2022年贵州省黔东南州中考数学试卷
一、选择题：（每个小题4分，10个小题共40分）
1．（4分）（2022•黔东南州）下列说法中，正确的是（ ） A．2与﹣2互为倒数 C．0的相反数是0
B．2与互为相反数 D．2的绝对值是﹣2
2．（4分）（2022•黔东南州）下列运算正确的是（ ） A．a6÷a2＝a3
C．﹣2（a+b）＝﹣2a+b
B．a2+a3＝a5 D．（﹣2a2）2＝4a4
3．（4分）（2022•黔东南州）一个物体的三视图如图所示，则该物体的形状是（ ）
A．圆锥
B．圆柱
C．四棱柱
D．四棱锥
4．（4分）（2022•黔东南州）一块直角三角板按如图所示方式放置在一张长方形纸条上，若∠1＝28°，则∠2的度数为（ ）
A．28°
B．56°
C．36°
D．62°
5．（4分）（2022•黔东南州）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0的两根分别记为x1，x2，若x1＝﹣1，则a﹣x12﹣x22的值为（ ） A．7
B．﹣7
C．6
D．﹣6
6．（4分）（2022•黔东南州）如图，已知正六边形ABCDEF内接于半径为r的⊙O，随机地往⊙O内投一粒米，落在正六边形内的概率为（ ）
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A．C．
B．
D．以上答案都不对
7．（4分）（2022•黔东南州）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝﹣在同一坐标系内的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
8．（4分）（2022•黔东南州）如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，连接PO并延长与⊙O交于点C、D，若CD＝12，PA＝8，则sin∠ADB的值为（ ）
第2页（共35页）
A． B． C． D．
9．（4分）（2022•黔东南州）如图，在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形ABED，过点D作DF⊥BC，垂足为F，则DF的长为（ ）
A．2
+2
B．5﹣
C．3﹣
D．
+1
10．（4分）（2022•黔东南州）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：|x+1|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数﹣1的点的距离，|x﹣2|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离．当|x+1|+|x﹣2|取得最小值时，x的取值范围是（ ） A．x≤﹣1
B．x≤﹣1或x≥2
C．﹣1≤x≤2
D．x≥2
二、填空题（每个小题3分，10个小题共30分）
11．（3分）（2022•黔东南州）有一种新冠病毒直径为0.000000012米，数0.000000012用科学记数法表示为 ．
12．（3分）（2022•黔东南州）分解因式：2022x2﹣4044x+2022＝ ．
13．（3分）（2022•黔东南州）某中学在一次田径运动会上，参加女子跳高的7名运动员的成绩如下（单位：m）：1.20，1.25，1.10，1.15，1.35，1.30，1.30．这组数据的中位数是 ． 14．（3分）（2022•黔东南州）若（2x+y﹣5）2+
＝0，则x﹣y的值是 ．
15．（3分）（2022•黔东南州）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．若AC＝10，则四边形OCED的周长是 ．
16．（3分）（2022•黔东南州）如图，在△ABC中，∠A＝80°，半径为3cm的⊙O是△ABC的内切圆，连接OB、OC，则图中阴影部分的面积是 cm2．（结果用含π的式子表示）
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17．（3分）（2022•黔东南州）如图，校园内有一株枯死的大树AB，距树12米处有一栋教学楼CD，为了安全，学校决定砍伐该树，站在楼顶D处，测得点B的仰角为45°，点A的俯角为30°．小青计算后得到如下结论：①AB≈18.8米；②CD≈8.4米；③若直接从点A处砍伐，树干倒向教学楼CD方向会对教学楼有影响；④若第一次在距点A的8米处的树干上砍伐，不会对教学楼CD造成危害．其中正确的是 ．（填写序号，参考数值：
≈1.7，
≈1.4）
18．（3分）（2022•黔东南州）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+2x﹣1先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是 ．
19．（3分）（2022•黔东南州）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的斜边BC⊥x轴于点B，直角顶点A在y轴上，双曲线y＝（k≠0）经过AC边的中点D，若BC＝2
，则k＝ ．
20．（3分）（2022•黔东南州）如图，折叠边长为4cm的正方形纸片ABCD，折痕是DM，点C落在点E处，分别延长ME、DE交AB于点F、G，若点M是BC边的中点，则FG＝ cm．
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三、解答题（6个小题，共80分）
21．（14分）（2022•黔东南州）（1）计算：（﹣1）3+
﹣
+|2﹣|+（
﹣1.57）0﹣
