目 录
第一章 集合………………………………………………………………………1
第一节 集合的含义、表示及基本关系……………………………………………………1 第二节 集合的基本运算……………………………………………………………………3
第二章 函数………………………………………………………………………5
第一节 对函数的进一步认识………………………………………………………………5 第二节 函数的单调性………………………………………………………………………9 第三节 函数的性质………………………………………………………………………13
第三章 指数函数和对数函数……………………………………………………16
第一节 指数函数…………………………………………………………………………16 第二节 对数函数…………………………………………………………………………20 第三节 幂函数与二次函数的性质………………………………………………………24 第四节 函数的图象特征…………………………………………………………………28
第四章 函数的应用………………………………………………………………32 第五章 三角函数…………………………………………………………………33
第一节 角的概念的推广及弧度制………………………………………………………33 第二节 正弦函数和余弦函数的定义及诱导公式………………………………………39 第三节 正弦函数与余弦函数的图象及性质……………………………………………42 第四节 函数
f(x)=Asin(wx+j)的图象……………………………………………45
第六章 三角恒等变换……………………………………………………………50
第一节 同角三角函数的基本关系………………………………………………………50 第二节 两角和与差及二倍角的三角函数………………………………………………53
第七章 解三角形…………………………………………………………………56
第一节 正弦定理与余弦定理……………………………………………………………56 第二节 正弦定理、余弦定理的应用……………………………………………………59
第八章 数列………………………………………………………………………60 第九章 平面向量…………………………………………………………………62
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第十章 算法………………………………………………………………………65
第一节 程序框图…………………………………………………………………………65 第二节 程序语句…………………………………………………………………………69
第十一章 概率……………………………………………………………………73
第一节 古典概型…………………………………………………………………………73 第二节 概率的应用………………………………………………………………………75 第三节第十二章 第十三章 第十四章 第一节第二节第三节第四节 第五节 第十五章 第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第十六章 几何概型…………………………………………………………………………79
导数……………………………………………………………………83 不等式…………………………………………………………………85 立体几何………………………………………………………………88
简单几何体………………………………………………………………………88 空间图形的基本关系与公理……………………………………………………92 平行关系…………………………………………………………………………96 垂直关系…………………………………………………………………………100 简单几何体的面积与体积………………………………………………………104
解析几何……………………………………………………………108
直线的倾斜角、斜率与方程……………………………………………………108 点与直线、直线与直线的位置关系……………………………………………111 圆的标准方程与一般方程………………………………………………………114 直线与圆、圆与圆的位置关系…………………………………………………117 空间直角坐标系…………………………………………………………………121
圆锥曲线……………………………………………………………123
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第一章 集合
第一节 集合的含义、表示及基本关系
A组
1．已知A＝{1，2}，B＝{x|xÎA}，则集合A与B的关系为________．
解析：由集合B＝{x|xÎA}知，B＝{1，2}．答案：A＝B
2．若ÆØx|x2Ｎa,a{R}，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意知，x2£a有解，故a³0．答案：a³0 3．已知集合A＝y|y=x2-2x-1,x?R，集合B＝{x|-2＃x的关系是________．
解析：y＝x－2x－1＝(x－1)－2≥－2，∴A＝{y|y≥－2}，∴B
2
2
{}8}，则集合A与B
A．
答案：BA
4．(2009年高考广东卷改编)已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1，0，1}和N＝
{x|x2+x=0}关系的韦恩(Venn)图是________．
解析：由N=x|x+x=0，得N={-1，0}，则N{2}
M．答案：②
5．(2010年苏、锡、常、镇四市调查)已知集合A＝{x|x>5}，集合B＝{x|x>a}，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．
解析：命题“x∈A”是命题“x∈B” 的充分不必要条件，∴AB，∴a<5． 答案：a<5
6．(原创题)已知m∈A，n∈B，且集合A＝{x|x＝2a，a∈Z}，B＝{x|x＝2a＋1，a∈Z}，又C＝{x|x＝4a＋1，a∈Z}，判断m＋n属于哪一个集合？
解：∵m∈A，∴设m＝2a1，a1∈Z，又∵n∈B，∴设n＝2a2＋1，a2∈Z，∴m＋n＝2(a1
＋a2)＋1，而a1＋a2∈Z，∴m＋n∈B．
B组
1．设a，b都是非零实数，y＝＋＋可能取的值组成的集合是________．
|a||b||ab|
解析：分四种情况：(1)a>0且b>0；(2)a>0且b<0；(3)a<0且b>0；(4)a<0且b<0，讨论得y＝3或y＝－1．答案：{3，－1}
2
2．已知集合A＝{－1，3，2m－1}，集合B＝{3，m}．若B⊆A，则实数m＝________．
2222
解析：∵B⊆A，显然m≠－1且m≠3，故m＝2m－1，即(m－1)＝0，∴m＝1． 答案：1
3．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0，2，5}，Q＝{1，2，6}，则P＋Q中元素的个数是________个．
解析：依次分别取a＝0，2，5；b＝1，2，6，并分别求和，注意到集合元素的互异性，∴P＋Q＝{1，2，6，3，4，8，7，11}．答案：8
- 1 -
abab4．已知集合M＝{x|x＝1}，集合N＝{x|ax＝1}，若NM，那么a的值是________．
1
解析：M＝{x|x＝1或x＝－1}，NM，所以N＝∅时，a＝0；当a≠0时，x＝＝1或－
2
a1，∴a＝1或－1．答案：0，1，－1
5．满足{1}A⊆{1，2，3}的集合A的个数是________个．
解析：A中一定有元素1，所以A有{1，2}，{1，3}，{1，2，3}．答案：3
1b1c1
6．已知集合A＝{x|x＝a＋，a∈Z}，B＝{x|x＝－，b∈Z}，C＝{x|x＝＋，c∈Z}，则
62326
A、B、C之间的关系是________．
解析：用列举法寻找规律．答案：AB＝C
7．集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x 解析：结合数轴若A⊆B⇔a≥4，故“A⊆B”是“a>5”的必要但不充分条件．答案：必要不充分条件 n8．(2010年江苏启东模拟)设集合M＝{m|m＝2，n∈N，且m<500}，则M中所有元素的和为________． n解析：∵2<500，∴n＝0，1，2，3，4，5，6，7，8．∴M中所有元素的和S＝1＋2＋28 2＋…＋2＝511．答案：511 9．(2009年高考北京卷)设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A，且k＋1∉A，那么称k是A的一个“孤立元”．给定S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个． 解析：依题可知，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”，这三个元素一定是相连的三个数．故这样的集合共有6个．答案：6 10．已知A＝{x，xy，lg(xy)}，B＝{0，|x|，y}，且A＝B，试求x，y的值． 解：由lg(xy)知，xy>0，故x≠0，xy≠0，于是由A＝B得lg(xy)＝0，xy＝1． 1 ∴A＝{x，1，0}，B＝{0，|x|，}． x1 于是必有|x|＝1，＝x≠1，故x＝－1，从而y＝－1． x11．