函数与导数大题部分-高考数学解题方法归纳总结专题训练

【训练目标】

1、 理解函数的概念，会求函数的定义域，值域和解析式，特别是定义域的求法；

2、 掌握函数单调性，奇偶性，周期性的判断方法及相互之间的关系，会解决它们之间的综合问题； 3、 掌握指数和对数的运算性质，对数的换底公式； 4、 掌握指数函数和对数函数的图像与性质； 5、 掌握函数的零点存在定理，函数与方程的关系； 6、 熟练数形结合的数学思想在解决函数问题的运用； 7、 熟练掌握导数的计算，导数的几何意义求切线问题；

8、 理解并掌握导数与函数单调性之间的关系，会利用导数分析函数的单调性，会根据单调性确定参数的取

值范围；

9、 会利用导数求函数的极值和最值，掌握构造函数的方法解决问题。 【温馨小提示】

本章内容既是高考的重点，又是难点，再备考过程中应该大量解出各种题型，总结其解题方法，积累一些常用的小结论，会给解题带来极大的方便。 【名校试题荟萃】

1、（2019届新余四中、上高二中高三第一次联考）已知函数

（1）若函数fx在2,f2处的切线与直线xy0平行，求实数n的值； （2）试讨论函数fx在区间1,上最大值； （3）若n1时，函数fx恰有两个零点【答案】（1）n6（2）m1lnn（3）见解析 【解析】（1）由故

，

，由于函数f(x)在(2,f(2))处的切线与直线xy0平行，

，求证：x1x22

m,nR.

n21，解得n6。 4，由fx0时，xn；fx0时，xn，所以

；

（2）

①当n1时，fx在1,上单调递减，故fx在1,上的最大值为

②当n1时，fx在1,n上单调递增，在n,上单调递减，故fx在1,上的最大值为

；

又tx21，lnt0，故x1x22成立。 x12（、宁夏长庆高级中学2019届高三上学期第四次月考数学（理）试卷）设函数（Ⅰ）讨论函数fx的单调性；

（Ⅱ）若fxb有两个不相等的实数根x1,x2，求证【答案】

（1）当a0时，f(x)在(0,)上单调递增；当a递增. （2）略

0时，f(x)在(0,a)上单调递减，在(a,)上单调

【解析】（I）

当a0时，f(x)0恒成立，所以f(x)在(0,)上单调递增. 当a

0时，解f(x)0得xa,解f(x)0得0xa.

所以f(x)在(0,a)上单调递减，在(a,)上单调递增.

综上，当a0时，f(x)在(0,)上单调递增. 当a0时，f(x)在(0,a)上单调递减，在(a,)上单调递增.

而

令

所以g(x)在(1,)单调递增.

3、（山东省新泰二中2019届高三上学期12月月考数学（理）试卷）已知函数

fx,

（1）讨论函数fx的单调性;

（2）当a0时,函数gx在(0,)是否存在零点?如果存在，求出；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）不存在零点 【解析】（Ⅰ）函数

的定义域为

,

=

（2）a0时，方程①当∴

时，

有两解或

时，f'(x)0， f(x)在

、上单调递减.

2时，f'(x)0，f(x)单调递增. x(,1)a②当(i) （ⅱ）当

时，令当

时,时,

，得时

或

恒成立,

上单调递增;

∴

时，f(x)0，f(x)在

'、上单调递增.

x（ⅲ）当∴ x时，f(x)0， f(x)单调递减。

时，

时，f'(x)0，f(x)在

、

上单调递增.

'x时，f'(x)0， f(x)单调递减.

时，

的单调递增区间为

，单调递减区间为

，

； ；

综上所述，当当当当当

时时，时,

时,

的单调递增区间为，单调递减区间为

上单调递增；

的单调递增区间为的单调递增区间为

，，

单调递减区间为单调递减区间为

．

；

（2）由（1）可知当极大值也是最大值

。

时， 的单调递增区间为，单调递减区间为,在处取得

等价于

，，令得，所以

，所以先增后减，在处取最大值0，所以．

所以 进而,所以

即,。

又所以函数在不存在零点．

,

4、（山东省新泰二中2019届高三上学期12月月考数学（理）试卷）设

2上存在单调递增区间，求a的取值范围； fx（1）若在，3（2）当0a2时，fx在1,4上的最小值为【答案】

12上存在单调递增区间； （1）当a＞－9时，fx在，16，求fx在该区间上的最大值. 3310（2）3 【解析】 （1）

上能成立，只要，由题意得， f'x0在，23

21122上存在单调递增区间. 即f'0，即9＋2a＞0，得a＞－9，所以，当a＞－9时，fx在，3316（2）已知0＜a＜2，fx在[1，4]上取到最小值－3，而

的图象开口向下，且对称

1

轴x＝2，∵f ′（1）＝－1＋1＋2a＝2a＞0，f′（4）＝－16＋4＋2a＝2a－12＜0，则必有一点x0∈[1，

4]，使得f′（x0）＝0，此时函数f（x）在[1，x0]上单调递增，在[x0，4]上单调递减， 111114016

fx∵f（1）＝－3＋2＋2a＝6＋2a＞0，∴f（4）＝－3×64＋2×16＋8a＝－3＋8a＝－3⇒a＝1. 此min时，由

⇒x02或－1（舍去），

10

所以函数f（x）max＝f（2）＝3.

