妙用图形变换巧求面积

妙用图形变换 巧求面积

武鸣县民族中学 韦秋华

进入中考第一轮复习后，学生在复习过程中经常遇到求面积的问题。由于求面积问题考察形式多样，所求面积的图形往往不是规则图形，条件又相对比较隐蔽，因此这类题成为不少学生学习过程中的一个拦路虎。但新课标明确提出：图形面积的计算是数学计算中的一个重要部分，它在注重培养学生的计算能力的同时还可以将各章节知识融于其中，所以有利于提高学生分析问题、解决问题的能力。因此要求学生熟悉初中阶段所学的知识，夯实基础，这样才能根据图形的特点，妙用图形变换，“巧”求面积。而初中阶段接触到的图形变换包括平移、旋转和翻折等。因此，如果能够灵活运用这些图形变换，不仅可以有效的解决面积问题，还能很好的完成新课标的要求。下面将本人在教学中的一些感悟列举如下：

一、利用平移变换，将不规则图形平移成一个规则的图形

比如，在九年级同步学习中有这样的一道题，这道题也曾经在中考时考查过。

例1：如图，在高为2，底角为30°的楼梯上铺地毯，且每一级台阶宽度为2，求地毯的面积

30°

如果按照常规的方法，那么这道题是很难解决的。但是如果我们仔细观察，会发现将每一级台阶的高沿竖直方向平移正好是楼梯的铅直高度，而台阶的长度向水平方向平移则刚好是楼梯水平宽度。所以地毯的长度就是（2+2×tan60°）=2+23.因此地毯的面积就是2×（2+23）=4+43。从而通过平移

1

就轻松解决了这道题。

在学习反比例函数的时候，在同步学习中有下面的一道题。

例2、如图在反比例函数y=(x﹥0)的图象上，有点P1、P2、 P3 、P4，它们的横坐标依次为1，2，3，4.过这些点分别作x轴和y轴的垂线，则图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1、 S2 、S3、S4，则S1+ S2 +S3+S4=

在学习反比例函数的时候，学生基本上掌握了求与之相关的面积要用到k这个量。但是学生通过观察，发现要单独求S1、 S2 、S3、S4，已知它们的长都是1，但缺少各个图形的高。如果将S2 、S3、S4向左平移到S1的正下方，可以发现S1+ S2 +S3+S4刚好是一个矩形，而且这个矩形的长和高正好是点P1的横坐标和纵坐标，所以这个矩形的面积就是2，所以S1+ S2 +S3+S4= 2 。 又如在学习实际问题和一元二次方程时，课本当中也有这样的一道题 。 例3：如图，要设计一幅宽20cm、长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2.如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度？

2x 学生在做这道题的时候，感觉比较困难。但是如果把横彩条向下平移，而将竖彩条向右平移，则空白部分就变成一个矩形。所以可设横、竖彩条的宽度分

2

别为3x、2x，则可得如下的方程：

（30﹣4x）（20-6x）=×30×20 于是，彩条的宽度就可求了。

所以解决这类不规则图形时，合理的使用平移，往往能使图形转化为规则图形，从而特殊就转化为一般，从而达到解决问题的目的。课本中有不少这样的题目，比如，九年级上册第103页的第16题等等。

二、利用旋转变换，将几个图形合并成一个规则的图形，从而求解面积 例1、如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AD、BC于点E、F，那么阴影部分的面积是矩形面积的（ B ）(八下同步第57页) A、 B、 C、

13341413 D、 510A O E

B F

D

C

由于阴影部分由两个部分来组成，它的底和高又不能确定。但是如果把 △BOF按逆时针旋转180°，则△BOF与△DOE完全重合。那么阴影部分的面积就变成△AOD的面积。

∴S阴影=AD×h=AD×CD= AD×CD=S矩形 ∴选B

类似的题目还有不少，比如九上课堂作业第59页就有这样的一道题 例2、如图，两个同心圆中，大圆的半径为2，∠AOB=120°，半径OE平分∠AOB，则图中阴影部分的面积是

1212121414 3

因为阴影部分面积由两个部分来构成，每一部分阴影的条件又不完全，所以不能分开来求。但如果是把小圆部分的阴影按逆时针方向旋转60°，则两个阴影部分的面积就变成了求扇形的面积。

∴S阴影=S扇形=602×22= 3603例3、（九上课堂作业60页）如图，在Rt△ABC中，已知∠BCA=90°，∠BAC=30°.AB=6cm，把△ABC以点B为中心逆时针旋转，使点C旋转到AB边的延长线的点C′处，那么AC边扫过的图形（图中阴影部分）的面积是 。 由于阴影部分是不规则图形，所以可以将通过△A′BC′按逆时针旋转到 △ABC的位置，则阴影部分面积就是两个扇形的面积之差。 ∴S阴影=S扇形A′BA-S小扇形

1202(AB2-BC) 3601=(6232) 3==9

三、利用翻折求图形的面积，关键是要找出翻折前后对应的线

例：如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积是

A D

B C

若根据条件分别求各个阴影部分的面积是不可行的。但是通过观察，如果将正方形ABCD沿对角线AC翻折，就得到三个阴影图形正好组合成一个整体（△ADC或△ABC） ∴S阴影= S△ABC=×AB×BC=×4×4=8

例、(八下课本第110页)如图，四边形ABCD是矩形，AB=4，CD=3，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE。四边形是什么图形？为什么？它的面积是多少？

根据题目条件，可知AD=EC=BC=3,AB=AE=CD, 又∵DE=DE，

1212

∴△ADE≌△CED 同理，△ADC≌△CEA ∴∠EDC=∠DEA,∠EAC=∠DCA 又∵∠1=∠2

∴∠EDC=∠DEA=∠EAC=∠DCA ∴DE∥AC 又∵DE≠AC ∴四边形是等腰梯形

过点D分别作AC的垂线，垂足为F ∵AC×DF=AE×EC

∴3242 ×EG=3×4 ∴DF=

12 51212 ∴ AF=AD2DF2=32()2= ∴DE=5-2×= ∴S梯形=（DE+AC）×DF=(+5) ×四、割补法

例、（八下课本，第71页）如图， Rt△ABC的面积为20cm2.在AB的同侧，分别以AB,BC,AC为直径作三个半圆，求阴影部分的面积。

因为阴影部分是由两个部分来组成，而且 用平移法和旋转法都没有办法解决，这个时 候可以通过割补来完成。整个图形的面积是

由两个分别以AC和BC为半径的半圆和一个直角三角形来组成，还可以认为是以AB为直径的半圆和阴影部分来组成。

∴S阴影+ S3 = S1+ S2 +S△ABC

∴S阴影=×（)2+×（)2+20-×（)2 =（a2+ b2- c2）+20

12595957512127512 5a2b2c214

=20

这样的题目在我们的学习过程中还有很多。总之，对于具体的题目，应该根据其图形的特点，选择正确的方法，巧妙利用图形变换，才能使得问题易于求解。当然“工欲善其事，必先利其器”，只有很好的掌握了所学的知识，解起题来才能得心应手。 参考文献：1、初中数学教与学，2009.4，第11页 2、初中数学教与学，2009.6，第16页 3、八年级数学课本下册第110页