已知集合A＝{x|x－3x－10≤0}， (1)若B⊆A，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围； (2)若A⊆B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围； (3)若A＝B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围． 2 解：由A＝{x|x－3x－10≤0}，得A＝{x|－2≤x≤5}， (1)∵B⊆A，∴①若B＝∅，则m＋1>2m－1，即m<2，此时满足B⊆A． 2 m＋1≤2m－1， ②若B≠∅，则－2≤m＋1， 2m－1≤5. 解得2≤m≤3． 由①②得，m的取值范围是(－∞，3]． 2m－1>m－6， (2)若A⊆B，则依题意应有m－6≤－2， 2m－1≥5. m>－5， 解得m≤4， m≥3. 故3≤m≤4， ∴m的取值范围是[3，4]． m－6＝－2， (3)若A＝B，则必有解得m∈∅．，即不存在m值使得A＝B． 2m－1＝5，22 12．已知集合A＝{x|x－3x＋2≤0}，B＝{x|x－(a＋1)x＋a≤0}． (1)若A是B的真子集，求a的取值范围； (2)若B是A的子集，求a的取值范围； - 2 - (3)若A＝B，求a的取值范围． 2 解：由x－3x＋2≤0，即(x－1)(x－2)≤0，得1≤x≤2，故A＝{x|1≤x≤2}， 而集合B＝{x|(x－1)(x－a)≤0}， (1)若A是B的真子集，即AB，则此时B＝{x|1≤x ≤ a}，故a>2． (2)若B是A的子集，即B⊆A，由数轴可知1≤a≤2． (3)若A=B，则必有a=2 第二节 集合的基本运算 A组 1．(2009年高考浙江卷改编)设U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩∁UB＝____． 解析：∁UB＝{x|x≤1}，∴A∩∁UB＝{x|0 解析：由题意知，N＝{0，2，4}，故M∩N＝{0，2}．答案：{0，2} 4．(原创题)设A，B是非空集合，定义AⓐB＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，已知A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y≥0}，则AⓐB＝________． 解析：A∪B＝[0，＋∞)，A∩B＝[0，2]，所以AⓐB＝(2，＋∞)． 答案：(2，＋∞) 5．(2009年高考湖南卷)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________． 解析：设两项运动都喜欢的人数为x，画出韦恩图得到方程15-x+x+10-x+8=30x=3，∴喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-3=12(人)．答案：12 6．(2010年浙江嘉兴质检)已知集合A＝{x|x>1}，集合B＝{x|m≤x≤m＋3}． (1)当m＝－1时，求A∩B，A∪B； (2)若B⊆A，求m的取值范围． 解：(1)当m=-1时，B＝{x|－1≤x≤2}，∴A∩B＝{x|1 B组 1．若集合M＝{x∈R|－3 2．已知全集U＝{－1，0，1，2}，集合A＝{－1，2}，B＝{0，2}，则(∁UA)∩B＝________． 解析：∁UA＝{0，1}，故(∁UA)∩B＝{0}．答案：{0} 2 3．(2010年济南市高三模拟)若全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x－3x≤0}，则M∩(∁UN)＝________． 解析：根据已知得M∩(∁UN)＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x<0或x>3}＝{x|－2≤x<0}．答案：{x|－2≤x<0} 4．集合A＝{3，log2a}，B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则A∪B＝________． 解析：由A∩B＝{2}得log2a＝2，∴a＝4，从而b＝2，∴A∪B＝{2，3，4}． - 3 - 答案：{2，3，4} 5．(2009年高考江西卷改编)已知全集U＝A∪B中有m个元素，(∁UA)∪(∁UB)中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为________． 解析：U＝A∪B中有m个元素， ∵(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)中有n个元素，∴A∩B中有m－n个元素．答案：m－n 6．(2009年高考重庆卷)设U＝{n|n是小于9的正整数}，A＝{n∈U|n是奇数}，B＝{n∈U|n是3的倍数}，则∁U(A∪B)＝________． 解析：U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，3，5，7}，B＝{3，6}，∴A∪B＝{1，3，5，6，7}， 得∁U(A∪B)＝{2，4，8}．答案：{2，4，8} 7．定义A⊗B＝{z|z＝xy＋，x∈A，y∈B}．设集合A＝{0，2}，B＝{1，2}，C＝{1}，则集合(A⊗B)⊗C的所有元素之和为________． 解析：由题意可求(A⊗B)中所含的元素有0，4，5，则(A⊗B)⊗C中所含的元素有0，8，10，故所有元素之和为18．答案：18 8．若集合{(x，y)|x＋y－2＝0且x－2y＋4＝0}{(x，y)|y＝3x＋b}，则b＝________． x＋y－2＝0，x＝0， 解析：由⇒点(0，2)在y＝3x＋b上，∴b＝2． x－2y＋4＝0.y＝2. xy 9．设全集I＝{2，3，a＋2a－3}，A＝{2，|a＋1|}，∁IA＝{5}，M＝{x|x＝log2|a|}，则集合M的所有子集是________． 22 解析：∵A∪(∁IA)＝I，∴{2，3，a＋2a－3}＝{2，5，|a＋1|}，∴|a＋1|＝3，且a＋2a－3＝5，解得a＝－4或a＝2，∴M＝{log22，log2|－4|}＝{1，2}． 答案：∅，{1}，{2}，{1，2} 222 10．设集合A＝{x|x－3x＋2＝0}，B＝{x|x＋2(a＋1)x＋(a－5)＝0}． (1)若A∩B＝{2}，求实数a的值； (2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围． 2 解：由x－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，故集合A＝{1，2}． 2 (1)∵A∩B＝{2}，∴2∈B，代入B中的方程，得a＋4a＋3＝0⇒a＝－1或a＝－3；当a＝－1时，B＝{x|x2－4＝0}＝{－2，2}，满足条件；当a＝－3时，B＝{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，满足条件；综上，a的值为－1或－3． 22 (2)对于集合B，Δ＝4(a＋1)－4(a－5)＝8(a＋3)．∵A∪B＝A，∴B⊆A， ①当Δ<0，即a<－3时，B＝∅满足条件；②当Δ＝0，即a＝－3时，B＝{2}满足条件；③当Δ>0，即a>－3时，B＝A＝{1，2}才能满足条件，则由根与系数的关系得 1＋2＝－2(a＋1)21×2＝a－5 2 5a＝－，2⇒a2＝7， 矛盾．综上，a的取值范围是a≤－3． 11．已知函数f(x)＝ 62 －1的定义域为集合A，函数g(x)＝lg(－x＋2x＋m)的定义x＋1 域为集合B． (1)当m＝3时，求A∩(∁RB)； (2)若A∩B＝{x|－1 ∴有－4＋2×4＋m＝0，解得m＝8，此时B＝{x|－2 12．已知集合A＝{x∈R|ax－3x＋2＝0}． (1)若A＝∅，求实数a的取值范围； - 4 - (2)若A是单元素集，求a的值及集合A； (3)求集合M＝{a∈R|A≠∅}． 2 解：(1)A是空集，即方程ax－3x＋2＝0无解． 2 若a＝0，方程有一解x＝，不合题意． 3 92 若a≠0，要方程ax－3x＋2＝0无解，则Δ＝9－8a<0，则a>． 8 9 综上可知，若A＝∅，则a的取值范围应为a>． 8 222 (2)当a＝0时，方程ax－3x＋2＝0只有一根x＝，A＝{}符合题意． 33 9 当a≠0时，则Δ＝9－8a＝0，即a＝时， 8 44 方程有两个相等的实数根x＝，则A＝{}． 33294 综上可知，当a＝0时，A＝{}；当a＝时，A＝{}． 383 2 (3)当a＝0时，A＝{}≠∅．当a≠0时，要使方程有实数根， 3 9 则Δ＝9－8a≥0，即a≤． 8 99 综上可知，a的取值范围是a≤，即M＝{a∈R|A≠∅}＝{a|a≤} 88 第二章 函数 第一节 对函数的进一步认识 A组 －x－3x＋4 1．(2009年高考江西卷改编)函数y＝的定义域为________． 2x－x－3x＋4≥0， 解析： x≠0， 2 ⇒x∈[－4，0)∪(0，1] ．答案：[－4，0)∪(0，1] 2．(2010年绍兴第一次质检)如图，函数f(x)的图象是曲线段OAB，其 1 中点O，A，B的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则f()的值 f(3) 等于________． 1 解析：由图象知f(3)＝1，f()＝f(1)＝2．答案：2 f(3) 3，x≤1， 3．(2009年高考北京卷)已知函数f(x)＝ －x，x>1. x 若f(x)＝2， 则x＝________． x解析：依题意得x≤1时，3＝2，∴x＝log32； 当x>1时，－x＝2，x＝－2(舍去)．