5、（辽宁省辽河油田第二高级中学2019届高三上学期期中考试数学（文）试题）已知函数fx（1）确定函数fx在定义域上的单调性；

x（2）若fxke在1,上恒成立，求实数k的取值范围．

lnx． x1【答案】（1）fx在0,1上单调递增，在1,上单调递减； （2）k1 e

x（2）由fxke在1,上恒成立得：

lnxkex在1,上恒成立． x1整理得：令

∴k0，又（i）当k1时，e在1,上恒成立．

，易知，当k0时，hx0在1,上恒成立不可能， ，h'11ke，

，

又

在1,上单调递减，

∴h'x0在1,上恒成立，则hx在1,上单调递减， 又h10，∴hx0在1,上恒成立．

又h10，∴h'x0在1,x0上恒成立， ∴hx0在1,上恒成立不可能．综上所述，k1． e6、（湖南省浏阳一中、株洲二中等湘东六校2019届高三12月联考数学（理）试题）已知函数

.

（Ⅰ）当a0时，求f(x)在区间(0,1]的最大值； （Ⅱ）若函数

有两个极值点

,求证

.

【答案】（1）当0a1时，f(x)的最大值为（2）略

a1，当a1时，f(x)的最大值为2【解析】（Ⅰ）由已知得f(x)的定义域为(0,),

，

.

11，f(x)在(0,1]上单调递增,f(x)的最大值为a111)单调递减， 当a1时,f(x)在(0,)上单调递增,在(，aa当0a1时,

f(x)的最大值为

.

综上，当0a1时，f(x)的最大值为当a1时，f(x)的最大值为

a1， 2.

设,其中,

由

得t2,由于a，

212()上单调递减, h(t)∴在(0,)上单调递增,在,aaa即h(t)的最大值为从而

成立.

，(a0).

，

7（、黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高三12月月考数学（理）试题）已知（1）当a1,x0时，求证：（2）若存在x00，使得【答案】（1）见解析 （2）

；

成立，求实数a的取值范围.

【解析】（1）设且

，所以，

在

，上递增，所以

，由F(x)0故F(x)增

（2）即<0，，则，，

所以在上单调递增，

（ⅰ）当所以：

时， 在上为单调递增函数，故，

当

综上所述：

时，恒成立，不合题意

8、（河北省承德市第一中学2019届高三上学期第三次月考数学（文）试题）已知函数f（x）＝x－2lnx. （1）求f（x）的单调区间；

2

（2）若【答案】

在x∈（0,1]内恒成立，求t的取值范围．

（1）函数f（x）的单调递增区间为（1，＋∞），单调递减区间为（0,1） （2）（－∞，1]

22【解析】（1）函数的定义域为（0，＋∞），f ′（x）＝2x－＝

x＋1

xx－1

x，

由f ′（x）>0，得x>1， 由f ′（x）<0，得0所以，函数f（x）的单调递增区间为（1，＋∞），单调递减区间为（0,1）． 112lnx（2）由f（x）≥2tx－2对x∈（0,1]恒成立，得2t≤x＋3－

xxx12lnx令h（x）＝x＋3－，

xxx4－2x2－3＋2x2lnx则h′（x）＝，

x4

∵x∈（0,1]，∴x－3<0，－2x<0,2xlnx<0，x>0， ∴h′（x）<0，∴h（x）在（0,1）上为减函数．

4

2

2

4

12lnx∴当x＝1时，h（x）＝x＋3－有最小值2，

xx得2t≤2，∴t≤1，

故t的取值范围是（－∞，1]．

9、（吉林省汪清县第六中学2019届高三上学期第二次月考数学（文）试题）已知函数数

．

，函

（1）求函数ygx的单调区间； （2）若不等式【答案】 （1）增区间0,（2）a0

在1,上恒成立，求实数a的取值范围；

11,，减区间

aa

（2）设

，即

在1,上恒成立，

，考虑到F10，

，在1,上为增函数，

∵x1，ex110， x∴当a0时，Fx0，Fx在1,上为增函数，Fx0恒成立

当a0时，F10，Fx在1,上为增函数，

'，在1,x0上，Fx0，Fx递减，Fx0，这时不合题意，

综上所述，a0；

12

10、（2019·兰州调研）设函数f（x）＝x－－aln x－2，a∈R.

