第五章 债券投资与期度分析

前面我们介绍了证券组合理论，以及基于其上的CAPM模型，严格地说我们在那里的证券组合实际上是股票组合，即是以普通股作为研究对象的，在前两章我们实际上把对债券的投资，特别是国库券等，看做是无风险投资，这是因为相对股票来说，债券属于确定性收益的证券的缘故。

但是众多事实表明，债券投资也存在风险。一般来说，债券的风险主要基于下面三个来源。

1．违约风险，这主要是指发行债券的主体（政府、企业）没有按规定按时按量付息或还本，使得债券价值下降。

2．购买力风险，或称通货膨胀风险，即发行债券的主体确实按约定、按时、按量还本付息，但由于通货膨胀，使得所还的本息实际价值下降，则债券的实际价值也下降。

3．利率风险，由于债券的价值实际等于各期的利息（附息债券）和期末的本金按利率折算的现值的代数和，故如果市场利率上调，则债券的价值就要下降。

对以上这三种风险，理论上研究得最成熟的当属第三种风险，事实上债券投资理论和利率理论从来就没有分开过。

基于以上事实，本章来研究债券的投资问题，在第一节中我们介绍债券的有关知识、利率和利率的期限结构、期度和惯量等。第二节介绍债券的违约风险的处理和利用组合投资理论来规避购买力风险。第三节介绍利率风险的规避，这是一种债券防护型的投资策略。第四节叙述固定债务偿还的风险规避，这是第三节的一个应用和推广。第五节为进取性投资模型，读者将会发现它也是基于期度分析之上的。

§1 债券、利率与期度

债券是一种具有确定性收入的证券，这里所说的“确定”是有两重意义：一种就是时间确定，如债券的付息时间是确定的，一般是一年两次，而且债券有到期日，在到期的时候归还本金和分发最后半年利息；还有一重意思就是数额确定，债券都是有面值的，对于付息债券来说，息率都是规定好的，每期按照面值乘以息率的二分之一发放利息，到债券到期日发放最后一期利息并归还本金。

这里要说明的是，由于在债券投资中，要用到各种利率，所以我们必须对其加以规范，例如上面所说的息率，就是一种利率，即债券发行主体，按面值的二分之一息率的比例发放每期利息，这个利息率是债务人借用债权人资金而专门给予的补偿，是对于这种特定的债券而言的，虽然息率与市场资金利率有很大关系（一般为正相关），但它们绝对不是一回事，所以为了显示这种差别，我们对前面寇之以“息率”，就是为了让读者能区分它们。

下面我们来分别叙述本节内容。

一、债券的定价

由于债券的收入是一个序列，所以我们可以采用折算现值的办法来对其定价，设单个债券的面值为V，寿命为M年，每年付息两次，息率为C，那么它的2M期的收入序列如下：

1111CV,CV,,CV,CVV 2222设市场利率为i，这是年利率，由于一年分两期付息，则i又是名义利率，每期的利率i即为，于是得此种情况下的债券价格

22M2M2M1CVVCViiP11V1 （5-1） t2M2i1i/21i/22t12

127

在通常的金融理论研究和实际金融工作中，债券的价格往往用以上式计算出来的价格占票面的百分数来表示，如某种国库券价格是83，则说明它的实际价格是票面值的83%。基于这样的理由我们定义

p100则上式成为

P V2M2Mi1001 （5-2）

2Ci p10011i2根据（5-2）式，我们可以把债券的发行分为三种方式。也就相应地有三种债券

（1）如果C=i，即息率等于市场资金利率，则得

2M2Miip100111001100

22即实际价格等于面值（100%面值）。这样的债券发行称为等值发行，该种债券称为平价债券。

（2）如果CCip10011i22M2Mi100 10012即实际价格小于面值，这样的债券发行称为折扣发行，这样的债券称为折扣债券，其折扣计

算应为

Cid100p10010011i2

(5-3)

2M2M2M2MiiC100i1110012i2i显然121.

C1，故d>0，从这个角度来看，折扣就是债券价格小于面值的比i例。

在实际生活中，还有一种零息债券，也称纯粹折扣债券，它的收入序列为

0，0，‥‥‥，0，100

即平时不付利息，在到期日时，返回本金，于是按照（5-2）式，则得这种债券的价格为

i p100122M

和付息债券不同的是，零息债券虽然没有利息，但随着时间的流逝，它的价格是以每期

i的2速度增长，因此，虽然没有利息，但我们认为这个“利息”是以价格增长的形式给予债权人的，而且上期利息转为下期本金。

（3）如果C>i，即息率大于市场利率，于是根据式（5-2）

Cip10011i22M2Mi100 10012即实际价格大于面值，这样的债券称之为溢值发行，相应的，这样的债券称为溢值债券 。

二、利率

有关利率的概念很多，我们必须要仔细地把它们搞清。 我们首先要弄清的就是债券的到期收益率，这是针对某一债券而言的，它的计算通常是采用内部收益率的形式。设某债券的价格为p，寿命为N期，每期息率为C，那么该债券（每

128

期）的到期收益率就是使下式成立的r： p100CNN11r1001r （5-4） r注意上式和（5-2）式的区别，首先（5-2）式是按照资本市场的利率来计算该债券的价格，而上式是根据市场上该债券的价格来计算这个债券的到期收益率；其次是（5-2）式是将债券的寿命定为M年，每期为半年，息率、市场利率均是按半年计算，而上式是将其一般化，每期息率为C，到期收益率也是按期计算，至于这一期是一年，半年抑或是一个月，这不失一般性，现在我们再来考虑资金市场利率的问题。先介绍一个名词：利率期限结构

它表示每期利率随着期限变化而变化的情况。例如我们设现期为0，终期为t，那么从现在开始，到t期末止，这跨度为 t期的每期收益率水平则用h0,t表示，于是

h0,1,h0,2,,h0,t,

这一组值就称为利率期限结构，确定了利率期限结构，也就给出了资金市场的利率信息。

利率的期限结构一般有下面四种形式： （1） 如果对所有的t，均有h0,th0,t1，即随着到期日延长，利率不断上

升的情况，这是一种正常情况，因为到期日越长，则资金借出者对其“流动性偏好”的抑制越来越厉害，则对这种抑制的补偿也应越来越大；同时到期日越长，由于违约、通货膨胀等风险也会加大，所以这些只能通过增加利率补偿；这种上升的利率期限结构如图（5-1）中的a图所示。