；
（2）先化简，再求值：÷﹣（+1），其中x＝cos60°．
22．（14分）（2022•黔东南州）某县教育局印发了上级主管部门的“法治和安全等知识”学习材料，某中学经过一段时间的学习，同学们都表示有了提高，为了解具体情况，综治办开展了一次全校性竞赛活动，王老师抽取了这次竞赛中部分同学的成绩，并绘制了下面不完整的统计图、表． 参赛成绩 60≤x＜
70
人数 级别
8 及格
70≤x＜80 m 中等
80≤x＜90 n 良好
90≤x≤100 32 优秀
请根据所给的信息解答下列问题：
（1）王老师抽取了 名学生的参赛成绩；抽取的学生的平均成绩是 分； （2）将条形统计图补充完整；
（3）若该校有1600名学生，请估计竞赛成绩在良好以上（x≥80）的学生有多少人？ （4）在本次竞赛中，综治办发现七（1）班、八（4）班的成绩不理想，学校要求这两个班加强学习一段时间后，再由电脑随机从A、B、C、D四套试卷中给每班派发一套试卷进行测试，请用列表或画树状图的方法求出两个班同时选中同一套试卷的概率．
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23．（14分）（2022•黔东南州）（1）请在图1中作出△ABC的外接圆⊙O（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）如图2，⊙O是△ABC的外接圆，AE是⊙O的直径，点B是切线与AC的延长线交于点D． ①求证：BD⊥AD；
②若AC＝6，tan∠ABC＝，求⊙O的半径．
的中点，过点B的
24．（12分）（2022•黔东南州）某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且A型机器人每天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同．
（1）求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？
（2）每台A型机器人售价1.2万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元．
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请根据以上要求，完成如下问题：
①设购买A型机器人m台，购买总金额为w万元，请写出w与m的函数关系式； ②请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？
25．（12分）（2022•黔东南州）阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题：
如图1，△ABC和△BDE都是等边三角形，点A在DE上． 求证：以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形．
【探究发现】（1）小明通过探究发现：连接DC，根据已知条件，可以证明DC＝AE，∠ADC＝120°，从而得出△ADC为钝角三角形，故以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形．
请你根据小明的思路，写出完整的证明过程．
【拓展迁移】（2）如图2，四边形ABCD和四边形BGFE都是正方形，点A在EG上． ①试猜想：以AE、AG、AC为边的三角形的形状，并说明理由． ②若AE2+AG2＝10，试求出正方形ABCD的面积．
26．（14分）（2022•黔东南州）如图，抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B（3，0），与y轴交于点C，连接AC． （1）求此抛物线的解析式；
（2）已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DM⊥x轴，垂足为点M，DM交直线BC于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
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2022年贵州省黔东南州中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（每个小题4分，10个小题共40分）
1．（4分）（2022•黔东南州）下列说法中，正确的是（ ） A．2与﹣2互为倒数 C．0的相反数是0
B．2与互为相反数 D．2的绝对值是﹣2
【分析】根据倒数的定义判断A选项；根据相反数的定义判断B选项；根据0的相反数是0判断C选项；根据正数的绝对值等于它本身判断D选项． 【解答】解：A选项，2与﹣2互为相反数，故该选项不符合题意； B选项，2与互为倒数，故该选项不符合题意； C选项，0的相反数是0，故该选项符合题意； D选项，2的绝对值是2，故该选项不符合题意； 故选：C．
【点评】本题考查了倒数，相反数，绝对值，掌握乘积为1的两个数互为倒数，只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．
2．（4分）（2022•黔东南州）下列运算正确的是（ ） A．a6÷a2＝a3
C．﹣2（a+b）＝﹣2a+b
B．a2+a3＝a5 D．（﹣2a2）2＝4a4
【分析】A、根据同底数幂的除法公式计算，即可判断；B、非同类项，不能合并；C、根据去括号法则计算，即可判断；D、根据积的乘方进行计算，即可判断． 【解答】解：A、a6÷a2＝a4，故A选项不符合题意； B、a2+a3≠a5，故B选项不符合题意；
C、﹣2（a+b）＝﹣2a﹣2b，故C选项不符合题意； D、（﹣2a2）2＝4a4，故D选项符合题意； 故选：D．