故x＝log32．答案：log32 4．(2010年黄冈市高三质检)函数f：{1，2}→{1，2}满足f[f(x)]>1的这样的函数个数有________个． - 5 - 解析：如图．答案：1 3232 5．(原创题)由等式x＋a1x＋a2x＋a3＝(x＋1)＋b1(x＋1)＋b2(x＋1)＋b3定义一个映射f(a1，a2，a3)＝(b1，b2，b3)，则f(2，1，－1)＝________． 3232 解析：由题意知x＋2x＋x－1＝(x＋1)＋b1(x＋1)＋b2(x＋1)＋b3， 令x＝－1得：－1＝b3； －1＝1＋b1＋b2＋b3 再令x＝0与x＝1得， 3＝8＋4b＋2b＋b123 解得b1＝－1，b2＝0． 答案：(－1，0，－1) 1 1＋ (x>1)，x6．已知函数f(x)＝x＋1 (－1≤x≤1)， 2x＋3 (x<－1). 2 (1)求f(1－ 12－1 )，f{f[f(－2)]}的值； 3 (2)求f(3x－1)；(3)若f(a)＝， 求a． 2 解：f(x)为分段函数，应分段求解． 1 (1)∵1－＝1－(2＋1)＝－2<－1，∴f(－2)＝－22＋3， 2－1 13 又∵f(－2)＝－1，f[f(－2)]＝f(－1)＝2，∴f{f[f(－2)]}＝1＋＝． 22 213x(2)若3x－1>1，即x>，f(3x－1)＝1＋＝； 33x－13x－1 322 若－1≤3x－1≤1，即0≤x≤，f(3x－1)＝(3x－1)＋1＝9x－6x＋2； 2 若3x－1<－1，即x<0，f(3x－1)＝2(3x－1)＋3＝6x＋1． 2∴f(3x－1)＝9x－6x＋2 (0≤x≤)， 3 6x＋1 (x<0). 2 3x2 (x>)，3x－13 3 (3)∵f(a)＝，∴a>1或－1≤a≤1． 2 13 当a>1时，有1＋＝，∴a＝2； a2322 当－1≤a≤1时，a＋1＝，∴a＝±． 22∴a＝2或±2 ． 2 B组 1．(2010年广东江门质检)函数y＝＋lg(2x－1)的定义域是________． 3x－222 解析：由3x－2>0，2x－1>0，得x>．答案：{x|x>} 33 1 - 6 - －2x＋1，(x<－1)， 2．(2010年山东枣庄模拟)函数f(x)＝－3，(－1≤x≤2)， 2x－1，(x>2)， 3 则f(f(f()＋5))＝_． 2 33 解析：∵－1≤≤2，∴f()＋5＝－3＋5＝2，∵－1≤2≤2，∴f(2)＝－3， 22 ∴f(－3)＝(－2)×(－3)＋1＝7．答案：7 3．定义在区间(－1，1)上的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，则f(x)的解析式为________． 解析：∵对任意的x∈(－1，1)，有－x∈(－1，1)， 由2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，① 由2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)，② ①×2＋②消去f(－x)，得3f(x)＝2lg(x＋1)＋lg(－x＋1)， 21 ∴f(x)＝lg(x＋1)＋lg(1－x)，(－1 21 答案：f(x)＝lg(x＋1)＋lg(1－x)，(－1 4．设函数y＝f(x)满足f(x＋1)＝f(x)＋1，则函数y＝f(x)与y＝x图象交点的个数可能是________个． 解析：由f(x＋1)＝f(x)＋1可得f(1)＝f(0)＋1，f(2)＝f(0)＋2，f(3)＝f(0)＋3，…本题中如果f(0)＝0，那么y＝f(x)和y＝x有无数个交点；若f(0)≠0，则y＝f(x)和y＝x有零个交点．答案：0或无数 2 (x＞0) 5．设函数f(x)＝2 x＋bx＋c (x≤0) ，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则f(x)的 解析式为f(x)＝________，关于x的方程f(x)＝x的解的个数为________个． 解析：由题意得 16－4b＋c＝c4－2b＋c＝－2 b＝4 c＝2 ， 2 (x＞0) ∴f(x)＝2 x＋4x＋2 (x≤0) ． 由数形结合得f(x)＝x的解的个数有3个． 2 (x＞0) 答案：2 x＋4x＋2 (x≤0) 3 2 6．设函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)，函数g(x)＝－x＋bx＋c，若f(2＋2)－f(2＋1) 1 ＝，g(x)的图象过点A(4，－5)及B(－2，－5)，则a＝__________，函数f[g(x)]的定义2 域为__________． 答案：2 (－1，3) 2 x－4x＋6，x≥0 7．(2009年高考天津卷改编)设函数f(x)＝，则不等式f(x)>f(1)的解 x＋6，x<0 集是________． 解析：由已知，函数先增后减再增，当x≥0，f(x)>f(1)＝3时，令f(x)＝3， 解得x＝1，x＝3．故f(x)>f(1)的解集为0≤x<1或x>3． 当x<0，x＋6＝3时，x＝－3，故f(x)>f(1)＝3，解得－3 - 7 - 综上，f(x)>f(1)的解集为{x|－3 8．(2009年高考山东卷)定义在log2(4－x)， x≤0， f(x－1)－f(x－2)， x＞0， R 上的函数 f(x)满足f(x)＝ 则f(3)的值为________． 解析：∵f(3)＝f(2)－f(1)，又f(2)＝f(1)－f(0)，∴f(3)＝－f(0)，∵f(0)＝log24＝2，∴f(3)＝－2．答案：－2 9．有一个有进水管和出水管的容器，每单位时间进水量是一定的，设从某时刻开始，5分钟内只进水，不出水，在随后的15分钟内既进水，又出水，得到时间x与容器中的水量y之间关系如图．再随后，只放水不进水，水放完为止，则这段时间内(即x≥20)，y与x之间函数的函数关系是________． 解析：设进水速度为a1升/分钟，出水速度 5a1＝20 为a2升/分钟，则由题意得 5a1＋15(a1－a2)＝35a1＝4 得 a2＝3 ， ，则y＝35－3(x－20)，得y＝－3x＋95， 95 ，又知x≥20，故解析式为y＝－3x＋3 又因为水放完为止，所以时间为x≤ 9595 95(20≤x≤)．答案：y＝－3x＋95(20≤x≤) 33 10．函数f(x)=(1-a2)x2+3(1-a)x+6． (1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围； (2)若f(x)的定义域为[－2，1]，求实数a的值． 解：(1)①若1－a＝0，即a＝±1， (ⅰ)若a＝1时，f(x)＝6，定义域为R，符合题意； (ⅱ)当a＝－1时，f(x)＝6x＋6，定义域为[－1，＋∞)，不合题意． 222 ②若1－a≠0，则g(x)＝(1－a)x＋3(1－a)x＋6为二次函数． 由题意知g(x)≥0对x∈R恒成立， 2 1－a>0，－1 55 ∴－≤a<1．由①②可得－≤a≤1． 1111 222 (2)由题意知，不等式(1－a)x＋3(1－a)x＋6≥0的解集为[－2，1]，显然1－a≠0 22 且－2，1是方程(1－a)x＋3(1－a)x＋6＝0的两个根． - 8 - －2＋1＝3(1－a)，a－1∴6 －2＝，1－aΔ＝[3(1－a)]－24(1－a)>0 22 2 2 1－a<0， 2 a＝2， ∴a＝±2. 5 a<－11或a>1 a<－1或a>1， ∴a＝2． 11．已知f(x+2)=f(x)(x?R)，并且当x∈[－1，1]时，f(x)=-x2+1，求当 x?[2k1,2k+1](k?Z)时、f(x)的解析式． 解：由f(x＋2)＝f(x)，可推知f(x)是以2为周期的周期函数．当x∈[2k－1，2k＋1] 2 时，2k－1≤x≤2k＋1，－1≤x－2k≤1．∴f(x－2k)＝－(x－2k)＋1． 又f(x)＝f(x－2)＝f(x－4)＝…＝f(x－2k)， 2 ∴f(x)＝－(x－2k)＋1，x∈[2k－1，2k＋1]，k∈Z． 12．在2008年11月4日珠海航展上，中国自主研制的ARJ 21支线客机备受关注，接到了包括美国在内的多国订单．某工厂有216名工人接受了生产1000件该支线客机某零部件的总任务，已知每件零件由4个C型装置和3个H型装置配套组成，每个工人每小时能加工6个C型装置或3个H型装置．现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，设加工C型装置的工人有x位，他们加工完C型装置所需时间为g(x)，其余工人加工完H型装置所需时间为h(x)．(单位：h，时间可不为整数) (1)写出g(x)，h(x)的解析式； (2)写出这216名工人完成总任务的时间f(x)的解析式； (3)应怎样分组，才能使完成总任务的时间最少？ 20001000** 解：(1)g(x)＝(0 (2)f(x)＝1000 216－x (87≤x<216，x∈N). * 2000* (0 第二节 函数的单调性 A组 1．(2009年高考福建卷改编)下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1 12 x①f(x)＝ ②f(x)＝(x－1)③f(x)＝e ④f(x)＝ln(x＋1) x解析：∵对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，当x1 2．函数f(x)(x∈R)的图象如右图所示，则函数g(x)＝f(logax)(0 解析：∵0 - 9 - g(x)为减函数． 1 由0≤logax≤ 23．函数y=a≤x≤1．