xx

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）当a>0时，记f（x）的最小值为g（a），证明：g（a）<1. 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】

（1）解 f（x）的定义域为（0，＋∞），

12x＋2x＋2f′（x）＝1＋2－a＋3＝2－a3

xxxxx

2

（x＋2）（x－a）

＝， 3

2

22

x当a≤0时，f′（x）>0，f（x）在（0，＋∞）上单调递增； 当a>0时，当x∈（0，a），f′（x）<0，f（x）单调递减； 当x∈（a，＋∞），f′（x）>0，f（x）单调递增. 综上，当a≤0时，f（x）在（0，＋∞）上单调递增；

当a>0时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，＋∞）上单调递增.

121（2）证明 由（1）知，f（x）min＝f（a）＝a－－aln a－2 ＝a－aln a－，

aa

a1

即g（a）＝a－aln a－.

a1

要证g（a）<1，即证a－aln a－<1，

a11

即证：ln a＋＋2－1>0，

aa11

令h（a）＝ln a＋＋2－1，

aa11

则只需证h（a）＝ln a＋＋2－1>0，

aaa112a－a－2（a－2）（a＋1）

h′（a）＝－2－3＝＝. 33

2

aaaa当a∈（0，2）时，h′（a）<0，h（a）单调递减； 当a∈（2，＋∞）时，h′（a）>0，h（a）单调递增；

111

所以h（a）min＝h（2）＝ln 2＋＋－1＝ln 2－>0，

244所以h（a）>0，即g（a）<1.

11、（贵州省遵义航天高级中学2019届高三第四次模拟考试数学（文）试题）设函数

。

（1）若x2是f(x)的极值点，求a的值。

（2）已知函数

，若g(x)在区间（0,1）内有零点，求a的取值范围。

【答案】（1）a2 （2）（-,1）

①当a1时，x(0,1)

g'(x)0恒成立，g(x)单调递减，又

因此函数g(x)在区间(0,1)内没有零点。 ②当0a1时，时，x(a,1)单调递减

单调递增

又，因此要使函数g(x)在区间(0,1)内有零点，必有g(1)0，

所以

解得a1，舍去

③当a0时，x(0,1)，g'(x)0，g(x)单调递减

'又，因此要使函数g(x)在区间(0,1)内有零点，必有g(1)0，

解得a1满足条件

综上可得，a的取值范围是（-,1）.

12、（辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三上学期第三次模拟数学（理）试题）已知

．

（Ⅰ）当ae时，求f(x)的极值；

（Ⅱ）若f(x)有2个不同零点，求a的取值范围. 【答案】 （1）（2）(0,)

，

；

x(,0)，f(x)0，f(x)为减函数,x(0,)，f(x)0，f(x)为增函数

而

x，∴当x0，x0(0,1)，使f(x0)0,当x0时，∴e1 ∴

，∴

取，∴

,∴函数有2个零点

30当a0时，,令f(x)0得x0，xln(a)

①ln(a)0，即a1时,当x变化时 f(x)，f(x)变化情况是

x (,0)  0 0 (0,ln(a)) ln(a) f(x) f(x) ∴

0  1 ,∴函数f(x)至多有一个零点，不符合题意;

②a1时，ln(a)0，f(x)在(,)单调递增,∴f(x)至多有一个零点，不合题意； ③当ln(a)0时，即以a(1,0)时,当x变化时f(x)，f(x)的变化情况是

x (8,ln(a)) ln(a)  (ln(a),0) 0  (0,)  fx fx 0 0 1 ∴x0，a0时,

综上：a的取值范围是(0,).

,f(0)1,∴函数fx至多有个零点

13、（2019·广州质检）已知x＝1是f（x）＝2x＋＋ln x的一个极值点. （1）求函数f（x）的单调递减区间.

3＋a（2）设函数g（x）＝f（x）－，若函数g（x）在区间[1，2]内单调递增，求a的取值范围.

bxx【答案】（1）（0，1） （2）[－3，＋∞）.

【解析】 （1）f（x）＝2x＋＋ln x，定义域（0，＋∞）.

bxb12x2＋x－b∴f′（x）＝2－2＋＝.

xxx2

因为x＝1是f（x）＝2x＋＋ln x的一个极值点， 所以f′（1）＝0，即2－b＋1＝0. 解得b＝3，经检验，适合题意，所以b＝3.

bx12x＋x－3

所以f′（x）＝2－2＋＝， 2

3

2

xxx令f′（x）<0，得0所以函数f（x）的单调递减区间为（0，1）.