【点评】本题主要考查整式化简，掌握相关运算法则是解题关键．
3．（4分）（2022•黔东南州）一个物体的三视图如图所示，则该物体的形状是（ ）
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A．圆锥
B．圆柱
C．四棱柱
D．四棱锥
【分析】根据三视图的定义解答即可．
【解答】解：根据主视图和左视图都是长方形，判定该几何体是个柱体， ∵俯视图是个圆， ∴判定该几何体是个圆柱． 故选：B．
【点评】本题主要考查了三视图，熟练掌握三视图的定义是解答本题的关键．
4．（4分）（2022•黔东南州）一块直角三角板按如图所示方式放置在一张长方形纸条上，若∠1＝28°，则∠2的度数为（ ）
A．28°
B．56°
C．36°
D．62°
【分析】过直角的顶点E作MN∥AB，利用平行线的性质解答即可． 【解答】解：如下图所示，
过直角的顶点E作MN∥AB，交AD于点M，交BC于点N，
则∠2＝∠3．
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∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∵AB∥MN， ∴MN∥CD， ∴∠4＝∠1＝28°， ∵∠3+∠4＝90°， ∴∠3＝90°﹣∠4＝62°． ∴∠2＝∠3＝62°． 故选：D．
【点评】本题主要考查平行线的性质：两直线平行，内错角相等，过直角的顶点E作MN∥AB是解题的关键．
5．（4分）（2022•黔东南州）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0的两根分别记为x1，x2，若x1＝﹣1，则a﹣x12﹣x22的值为（ ） A．7
B．﹣7
C．6
D．﹣6
【分析】根据根与系数的关系求出x2，a的值，代入代数式求值即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0的两根分别记为x1，x2， ∴x1+x2＝2，x1•x2＝﹣a， ∵x1＝﹣1，
∴x2＝3，x1•x2＝﹣3＝﹣a， ∴a＝3，
∴原式＝3﹣（﹣1）2﹣32 ＝3﹣1﹣9 ＝﹣7． 故选：B．
【点评】本题考查了根与系数的关系，掌握x1+x2＝﹣，x1•x2＝是解题的关键． 6．（4分）（2022•黔东南州）如图，已知正六边形ABCDEF内接于半径为r的⊙O，随机地往⊙O内投一粒米，落在正六边形内的概率为（ ）
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A．C．
B．
D．以上答案都不对
【分析】求出正六边形的面积占圆面积的几分之几即可． 【解答】解：圆的面积为πr2， 正六边形ABCDEF的面积为r×
r×6＝
r2，
所以正六边形的面积占圆面积的故选：A．
＝，
【点评】本题考查几何概率，正多边形与圆，求出正多边形面积占圆面积的几分之几是正确解答的关键．
7．（4分）（2022•黔东南州）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝﹣在同一坐标系内的大致图象为（ ）
A． B．
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C． D．
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与y轴交点位置判断a，b，c的符号，从而可得直线与反比例函数图象的大致图象． 【解答】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0，
∵抛物线对称轴在y轴左侧， ∴b＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方， ∴c＜0，
∴直线y＝ax+b经过第一，二，四象限，反比例函数y＝﹣图象经过一，三象限， 故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握函数图象与系数的关系．
8．（4分）（2022•黔东南州）如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，连接PO并延长与⊙O交于点C、D，若CD＝12，PA＝8，则sin∠ADB的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】连接AO，BO，根据切线长定理，圆周角定理，锐角三角函数解答即可． 【解答】解连接AO，BO，
∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B， ∴∠PAO＝∠PBO＝90°，PA＝PB＝8， ∵DC＝12，
第13页（共35页）
∴AO＝6， ∴OP＝10，
在Rt△PAO和Rt△PBO中，
，
∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL）， ∴∠AOP＝∠BOP， ∴
，
∴∠ADC＝∠BDC， ∵∠AOC＝2∠ADC， ∴∠ADB＝∠AOC， ∴sin∠ADB＝sin∠AOC＝故选：A．
＝．
【点评】本题主要考查了切线长定理，圆周角定理，三角函数，熟练掌握相关性质是解答本题的关键．
9．（4分）（2022•黔东南州）如图，在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形ABED，过点D作DF⊥BC，垂足为F，则DF的长为（ ）
A．2
+2
B．5﹣
C．3﹣
D．
+1
