是：-x l f(x)_0(^0)恒成立(f (x)不恒为0). (5) 函数f(x)(非常量函数)在区间I上不单调等价于f(x)在区间I上有极值，则可等价转化为 方程f (x) = 0在区间I上有实根且为非二重根。(若f (x)为二次函数且I=R，则有.：0 )。 (6) f (x)在区间I上无极值等价于f(x)在区间在上是单调函数，进而得到f(x)—0或f(x)\"在I 上恒成立 ⑺若 XI， f(x) 0 恒成立，则 f(x)min (8) 若 x^ 0；若-X l，f (x) <0 恒成立，则 f(X)max ：： 0 I，使得 f(X。)0，则 f(x)max 0 ；若 X。，I，使得 f(x0) <0，则 f(X)min 0. (9) 设f(x)与g(x)的定义域的交集为 D,若- x D f(x) g(x)恒成立，则有I f (xb g(x) L. (10) 若对- x^ I1、X2 f(Xi) g(X2)，则 I2 ， f (Xi) g(X2)恒成立，则 f (x)min g(x)max •若对一 X1 h， X^ f(x)min g(x)min I2，使得 X^ I 2，使. 若对一为 Il， 得 f(Xi)：：g(X2)，则 f(X)max ：： g(X)max・ (11) 已知f(x)在区间Ii上的值域为A,，g(x)在区间I2上值域为B,若对- Ii, X2T2，使得 f(xJ = g(X2)成立，贝S A^B。 (12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程f (x)=0有两个不等实根x1、x2，且极大值大于0,极小 值小于0. (13) 证题中常用的不等式
① In x 乞 x -1 (x 0) ③ e 一 1 x
x
② < In (x+1)x (x T) ④
—X
x 1
⑤
In x
x -1 z 八 In x 1 1 ,
⑥ 2 ：
2 (xe - 1 - x
c、
::: (x . 1)
x2 /x
°)3. 题型归纳
① 导数切线、定义、单调性、极值、最值、的直接应用
例7 (构造函数，最值定位) 设函数f x二x-1e-kx(其中k R ).
x
2
(I )当k=1时,求函数f x的单调区间；
(H )当k -,1时,求函数f x12」
在l.0,k 上的最大值M .
• 1例8(分类讨论，区间划分)已知函数f(x^ 1x3 - 1ax2 x b(^0), f'(x)
3
2
为函数f(x)的导函数.
(1) 设函数f(x)的图象与x轴交点为A,曲线y=f(x)在A点处的切线方程
是y =3x -3,求a,b的值；
(2) 若函数g(x) = f '(x),求函数g(x)的单调区间.
例9 (切线)设函数f(x)*2 _a.
(1) 当 a =1时，求函数g(x)=xf(x)在区间［0,上的最小值；
1］
(2) 当 a>o时，曲线y=f(x)在点P(Xi,f(Xi ))(X1》歯)处的切线为I , l与X 轴交于点A求证：Xi . X2 .. a .
(x
2,0)
⑴当a =0时，求曲线y = f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率;
2
⑵当a =2时，求函数f(x)的单调区间与极值.
3
W.W.
例11 (零点存在性定理应用) 已知函数f (x) =1 nx,g(x)二e.
x
⑴若函数©( x) = f (x)— x+1，求函数©(X)的单调区间；
X- 1
⑵设直线I为函数f (x)的图象上一点A(xo，f (xo))处的切线，证明：在 区间(1,+乂)上存在唯一的X。，使得直线I与曲线y=g(x)相切.
1 _ a
例12 (最值问题，两边分求) 已知函数f(x)=lnx —ax・———1(a・R).
x
1
⑴当a< 1时，讨论f(x)的单调性；
2
1
_
⑵设g(x) =x—2bx • 4.当a =时，若对任意xr (0,2)，存在
2
x
2
■
1,2
1
，使 f(xj > g(x2)，
求实数b取值范围.
例13 (二阶导转换)已知函数f(x)=lnx ⑴若F(x) = f(X)a(a R)，求F(x)的极大值；
x
⑵若G(x)二[f(x)]2 -kx在定义域内单调递减，求满足此条件的实数k的 取值范围•
1 例14 (综合技巧)设函数f(x)=x—- —alnx(a・R). x
⑴讨论函数f(x)的单调性；
⑵若f(x)有两个极值点0X2，记过点A(x-, f(G), B(X2, f(X2))的直线斜率 为k,问：是否存在，使得k=2—a ?若存在，求出的值；若不存在， 请说明理由.
a
a
② 交点与根的分布
例15 （切线交点）已知函数f x = ax3 bx2 -3x a,b R在点1, f 1处 的切线方程为y 2
= 0 .