所以a≥－2x－x在[1，2]上恒成立， 所以a≥（－2x－x）max，x∈[1，2].

因为在[1，2]上，（－2x－x）max＝－3，所以a≥－3. 所以a的取值范围是[－3，＋∞）.

14、（江西省南康中学2019届高三上学期第四次月考数学（理）试题）已知函数

是偶函数.

（1）求k的值；

（2）若函数yfx的图像与直线y2

22

1xa没有交点，求a的取值范围； 2，是否存在实数m，使得hx最小值为0，若存

（3）若函数，

在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 【答案】 （1）k12

（2） （3）0

【解析】（1）∵，即

对于任意xR恒成

立.∴

∴2kxx∴k1 2

∵111，∴4x，

∴a的取值范围是,0

令

，

（3）由题意

t1,3∵开口向上，对称轴t当m， 2

m1，即m2，2当1m3，即2，（舍去）

当m3，即m6，2（舍去）

∴存在m1得hx最小值为0.

15、（江西省玉山县一中2019届高三上学期期中考试数学（文）试卷）已知函数

fxlnx,x.

（1）求yfx的最大值;

（2）当a0,时,函数ygx,（x(0,e]）有最小值.记gx的最小值为ha ,

e1求函数ha 的值域. 【答案】

（1）最大值fe（2）1 ee,1 2

（2）①当a,由1及x(0,e]得:

1lnx时, a0,g'x0,gx单调递减, ex.

当xe时, gx取得最小值

②当a0,,

1e , ,

所以存在t1,e?,g't0且lntat, 当x0,t时, g'x0,gx单调递减, 当xt,e时, g'x0,gx单调递增, 所以gx的最小值为gtha.

令,

因为,

所以Gt在1,e单调递减,此时综上, ha.

e,1. 216、（辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三上学期第三次模拟数学（文）试题）设xm和xn是函数

的两个极值点，其中mn，aR．

（I）求

的取值范围;

（II）若【答案】 （1）(,3) （2）1,求的最大值．

e1 22e

（Ⅱ）解:当时,.若设tn(t1),则 m.

于是有

构造函数（其中te）,则.

所以g(t)在[e,)上单调递减,故17、设集合（1） 若（2） 若

的最大值是1.

e1 22e．

存在正实数a，使得定义域内任意x都有

，试判断fx是否为M1中的元素，并说明理由；

，且gxMa，求a的取值范围；

（3） 若【答案】 （1）

（kR），且hxM2，求hx的最小值．

fxM1

（2）a1

（3）

（3）由,

即：

对任意x1,都成立

∴

∴

当1k0时，当0k1时，当1k3时，

； ； .

综上：

18、（湖北省宜昌市（东湖高中、宜都二中）2019届高三12月联考数学（文））已知函数

.

（1）当m4时，求函数fx的单调区间； （2）设t,s1,3，不等式范围. 【答案】

11,，（1）当m4时，fx在定义域0,单调递减；当m4时，函数fx的单调递增区间为2m211递减区间为0,，,.

2m213（2）,

3对任意的m4,6恒成立，求实数a的取值

综上所述，当m4时，fx在定义域0,单调递减；当m4时，函数fx的单调递增区间为 1111，递减区间为，,0,,.

2m22m2（2）由（1）知当m4,6时，函数fx在区间1,3单调递减，所以当x1,3时，

.

问题等价于：对任意的m4,6，恒有

，

成立，即

.

因为m2，则

设m4,6，则当m4时，

，∴，

2134取得最小值，

32m313所以，实数a的取值范围是,.

319、（2018年荆州中学高三数学测试题）已知函数值点．

在其定义域内有两个不同的极

（1）求a的取值范围；（2）证明：【答案】 （1）（2）略

．

当即故

时，由在

解得，

内为减函数，

；（2）证明：由

知：当

时，

恒成立

内为增函数，即可，解得

综上可知a的取值范围为

上式n个式子相加得：即又

，

．

20、（2019年湖南师大附中月考文）已知函数f（x）＝e＋e，g（x）＝2x＋ax，a为实常数． （1）求g（x）的单调区间； （2）当a＝－1时，证明：【答案】 （1）略 （2）a=-1

x－x3

x0∈（0，1），使得y＝f（x）和y＝g（x）的图象在x＝x0处的切线互相平行．

（2）当a＝－1时，f′（x）＝e－e，g′（x）＝2－3x，

当x0∈（0，1），使得y＝f（x）和y＝g（x）的图象在x＝x0处的切线互相平行． 即当x0∈（0，1）使得f′（x0）＝g′（x0），且f（x0）≠g（x0），

1x－x2

令h（x）＝f′（x）－g′（x）＝e－e－2＋3x，h（0）＝－2<0，h（1）＝e－－2＋3>0，

e

x－x2