【分析】过点E作EG⊥DF于点G，作EH⊥BC于点H，利用解直角三角形可得EH＝1，BH＝
，再证明△BEH≌△DEG，可得DG＝BH＝
第14页（共35页）
，即可求得答案．
【解答】解：如图，过点E作EG⊥DF于点G，作EH⊥BC于点H， 则∠BHE＝∠DGE＝90°，
∵△ABC是边长为2的等边三角形， ∴AB＝2，∠ABC＝60°， ∵四边形ABED是正方形，
∴BE＝DE＝2，∠ABE＝∠BED＝90°，
∴∠EBH＝180°﹣∠ABC﹣∠ABE＝180°﹣60°﹣90°＝30°，
∴EH＝BE•sin∠EBH＝2•sin30°＝2×＝1，BH＝BE•cos∠EBH＝2cos30°＝∵EG⊥DF，EH⊥BC，DF⊥BC， ∴∠EGF＝∠EHB＝∠DFH＝90°， ∴四边形EGFH是矩形，
∴FG＝EH＝1，∠BEH+∠BEG＝∠GEH＝90°， ∵∠DEG+∠BEG＝90°， ∴∠BEH＝∠DEG， 在△BEH和△DEG中，
，
∴△BEH≌△DEG（AAS）， ∴DG＝BH＝
，
+1，
，
∴DF＝DG+FG＝故选：D．
【点评】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形，题目的综合性很好，难度不大．
10．（4分）（2022•黔东南州）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：|x+1|
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的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数﹣1的点的距离，|x﹣2|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离．当|x+1|+|x﹣2|取得最小值时，x的取值范围是（ ） A．x≤﹣1
B．x≤﹣1或x≥2
C．﹣1≤x≤2
D．x≥2
【分析】以﹣1和2为界点，将数轴分成三部分，对x的值进行分类讨论，然后根据绝对值的意义去绝对值符号，分别求出代数式的值进行比较即可． 【解答】解：当x＜﹣1时，x+1＜0，x﹣2＜0， |x+1|+|x﹣2|
＝﹣（x+1）﹣（x﹣2） ＝﹣x﹣1﹣x+2 ＝﹣2x+1＞3；
当x＞2时，x+1＞0，x﹣2＞0， |x+1|+|x﹣2|
＝（x+1）+（x﹣2） ＝x+1+x﹣2 ＝2x﹣1＞3；
当﹣1≤x≤2时，x+1≥0，x﹣2≤0， |x+1|+|x﹣2|
＝（x+1）﹣（x﹣2） ＝x+1﹣x+2＝3；
综上所述，当﹣1≤x≤2时，|x+1|+|x﹣2|取得最小值， 所以当|x+1|+|x﹣2|取得最小值时，x的取值范围是﹣1≤x≤2． 故选C．
【点评】本题结合数轴考查了绝对值的意义以及绝对值的性质，解题的关键是以﹣1和2为界点对x的值进行分类讨论，进而得出代数式的值． 二、填空题（每个小题3分，10个小题共30分）
11．（3分）（2022•黔东南州）有一种新冠病毒直径为0.000000012米，数0.000000012用科学记数法表示为 1.2×108 ．
﹣
【分析】应用学计数法﹣表示较小的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为由
﹣
原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．即可得出答案．
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【解答】解：0.000000012＝1.2×108．
﹣
故答案为：1.2×108．
﹣
【点评】本题主要考查了科学记数法﹣表示较小的数，熟练掌握学计数法﹣表示较小的数的方法进行求解是解决本题的关键．
12．（3分）（2022•黔东南州）分解因式：2022x2﹣4044x+2022＝ 2022（x﹣1）2 ． 【分析】原式提取公因式2022，再利用完全平方公式分解即可． 【解答】解：原式＝2022（x2﹣2x+1） ＝2022（x﹣1）2． 故答案为：2022（x﹣1）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合应用，熟练掌握分解因式的方法是解本题的关键．
13．（3分）（2022•黔东南州）某中学在一次田径运动会上，参加女子跳高的7名运动员的成绩如下（单位：m）：1.20，1.25，1.10，1.15，1.35，1.30，1.30．这组数据的中位数是 1.25 ．
【分析】根据中位数的定义进行求解即可得出答案．
【解答】解：把这组数据从小到大排列：1.10，1.15，1.20，1.25，1.30，1.30，1.35． 所以这组数据的中位数为：1.25． 故答案为：1.25．
【点评】本题主要考查了中位数，熟练掌握中位数的定义进行求解是解决本题的关键． 14．（3分）（2022•黔东南州）若（2x+y﹣5）2+【分析】根据非负数的性质可得【解答】解：根据题意可得，
，
由①﹣②得， x﹣y＝9． 故答案为：9．
【点评】本题主要考查了非负数的性质及解二元一次方程组，熟练掌握非负数的性质及解二元一次方程组的方法进行求解是解决本题的关键．
15．（3分）（2022•黔东南州）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，
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＝0，则x﹣y的值是 9 ．
，应用整体思想①﹣②即可得出答案．
CE∥BD．若AC＝10，则四边形OCED的周长是 20 ．