（2） 如果对于所有的t，均有h0,th0,t1，即表示到期日越长，利率越低

的情况，这种情况只有在国家银根紧缩时才会发生，这样的利率期限结构如图（5-1）中的b图

（3）

有h0,th0,t1，这种先扬后抑的利率期限结构，往往发生在实行严厉的货币政策时期，如图（5-1）中的c图所示，我们根据期限图，往往称其驼峰式利率的期限结构。

（4） 如果对于所有的t，均有h0,tC（常数），则表明利率与到期期限没关系，

一般说来，这表明人们对利率的变动情况无法识别，这种常数型利率期限结构如图（5-1）中的d图所示，它是一条直线。 i i 0 t 0 t i a i b 0 t 0 t c d 图5-1

这里只泛泛地、定性地介绍有关利率的三种理论，它们分别是市场预期理论、流动性偏好理论、市场分割理论。现分述如下：

1．市场预期理论(the market expectation theory). 按照这个理论，市场对未来的利率升降的预期是决定利率的期限结构形状的唯一因素，而且未来的利率等于预期未来那个期限的利率。

如果存在某一时点t时，使得tt时有h0,th0,t1，而当tt时

 129

2． 流动性偏好理论(the liquidity preference theory). 按照预期理论的核心假设，就是对 于任一给定的时点，具有不同到期期限的债券有着相同的期望收益率。例如，一年到期的债券和六年到期的债券均有同样的期望收益率，或者说它们是完全可以互相替代的。但是，在实际生活中，情况并不是这样，一个很直观的事实是，由于债券的到期期限越长，则丢失本金、利息损失的可能性越大，也就是风险越大，为了补偿这种风险，长期债券的期望收益率应该较短期债券为大，基于这种考虑人们就采用流动性偏好理论来加以解释。

根据流动性偏好理论，长期债券和短期债券并不是可以相互替代的，因为一般来说，人们都具有流动性偏好，短期债券比长期债券的流动性要好，风险要小，故人们宁愿投资短期债券而不愿投资长期债券，所以，为了弥补它们之间的风险差距，人们对长期债券的期望收益率就高于短期债券的期望收益率，或者说对长期债券要加上流动性（风险）补偿。鉴于这种情况，我们认为利率的期限结构不仅要受到市场预期的影响，而且也要受这种流动性补偿影响。

这里主要对债券的流动性和风险的关系再加以说明，可以用图（5-2）为例，对一个五年到期的债券，其到期收益率R5的分布密度用曲线B来表示，对一年到期的债券，由于它们的流动性较好，所以我们可认为它的收益率ER1是确定的，故这里收益率的变化情况——风险的大小是由流动性大小来确定的。 f(r)

B

0 ER1 ER5 r

图5-2

3． 市场分割理论（the market segmentation theory）,这个理论是和债券定价中的市场无效性概念相一致的。按照该理论，整个债券市场由各个不同到期期限的债券分割成许多“区间“（segment）,资金不能自由地由一个区间流向另一个区间，且每一组投资者不管其他区间收益如何都固定地向某一区间进行投资，如果资金凑巧流到期限较长的区间，投资者就会购买长期债券而使它们的价格上涨，收益率下降，按照该理论，图（5-1）中的图b——利率的期限结构呈下降的曲线，不是因为市场预期或流动性补偿所致，而仅仅是因为资金的偶然的流动方向的缘故。

我们已经指出了利率的期限结构的几种形式，以及这些形式后面蕴含的理论。下面我们来介绍怎样根据付息债券的信息，采用“剥离法”来导出利率的期限结构的方法。

我们知道如果是零息债券，那么如果到期限为T，则其价格为

p1001h0,T

如果价格已经由上式给出，则其到期收益率为

T p1001rT 故对于零息债券有

rTh0,T

所以根据零息债券得到的T期到期收益率序列： r1,r2,,rT

就是我们所要寻求的利率的期限结构，这就是我们通常均是把零息债券的（到期）收益率曲

T 130

线作为市场利率的期限结构的原因。

但是在证券市场上，较长期限的零息债券是不多见的，如美国的一些政府债券是零息债券，但到期期限均非常短，有的只有三个月，而期限较长的债券通常均是附息债券，所以我们不能按照上述方法直接求出到期期限较长的债券的到期收益率。基于这样的原因，美国学者Salomon兄弟根据美国的平价国库券定期地编制和公布每年的到期收益率指标，这些到期收益率均是对应不同的到期期限的，通过这些到期收益率数据，我们从中解出所隐含的利率期限结构，我们把这个方法称作剥离法。下面就介绍这个方法。

假定有一个到期期限为2M的附息债券，每期（每期为半年）付息100C/2，那么根据利率的期限结构定义，得该债券的价格为

C2Mt2Mp1001h0,t1001h0,2M （5-5）

2t1同样如果设该债券的到期收益率为r，那么它一定满足下式

C2Mrrp100110012t122r 这里的表示半年的收益率。

2t2M （5-6）

设我们在时刻0观察到到期期限为t的每期（半年）收益率rt的序列：r1,r2, 由于对于平价债券，C=r，就是rt=C/2，于是将其代入上式，并取到期期限为t1,2,,2M各种平价债券得：

11100p1100r11h0,11001h0,1

122100p2100r2[1h0,11h0,2]1001h0,2

1233100p3100r3[1h0,11h0,21h0,3]1001h0,3

。 。 。

100p2M100r2M2M1h0,tt1t1001h0,2M2M （5-7）

由于t1，平价附息债券就成了一个“零息债券”，此时的到期收益率等于对应的利率，即 r1=h0,1

取一年期的平价债券，即r}是已知的，因此，1，此时它不是零息债券，但由于rt序列{rt代入（5-7）式得

122100p2100r2[1h0,11h0,2]1001h0,2

由于r2已知，h0,1=r1，则很容易从上面解得h0,2 对于t3，同样可得

1233100p3100r3[1h0,11h0,21h0,3]1001h0,3

由于r3，h0,1和h0,2已知，则可解出h0,3。

依此类推，我们则可得到现时（0时刻）的利率的期限结构。

研究了利率的期限结构理论后，我们现在来研究远期利率 我们在上面已经指出序列

h0,1,h0,2,,h0,t,

131

作为现时（0时刻）利率的期限结构，或者说按照Salomon兄弟的方法，我们是基于在0时刻观察序列rt而导出各个h0,t的，它的起点均是0，于是我们把{h0,t}称作0时刻的即期利率。

