专题-数学11

陕西 安振平

填空题是数学高考的三种基本题型之一，其求解方法分为：直接运算推理法、赋值计算法、规律发现法、数形互助法等等. 解题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整. 合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求. 下面将按知识分类加以例说.

1. 函数与不等式

例1 已知函数fx讲解 由3. x1，则f13_______f13x4，应填4.

x1，得

1请思考为什么不必求fx呢？

1,xN2. 的真子集的个数是______例2 集合Mx1log110x讲解 Mx1lgx2,xNx10x100,xN，显然集合M中有90个元素，其真子集的个数是2901，应填2901.

2 快速解答此题需要记住小结论;对于含有n个元素的有限集合,其真子集的个数是21.

2例3 若函数yxa2x3,xa,b的图象关于直线x1对称，则b_____.

讲解 由已知抛物线的对称轴为xa2ab1，有b6，故应填6. ,得 a4，而

22x2例4 如果函数fx，那么 21x f1f2ff3ff4f_____.

121314讲解 容易发现ftf1，这就是我们找出的有用的规律，于是 原式＝f131t

77，应填. 22本题是2002年全国高考题，十分有趣的是，2003年上海春考题中也有一道类似题： 设fx122x，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得

f5f4f0f5f6______.

1

2. 三角与复数

例5 已知点Ptan,cos在第三象限，则角的终边在第____象限. 讲解 由已知得 tan0,sin0, cos0,cos0,2cosx从而角的终边在第二象限，故应填二.

例6 不等式lg201（x0,）的解集为__________.

讲解 注意到lg201，于是原不等式可变形为 2cosx0cosx0. 而0x，所以0x2，故应填x0x，xR. 2例7 如果函数ysin2xacos2x的图象关于直线x讲解 y1a2sin2，其中tana.

8对称，那么a_____.

x8是已知函数的对称轴，

2k，

28即 k3，kZ， 4于是 atantank

341. 故应填 1. 在解题的过程中，我们用到如下小结论：

函数yAsinx和yAcosx的图象关于过最值点且垂直于x轴的直线分别成轴对

称图形.

例8 设复数z12sincos转

在复平面上对应向量OZ1，将OZ1按顺时针方向旋

243后得到向量OZ2，OZ2对应的复数为z2rcosisin，则tan____. 4讲解 应用复数乘法的几何意义，得 z2z1cos33isin 44 2

于是 tan

22sincos2sincosi， 22sincos2tan1，

2sincos2tan12tan1. 故应填

2tan1x 例9 设非零复数x,y满足 x2xyy20，则代数式 x____________.

2y2005yxy2005的值是

xx讲解 将已知方程变形为 yy11，

解这个一元二次方程，得

x13i. y222

显然有1,1, 而200536681,于是

320051原式＝ 2005200511 ＝

22005122005

＝

11. 2 在上述解法中，“两边同除”的手法达到了集中变量的目的，这是减少变元的一个上策，值得重视.

3. 数列、排列组合与二项式定理

例10 已知an是公差不为零的等差数列，如果Sn是an的前n项和，那么

limnnan_____. Snnn1，于是有 2

讲解 特别取ann，有Sn

limnnan2n2limlimSnnnn1n211n2. 故应填2.

3

1n是奇数5n，例11 数列an中，an S2na1a2a2n, 则

2n，（n是偶数）5limSn2n________.

讲解 分类求和，得

S2na1a3a2n1a2a4a2n，

limS2nn22115，故应填．

118812125515例12 有以下四个命题：

n2n1①2〉n3；

n1； n3；

2②2462nnn2③凸n边形内角和为fnn1④凸n边形对角线的条数是fnnn22n4.

其中满足“假设nkkN,kk0时命题成立，则当n=k+1时命题也成立’’.但不满足“当nn0（n0是题中给定的n的初始值）时命题成立”的命题序号是 . 讲解 ①当n=3时，2231，不等式成立；

② 当n=1时，2112，但假设n=k时等式成立，则

2462k1k2k22k1k1k12；

223③ f331，但假设fkk1成立，则 fk1fkk11 ；442kk2，假设fk成立，则

22k1k12.

fk1fkk32④ f4故应填②③.

例13 某商场开展促销活动，设计一种对奖券，号码从000000到999999. 若号码的奇位数字是不同的奇数，偶位数字均为偶数时，为中奖号码，则中奖面（即中奖号码占全部号码的百分比）为 .

4

讲解 中奖号码的排列方法是： 奇位数字上排不同的奇数有P53种方法，偶位数字上排偶数的方

3法有5，从而中奖号码共有P5353种，于是中奖面为

P5353100%0.75%,

1000000故应填0.75%.

例14 x21x2的展开式中x的系数是__________.

73讲解 由x21x2x2x2x2知，所求系数应为x2的x项的系数与x3项

7777的系数的和，即有

6421008C2C，77

64故应填1008.

4. 立体几何

例15 过长方体一个顶点的三条棱长为3、4、5, 且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的表面积是________.

讲解 长方体的对角线就是外接球的直径2R, 即有

2R24R232425250,

2从而 S球4R50，故应填50.

例16 若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积是 （只需写出一个可能的值）．

讲解 本题是一道很好的开放题，解题的开窍点是：每个面的三条棱是怎样构造的，依据“三角形中两边之和大于第三边”，就可否定｛1，1，2｝，从而得出｛1，1，1｝，｛1，2，2｝，｛2，2，2｝三种形态，再由这三类面构造满足题设条件的四面体，最后计算出这三个四面体的体积分别为：

111114111114, ,，故应填.、 、 中的一个即可. 6121261212例17 如右图，E、F分别是正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是 .（要求：把可能的图的序号都填上）

A B 2 4 1 3 ○○○○讲解 因为正方体是对称的几何体，所以四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可分为：上下、左

右、前后三个方向的射影，也就是在面ABCD、面ABB1A1、面ADD1A1上的射影.

2所示； 四边形BFD1E在面ABCD和面ABB1A1上的射影相同，如图○

5

D1 A1 E D C1 B1 F C

3所示. 四边形BFD1E在该正方体对角面的ABC1D1内，它在面ADD1A1上的射影显然是一条线段，如图○

2○3. 故应填○

4. 解析几何

例18 直线yx1被抛物线y24x截得线段的中点坐标是___________. 讲解 由yx1,消去y，化简得 2y4x x26x10,

设此方程二根为x1，x2，所截线段的中点坐标为x0，y0，则

x1x23， 2y0x012.x0故 应填 3,2.

x2y21上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，则当m取最大值时，点P的坐标 例19 椭圆

925是_____________________.

讲解 记椭圆的二焦点为F1，F2，有

PF, 1PF22a10PF1PF225. 则知 mPF1PF22

显然当PF1PF25，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25. 故应填3,0或3,0.

2x20y20，在杯内放 例20 一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的函数解析式是y2一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r的取值范围是___________.

讲解 依抛物线的对称性可知，大圆的圆心在y轴上，并且圆与抛物线切于抛物线的顶点，从而可设大圆的方程为 x2yrr2.

2x2yr2r2， 由  x2y，2 6

消去x，得 y221ry0 （*） 解出 y0或y21r.

要使（*）式有且只有一个实数根y0，只要且只需要2r10,即r1. 再结合半径r0，故应填0r1.

填空题的类型一般可分为：完形填空题、多选填空题、条件与结论开放的填空题. 这说明了填空题是数学高考命题改革的试验田，创新型的填空题将会不断出现. 因此，我们在备考时，既要把关注这一新动向，又要做好应试的技能准备.

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