答案：[a，1](或(a，1)) x-4+15-4x的值域是________． ππ2 解析：令x＝4＋sinα，α∈[0，]，y＝sinα＋3cosα＝2sin(α＋)，∴1≤y≤2． 23答案：[1，2] 4．已知函数f(x)＝|e＋x|(a∈R)在区间[0，1]上单调递增，则实数a的取值范围__． e 解析：当a<0，且e＋x≥0时，只需满足e＋0≥0即可，则－1≤a<0；当a＝0时， ee xxaa0 aaaf(x)＝|ex|＝ex符合题意；当a>0时，f(x)＝ex＋x，则满足f′(x)＝ex－x≥0在x∈[0， e e 1]上恒成立．只需满足a≤(e)min成立即可，故a≤1，综上－1≤a≤1． 答案：－1≤a≤1 5．(原创题)如果对于函数f(x)定义域内任意的x，都有f(x)≥M(M为常数)，称M为f(x)的下界，下界M中的最大值叫做f(x)的下确界，下列函数中，有下确界的所有函数是________． 1 (x>0)x①f(x)＝sinx；②f(x)＝lgx；③f(x)＝e；④f(x)＝0 (x＝0) －1 (x<－1) 2x 解析：∵sinx≥－1，∴f(x)＝sinx的下确界为－1，即f(x)＝sinx是有下确界的函数； x∵f(x)＝lgx的值域为(－∞，＋∞)，∴f(x)＝lgx没有下确界；∴f(x)＝e的值域为(0， xx＋∞)，∴f(x)＝e的下确界为0，即f(x)＝e是有下确界的函数； 1 (x>0) ∵f(x)＝0 (x＝0) －1 (x<－1)函数．答案：①③④ 6．已知函数f(x)=x，g(x)=x-1． 2 1 (x>0) 的下确界为－1．∴f(x)＝0 (x＝0) －1 (x<－1) 是有下确界的 (1)若存在x∈R使f(x) 的取值范围． 解：(1)x∈R，f(x) 2525 ①当Δ≤0即－≤m≤时，则必需 55 ＝(－b)－4b>0b<0或 2 - 10 - 2≤0 2525－5≤m≤5 m 25 －≤m≤0． 5 2525m②当Δ>0即m<－或m>时，设方程F(x)＝0的根为x1，x2(x1 x1≤0． m≥12F(0)＝1－m2≤0m m≥2． 若≤0，则x2≤0， 2 m≤02F(0)＝1－m2≥0 25 －1≤m<－．综上所述：－1≤m≤0或m≥2． 5 B组 1．(2010年山东东营模拟)下列函数中，单调增区间是(－∞，0]的是________． 12 ①y＝－ ②y＝－(x－1) ③y＝x－2 ④y＝－|x| x解析：由函数y＝－|x|的图象可知其增区间为(－∞，0]．答案：④ 2 2．若函数f(x)＝log2(x－ax＋3a)在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________． 2 解析：令g(x)＝x－ax＋3a，由题知g(x)在[2，＋∞)上是增函数，且g(2)>0． a≤2，∴24－2a＋3a>0， ∴－4 3．若函数f(x)＝x＋(a>0)在(，＋∞)上是单调增函数，则实数a的取值范围__． x4 a39 解析：∵f(x)＝x＋(a>0)在(a，＋∞)上为增函数，∴a≤，0 9 答案：(0，] 16 4．(2009年高考陕西卷改编)定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有 f(x2)－f(x1) <0，则下列结论正确的是________． x2－x1 ①f(3) ③f(－2) <0，得f(x)在x∈[0，＋∞)上单调递减，由偶函数性质得 x2－x1 xf(2)＝f(－2)，即f(3) 5．(2010年陕西西安模拟)已知函数f(x)＝ (a－3)x＋4a (x≥0) 满足对任意x1≠x2， 都有 f(x1)－f(x2) <0成立，则a的取值范围是________． x1－x2 0 a0≥(a－3)×0＋4a， 1 解得0 6．(2010年宁夏石嘴山模拟)函数f(x)的图象是如下图所示的折线段OAB，点A的坐标为(1，2)，点B的坐标为(3，0)，定义函数g(x)＝f(x)·(x－1)，则函数g(x)的最大值为________． 2x(x－1) (0≤x<1)， 解析：g(x)＝ (－x＋3)(x－1) (1≤x≤3)， 当0≤x<1时，最大值为0；当1≤x≤3时， 在x＝2取得最大值1．答案：1 7．(2010年安徽合肥模拟)已知定义域在[－1，1]上的函数y＝f(x)的值域为[－2，0]，则函数y＝f(cosx)的值域是________． 解析：∵cosx∈[－1，1]，函数y＝f(x)的值域为[－2，0]，∴y＝f(cosx)的值域为[－2，0]．答案：[－2，0] 22 8．已知f(x)＝log3x＋2，x∈[1，9]，则函数y＝[f(x)]＋f(x)的最大值是________． 22 解析：∵函数y＝[f(x)]＋f(x)的定义域为 1≤x≤9，2 1≤x≤9， 2 ∴x∈[1，3]，令log3x＝t，t∈[0，1]， 2 ∴y＝(t＋2)＋2t＋2＝(t＋3)－3，∴当t＝1时，ymax＝13．答案：13 12 9．若函数f(x)＝loga(2x＋x)(a>0，a≠1)在区间(0，)内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递 2增区间为__________． 12 解析：令μ＝2x＋x，当x∈(0，)时，μ∈(0，1)，而此时f(x)>0恒成立，∴0 μ＝2(x＋)－，则减区间为(－∞，－)．而必然有2x＋x>0，即x>0或x<－．∴f(x) 484211 的单调递增区间为(－∞，－)．答案：(－∞，－) 2211 10．试讨论函数y＝2(logx)2－2logx＋1的单调性． 22 12 解：易知函数的定义域为(0，＋∞)．如果令u＝g(x)＝logx，y＝f(u)＝2u－2u＋1， 2 - 12 - 1 那么原函数y＝f[g(x)]是由g(x)与f(u)复合而成的复合函数，而u＝logx在x∈(0，＋∞) 2121112 内是减函数，y＝2u－2u＋1＝2(u－)＋在u∈(－∞，)上是减函数，在u∈(，＋∞) 2222111212 上是增函数．又u≤，即logx≤，得x≥；u>，得0 函数y＝f[g(x)]的单调性： 单调性 函数 12(0，2) 2(2，＋∞) 2 u＝logx f(u)＝2u2－2u＋1 y＝2(logx)2－2logx＋1 1212 12122故函数y＝2(logx)－2logx＋1在区间(0，)上单调递减，在区间(，＋∞)上单调递 2222增． 11．(2010年广西河池模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f()＝f(x1)－ x1 x2 f(x2)，且当x>1时，f(x)<0． (1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性；(3)若f(3)＝－1，解不等式f(|x|)<－2． 解：(1)令x1＝x2>0，代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0． x1 (2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则>1，由于当x>1时，f(x)<0， x2 所以f()<0，即f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1) x19 (3)由f()＝f(x1)－f(x2)得f()＝f(9)－f(3)，而f(3)＝－1，所以f(9)＝－2． x23 由于函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数， 由f(|x|) x2＋ax＋b12．已知：f(x)＝log3，x∈(0，＋∞)，是否存在实数a，b，使f(x)同时满足下 x列三个条件：(1)在(0，1]上是减函数，(2)在[1，＋∞)上是增函数，(3)f(x)的最小值是1．若存在，求出a、b；若不存在，说明理由． 1＋a＋b解：∵f(x)在(0，1]上是减函数，[1，＋∞)上是增函数，∴x＝1时，f(x)最小，log3 1＝1．即a＋b＝2． x12＋ax1＋bx22＋ax2＋b设0＜x1＜x2≤1，则f(x1)＞f(x2)．即＞恒成立． x1x2 (x1－x2)(x1x2－b) 由此得＞0恒成立． x1x2 又∵x1－x2＜0，x1x2＞0，∴x1x2－b＜0恒成立，∴b≥1． - 13 - (x3－x4)(x3x4－b) 设1≤x3＜x4，则f(x3)＜f(x4)恒成立．∴＜0恒成立． x3x4 ∵x3－x4＜0，x3x4＞0，∴x3x4＞b恒成立．∴b≤1．由b≥1且b≤1可知b＝1，∴a＝1．∴存在a、b，使f(x)同时满足三个条件． 第三节 函数的性质 A组 1．设偶函数f(x)＝loga|x－b|在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(b＋2)的大小关系为________． 解析：由f(x)为偶函数，知b＝0，∴f(x)＝loga|x|，又f(x)在(－∞，0)上单调递增，所以0 2．(2010年广东三校模拟)定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f(1)＋f(4)＋f(7)等于________． 解析：f(x)为奇函数，且x∈R，所以f(0)＝0，由周期为2可知，f(4)＝0，f(7)＝f(1)，又由f(x＋2)＝f(x)，令x＝－1得f(1)＝f(－1)＝－f(1)⇒f(1)＝0，所以f(1)＋f(4)＋f(7)＝0．答案：0 3．