假若我们现在在0点观察h1,t，那么它表示从1期后开始到t期末为止的1期利率。从0时刻来看，它是未来的利率，所以我们称它为远期利率。相对的对于0点，h2,t,h3,t均是远期利率。

为了根据现有的信息，导出远期利率，我们不妨假定进行一项为期两年的投资，那么我们有两种形式可选择，一种是买两年期的零息债券，一种是先买一年期的零息债券，一年后以本利和再买一年期的零息债券，为简单起见，设我们只有一元钱投资额。

于是，在第一种形式下，我们在两年后得到的本利和为

1h0,2

2而在第二种形式下，设R12（随机变量）为1年后的即期利率（一年），那么这种形式下，两年底的本利和的期望为

1h0,11ER12 按照市场预期理论，投资者不在乎债券的时间长短，未来的某一确定时期的远期利率应等于预期的未来的那个期限的即期利率，对应本例，就是

h1,2ER12 因此有

1h0,2=1h0,11h1,2 对于三年投资我们则有

2 1h0,3=1h0,11h1,21h2,3 这样在市场预期理论下，对于0t，总有 h,tERt

3而在流动性偏好理论下，投资者从保持流动性这一角度来看，总是愿意投资短期债券而不愿意投资长期债券，这样市场为了吸引投资者投资长期债券，就必须要给予补偿，即利率要增加。因此在流动性偏好理论下，远期利率应该总是高于预期的未来的即期利率，就是

h,tERt

所以 h,tERt 这里的即为风险补偿 1h0,t1h0,1h,tt综上所述，对于任一0t，即期利率和远期利率均有如下的关系

t （5-8）

但在市场预期理论下： h,tERt 而在流动性偏好理论下： h,tERt

三、期度与期度的计算

我们在前面曾介绍过，利率风险、违约风险和购买力风险是债券投资者所面临的三大风险，在这三大风险中理论界研究的主要是怎样规避利率风险，这个理论也是最成熟的。

无论是在利率风险规避的理论研究中，还是在实际的操作中，期度(Duration)以及以其为基础建立起来的期度分析，都是债券投资研究者们使用的一个主要工具。可以毫不夸张地说，在债券投资的理论研究中，期度分析犹如在股票投资分析中的组合投资理论一样重要。

我们现在先来介绍期度概念。我们知道，按照（5-1）式

2M2Mii 11V122债券的价格是市场利率的函数，故我们把P写成Pi，如果利率发生变化，则债券的价格

CV Pii亦将发生变化。我们先假定利率的期限结构是水平的，所以如果利率变化，它只是水平变化，

132

而不是形状变化。在这种情况下，期度即表示债券的价格对利率i（实际是1+i）变化的弹性，用D表示

dPi1i （5-9） d1iPi如果原来利率水平是i0，变化后为i，那么在i=i0处的期度为

1i0dPi （5-10） Di0id1i0Pi0例5.1 设市场利率为i，债券到期期限为M，息率为C，债券的价格为

100C/2MM11i1001i piDi试求其期度

解 注意根据式（5-2），这里一期是按半年算的，则i也是半年利率

100C/2M11i i B=1001iM

则p=A+B

令A=



dAAM100C/21i diiidB1iM1 M100

di把上面两个等式的两边均乘以1i，则得

dA1iMC/21iAB diiidB1iMB

diM1则

1idA1idB dP1idiPpdipdi1iAC/2B=M1 ipipC/2iM1i （5-11） 1i=i1iMC/2C/2i Di 注意，这里的D的量纲是长度，即包含的期数（每期半年）

上面介绍的期度计算是对某一债券而言的，和前两章类似，如果有一个债券组合，其第t年的现金收入为Ft，到期期限是N，那些如果市场的利率的期限结构是水平的，则对于利率i，该组合的价值为

Vi=Ft1i

tt1NdVt1 tFt1i dit1上式两边同乘以1i，则得

N 133

NdV1itFt1it dit1于是该组合的期度

D

tdV1idiVtFt1it1NtV （5-12）

F1i令tt，则得

V Dt1Ntt （5-13）

显然t表示第t年组合收入的现值占总组合价值的比例，则期度表示长度的概念更清楚了，而且我们还不难看出任一债券的期度不会大于其到期期限的，除了零息债券其期度即等于其到期期限，其他债券的期度均小于其到期期限。

§2 违约风险和购买力风险的规避

严格地说来，在债券投资理论研究中，我们通常所说的投资风险实际上指的是利率风险，债券投资理论主要集中在这一方面，但是为了理论的全面性，我们先介绍一下违约风险和购买力风险的规避问题。

一、违约风险的处理

我们前面讲过，所谓债券的违约风险实际上是指债券发行主体没能履行诺言，而不能 按时按量地还本付息，从而造成债券价值的下降。一般来说违约债券均是企业债券，政府债券是不可能违约的。

判别一个债券是否有违约的可能，主要看此种债券的等级。债券的等级则反映了一个 债券的质地，在现在的一些主要发达国家，债券的等级主要是由美国的一些专业证券评估公司，如Moody，Standard&Poll公司，根据发行债券公司的盈利数额，盈利变化情况，资本结构中债的数量，公司的净值和短期资产数额等指标给该公司评定的。

Moody，Standard&Poll公司分别把企业的债券分成9个等级和11个等级，如下表所示： 表5-1 Moody的等级 Standard&Poll的等级 种类 Aaa Aaa 优质债券 Aa Aa A A Baa Baa 中等质量债券 Ba Ba B B Caa Caa 投机债券 Ca Ca C C D 违约债券 E 破产公司的债券

134

因此A级债券属于优质债券，接近或相当于政府债券，而C级债券则属于投机级债券，它们违约的可能性非常大，当然最差的当属Standard&Poll等级体系中的E级，它们的发行公司已经破产，要进行清算，所以它们一定是违约债券，甚至本息全无，有人对美国的全部债券的违约情况进行调查，发现违约率只有0.116%, 而对Baa（或Baa）以下级别的债券的违约情况进行计算，发现违约率上升到2.54%