⑴求函数 x的解析式；
⑵若对于区间I- 1上任意两个自变量的值MX都有为-f X2乞c, 求实数的最小值；
f
f
2,2c
⑶若过点M 2,m m = 2可作曲线y二f
x的三条切线，求实数m的取 值范围.
例16 (根的个数)已知函数f(x) =x ,函数g(x)「f(x) • sin X是区间［-1 , 1］上的减函数.
(I) 求，的最大值；
(II) 若g(x) :+「t -1在x ［一1,1］上恒成立，求t的取值范围； (皿)讨论关于x的方程=x2
一 2ex • m的根的个数.
f(x)
熙 5)一2%.
2
3 例17 (综合应用)已知函数f(x)=ln(2
⑴求f(X)在［0,1］上的极值；
1 1
⑵若对任意不等式|a -ln x| ln［ f (x) 3x］ . 0成立，求实数a的 6 3
取值范围；
⑶若关于x的方程f (x^ -2x b在［0，1］上恰有两个不同的实根，求实 数b的取值范围.
③ 不等式证明 例18(变形构造法)已知函数\"X)二角,a为正常数.
⑴若f(x)=lnx+ Bx 2，y2 ，线段AB的中点为C(X0,yo)，记直线AB的斜率为k， Ax\", k f (xo). ⑶若 g(x)二 ln x| \"(x),且对任意的 g(x2)—g(xi) x —1 2 - X〔 ，求a的取值范围. Xix「0,2〕, 试证明： xi - ,都有 例19(高次处理证明不等式、取对数技巧)已知函数f(x)=x2ln(ax)(a . 0). (1) 若f'(xBx对任意的X 0恒成立，求实数a的取值范围； 2 (2) 当a =1时，设函数g(x)二丄凶，若Xi,X2・(1,1), Xi x2 ::: 1，求证 x X1X2 ：(X1 X2) 4 e 例20 (绝对值处理)已知函数f(x) =x3 ax2 bx - c的图象经过坐标原且 在 x=1处取得极大值. (I) 求实数a的取值范围； 2 (II) 若方程f(x) —(2a 3)恰好有两个不同的根，求f(x)的解析式； 9 (III )对于(II )中的函数f(x),对任意R ,求证： | f (2s i n) - f (2s i n)国8 1. 例21 (等价变形)已知函数f(x)=ax_1_l nx(a・R). (I)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数； (H)若函数f(x)在x=1处取得极值，对-X. (0, • 恒 成立，求实数b的取值范围； , f(x) _bx — 2 (皿)当0 ：：：与上山的大小. x ：：： e2 且x = ex 1 -l nx 时，试比较-：：： y 例 22 (前后问联系法证明不等式)已知 1 7 21 f(x)=lnx, g(x) X • mx • - (m ::： 0),直线 与函数 f(x), g(x)的图像 都相 2 2 切，且与函数f(x)的图像的切点的横坐标为1。 (I) 求直线I的方程及m的值； (II) 若h(x)二f(x 1) — g'(x)(其中g'(x)是g(x)的导函数)，求函数最 大值。 (III) 当 0 4： a 时，求证：f(a b) —f (2a) ：：：□. h(x)的例23(整体把握，贯穿全题)已知函数f(x)=吸_1. x (1) 试判断函数f(x)的单调性； (2) 设m .0，求f(x)在［m,2m］上的最大值； (3) 试证明：对任意N*，不等式对数的底数). ne ) :::- n n 都成立(其中e是自然 n 例24(化简为繁，统一变量)设a R,函数f(x)=lnx—ax . (I)若a =2，求曲线y二f(x)在P -处的切线方程； 1, 2 (H)若f(x)无零点，求实数a的取值范围； (皿)若f(x)有两个相异零点N，2,求证：为x2 e. 2 x 1 1 例25 (导数与常见不等式综合) 已知函数ft(x) j 、2 (t - x), 其中为正常数. (I)求函数ft(x)在(0, V)上的最大值；5 (H) 设数列｛an｝满足：印=3 , 3an^ = 3 (I) 1 ——：f2(x)(n N*)； a n 3 n' ， X (1 X) a n+2 , 求数列｛an｝的通项公式an ;2 )证明：对任意的 X 0 , ( 为自然对数的底数). (I )求函数f(x)的单调区间； (II)如果对任意 2 ：：］，都有不等式f(x)> x + x2成立，求a的取 x 实数 值范围； (山)设 n N*,证明：1 )n+(2)n+(3)n+, +n n n (n)n < ed n e-1 (例27已知函数f x = ax2 1 x • c(a = 0)若函数f x满足下列条件： ①f _1 =0；②对一切实数x,不等式f x乞十冷恒成立. 