(2009年高考山东卷改编)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，则f(－25)、f(11)、f(80)的大小关系为________． 解析：因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)，又因为f(x)在R上是奇函数，f(0)＝0，得f(80)＝f(0)＝0，f(－25)＝f(－1)＝－f(1)，而由f(x－4)＝－f(x)得f(11)＝f(3)＝－f(－3)＝－f(1－4)＝f(1)，又因为f(x)在区间[0，2]上是增函数，所以f(1)>f(0)＝0，所以－f(1)<0，即f(－25) 1 1) 1 解析：由于f(x)是偶函数，故f(x)＝f(|x|)，由f(|2x－1|) 11212 调性得|2x－1|<，解得 解析：因为定义在R上的函数f(x)是偶函数，所以f(2＋x)＝f(2－x)＝f(x－2)，故函数f(x)是以4为周期的函数，所以f(2011)＝f(3＋502×4)＝f(3)＝f(－3)＝－2．答案：－2 6．已知函数y＝f(x)是定义在R上的周期函数，周期T＝5，函数y＝f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，又知y＝f(x)在[0，1]上是一次函数，在[1，4]上是二次函数，且在x＝2时函数取得最小值－5．(1)证明：f(1)＋f(4)＝0；(2)求y＝f(x)，x∈[1，4]的解析式；(3)求y＝f(x)在[4，9]上的解析式． 解：(1)证明：∵f(x)是以5为周期的周期函数，∴f(4)＝f(4－5)＝f(－1)， 又∵y＝f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，∴f(1)＝－f(－1)＝－f(4)，∴f(1)＋f(4)＝0． 2 (2)当x∈[1，4]时，由题意可设f(x)＝a(x－2)－5(a>0)，由f(1)＋f(4)＝0，得a(1222 －2)－5＋a(4－2)－5＝0，∴a＝2，∴f(x)＝2(x－2)－5(1≤x≤4)． (3)∵y＝f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，∴f(0)＝0，又知y＝f(x)在[0，1]上是一次函数， 2 ∴可设f(x)＝kx(0≤x≤1)，而f(1)＝2(1－2)－5＝－3，∴k＝－3，∴当0≤x≤1时，f(x) - 14 - ＝－3x，从而当－1≤x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－3x，故－1≤x≤1时，f(x)＝－3x．∴当4≤x≤6时，有－1≤x－5≤1，∴f(x)＝f(x－5)＝－3(x－5)＝－3x＋15．当6 1 ∴f(x)＝2 2(x－7)－5， 6 B组 1．(2009年高考全国卷Ⅰ改编)函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数，则下列结论正确的是________． ①f(x)是偶函数 ②f(x)是奇函数 ③f(x)＝f(x＋2) ④f(x＋3)是奇函数 解析：∵f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数，∴f(－x＋1)＝－f(x＋1)，f(－x－1)＝－f(x－1)，∴函数f(x)关于点(1，0)，及点(－1，0)对称，函数f(x)是周期T＝2[1－(－1)]＝4的周期函数．∴f(－x－1＋4)＝－f(x－1＋4)，f(－x＋3)＝－f(x＋3)，即f(x＋3)是奇函数．答案：④ 3 2．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋)，且f(－2)＝f(－1)＝－1，f(0)＝2， 2 f(1)＋f(2)＋…＋f(2009)＋f(2010)＝________． 3 解析：f(x)＝－f(x＋)⇒f(x＋3)＝f(x)，即周期为3，由f(－2)＝f(－1)＝－1，f(0) 2 ＝2，所以f(1)＝－1，f(2)＝－1，f(3)＝2，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2009)＋f(2010)＝f(2008)＋f(2009)＋f(2010)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＝0．答案：0 3．(2010年浙江台州模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1)＝1，若将f(x)的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2010)＝________． 解析：f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，将f(x)的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则满足f(－2＋x)＝－f(x)，即f(x＋2)＝－f(x)，所以周期为4，f(1)＝1，f(2)＝f(0)＝0，f(3)＝－f(1)＝－1，f(4)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2010)＝f(4)×502＋f(2)＝0．答案：0 4．(2010年湖南郴州质检)已知函数f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f′(x)>0，若f(－1)＝0，那么关于x的不等式xf(x)<0的解集是________． 解析：在(0，＋∞)上有f′(x)>0，则在(0，＋∞)上f(x)是增函数，在(－∞，0)上是减函数，又f(x)在R上是偶函数，且f(－1)＝0，∴f(1)＝0．从而可知x∈(－∞，－1)时，f(x)>0；x∈(－1，0)时，f(x)<0；x∈(0，1)时，f(x)<0；x∈(1，＋∞)时，f(x)>0．∴不等式的解集为(－∞，－1)∪(0，1)答案：(－∞，－1)∪(0，1)． 5．(2009年高考江西卷改编)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0，2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2009)＋f(2010)的值为________． 解析：∵f(x)是偶函数，∴f(－2009)＝f(2009)．∵f(x)在x≥0时f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)周期为2．∴f(－2009)＋f(2010)＝f(2009)＋f(2010)＝f(1)＋f(0)＝log22＋log21＝0＋1＝1．答案：1 6．(2010年江苏苏州模拟)已知函数f(x)是偶函数，并且对于定义域内任意的x，满足f(x1 ＋2)＝－，若当2 1 解析：由f(x＋2)＝－，可得f(x＋4)＝f(x)，f(2009．5)＝f(502×4＋1．5)＝f(1．5) f(x) 55 ＝f(－2．5)∵f(x)是偶函数，∴f(2009．5)＝f(2．5)＝．答案： 22 7．(2010年安徽黄山质检)定义在R上的函数f(x)在(－∞，a]上是增函数，函数y＝f(x＋ - 15 - a)是偶函数，当x1 ________． 解析：∵y＝f(x＋a)为偶函数，∴y＝f(x＋a)的图象关于y轴对称，∴y＝f(x)的图象关于x＝a对称．又∵f(x)在(－∞，a]上是增函数，∴f(x)在[a，＋∞)上是减函数．当x1 8．已知函数f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(x＋1)．若f(a)＝－2，则实数a＝________． 解析：当x≥0时，f(x)＝x(x＋1)>0，由f(x)为奇函数知x<0时，f(x)<0，∴a<0，f(－a)＝2，∴－a(－a＋1)＝2，∴a＝2(舍)或a＝－1．答案：－1 9．(2009年高考山东卷)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数．若方程f(x)＝m(m＞0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________． 解析：因为定义在R上的奇函数，满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(4－x)＝f(x)，因此，函数图象关于直线x＝2对称且f(0)＝0．由f(x－4)＝－f(x)知f(x－8)＝f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数．又因为f(x)在区间[0，2]上是增函数，所以f(x)在区间[－2，0]上也是增函数，如图所示，那么方程f(x)＝m(m＞0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1＜x2＜x3＜x4．由对称性知x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－12＋4＝－8． 答案：-8 10．已知f(x)是R上的奇函数，且当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－xlg(2－x)，求f(x)的解析式． 解：∵f(x)是奇函数，可得f(0)＝－f(0)，∴f(0)＝0．