一个债券受其所属等级影响最大的当属它的价格（当然也影响公司的资信），一般来说债券的等级越高，其到期收益率越低，进而根据（5-1）式，它的价格也越高。

有人对美国的高质量债券的到期收益率进行过调查,得到的结果如下表

表5-2 AAA AA A BAA 等级 年份 到期收益率 1973 7.15 7.37 7.53 7.90 1974 7.83 8.00 8.17 8.48 1975 8.83 9.13 9.81 10.81 1976 8.60 9.13 9.54 10.41 1977 7.96 8.16 8.45 9.08 1978 8.41 8.59 8.76 9.17 1979 9.25 9.48 9.72 10.13 1980 11.09 11.56 11.88 12.42

现行的对违约债券风险管理的主要工作是，完备债券评估体系，使之向客观化（而不是凭经验）、科学化的定量分析方向发展。

在叙述债券的等级及到期收益率的确定这个问题时,不能不提到Fisher的工作, Fisher以政府债券作为参考债券,再选择和政府债券到期期限相同的企业债券,根据我们上面叙述,对于到期期限相同的企业债券和政府债券来说,由于企业存在违约的可能,所以前者的到期收益率一定较后者的到期收益率大,设二者之差为r,Fisher选择了发行该债券的公司的若干指标,以这些指标作为解释变量, r作为被解释变量,进行多元回归分析,得到如下的回归式:

lnra0.262lnVE0.223lnLS0.496ln这里, VE—盈利变动性指标 LS—有偿付能力的时间长度

S0.290lnNB DS—自有资金和债的比例,即资本结构 D NB—发行的债券的数量

a —常数

而且这个回归式的总体相关系数非常大,达到81%,这说明r的变化的81%可由这些公司指标来解释.

二、购买力风险的规避

我们前面讲过，所谓购买力风险实际就是可能的通货膨胀造成债券实际价值的下跌。 一般来说，有效规避购买力风险的方法就是构造国际债券组合，其原理如同我们在第二章第六节中叙述那样，通过购买不同国家的债券可有效地分散风险，使得在共同收益的情况下，具有最小风险的组合。

例如, Robison等人对世界主要的12个发达国家的债券进行了研究,得到了用美元调整的不同国家债券的收益率的相关系数.如下表:

135

表5-3 Bel Den Fra Ger Ita Hol Spa Swe Swi UK Jap Can Den 0.54 Fra 0.72 0.69 Ger 0.77 0.22 0.43 Ita 0.25 0.43 0.53 –0.01 Hol 0.93 0.45 0.64 0.86 0.36 Spa 0.31 0.49 0.47 0.04 0.61 0.24 Swe 0.63 0.42 0.28 0.34 –0.4 0.63 0.44 Swi 0.9 0.48 0.66 0.85 0.08 0.94 0.17 0.46 UK 0.09 0.12 0.1 0.12 0.29 0.03 -0.13 -0.24 0.13 Jap 0.32 0.36 0.28 0.27 0.24 0.25 -0.16 -0.18 0.38 0.5 Can 0.16 –0.01 0.01 0.18 -0.22 0.21 -0.1 0.26 0.04 -0.15 –0.17 USA 0.05 0.22 0.15 0.1 -0.13 0.17 0.07 0.06 0.1 0.08 0.1 0.63 这里, Bel—比利时 Den—丹麦 Fra—法国 Ger—德国 Ita—意大利 Hol—荷兰 Spa—西班牙 Swe—瑞典 Swi—瑞士 UK—英国 Jap—日本 Can—加拿大 USA—美国

根据这个表和前面介绍的组合的投资理论,我们选择目标收益水平分别为

8%,9%,10%11%,分别得到四个最小的方差组合如下表:注意这是从美国投资者的角度来进行运算的.

表5-4 组合 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 8.00 9.00 10.00 11.00 ER% 4.76 5.72 7.02 9.43 % 组合系数 Ger 0.2 0.29 0.47 0.34 Spa 0.02 0.02 0.0 0.0 Swe 0.4 0.4 0.19 0.0 UK 0.01 0.0 0.0 0.0 Jap 0.23 0.29 0.34 0.66 USA 0.15 0.01 0.0 0.0

Robison等人的研究了同期美国债券投资优化模型,发现如果只对美国债券投资,则对于最小标准差为=7.5%的最小方差组合,其提供的收益率水平为4.31%,大大小于上表中第三个组合中的期望收益.

Robison等人的研究还表明，如果构造混和的国际债券和股票的组合，那么对风险分散的效果将会更好;表(5-5)表示了13个国家股票,债券收益率之间的相关系数.注意这个矩阵不是对称的,即法国的股票与丹麦的债券收益率之间的相关系数,不等于丹麦的股票与法国的债券收益率之间的相关系数.

136

表5-5 Den Fra Ger Ita Hol Spa Swe Swi UK Jap Can USA 债券 Bel 股票 Bel Den Fra Ger Ita Hol Spa Swe Swi UK Jap Can USA 0.49 -0.09 0.25 0.17 -0.34 -0.05 -0.17 0.05 0.12 0.11 0.09 -0.13 -0.24 0.58 0.57 0.34 0.54 0.41 0.58 0.26 0.34 -0.08 0.19 0.19 0.11 0.24 0.01 –0.21 0.28 -0.14 0.34 -0.02 -0.11 -0.21 0.17 –0.11 0.14 0.59 0.61 -0.06 0.64 0.15 0.67 0.08 0.2 0.07 0.1 –0.34 –0.07 0.15 0.27 0.28 0.2 0.24 0.1 -0.17 0.32 –0.11 0.26 –0.32 –0.12 –0.01 –0.17 –0.53 -0.27 –0.37 0.32 –0.06 -0.33 0.07 0.11 –0.51 –0.24 0.41 0.24 -0.06 0.3 -0.04 0.12 -0.18 -0.00 -0.07 0.14 –0.14 0.09 0.01 –0.1 -0.31 0.44 -0.3 0.53 0.02 -0.36 –0.18 –0.21 –0.26 - 0.33 0.39 0.06 -0.18 0.16 -0.01 0.38 0.32 0.00 -0.17 0.01 –0.19 0.02 0.1 0.3 0.18 0.41 0.17 0.25 -0.17 0.14 0.03 0.12 –0.2 0.08 0.43 0.21 -0.16 0.51 -0.19 0.05 –0.39 0.08 0.52 0.35 –0.18 0.22 0.39 0.09 -0.13 0.35 0.00 0.38 0.05 0.06 -0.07 0.41 –0.14 0.16 0.18 0.06 -0.29 0.42 -0.18 0.46 0.07 -0.27 0.03 -0.12 0.17 0.1 0.13 –0.07 -0.36 0.25 -0.27 0.07 -0.17 -0.31 0.03 0.11 0.07 0.21