【分析】先证四边形OCED是平行四边形，得OC＝DE，OD＝CE，再由矩形的性质得OC＝OD＝5，则OC＝OD＝CE＝DE，得平行四边形OCED是菱形，即可得出结论． 【解答】解：∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED是平行四边形， ∴OC＝DE，OD＝CE，
∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， ∴OC＝AC＝5，OD＝BD，BD＝AC， ∴OC＝OD＝5， ∴OC＝OD＝CE＝DE， ∴平行四边形OCED是菱形，
∴菱形OCED的周长＝4OC＝4×5＝20， 故答案为：20．
【点评】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质得知识，熟练掌握矩形的性质和菱形的判定与性质是解题的关键．
16．（3分）（2022•黔东南州）如图，在△ABC中，∠A＝80°，半径为3cm的⊙O是△ABC的内切圆，连接OB、OC，则图中阴影部分的面积是 子表示）
cm2．（结果用含π的式
【分析】根据角A的度数和内切圆的性质，得出圆心角DOE的度数即可得出阴影部分的面积．
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【解答】解：∵∠A＝80°，⊙O是△ABC的内切圆， ∴∠DOE＝180°﹣（∴S扇形DOE＝故答案为：
．
＝
）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝130°， （cm2），
【点评】本题主要考查三角形内切圆的知识，熟练掌握三角形内切圆的性质及扇形面积的计算是解题的关键．
17．（3分）（2022•黔东南州）如图，校园内有一株枯死的大树AB，距树12米处有一栋教学楼CD，为了安全，学校决定砍伐该树，站在楼顶D处，测得点B的仰角为45°，点A的俯角为30°．小青计算后得到如下结论：①AB≈18.8米；②CD≈8.4米；③若直接从点A处砍伐，树干倒向教学楼CD方向会对教学楼有影响；④若第一次在距点A的8米处的树干上砍伐，不会对教学楼CD造成危害．其中正确的是 ①③④ ．（填写序号，参考数值：
≈1.7，
≈1.4）
【分析】过点D作DE⊥AB，垂足为E，则AE＝DC，DE＝AC＝12米，在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出AE，DE的长，从而求出CD的长，即可判断②； 再在Rt△BED中，利用锐角三角函数的定义求出BE的长，从而求出AB的长，即可判断①；通过比较AB与AD的长，即可判断③，计算出AB﹣8的值，再和AD的长比较，即可判断④．
【解答】解：过点D作DE⊥AB，垂足为E，
则AE＝DC，DE＝AC＝12米， 在Rt△ADE中，∠ADE＝30°， ∴AE＝DE•tan30°＝12×AD＝2AE＝8
（米），
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＝4（米），
∴CD＝AE＝4故②不正确；
≈6.8（米），
在Rt△BED中，BE＝DE•tan45°＝12（米）， ∴AB＝AE+BE＝12+4故①正确； ∵AD＝8
≈13.6（米），
≈18.8（米），
∴AB＞AD，
∴若直接从点A处砍伐，树干倒向教学楼CD方向会对教学楼有影响， 故③正确；
∵AB﹣8＝18.8﹣8＝10.8（米）， ∴10.8米＜13.6米，
若第一次在距点A的8米处的树干上砍伐，不会对教学楼CD造成危害， 故④正确；
∴小青计算后得到如上结论，其中正确的是：①③④， 故答案为：①③④．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
18．（3分）（2022•黔东南州）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+2x﹣1先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是 （1，3） ．
【分析】先求出绕原点旋转180°的抛物线解析式，再求出向下平移5个单位长度的解析式，配成顶点式即可得答案．
【解答】解：将抛物线y＝x2+2x﹣1绕原点旋转180°后所得抛物线为：﹣y＝（﹣x）2+2（﹣x）﹣1，即y＝﹣x2+2x+1，
再将抛物线y＝﹣x2+2x+1向下平移5个单位得y＝﹣x2+2x+1﹣5＝﹣x2+2x﹣4＝﹣（x﹣1）
2
﹣3，
第20页（共35页）
∴所得到的抛物线的顶点坐标是（1，﹣3）， 故答案为：（1，3）．
【点评】本题考查二次函数图象与几何变换，熟知二次函数的图象旋转及平移的法则是解答此题的关键．
19．（3分）（2022•黔东南州）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的斜边BC⊥x轴于点B，直角顶点A在y轴上，双曲线y＝（k≠0）经过AC边的中点D，若BC＝2
，则k＝ ﹣ ．
【分析】如图，过点A作AE⊥BC于E，根据直角三角形斜边中线的性质可得AE＝得点A和C的坐标，根据中点坐标公式可得点D的坐标，从而得结论． 【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于E，
，
∵等腰直角三角形ABC的斜边BC⊥x轴于点B， ∴CE＝BE， ∴AE＝BC＝∴A（0，
，
，2
），
），C（﹣
∵D是AC的中点， ∴D（﹣∴k＝﹣
，×
）， ＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形
第21页（共35页）
的性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