当x>0时，－x<0，由已知f(－x)＝xlg(2＋x)，∴－f(x)＝xlg(2＋x)，即f(x)＝－xlg(2＋x) (x>0)． －xlg(2－x) (x<0)， ∴f(x)＝即f(x)＝－xlg(2＋|x|)(x∈R)． －xlg(2＋x) (x≥0). 11．已知函数f(x)，当x，y∈R时，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．(1)求证：f(x)是奇函数； 1＋ (2)如果x∈R，f(x)<0，并且f(1)＝－，试求f(x)在区间[－2，6]上的最值． 2 解：(1)证明：∴函数定义域为R，其定义域关于原点对称． ∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，令y＝－x，∴f(0)＝f(x)＋f(－x)．令x＝y＝0，∴f(0)＝f(0)＋f(0)，得f(0)＝0．∴f(x)＋f(－x)＝0，得f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数． ＋ (2)法一：设x，y∈R，∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，∴f(x＋y)－f(x)＝f(y)． ＋ ∵x∈R，f(x)<0，∴f(x＋y)－f(x)<0，∴f(x＋y) 1 2)为最大值，f(6)为最小值．∵f(1)＝－，∴f(－2)＝－f(2)＝－2f(1)＝1，f(6)＝2f(3) 2 ＝2[f(1)＋f(2)]＝－3．∴所求f(x)在区间[－2，6]上的最大值为1，最小值为－3． 法二：设x1 1 为最大值，f(6)为最小值．∵f(1)＝－，∴f(－2)＝－f(2)＝－2f(1)＝1，f(6)＝2f(3) 2 ＝2[f(1)＋f(2)]＝－3．∴所求f(x)在区间[－2，6]上的最大值为1，最小值为－3． 12．已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x＋2)＝－f(x)． (1)求证：f(x)是周期函数； - 16 - 11 (2)若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝x，求使f(x)＝－在[0，2010]上的所 22 有x的个数． 解：(1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)， ∴f(x)是以4为周期的周期函数． 1 (2)当0≤x≤1时，f(x)＝x， 2 11 设－1≤x≤0，则0≤－x≤1，∴f(－x)＝(－x)＝－x．∵f(x)是奇函数，∴f(－x) 22 111 ＝－f(x)，∴－f(x)＝－x，即f(x)＝x．故f(x)＝x(－1≤x≤1) 222 1 又设1 1 又∵f(x－2)＝－f(2－x)＝－f[(－x)＋2]＝－[－f(－x)]＝－f(x)，∴－f(x)＝(x212x (－1≤x≤1)1 －2)，∴f(x)＝－(x－2)(1 由f(x)＝－，解得x＝－1．∵f(x)是以4为周期的周期函数．故f(x)＝－的所有x22 13 ＝4n－1(n∈Z)．令0≤4n－1≤2010，则≤n≤502，又∵n∈Z，∴1≤n≤502(n∈Z)，∴ 441 在[0，2010]上共有502个x使f(x)＝－． 2 第三章 指数函数和对数函数 第一节 指数函数 A组 1．(2010年黑龙江哈尔滨模拟)若a>1，b<0，且a＋a＝22，则a－a的值等于________． b－bb－b22b解析：∵a>1，b<0，∴0 x2．已知f(x)＝a＋b的图象如图所示，则f(3)＝________． 2 解析：由图象知f(0)＝1＋b＝－2，∴b＝－3．又f(2)＝a－3 3 ＝0，∴a＝3，则f(3)＝(3)－3＝33－3． 答案：33－3 12x－x2 3．函数y＝()的值域是________． 2 22 解析：∵2x－x＝－(x－1)＋1≤1， 12x－x211∴()≥．答案：[，＋∞) 222 x4．(2009年高考山东卷)若函数f(x)＝a－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________． - 17 - b－bb－b解析：函数f(x)的零点的个数就是函数y＝a与函数y＝x＋a交点的个数，由函数的图象可知a>1时两函数图象有两个交点，0 x 5．(原创题)若函数f(x)＝a－1(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0，2]，则实数a等于________． x0 a0－1＝2 a>10 无解或a－1＝0 a2－1＝2 x ⇒a＝3．答案：3 －2＋b6．已知定义域为R的函数f(x)＝x＋1是奇函数．(1)求a，b的值； 2＋a22 (2)若对任意的t∈R，不等式f(t－2t)＋f(2t－k)<0恒成立，求k的取值范围． －1＋b解：(1)因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1． 2＋a1－＋1x2－2＋1－2＋1 从而有f(x)＝x＋1．又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2． 2＋a4＋a1＋ax－2＋111 (2)法一：由(1)知f(x)＝x＋1＝－＋x， 2＋222＋1 22 由上式易知f(x)在R上为减函数，又因f(x)是奇函数，从而不等式f(t－2t)＋f(2t222 －k)<0⇔f(t－2t)<－f(2t－k)＝f(－2t＋k)． 22 因f(x)是R上的减函数，由上式推得t－2t>－2t＋k． 12 即对一切t∈R有3t－2t－k>0，从而Δ＝4＋12k<0，解得k<－． 3 －2＋1－2－＋1－2＋1 法二：由(1)知f(x)＝x＋1，又由题设条件得t22t＋1＋2t2－k＋1<0 2＋22－＋22＋2即(2 2 2t－k＋1 xt2 2t22t－k＋2)(－2 t－2t2 ＋1)＋(2 t－2t＋1 2 ＋2)(－2 2 22t－k＋1)<0 整理得2 3t－2t－k2 >1，因底数2>1，故3t－2t－k>0 1 上式对一切t∈R均成立，从而判别式Δ＝4＋12k<0，解得k<－． 3 B组 x1．如果函数f(x)＝a＋b－1(a>0且a≠1)的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，那么一定有________． ①0 x解析：当0 222 解析：f(x)＝－x＋2ax＝－(x－a)＋a，所以f(x)在[a，＋∞)上为减函数，又f(x)， - 18 - a≤1 g(x)都在[1，2]上为减函数，所以需 a＋1>1 ⇒0 f(1)f(－1)5 ②g(x)≠0；若＋＝，则a等于________． g(1)g(－1)2 f(x)xf(1)f(－1)551x－1 解析：由f(x)＝a·g(x)得＝a，所以＋＝⇒a＋a＝，解得a＝2或．答 g(x)g(1)g(－1)222 1 案：2或 2 x－1 4．(2010年北京朝阳模拟)已知函数f(x)＝a(a>0且a≠1)，其反函数为f(x)．若f(2) －11 ＝9，则f()＋f(1)的值是________． 3 12x解析：因为f(2)＝a＝9，且a>0，∴a＝3，则f(x)＝3＝，∴x＝－1， 3 －11－11 故f()＝－1．又f(1)＝3，所以f()＋f(1)＝2．答案：2 33 1x5．(2010年山东青岛质检)已知f(x)＝()，若f(x)的图象关于直线x＝1对称的图象对应 3 的函数为g(x)，则g(x)的表达式为________． 解析：设y＝g(x)上任意一点P(x，y)，P(x，y)关于x＝1的对称点P′(2－x，y)在f(x)1x12－xx－2x－2 ＝()上，∴y＝()＝3．答案：y＝3(x∈R) 33 x－xe＋e 6．(2009年高考山东卷改编)函数y＝x－x的图象大致为________． e－e －xxx－xe＋ee＋e 解析：∵f(－x)＝－xx＝－x－x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除④． e－ee－e x－x2x2xe＋ee＋1e－1＋22 又∵y＝x－x＝2x＝2x＝1＋2x在(－∞，0)、(0，＋∞)上都是减函数， e－ee－1e－1e－1 排除②、③．答案：① 1x7．(2009年高考辽宁卷改编)已知函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)＝()；当x<4时，f(x) 2 ＝f(x＋1)，则f(2＋log23)＝________． 2 解析：∵2<3<4＝2，∴1 ＝f(3＋log23)＝f(log224)＝()log224＝2log224＝2log2＝．答案： 2242424 8．(2009年高考湖南卷改编)设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K， f(x)，f(x)≤K，1－|x| 定义函数fK(x)＝取函数f(x)＝2，当K＝时，函数fK(x)的单调递 2K， f(x)>K. 增区间为________． - 19 - 2，x≥1或x≤－1，1－|x| 解析：由f(x)＝2≤得x≥1或x≤－1，∴fK(x)＝1 2，－1 则单调增区间为(－∞，－1]．答案：(－∞，－1] |x| 9．函数y＝2的定义域为[a，b]，值域为[1，16]，当a变动时，函数b＝g(a)的图象可以是________． |x| 解析：函数y＝2的图象如图． 