根据上述数据和组合投资模型, Robison设定了5个期望收益率水平

8.5%,10%,11.5%,15%和18.5%,得到了相应的五个股票,债券的最小方差组合如表(5-9)所示

表5-6 组合 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ ER% 8.50 10.00 11.50 15.00 18.50 3.64 4.68 6.38 15.90 29.28 % 股票 Ita 0.04 0.03 0.0 0.0 0.0 Spa 0.11 0.14 0.1 0.0 0.0 UK 0.0 0.0 0.02 0.12 0.12 Jap 0.0 0.0 0.07 0.39 0.88 Can 0.0 0.0 0.12 0.08 0.0 USA 0.11 0.16 0.05 0.0 0.0 债券 0.33 0.46 0.54 0.41 0.0 Ger 0.14 0.11 0.0 0.0 0.0 Swe 0.02 0.0 0.0 0.0 0.0 UK 0.07 0.11 0.09 0.0 0.0 Jap 0.07 0.0 0.0 0.0 0.0 Can 0.12 0.0 0.0 0.0 0.0 USA 比较表(5-6)与表(5-4),我们不难发现,含有国际股票,债券的组合的分散风险的效果,比只含有国际债券的组合分散风险效果要好得多.

§3 利率风险的规避

我们现在开始研究利率风险的规避 设现有一债券组合，其收入序列为

137

F1,F2,,FN

这里N为该债券组合的到期期限，如果资金市场的利率为i，那么其价值为 ViF1itt1Nt (5-14)

由于债券是确定型收益证券，故当不考虑违约时，收入序列Ft是不变的，故债券的价值仅仅与利率i有关，如果当投资者已经投资了一组合后，市场利率立即降低，这当然对该投资者有利，但如果利率上升，那么该投资者手中持有的组合的价值就会下跌，投资者就要蒙受损失，所谓利率风险即指后面这种情况发生的可能性。所以，所谓利率风险规避即指采取什么样的操作策略，使得即使利率上升，投资者手中的组合的价值不至于因此而贬值。

但是序列Ft是不变的，利率i不会受单个投资者控制，我们唯一能做的就是手中持有该组合的时间——投资计划的长短。我们不妨设投资计划期为q，那么，如果市场利率为i0，组合的价值为Vi0，经过q期后，其价值这

q Vqi0Vi01i0 （5-15）

如果投资者一投资后，市场利率即由i0变为i，那么组合的价值即由Vi0变为Vi，于是在q期后其价值为

VqiVi1i （5-16）

q比较上面两式，我们不难发现i的变化对Vi和1i的影响是相反的。如果i0变为iq是利率上升，那么Vi1i0;同理，如果i0变为i是利率下降，则

qqVi>Vi0,但1i<1i0.因此利率风险规避就是寻求一个投资计划期，使得在上述

qq条件下，恒有

VqiVqi0 （5-17）

上式的实际意义就是，如果投资期为q，那么无论利率i是上浮还是下浮，投资者手中的组合均不会由此而发生贬值。上式的数学意义是，对于一恰当的q，使得ii0成为函数

Vqi的极小点，现在我们来导出q的计算式，根据（5-16）式，有

VqiVi1i

q两边对i求导，得

VqiVi1iqVi1iqq1

q1选择q，使得ii0为Vqi的极小点，则得

Vqi0Vi01i0qVi01i0q0

则得

qVi01i0 （5-18） Vi0qq1为了保证（5-17）式成立，还需

Vqi01i0Vi0q1i0q2NVi0

q1qq11i0Vi0q1i0Vi0

=

Fqt1qt1it0t1qt20

如果上式中

qt1qt0 则得到

138

qt 或qt1

此时Vqi0=0，否则Vqi0>0，这说明除了形如收入序列如下的组合：

0,0,,0,Fq1,Fq,0,0,,0 （5-19）

外，其他任何组合均有Vqi0>0

于是我们即可得到结论：如果我们按式（5-18）来选取投资计划期，则我们持有的债券组合不会因利率波动而贬值。

而综观（5-13）式，我们不难发现这里有

q=D （5-20）） 我们在前面反复强调期度是个时间长度概念，这里它的意义、它的重要性则非常清楚了。 我们现在考虑如（5-19）那样的收入序列，该组合的最小值为 Vq0Fq1Fq

对于任一利率i>0，均有

VqiVq0

如果在上面的序列中，只有Fq1或Ft非零，那么此时具有收入序列 0,0,,0,Fq,0,0,,0 或

0,0,,0,Fq1,0,0,,0

的组合的值不受利率波动的影响

综合以上讨论，我们得到下面的定理：

定理5. 1（屏蔽定理）如果投资者取一债券组合的期度作为其投资计划期，则该组合不会因为利率波动而贬值。

我们把取投资组合的期度作为投资计划期，从而使得组合不受利率波动的影响的操作方法，称之为建立一个屏蔽机制，使得利率波动不会影响到被屏蔽的组合的价值。

对于期度，我们还有下面的推论：

推论5.1 一个债券组合的期度等于构成该组合内各个债券的期度的加权平均，权数就是每个债券的组合系数。

证明 设一个债券组合内有m个债券，设第j个债券的收入序列为

F1j,F2j,,FNj j1,2,,m 那么该债券的价值和期度分别为 VjF1ijtt1Nt

t1 DjVjtF1ijtt1N

而整个组合的第t年收入Ft应等于

FtFt1Ft2Ftm 于是其价值和期度为

VFt1i

tt1N==

Ft1NN1tFt2Ftm1i

tF1iF1i1tt2tt1t1NtFtm1i

tt1N=V1V2Vm

139

1DV但

NNtF1itt1tNNt （5-21）

tFt1i=tFt1Ft2Ftm1i

tt1t11ttN2ttt1=

tF1itF1it1tFtm1i

tt1N=D1V1D2V2DmVm

把上式代入（5-21）式，则得

DD1VV1VD22Dmm VVV下面我们来举例说明屏蔽定理的应用。

例5.2：设我们用1000000元向两个价格均为100元的平价附息债券投资，这两个债券的息率均是10%。一个债券的到期期限是20（每期半年），期度是13.085321;另一个债券的到期期限是40,其期度是18.017041.我们向这两个债券投资的比例是依照所构造的组合的期度为16而定的,如果设向第一个债券投资的份数为x,则根据推论5.1,有

100x1000000100x13.08532118.01704116

10000001000000解得 x4089.93

于是如果我们购买4089.93份第一种债券和5910.07份另一种债券,则它们的期度是16.