20．（3分）（2022•黔东南州）如图，折叠边长为4cm的正方形纸片ABCD，折痕是DM，点C落在点E处，分别延长ME、DE交AB于点F、G，若点M是BC边的中点，则FG＝
cm．
【分析】如图，连接DF，可证得Rt△DAF≌Rt△DEF（HL），则AF＝EF，设AF＝xcm，则EF＝xcm，利用勾股定理求得x＝，再由△FGE∽△FMB，即可求得答案． 【解答】解：如图，连接DF， ∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝AB＝BC＝4cm，∠A＝∠B＝∠C＝90°， ∵点M是BC边的中点， ∴CM＝BM＝BC＝2cm，
由折叠得：DE＝CD＝4cm，EM＝CM＝2cm，∠DEM＝∠C＝90°， ∴∠DEF＝180°﹣90°＝90°，AD＝DE， ∴∠A＝∠DEF，
在Rt△DAF和Rt△DEF中，
，
∴Rt△DAF≌Rt△DEF（HL）， ∴AF＝EF，
设AF＝xcm，则EF＝xcm，
∴BF＝（4﹣x）cm，FM＝（x+2）cm， 在Rt△BFM中，BF2+BM2＝FM2， ∴（4﹣x）2+22＝（x+2）2，
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解得：x＝，
∴AF＝EF＝cm，BF＝4﹣＝cm，FM＝+2＝∵∠FEG＝∠DEM＝90°， ∴∠FEG＝∠B＝90°， ∵∠EFG＝∠BFM， ∴△FGE∽△FMB，
cm，
∴＝，即＝，
∴FG＝cm， 故答案为：．
【点评】此题考查了折叠的性质、正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质．此题有一定难度，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 三、解答题（6个小题，共80分）
21．（14分）（2022•黔东南州）（1）计算：（﹣1）3+
﹣
+|2﹣|+（
﹣1.57）0﹣
；
（2）先化简，再求值：÷﹣（+1），其中x＝cos60°．
【分析】（1）应用负整数指数幂，立方根，绝对值，零指数幂，最简二次根式的性质进行计算即可得出答案；
（2）应用分式化简求值的方法化为最简，再应用特殊角三角函数值求出cos60°的值代入计算即可得出答案． 【解答】解：（1）原式＝＝﹣1+2+＝﹣1
+2+（﹣2）+1﹣2
﹣2﹣2；
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（2）原式＝＝＝
，
把x＝cos60°＝代入上式， 原式＝
＝﹣2．
【点评】本题主要考查了特殊角三角函数值，负整数指数幂，绝对值，分式的化简求值，熟练掌握特殊角三角函数值，负整数指数幂，绝对值，分式的化简求值的方法进行求解是解决本题的关键．
22．（14分）（2022•黔东南州）某县教育局印发了上级主管部门的“法治和安全等知识”学习材料，某中学经过一段时间的学习，同学们都表示有了提高，为了解具体情况，综治办开展了一次全校性竞赛活动，王老师抽取了这次竞赛中部分同学的成绩，并绘制了下面不完整的统计图、表． 参赛成绩 60≤x＜
70
人数 级别
8 及格
70≤x＜80 m 中等
80≤x＜90 n 良好
90≤x≤100 32 优秀
请根据所给的信息解答下列问题：
（1）王老师抽取了 80 名学生的参赛成绩；抽取的学生的平均成绩是 85.5 分； （2）将条形统计图补充完整；
（3）若该校有1600名学生，请估计竞赛成绩在良好以上（x≥80）的学生有多少人？ （4）在本次竞赛中，综治办发现七（1）班、八（4）班的成绩不理想，学校要求这两个班加强学习一段时间后，再由电脑随机从A、B、C、D四套试卷中给每班派发一套试卷进行测试，请用列表或画树状图的方法求出两个班同时选中同一套试卷的概率．
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【分析】（1）由成绩优秀的学生人数除以所占百分比得出王老师抽取的学生人数，即可解决问题；
（2）由（1）的结果将条形统计图补充完整即可；
（3）由该校有学生人数乘以竞赛成绩在良好以上（x≥80）的学生所占的百分比即可； （4）画树状图，共有16种等可能的结果，其中两个班同时选中同一套试卷的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）王老师抽取的学生人数为：32÷40%＝80（名），
∴中等成绩的学生人数为：80×15%＝12（人），良好成绩的学生人数为：80×35%＝28（人），
∴抽取的学生的平均成绩＝故答案为：80，85.5；
（2）将条形统计图补充完整如下：
＝85.5（分），
（3）1600×（35%+40%）＝1200（人），
答：估计竞赛成绩在良好以上（x≥80）的学生有1200人； （4）画树状图如下：
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共有16种等可能的结果，其中两个班同时选中同一套试卷的结果有4种， ∴两个班同时选中同一套试卷的概率为
＝．
【点评】此题考查的是树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．也考查了条形统计图和扇形统计图．
23．（14分）（2022•黔东南州）（1）请在图1中作出△ABC的外接圆⊙O（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）如图2，⊙O是△ABC的外接圆，AE是⊙O的直径，点B是切线与AC的延长线交于点D． ①求证：BD⊥AD；
②若AC＝6，tan∠ABC＝，求⊙O的半径．
的中点，过点B的