2 (I )求函数f x的表达式； (H )若f(x) -2at 1对-x・〔—1,11,-a・[-1,11恒成立，求实数t的取 值范 (皿)求证： -- + ----- 1 1 +...+ ---- 1 如>（ ---- n N* ）f 1 f 2 f n n 2 . 例28 (数学归纳法)已知函数f(x) =1 n(x・1) mx ,当x = 0时，函数f (x) 取得极大值. (1) 求实数m的值； (2) 已知结论：若函数f(x)=ln(x1) mx在区间(a,b)内导数都存在， 且a • —，则存在x°・(a,b)，使得「(沧)=丄型引.试用这个结论证明： 1 b —a 若-1 ：：：为：：：x2 ,函数g(x)二f (xi) _『区匕一⑺f (xj ,则对任意x (为公2), X〔 一 X? 都有 f(x) . g(x)； (3) 已知正数，1,，2 丄,'n ,满足 ■ '2 N ■ -n =1 ,求证：当 n _2 , FT 时，对任意大于-1 ,且互不相等的实数NX丄，xn ,都有 f('lXi ■禺丄 nXn) 1 f(X1)• f x 2)L nf Xn(.) ④ 恒成立、存在性问题求参数范围 例29 (传统讨论参数取值范围) nx , 1 已知函数f(x) = (2—a)(x —\"―21 g(x)=xe气a R,e为自然对数的底数) (1) 当a =1时，求f(x)的单调区间； 1 (2) 对任意的x・(0,-), f(x) 0恒成立，求a的最小值； (3) 若对任意给定的x°E(O,e],在(0,e]上总存在两个不同的x(i=1,2)， 使得f(Xi) =g(x。)成立，求的取值范围。 a 例30已知函数f(x) = a—丄. |x| (1) 求证：函数y = f(x)在(0, •：：)上是增函数• (2) 若f (x) :: 2x在(1,上恒成立，求实数a的取值范围. (3) 若函数y = f(x)在［m,n］上的值域是［m, n］(m= n)，求实数a的取值 范围 3 例31已知函数f(x) =1 n(2 ax +1) +扌 _x _2ax(a € R). 2 ⑴若x=2为f(x)的极值点，求实数a的值； ⑵若x f(x)在B,；上为增函数，求实数a的取值范围； 3 ⑶当a—丄时方程f(i_x)= 有实根，求实数b的最大值. b 2 3 x 例32 (分离变量)已知函数f(x)=x2・al nx(a为实常数). ⑴若a「2，求证：函数f(x)在(1,+乂)上是增函数； (2) 求函数f()在［1,e］上的最小值及相应的值； x x (3) 若存在x •【e］，使得f (x)岂(a 2)x成立，求实数a的取值范围 1, 例33(多变量问题，分离变量)已知函数f (x) = (x—6x • 3x • t)e ? t R. 3 2 x (1)若函数y=f(x)依次在x =a,x =b, x =c(a ：：： b ：：： c)处取 到极值. ①求t的取值范围；②若a c=2b2，求t的值. (2)若存在实数「〔0,2 1,使对任意的x・l，不等式f(x)岂x恒 1,m 成立.求正整数m 的最大值. 例34 (分离变量综合应用) 设函数f(x)=alnx —bx2. 1 ⑴若函数f(x)在x=1处与直线y——相切： 2 1 ①求实数a,b的值；②求函数f(x)在［-,e］上的最大值； e ⑵ 当b =0时，若不等式(x) > 对所有的［0冷］,［1,e2］都成立, 求 f m x 实数m的取值范围. 例35 (先猜后证技巧)已知函数f(x)」1nXx⑴ (I)求函数f (x)的定义域 (H)确定函数f(X)在定义域上的单调性，并证明你的结论 k .. (皿)若x>0时f(x厂一-恒成立，求正整数k的最大值. x +1例 36 (创新题型)设函数 f(x)=e+sinx,g(x)二ax,F(x)=f(x十g(x). (I )若 x=0是F(x)的极值点，求a的值； (H )当 a=1 时，设 P(x,f(Xi)), Q(冷 g(X2))(Xi>0,x2>0),且 PQ//x 轴， x 求 P、Q 两点间的最短距离； (皿)若 x》0寸，函数y=F(x)的图象恒在y=F(— x)的图象上方，求实数a的 取值范围. 例 37 (创新题型)已知函数 f(x)= ax — lnx 1(a R)，g(x)二 xe1-x・ (1) 求函数g(x)在区间(0,e］上的值域； (2) 是否存在实数a，对任意给定的& (0,e］,在区间［1,e］上都存在两个 不 同的(i \，使得f(Xi)=go)成立若存在，求出的取值范围； 若不存在，请说明理由； ⑶给出如下定义：对于函数y二F(x)图象上任意不同的两点 A(xi, yi), B(X2,y2)，如果对于函数y = F(x)图象上的点M(x°,y°)(其中 X。