当a＝－4时，0≤b≤4， 当b＝4时，－4≤a≤0，答案：② 2xx10．(2010年宁夏银川模拟)已知函数f(x)＝a＋2a－1(a>0，且a≠1)在区间[－1，1]上的最大值为14，求实数a的值． 2xxx2 解：f(x)＝a＋2a－1＝(a＋1)－2，∵x∈[－1，1]， 11xx(1)当0 ∴(＋1)－2＝14，∴＝3，∴a＝． aa3 1xx(2)当a>1时，≤a≤a，∴当a＝a时，f(x)取得最大值． a12 ∴(a＋1)－2＝14，∴a＝3．综上可知，实数a的值为或3． 3 －2 11．已知函数f(x)＝x－a．(1)求证：f(x)的图象关于点M(a，－1)对称； 2＋1x(2)若f(x)≥－2在x≥a上恒成立，求实数a的取值范围． 2 解：(1)证明：设f(x)的图象C上任一点为P(x，y)，则y＝－x－a， 2＋1 P(x，y)关于点M(a，－1)的对称点为P′(2a－x，－2－y)． x－a2－2·2－2－2 ∴－2－y＝－2＋x－a＝x－a＝， －(x－a)＝(2a－x)－a2＋12＋11＋22＋1 －2 说明点P′(2a－x，－2－y)也在函数y＝x－a的图象上，由点P的任意性知，f(x) 2＋1 的图象关于点M(a，－1)对称． －22xxxx－axxx2 (2)由f(x)≥－2得x－a≥－2，则x－a≤2，化为2·2＋2－2≥0，则有(2) 2＋12＋1 axa2aaa＋2·2－2·2≥0在x≥a上恒成立．令g(t)＝t＋2·t－2·2，则有g(t)≥0在t≥2上恒成 a立．∵g(t)的对称轴在t＝0的左侧，∴g(t)在t≥2上为增函数． aa2a2aaa∴g(2)≥0．∴(2)＋(2)－2·2≥0，∴2(2－1)≥0，则a≥0．即实数a的取值范围为a≥0． |x－p1||x－p2| 12．(2008年高考江苏)若f1(x)＝3，f2(x)＝2·3，x∈R，p1、p2为常数，且 f1(x)，f1(x)≤f2(x)，f(x)＝(1)求f(x)＝f1(x)对所有实数x成立的充要条件(用 f2(x)，f1(x)>f2(x). p1、p2表示)；(2)设a，b是两个实数，满足a 函数f(x)在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为 b－a2 (闭区间[m，n]的长度定义为n－ |x－p2| |x－p1|－|x－p2| m)． 解：(1)f(x)＝f1(x)恒成立⇔f1(x)≤f2(x)⇔3≤2·3⇔3≤2 ⇔|x－p1|－|x－p2|≤log32．(*)若p1＝p2，则(*)⇔0≤log32，显然成立；若p1≠p2， |x－p1| p1－p2，x p2－p1，x>p1. 所以g(x)max＝p1－p2，故只需p1－p2≤log32． p1－p2，x 所以g(x)max＝p2－p1，故只需p2－ 综上所述，f(x)＝f1(x)对所有实数x成立的充要条件是|p1－p2|≤log32． (2)证明：分两种情形讨论． ①当|p1－p2|≤log32时，由(1)知f(x)＝f1(x)(对所有实数x∈[a，b])，则由f(a)＝f(b) p1－x，x 上的单调增区间的长度为b－ ＝． 22 ②当|p1－p2|>log32时，不妨设p1 当x≥p2时，f1(x)＝3＝3·3>33·3＝f2(x)，从而f(x)＝f2(x)． 当p1 a＋bb－a及f2(x)＝2·32，由方程30＋log32．① 2 p－xx－p1 ＝2·32 p－x0 ，解得f1(x)与f2(x) p1＋p21 2 1 显然p1 f1(x)，p1≤x≤x0， 由①易知f(x)＝ f2(x)，x0 综上可知，在区间[a，b]上，f(x)＝ f2(x)，x0 p1＋p2＝a＋b＋log32．② 1b－a故由①②得(x0－p1)＋(b－p2)＝b－(p1＋p2－log32)＝． 22综合①、②可知，f(x)在区间[a，b]上单调增区间的长度之和为 b－a2 ． 第二节 对数函数 A组 x1．(2009年高考广东卷改编)若函数y＝f(x)是函数y＝a(a>0，且a≠1)的反函数，其图象 - 21 - 经过点(a，a)，则f(x)＝________． 1 解析：由题意f(x)＝logax，∴a＝logaa2＝，∴f(x)＝log1x．答案：log1x 222 1 2．(2009年高考全国卷Ⅱ)设a＝log3π，b＝log23，c＝log32，则a、b、c的大小关系是 ________． 1111 解析：a＝log3π>1，b＝log23＝log23∈(，1)，c＝log32＝log32∈(0，)，故有 2222 a>b>c．答案：a>b>c 1x,x[1,0)3．若函数f(x)＝4，则f(log43)＝________． x4,x[0,1]解析：0 log3 4 ＝3．答案：3 1 的图象是x＋1 的图象经过点(4，2)，则函数g(x)＝loga解析：由已知将点(4，2)代入y＝a又 x－1 ，∴2＝a4－1 1 ，即a＝23>1． 1 是单调递减的，故g(x)递减且过(0，0)点，∴④正确．答案：④ x＋1 1 5．(原创题)已知函数f(x)＝alog2x＋blog3x＋2，且f()＝4，则f(2010)的值为_． 2010 111 解析：设F(x)＝f(x)－2，即F(x)＝alog2x＋blog3x，则F()＝alog2＋blog3＝－ xxx11 (alog2x＋blog3x)＝－F(x)，∴F(2010)＝－F()＝－[f()－2]＝－2， 20102010 即f(2010)－2＝－2，故f(2010)＝0．答案：0 2 6．若f(x)＝x－x＋b，且f(log2a)＝b，log2f(a)＝2(a>0且a≠1)．(1)求f(log2x)的最小值及相应x的值；(2)若f(log2x)>f(1)且log2f(x) 解：(1)∵f(x)＝x－x＋b，∴f(log2a)＝(log2a)－log2a＋b＝b，∴log2a＝1，∴a＝2．又 22 ∵log2f(a)＝2，∴f(a)＝4．∴a－a＋b＝4，∴b＝2．∴f(x)＝x－x＋2． 1272 ∴f(log2x)＝(log2x)－log2x＋2＝(log2x－)＋． 24 17 ∴当log2x＝，即x＝2时，f(log2x)有最小值． 24 (log2x)－log2x＋2>2， (2)由题意知2 log2(x－x＋2)<2.0 ∴－1 log2x<0或log2x>1， ∴2 0 - 22 - 1．(2009年高考北京卷改编)为了得到函数y＝lg x＋3 10 的图象，只需把函数y＝lgx的图象上 所有的点________． x＋3 解析：∵y＝lg＝lg(x＋3)－1，∴将y＝lgx的图象上的点向左平移3个单位长度 10 得到y＝lg(x＋3)的图象，再将y＝lg(x＋3)的图象上的点向下平移1个单位长度得到y＝lg(x＋3)－1的图象． 答案：向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 2．(2010年安徽黄山质检)对于函数f(x)＝lgx定义域中任意x1，x2(x1≠x2)有如下结论： f(x1)－f(x2) ①f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)；②f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)；③>0； x1－x2 x1＋x2f(x1)＋f(x2)④f()<．上述结论中正确结论的序号是________． 22 解析：由运算律f(x1)＋f(x2)＝lgx1＋lgx2＝lgx1x2＝f(x1x2)，所以②对；因为f(x)是 x1＋x2x1＋x2f(x1)＋f(x2)lgx1＋lgx2 定义域内的增函数，所以③正确；f()＝lg，＝＝lgx1x2， 2222 x1＋x2x1＋x2∵≥x1x2，且x1≠x2，∴lg>lgx1x2，所以④错误． 22答案：②③ 3．(2010年枣庄第一次质检)对任意实数a、b，定义运算“*”如下： a(a≤b)a*b＝，则函数f(x)＝log1(3x－2)*log2x的值域为________． 2b(a>b) 1 解析：在同一直角坐标系中画出y＝log(3x－2)和y＝log2x2 两个函数的图象， 由图象可得 log2x (0 log(3x－2) (x>1)2 ，值域为(－∞，0]． 答案：(－∞，0] x4．已知函数y＝f(x)与y＝e互为反函数，函数y＝g(x)的图象与y＝f(x)的图象关于x轴对称，若g(a)＝1，则实数a的值为________． x解析：由y＝f(x)与y＝e互为反函数，得f(x)＝lnx，因为y＝g(x)的图象与y＝f(x) 1 的图象关于x轴对称，故有g(x)＝－lnx，g(a)＝1⇒lna＝－1，所以a＝． e 1答案： e 2 5．已知函数f(x)满足f()＝log2x|x|，则f(x)的解析式是________． x＋|x| 21 解析：由log2x|x|有意义可得x>0，所以，f()＝f()，log2x|x|＝log2x，即 x＋|x|x11 有f()＝log2x，故f(x)＝log2＝－log2x．答案：f(x)＝－log2x，(x>0) xx6．(2009年高考辽宁卷改编)若x1满足2x＋2＝5，x2满足2x＋2log2(x－1)＝5，则x1＋x2＝________． 解析：由题意2x1＋2x1＝5，①2x2＋2log2(x2－1)＝5，②所以2x1＝5－2x1，x1＝log2(5－2x1)，即2x1＝2log2(5－2x1)．令2x1＝7－2t，代入上式得7－2t＝2log2(2t－2)＝2＋ - 23 - x2log2(t－1)，∴5－2t＝2log2(t－1)与②式比较得t＝x2，于是2x1＝7－2x2．