【分析】（1）利用尺规作图分别作出AB、AC的垂直平分线交于点O，以O为圆心、OA为半径作圆即可；
（2）①连接OB，根据切线的性质得到OB⊥CD，证明OB∥AD，根据平行线的性质证明结论；
②连接EC，根据圆周角定理得到∠AEC＝∠ABC，根据正切的定义求出EC，根据勾股定理求出AE，得到答案．
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【解答】（1）解：如图1，⊙O即为△ABC的外接圆； （2）①证明：如图2，连接OB， ∵BD是⊙O的切线， ∴OB⊥CD， ∵点B是∴
＝
的中点， ，
∴∠CAB＝∠EAB， ∵OA＝OB， ∴∠OBA＝∠EAB， ∴∠CAB＝∠OBA， ∴OB∥AD， ∴BD⊥AD；
②解：如图2，连接EC，
由圆周角定理得：∠AEC＝∠ABC， ∵tan∠ABC＝， ∴tan∠AEC＝， ∵AE是⊙O的直径， ∴∠ACE＝90°， ∴
＝，
∵AC＝6， ∴EC＝8， ∴AE＝
＝10，
∴⊙O的半径为5．
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【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、解直角三角形，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
24．（12分）（2022•黔东南州）某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且A型机器人每天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同．
（1）求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？
（2）每台A型机器人售价1.2万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元．
请根据以上要求，完成如下问题：
①设购买A型机器人m台，购买总金额为w万元，请写出w与m的函数关系式； ②请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？
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【分析】（1）设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物（x+10）吨，根据题意列出分式方程，解方程检验后即可得出答案； （2）①根据题意列出一次函数解析式即可；
②先根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组求出m的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求出答案．
【解答】解：（1）设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物（x+10）吨， 由题意得：解得：x＝90，
当x＝90时，x（x+10）≠0， ∴x＝10是分式方程的根， ∴x+10＝90+10＝100（吨），
答：每台A型机器人每天搬运货物90吨，则每台B型机器人每天搬运货物100吨； （2）①由题意得：w＝1.2m+2（30﹣m）＝﹣0.8m+60； ②由题意得：解得：15≤m≤17， ∵﹣0.8＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝17时，w最小，此时w＝﹣0.8×17+60＝46.4，
∴购买A型机器人17台，B型机器人13台时，购买总金额最低是46.4万元． 【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意找出题目中的相等关系，不等关系列出分式方程，一元一次不等式组及列出一次函数关系式是解决问题的关键．
25．（12分）（2022•黔东南州）阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题：
如图1，△ABC和△BDE都是等边三角形，点A在DE上． 求证：以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形．
【探究发现】（1）小明通过探究发现：连接DC，根据已知条件，可以证明DC＝AE，∠ADC＝120°，从而得出△ADC为钝角三角形，故以AE、AD、AC为边的三角形是钝角
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，
，
三角形．
请你根据小明的思路，写出完整的证明过程．
【拓展迁移】（2）如图2，四边形ABCD和四边形BGFE都是正方形，点A在EG上． ①试猜想：以AE、AG、AC为边的三角形的形状，并说明理由． ②若AE2+AG2＝10，试求出正方形ABCD的面积．
【分析】（1）连接DC，证△CBD≌△ABE（SAS），得CD＝AE，∠BDC＝∠E＝60°，则∠ADC＝∠BDE+∠BDC＝120°，即可得出结论；
（2）①连接CG，证△CBG≌△ABE（SAS），得CG＝AE，∠CGB＝∠AEB＝45°，再证∠AGC＝90°，得△ACG是直角三角形，即可得出结论；
②由勾股定理得CG2+AG2＝AC2，则AE2+AG2＝AC2＝10，再由正方形的性质和勾股定理得AB2＝5，即可得出结论．
【解答】（1）证明：如图1，连接DC， ∵△ABC和△BDE都是等边三角形，