=^_上)总能使得F(XJ —Fg) =F(x0)(X1 -X2)成立，则称函数具备性 2 xi (xa 质“ L”，试判断函数f(x)是不是具备性质“ L”，并说明理由. 例38(图像分析，综合应用)已知函数g(x) =ax —2ax • 1 • b(a = 0,b . 2 1), 在区间2,31上有最大值4,最小值1,设f(x)二农. x (I)求a,b的值； (H)不等式f(2)_k2_0在x x x 上恒成立，求实数k的范围； (皿)方程f(|2x-1|) k( 的范围. 2 x 3)=0有三个不同的实数解，求实数| 2 -1 | k ⑤ 导数与数列 例39(创新型问题)设函数 f (x) =(x —a)(x • b)e, a、b R ,x=a是 f (x) 的一个极大值点. 2 x ⑴若 \"，求的取值范围； a b ⑵当是给定的实常数，设i，2, 3是f(X)的3个极值点，问是否存在 实数b，可找到x^R，使得Xi, X2, X3, x的某种排列xr^f (其中 :ii, i2, i3, axxx i^f = ;d,2,3,4?)依次成等差数列?若存在,求所有的b及相应的存在，说明理由. X4 ；若不 2 例 (数列求和'导数结合)给定函数f=話 (x) 40 (1)试求函数f x的单调减区间； ⑵已知各项均为负的数列佝？满足，4Sn f (丄)=1求 证:」丄 an 1 n an 1 ⑶设bn —一，Tn为数列的前n项和，求证an :T2012-仁：1 “2012 ：：：an ?” T ⑥ 导数与曲线新题型 例 41 (形数转换)已知函数 f(x)=lnx, g(x) = ax • bx (a 0). 1 2 2 (1)若a — 2,函数h(x)= f(x)—g(x)在其定义域是增函数，求b的取值范 围； ⑵在(1)的结论下，设函数 ®(x)=e+be<€[0,l n2] 求函 数x)的最小 值； (3) 设函数f(x)的图象C1与函数g(x)的图象C2交于点P、Q,过线段PQ 的 中点R作x轴的垂线分别交G、C2于点M、N,问是否存在点R使 Cl在M处的切线与C2在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标;若 不存在，请说明理由• x 例42 (全综合应用)已知函数f(x) =1 ln (Q .. x ,. 2). 2 -x (1)是否存在点M(a,b),使得函数y = f(x)的图像上任意一点P关于点M 对 称的点Q也在函数 八f(x)的图像上？若存在，求出点M的坐标;若不 存在，请说明理由； 2n 丄 j i 2 2n _1 ⑵定义 S n f () = f () f () f ( ) ，其中 N，求 S 2013 ； i 4 n n n n ⑶在(2)的条件下，令Sn仁2 %,若不等式2an (an)m 1对-n・N *且n_2恒立,求实数m的取值范围. 成 ⑦ 导数与三角函数综合 2 例43 (换元替代，消除三角)设函数f(x) — x(x — a) ( x R )，其中 a R (I)当a\"时，求曲线y二f(x)在点 (2 , f(2)) 处的切线方程； (H)当a\"时，求函数f(x)的极大值和极小值； (皿)当 a 3 , k」1 ，。1 时，若不等式 f(k—c osx) 的R恒成立，求k的值。 f(k2-cos2 x)对任> 意 例44 (新题型，第7次晚课练习)设函数f(x) =ax • cosx,x・[0,二]. (1)讨论f(x)的单调性 ⑵设f(x) <1 si nx,求 a的取值范围. ⑧ 创新问题积累 例45已知函数f(x)=l-. x-4 4 I、 求f(x)的极值. II、 求证f(x)的图象是中心对称图形. 山、设f(x)的定义域为D,是否存在!a,bl D.当x l.a,b 1时,f(x)的取值 范围是a,b ?若存在,求实数a、b的值；若不存在，说明理由 _4 4 例46已知函数f(x)=x4—4x3 -ax2—1在区间[0,1]上单调递增，在区间 [1,2] 上单调递减. (1) 求a的值； (2) 设g(x) = bx -1，若方程f(x) = g(x)的解集恰好有3个兀素，求b 2 的 取值范围； (3) 在(2)的条件下，是否存在实数对(m, n),使f(x —m) g(x 函数？如存在，求出m,n如不存在，说明理由. 1 1 1 1 2n (皿)证明： 一+一+…+ 一＞ --- . a1 a2 an n +1 — n)为偶 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容