由于债券均是平价债券,则我们可知市场利率是10%(年利率),如我们刚投资后市场利率变为i,则我们按前面的有关公式来计算Vqi,得到表(5-7).

表5-7(单位:千元) Vqi i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 7.0% 7.5% 8.0% 8.5% 9.0% 9.5% 10.0% 10.5% 11.0% 11.5% 12.0% 12.5% 13% 1.277 1.223 1.173 1.125 1.181 1.093 1.000 963 928 895 864 835 807 1.321 1.269 1.219 1.173 1.130 1.089 1.050 1.014 979 947 916 887 859 1.367 1.316 1.268 1.223 1.180 1.140 1.103 1.068 1.033 1.001 971 942 915 1.415 1.366 1.319 1.275 1.234 1.195 1.158 1.123 1.090 1.059 1.029 1.001 957 1.465 1.417 1.372 1.329 1.289 1.251 1.216 1.182 1.150 1.120 1.091 1.064 1.038 1.516 1.470 1.427 1.386 1.347 1.311 1.276 1.244 1.213 1.184 1.156 1.130 1.106 1.569 1.525 1.484 1.445 1.408 1.373 1.340 1.309 1.280 1.252 1.226 1.201 1.178 1.624 1.582 1.543 1.506 1.471 1.438 1.407 1.378 1.350 1.324 1.299 1.276 1.254 1.681 1.642 1.605 1.570 1.537 1.506 1.447 1.450 1.424 1.400 1.377 1.356 1.336. 1.740 1.703 1.669 1.637 1.606 1.578 1.551 1.526 1.503 1.481 1.460 1.441 1.442 1.801 1.767 1.736 1.706 1.679 1.653 1.629 1.606 1.585 1.566 1.548 1.531 1.515 1.864 1.833 1.805 1.779 1.754 1.731 1.710 1.691 1.673 1.656 1.640 1.626 1.613 1.929 1.902 1.877 1.854 1.833 1.814 1.796 1.780 1.765 1.751 1.739 1.728 1.718 1.996 1.973 1.952 1.933 1.916 1.900 1.886 1.873 1.862 1.852 1.843 1.836 1.830 2.066 2.047 2.030 2.015 2.002 1.990 1.980 1.971 1.964 1.958 1.954 1.951 1.949 2.139 2.124 2.112 2.101 2.092 2.085 2.079 2.075 2.072 2.071 2.071 2.073 2.075 2.213 2.203 2.196 2.190 2.186 2.184 2.183 2.184 2.186 2.190 2.195 2.202 2.210 2.291 2.286 2.284 2.283 2.285 2.287 2.292 2.298 2.306 2.316 2.327 3.340 2.354 2.371 2.372 2.375 2.380 2.387 2.396 2.407 2.419 2.433 2.449 2.467 2.486 2.507 2.454 2.461 2.470 2.482 2.495 2.510 2.527 2.546 2.567 2.590 2.615 2.641 2.670 2.540 2.554 2.569 2.587 2.607 2.629 2.653 2.680 2.708 2.739 2.771 2.806 2.844 2.629 2.649 2.672 2.697 2.724 2.754 2.786 2.820 2.857 2.896 2.938 2.982 3.028 2.721 2.749 2.779 2.812 2.847 2.885 2.925 2.968 3.014 3.063 3.114 3.168 3.225 2.816 2.852 2.890 2.931 2.975 3.022 3.072 3.124 3.180 3.239 3.301 3.366 3.435 2.915 2.959 3.006 3.056 3.109 3.165 3.225 3.288 3.355 3.425 3.499 3.577 3.658 3.017 3.070 3.126 3.186 3.249 3.316 3.386 3.461 3.539 3.622 3.709 3.800 3.896 3.122 3.185 3.251 3.321 3.395 3.473 3.556 3.643 3.734 3.830 3.931 4.038 4.149

140

从表中我们可以看出如果利率从10%下调到7%,那么该组合的价值立刻上涨到1277(千元),一期后,则上涨到

127710.071321(千元) 2即每期比上期价值增加3.5个百分比.

如果利率从10%上浮到13%,那么该组合的价值立即下跌至8.07(千元),以后每期比前一期价值增加6.5个百分比.

如果利率不变,依然是10%,那么每期比前期增加5个百分比.

以上是对表(5-7)的解读.现在我们用表(5-7)来确定我们的投资计划期,如果我们的投资计划期q16,那么,如果利率上浮,则我们组合的价值将会贬值,对应于表(5-7)中前16行中利率为10.0%的那一列中任何一个数字均比它同行右边中的数字大, 如果我们的投资计划期q16,则利率下调会使我们组合的价值贬值,对应于表(5-7)中后10行(第18行至第27行),利率为10.0%的那一列中任何一个数字均比它同行左边中的数字大.

只有当q16(债券组合的期度)时,10%下的Vq10%=2183(千元)比它同行中”左邻右舍”均要小,即无论利率怎样变化,16期后债券的值都不会减小,总是有

VqiVq10%

§4 多期固定债务的匹配

在一些金融行业中，往往有一些固定性的债务（支出），这里的固定不仅是数量上的，而且还是时间上的固定之意，例如像保险公司这样的金融公司，随着保险单的增多，由于统计规律的作用，理赔的时间和数量也就趋于稳定，这样这些公司就必须要适时地安排一定资金，方能给付这些固定性债务。

一个显然的事实是，我们不能将这些用来偿债的资金闲置起来或者作活期存款，那样显然经济效益不高。我们可以将这些资金用于具有固定性收益的证券或项目上，例如定期储蓄、购买高质量的债券等。

但是，像定期储蓄、购买债券这类金融资产（包括债券），它们的值通常要受到利率影响，利率的波动可能会使这些资产不能适时地支付这些固定性债务。例如，如果设t期的债务是Lt, 资产的现金流入是At，现时利率是i0，则资产和债务的现值分别是

Ai0At1i0 （5-22）

ttLi0Lt1i0 （5-23）

tt且有

Ai0=Li0

这时资产和债务得到了确切的匹配.