∴AB＝BC，BE＝BC，∠ABC＝∠DBE＝∠E＝∠BDE＝60°， ∴∠ABC﹣∠ABD＝∠DBE﹣∠ABD， 即∠CBD＝∠ABE， ∴△CBD≌△ABE（SAS）， ∴CD＝AE，∠BDC＝∠E＝60°， ∴∠ADC＝∠BDE+∠BDC＝120°， ∴△ADC为钝角三角形，
∴以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形．
（2）解：①以AE、AG、AC为边的三角形是直角三角形，理由如下：
第30页（共35页）
如图2，连接CG，
∵四边形ABCD和四边形BGFE都是正方形，
∴AB＝CB，BE＝BG，∠ABC＝∠BCD＝∠EBG＝∠BGF＝90°，∠EGB＝∠GEB＝45°， ∴∠ABC﹣∠ABG＝∠EBG﹣∠ABG， 即∠CBG＝∠ABE， ∴△CBG≌△ABE（SAS），
∴CG＝AE，∠CGB＝∠AEB＝45°，
∴∠AGC＝∠EGB+∠CGB＝45°+45°＝90°， ∴△ACG是直角三角形，
即以AE、AG、AC为边的三角形是直角三角形； ②由①可知，CG＝AE，∠AGC＝90°， ∴CG2+AG2＝AC2， ∴AE2+AG2＝AC2， ∵AE2+AG2＝10， ∴AC2＝10，
∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝90°， ∴AB2+BC2＝AC2＝10， ∴AB2＝5，
∴S正方形ABCD＝AB2＝5．
第31页（共35页）
【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
26．（14分）（2022•黔东南州）如图，抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B（3，0），与y轴交于点C，连接AC． （1）求此抛物线的解析式；
（2）已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DM⊥x轴，垂足为点M，DM交直线BC于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线经过点B（3，0），可得A（﹣1，0），用待定系数法即可求解；
（2）求出直线BC的解析式，设点D坐标为（t，﹣t2+2t+3），则点N（t，﹣t+3），利用勾股定理表示出AC2，AN2，CN2，然后分①当AC＝AN时，②当AC＝CN时，③当AN＝CN时三种情况进行讨论，列出关于t的方程，求出t的值，即可写出点N的坐标；
第32页（共35页）
（3）分两种情形讨论：①当BC为对角线时，②当BC为边时，先求出点E的坐标，再利用平行四边形的中心对称性求出点F的坐标即可．
【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B（3，0）， ∴A（﹣1，0）， ∴
，解得
，
∴抛物线的解析式y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3， ∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+3， 将点B（3，0）代入得：0＝3k+3， 解得：k＝﹣1，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3；
设点D坐标为（t，﹣t2+2t+3），则点N（t，﹣t+3）， ∵A（﹣1，0），C（0，3）， ∴AC2＝12+32＝10，
AN2＝（t+1）2+（﹣t+3）2＝2t2﹣4t+10， CN2＝t2+（3+t﹣3）2＝2t2， ①当AC＝AN时，AC2＝AN2， ∴10＝2t2﹣4t+10，
解得t1＝2，t2＝0（不合题意，舍去）， ∴点N的坐标为（2，1）； ②当AC＝CN时，AC2＝CN2， ∴10＝2t2， 解得t1＝
，t2＝﹣
（不合题意，舍去）， ，3﹣
）；
∴点N的坐标为（
③当AN＝CN时，AN2＝CN2， ∴2t2﹣4t+10＝2t2，
第33页（共35页）
解得t＝，
∴点N的坐标为（，）；
综上，存在，点N的坐标为（2，1）或（
（3）设E（1，a），F（m，n）， ∵B（3，0），C（0，3）， ∴BC＝3
，
，3﹣
）或（，）；
①以BC为对角线时，BC2＝CE2+BE2，
∴（3
）2＝12+（a﹣3）2+a2+（3﹣1）2，
，或a＝）或（1，
， ），
解得：a＝∴E（1，
∵B（3，0），C（0，3）， ∴m+1＝0+3，n+∴m＝2，n＝
＝0+3或n+或n＝
， ）或（2，
）； ＝0+3，
∴点F的坐标为（2，
②以BC为边时，BE2＝CE2+BC2或CE2＝BE2+BC2，
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∴a2+（3﹣1）2＝12+（a﹣3）2+（3解得：a＝4或a＝﹣2， ∴E（1，4）或（1，﹣2）， ∵B（3，0），C（0，3），
∴m+0＝1+3，n+3＝0+4或m+3＝1+0，n+0＝3﹣2， ∴m＝4，n＝1或m＝﹣2，n＝1， ∴点F的坐标为（4，1）或（﹣2，1）， 综上所述：存在，点F的坐标为（2，1）．
【点评】本题是二次函数综合题，本题考查了待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，二次函数的性质，勾股定理，矩形的判定和性质等，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会分类讨论，属于中考压轴题．
）或（2，
）或（4，1）或（﹣2，
）2或12+（a﹣3）2＝a2+（3﹣1）2+（3
）2，
第35页（共35页）
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