可是如果利率波动为i，此时我们不能保证

特别地可能有

A1i=L1itt0t0tttttt

At1i0<Lt1i0

t由此可见利率波动对资产和债务的匹配影响很大。 本节主要研究在利率波动下如何保证有效的匹配问题，其中包括匹配条件和匹配方法问题。

一、匹配条件

141

现在我们来导出匹配的条件。 设

NiAiLi于是

NiAiLi1i[

1tt—A1iL1it0t0 ttLt1it0tt—

At1ittt]

注意到资产和债务的期度分别为

1t At1itAit1tDLiLtt1i0 LitDAi则

Ni=1i1LiDLiAiDAi （5-24）

如果现行的市场利率是i0，且根据既定的债务，我们可适当地选取资产，使得 Ai0Li0和DAi0=DLi0 因此有 Ni0=0，即ii0是驻点。 再看二阶条件，由（5-24）式我们得

Ni1i2AiIA22iAiDAiAiDAiLiILiLiDLiLiDLi

(5-25)

这里IAi和ILi是资产惯量和债务惯量，它们分别由下式表示

IAi=

1t2 （5-26） A1itDitAAit1t2ILi=Lt1itDLi （5-27） Lit这样为了保证

NiAiLiNi0Ai0Li00

根据（5-25）式，必须有

Ni1iAi0IAi0ILi00

2就是

IAi0ILi0

因此为了使得资产和债务得到确切的匹配，我们可根据现行的市场利率i0，选取适当的资产组合，使其满足下列条件：

1．Ai0Li0

2．DAi0DLi0 3．IAi0ILi0

则不论市场利率i怎样变化，都不会有AiLi的情况出现。

二、二分法的匹配原理

基于上述的匹配条件，在金融理论研究和实际工作中，有一个简单而易于操作的方法——二分法。下面我们来介绍二分法匹配的原理。

142

二分法是这样进行的：设现有一债务序列Lt1,Lt2,,Ltn，这里Ltj表示债务发生在tj年末，且有t1t2tn，那么其债务总的价值、期度和惯量为

L DL ILL1ijtjtj，

tjtLtjjL1i，

12tLtjtjDL1ij Lj这里i表示利率。再设第t年的资产收入流为At，按照二分法的做法，将它分为 At=A1tA2t (A1t0,A2t0,t1,2,)

那么记

A1 A2t DA1A1i1ttA1i2ttt，DA21ttA1i 11tAt1t2tA2t1i At于是根据二分法匹配原理，必须有

AAA12A1A2L， DADA1DA2DL

AA为了满足惯量条件，通常取

DA1t1 和DA2tn （5-28）

则资产收入流和债务序列得到匹配。

现在我们来证明这个原理，具体来说就是证明若有DA1t1 和DA2tn，则一定有资产的惯量IAIL。

首先根据期度的定义，资产收入流下标t取的最小值就比t1小，最大值就比tn大，即资产流量应比债务流量散度大一些。根据惯量公式（无论是资产还是债务）均可以作如下变化

11t2t2A1itDAt1it2DA tAAtAt由于总有IA0，故

1t2At1it2DA （5-29） AtIA注意到匹配时，资产收入流与债务流量的价值和期度是相等的，则有 AA=

1212Ltj1ij

tj ADA1ADA2于是从上两式得：A则IAIL2tjLtj1ijjtjAL jDA2DA1LttjDA11itj （5-30）

11t2t222A1itD[Ltj1ijtjDL] —tAAtLt1t2t2DADL , AL =[At1itLtj1ijtj] Att 143

=

1ttt2[A1t1it2A2t1it2Ltj1ijtj] Attt1222[A1DADA2—Ltj1itjtj2] 根据（5-29）式 1AAt122t222=[A(DA2DA1)Ltj1ij(tjDA1)] 根据（5-30）第一等式 At=

1tjtjLtD1iDDL1i(tD)(tD)]tjjA1A2A1tjjA1jA1

Ajt 上式根据（5-40）式

1tjL1itDDttjjA1A2j （5-31）

Aj0 根据（5-28）式 就是IAIL，惯量条件符合，二分法的原理证毕。

这里有几个问题说明一下，首先DA1t1 和DA2tn只是二分法匹配的充分条

件，但并不必要，事实上根据式（5-31），虽然对任一tj，若有DA2tjDA1，能保证IAIL，

=

但由于最终结论只需能仍有IAIL。

其次，由于DA1t1 和DA2tn能保证二分法匹配有效，且我们注意到零息债

券的期度即为其到期期限，所以在实践中我们可以选择两种到期期限分别为DA1和DA2的零息债券来匹配现有的债务序列，其价值份额B1和B2应满足下式

0，所以对于一些不符合DA2tjDA1的资产收入组合，可

B1+B2=Ltj1ij

tjB1DA1B2DA2tL1ijjtjtj

§5 债券的进取型投资模型

我们在前面研究了债券投资中应用期度方法来规避利率风险的理论和应用，但是一般来说，利率波动对债券的价值的影响是或正或负的，并不总是负面影响，例如当利率下调时，债券的价值是上涨的，即使利率上涨而使债券价格下跌，但是由于利率上涨了，则债券重投资的收益率增大了，故后面的价值以更大的幅度在逐渐增大。所以，上述那种以规避利率风险为主要目的的投资策略则称之为被动型投资策略。事实上，和投票投资一样，如果投资者在认可或接受的风险下，他总是寻求获得最大收益的策略，我们把这种投资策略称之为进取型投资策略。由于这里的模型和前面的组合投资模型一样，所以我们在这里的主要任务就是给出债券的（持有期）收益率的期望和方差的计算公式。

设市场利率原来是i0，在投资者购买（即投资）了一个价值为Vi0的债券组合后，利率由i0变为i，相应地价值由Vi0变为Vi，则经过投资计划期q后，其价值为

Vqi=Vi1i

q注意到投资者的初始投资是Vi0，于是如果我们设在持有该组合的q期里，持有收益

144

率为r，那么则应有

Vqi=Vi01r=Vi1i

qq则解得

rqVi1i1 （5-32） Vi0我们仍然以例5.2来讨论

设我们用1000000元向两个价格均为100元的平价附息债券投资，这两个债券的息率均是10%。一个债券的到期期限是20（每期半年），期度是13.085321;另一个债券的到期期限是40,其期度是18.017041.我们向这两个债券投资的比例是依照所构造的组合的期度为16而定的,

注意到i010%,则根据表(5-7)中的数据进行计算,注意这里以半年为一期.例如当利率由10%降到7%,债券的价值由V10%1000变为V7%1277,如q2,则这一年里投资者的持有期收益率应是

2[1.277(13.5%)1]0.33933.9% 注意这里的持有期收益率是按年算的,所以应乘以2.

和上面类似,我们得到对应于各个i和q的持有期收益率,整理成表(5-8),注意这里的r 均是按年计算的.

表5-8(单位:%) i i（按年计算） r q 7.0% 7.5% 8.0% 8.5% 9.0% 9.5% 10.0% 10.5% 11.0% 11.5% 12.0% 12.5% 13% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 64.24 53.74 43.89 34.63 25.92 17.73 10.00 2.71 -4.16 -10.66 -16.80 -22.61 -28.11 33.87 29.46 25.23 21.18 17.30 13.57 10.00 6.57 3.28 0.12 -2.92 -5.85 -8.65 24.55 21.89 19.53 16.87 14.50 12.21 10.00 7.87 5.82 3.84 1.93 0.09 -1.69 20.03 18.20 16.44 14.74 13.11 11.53 10.00 8.53 7.10 5.73 4.40 3.12 1.88 17.36 16.02 14.73 13.48 12.28 11.12 10.00 8.92 7.88 6.87 5.90 4.96 4.06 15.60 14.58 13.59 12.64 11.73 10.85 10.00 9.18 3.89 7.63 6.90 6.20 5.52 14.35 13.55 12.78 12.05 11.34 10.66 10.00 9.37 8.76 8.18 7.62 7.09 6.57 13.41 12.78 12.18 11.60 11.04 10.51 10.00 9.51 9.04 8.59 8.17 7.76 7.37 12.69 12.19 11.71 11.25 10.82 10.40 10.00 9.62 9.26 8.92 8.59 8.28 7.99 12.12 11.72 11.34 10.98 10.63 10.31 10.00 9.71 9.43 9.17 8.93 8.70 8.48 11.65 11.33 11.03 10.75 10.48 10.23 10.00 9.78 9.57 9.38 9.20 9.04 8.89 11.25 11.01 10.78 10.56 10.36 10.17 10.00 9.84 9.69 9.56 9.44 9.33 9.23 10.92 10.74 10.56 10.40 10.26 10.12 10.00 9.89 9.79 9.71 9.63 9.57 9.52 10.64 10.50 10.38 10.27 10.17 10.08 10.00 9.93 9.88 9.83 9.81 9.78 9.76 10.40 10.30 10.22 10.15 10.09 10.04 10.00 9.97 9.95 9.95 9.95 9.96 9.98 10.18 10.13 10.08 10.04 10.02 10.00 10.00 10.00 10.02 10.04 10.07 10.12 10.16 9.99 9.97 9.96 9.95 9.96 9.98 10.00 10.03 10.08 10.13 10.19 10.25 10.33 9.83 9.83 9.85 9.87 9.91 9.95 10.00 10.06 10.13 10.20 10.29 10.38 10.48 9.68 9.71 9.75 9.80 9.86 9.93 10.00 10.08 10.17 10.27 10.38 10.49 10.61 9.54 9.60 9.66 9.73 9.82 9.90 10.00 10.10 10.21 10.33 10.46 10.59 10.73 9.42 9.50 9.58 9.68 9.78 9.88 10.00 10.12 10.25 10.39 10.53 10.68 10.84 9.31 9.41 9.51 9.62 9.74 9.87 10.00 10.14 10.29 10.44 10.60 10.76 10.93 9.20 9.32 9.44 9.57 9.71 9.85 10.00 10.16 10.32 10.48 10.66 10.84 11.02 9.12 9.25 9.38 9.53 9.68 9.84 10.00 10.17 10.35 10.53 10.71 10.91 11.11 9.03 9.18 9.33 9.49 9.65 9.82 10.00 10.18 10.37 10.57 10.77 10.97 11.18 8.95 9.11 9.28 9.45 9.63 9.81 10.00 10.20 10.40 10.60 10.81 11.03 11.25

如果我们以市场利率i为横轴,持有期收益率r为纵轴来建立直角坐标系,我们再以

145

q5

q16和q25,这样则得如图(5-3)所示的三条曲线. r% 17.36 q25 q16 q16 10.00 q5 0 10 i%

图5-3

对于q5和q25两条曲线,它们的持有期收益率均随着市场利率 i的变动而变动,若投资者对利率变动的方向有所理解,则他可以通过控制持有债券组合时间的长短来达到较高的收益率,当然这要建立在投资者对市场利率的估计非常准确的情况下.

而对于q16,则投资者可以肯定能得到不低于10%的收益率,而不管市场利率i波动的方向.

现在我们来导出持有期收益率的期望的方差的计算公式，注意到式（5-32）中持有期收益率与市场利率的非线性关系，且市场利率是个随机变量，因此持有期收益率也是随机变量。为了由市场利率i的数字特征导出持有期收益率的数字特征，我们有必要将（5-32）式中非线性关系转化为线性关系，故设iii0，那么（5-32）式可表达为

rfi

在i=0附近，可将它展开成Taylor级数：

rf0f0i12f0i 2我们取等号的右边的前两项来近似代替，则得

rf0f0i （5-33） 当iii0=0时，ii0，则根据（5-32）式得 f0i0 f01Vi01i01 qVi0Vi01i0 由（5-12）知： DVi0D所以 f01

q于是债券的收益率r就可表达为：

ri01qii0 （5-34）

故期望值和方差分别为：

Eri01DDEii0 （5-35） q 146

D22r1i （5-36） qD如果定义：1i

q那么，随着计划期q取值的不同，则可得债券组合收益率的期望与方差关系如下：

2Eii0i qD0i qD （5-37） Eri0 Eii0i0 qDi在组合投资理论分析中，仅有期望收益率和方差是不够的，还需要导出债券J和债券K

收益率rj和rk之间的协方差jk计算式，应用式（5-34）、（5-35）及（5-36），可分别得：

DjrjErj1qjDk rkErk1qk于是

jk=

iEi iEi ErjErjrkErk DjDk21 =1i （5-38） qqjk式中Dj和Dk分别是债券J和债券K的期度； qj和qk是投资者分别它们的计划投资期。

由式（5-34）和（5-38），就可按组合投资理论建立一系列模型，选择有效的债券组合或债券和股票组合。

如果qj=qk=q，则（5-38）式变为

DjDk jk=1q1q令

1则（5-39）式变为

2i （5-39）  Djkq=1DjDk1qqDjk2 jk=1qi （5-40）

不过这里的Djk已不具有期度的含义了。

147