∴x1＋x2＝．答 2 7案： 2 7．当x∈[n，n＋1)，(n∈N)时，f(x)＝n－2，则方程f(x)＝log2x根的个数是________． 解析：当n＝0时，x∈[0，1)，f(x)＝－2； 当n＝1时，x∈[1，2)，f(x)＝－1； 当n＝2时，x∈[2，3)，f(x)＝0； 当n＝3时，x∈[3，4)，f(x)＝1； 当n＝4时，x∈[4，5)，f(x)＝2； 当n＝5时，x∈[5，6)，f(x)＝3．答案：2 x8．(2010年福建厦门模拟)已知lga＋lgb＝0，则函数f(x)＝a与函数g(x)＝－logbx的图象可能是________． T 11x－x解析：由题知，a＝，则f(x)＝()＝b，g(x)＝－logbx，当0 答案：② 9．已知曲线C：x2＋y2＝9(x≥0，y≥0)与函数y＝log3x及函数y＝3x的图象分别交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x12＋x22的值为________． x解析：∵y＝log3x与y＝3互为反函数，所以A与B两点关于y＝x对称，所以x1＝y2，y1＝x2，∴x12＋x22＝x12＋y12＝9．答案：9 kx－1 10．已知函数f(x)＝lg(k∈R且k>0)．(1)求函数f(x)的定义域； x－1 (2)若函数f(x)在[10，＋∞)上是单调增函数，求k的取值范围． 1x－kkx－11 解：(1)由>0及k>0得>0，即(x－)(x－1)>0． x－1x－1k11 ①当0 kk1 上可得当0 当k≥1时，函数的定义域为(－∞，)∪(1，＋∞)． k10k－11 (2)∵f(x)在[10，＋∞)上是增函数，∴>0，∴k>． 10－110 kx－1k－1 又f(x)＝lg＝lg(k＋)，故对任意的x1，x2，当10≤x1 即lg(k＋) 111∵>，∴k－1<0，∴k<1．综上可知k∈(，1)． x1－1x2－110 1＋x11．(2010年天津和平质检)已知f(x)＝loga(a>0，a≠1)．(1)求f(x)的定义域； 1－x- 24 - (2)判断f(x)的奇偶性并给予证明；(3)求使f(x)>0的x的取值范围． 1＋x解：(1)由>0 ，解得x∈(－1，1)． 1－x1－x(2)f(－x)＝loga＝－f(x)，且x∈(－1，1)，∴函数y＝f(x)是奇函数． 1＋x1＋x1＋x(3)若a>1，f(x)>0，则>1，解得0 1－x1－x1 (x－x)，其中a>0且a≠1． a－1 2 (1)对于函数f(x)，当x∈(－1，1)时，f(1－m)＋f(1－m)<0，求实数m的集合； (2)x∈(－∞，2)时，f(x)－4的值恒为负数，求a的取值范围． 2 a－1 解：令logax＝t(t∈R)，则x＝a，∴f(t)＝∴f(x)＝ t(a－a)， a－1 2－xat－t(a－a)．∵f(－x)＝2(a－a)＝－f(x)， a－1a－1 ∴f(x)是R上的奇函数． 2 ax－xax当a>1时，当0 2 ax－x<0，a是减函数，－a是减函数，∴f(x)是R上的增函数． a－1 综上所述，a>0且a≠1时，f(x)是R上的增函数． 222 (1)由f(1－m)＋f(1－m)<0有f(1－m)<－f(1－m)＝f(m－1)， 2 ax－x1－m 解得m∈(1，2)． (2)∵f(x)是R上的增函数，∴f(x)－4也是R上的增函数，由x<2，得f(x) 2 a2－2 ∴a的取值范围是2－3≤a≤2＋3且a≠1． 第三节 幂函数与二次函数的性质 A组 1．若a>1且0 解析：∵a>1，0 23- 25 - 解析：y＝x＝x是偶函数，∴排除②、③，当x>1时， 233 2 xx23＝x>1，∴x>x，∴排 1323除①．答案：④ 3．(2010年江苏海门质检)若x∈(0，1)，则下列结论正确的是__________． ①2>x>lgx ②2>lgx>x ③x>2>lgx ④lgx>x>2 解析：∵x∈(0，1)，∴2>2>1，0 4．(2010年东北三省模拟)函数f(x)＝|4x－x|－a恰有三个零点，则a＝__________． 2 解析：先画出f(x)＝4x－x的图象，再将x轴下方的图象翻转到x轴的上方，如图，y＝a过抛物线顶点时恰有三个交点，故得a的值为4．答案：4 1 x12x1212x12xx125．(原创题)方程x2＝logsin1x的实根个数是__________． 解析：在同一坐标系中分别作出函数y1＝x 和y2＝logsin1x的图象，可知只有惟一一个交点．答案：1 2 6．(2009年高考江苏卷)设a为实数，函数f(x)＝2x＋(x－a)·|x－a|． (1)若f(0)≥1，求a的取值范围；(2)求f(x)的最小值； (3)设函数h(x)＝f(x)，x∈(a，＋∞)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)≥1的解集． 2 解：(1)因为f(0)＝－a|－a|≥1，所以－a>0，即a<0．由a≥1知a≤－1．因此，a的取值范围为(－∞，－1]． 2 (2)记f(x)的最小值为g(a)．则有f(x)＝2x＋(x－a)|x－a| 12a2a3(x－)2＋，x>a， ①33＝(x＋a)2－2a2，x≤a， ② 2 2 2 2 (ⅰ)当a≥0时，f(－a)＝－2a，由①②知f(x)≥－2a，此时g(a)＝－2a． a2222 (ⅱ)当a<0时，f()＝a．若x>a，则由①知f(x)≥a； 333 22222 若x≤a，则x＋a≤2a<0，由②知f(x)≥2a>a．此时g(a)＝a． 33－2a， a≥0，2 综上，得g(a)＝2a， a<0.3 2 - 26 - (3)(ⅰ)当a∈(－∞，－ 62 ]∪[，＋∞)时，解集为(a，＋∞)； 22 2 22a＋3－2a(ⅱ)当a∈[－，)时，解集为[，＋∞)； 223 62a－3－2aa＋3－2a(ⅲ)当a∈(－，－)时，解集为(a，]∪[，＋∞)． 2233 B组 1 1．(2010年江苏无锡模拟)幂函数y＝f(x)的图象经过点(－2，－)，则满足f(x)＝27的x8 的值是__________． 11－3 解析：设幂函数为y＝xα，图象经过点(－2，－)，则－＝(－2)α，∴α＝－3，∵x88 11 ＝27，∴x＝．答案： 33 2．(2010年安徽蚌埠质检)已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如下表： 1x 1 22 2 f(x) 1 2 2则不等式f(|x|)≤2的解集是__________． 11 21α1 解析：由表知＝()，∴α＝，∴f(x)＝x2．∴(|x|)2≤2，即|x|≤4，故－4≤x≤4． 222答案：{x|－4≤x≤4} 1(x>0)， 3．(2010年广东江门质检)设k∈R，函数f(x)＝xex(x≤0)， F(x)＝f(x)＋kx，x∈R．当 k＝1时，F(x)的值域为__________． 1x解析：当x>0时，F(x)＝＋x≥2；当x≤0时，F(x)＝e＋x，根据指数函数与幂函数 x的单调性，F(x)是单调递增函数，F(x)≤F(0)＝1，所以k＝1时，F(x)的值域为(－∞，1]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[2，＋∞) －2 (x>0)， 4．设函数f(x)＝2若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝0，则关于x的不等 x＋bx＋c (x≤0)， 式f(x)≤1的解集为__________． 解析：由f(－4)＝f(0)，得b＝4．又f(－2)＝0，可得c＝4，∴ x>0， －2≤1， x≤0， 2 x＋4x＋4≤1 或 可得－3≤x≤－1或x>0．答案：{x|－3≤x≤－1或x>0} 2 x＋4x， 5．(2009年高考天津卷改编)已知函数f(x)＝2 4x－x， x≥0，x<0. 若f(2－a)>f(a)，则 2 实数a的取值范围是__________． 2x＋4x，x≥0， 解析：函数f(x)＝2 4x－x，x<0， 知f(x)在R上为增函数． 22 ∵f(2－a)>f(a)，即2－a>a． 的图象如图． - 27 - 解得－2 6．(2009年高考江西卷改编)设函数f(x)＝ax＋bx＋c(a<0)的定义域为D，若所有点(s，f(t)) (s，t∈D)构成一个正方形区域，则a的值为__________． 解析：由题意定义域D为不等式ax＋bx＋c≥0的解集．∵ax＋bx＋c＝a(x＋)＋ 2a4ac－b，∵a<0，∴0≤y≤ 4a2 2 2 2 b2 4ac－b，∴所有点(s，f(t))，(s，t∈D)构成一个正方形4a4ac－b，由根与系数4a22区域，意味着方程ax＋bx＋c＝0的两根x1，x2应满足|x1－x2|＝ 2 2 2 4ac－bb4cb－4ac2 的关系知＝2－＝，∴4a＝－a．∵a<0，∴a＝－4．答案：－4 2 4aaaa－2＋x，x>0， 7．(2010年辽宁沈阳模拟)已知函数f(x)＝2 －x＋bx＋c，x≤0. 若f(0)＝－2f(－1)＝1， 则函数g(x)＝f(x)＋x的零点的个数为__________． 111 解析：∵f(0)＝1，∴c＝1．又f(－1)＝－，∴－1－b＋1＝－，∴b＝．当x>0时， 222 13 g(x)＝－2＋2x＝0，∴x＝1；当x≤0时，g(x)＝－x2＋x＋1＋x＝0，∴x2－x－1＝0，∴x22 1 ＝2(舍)或x＝－，所以有两个零点．答案：2 2 8．设函数f(x)＝x|x|＋bx＋c，给出下列四个命题：①c＝0时，f(x)是奇函数；②b＝0，c>0时，方程f(x)＝0只有一个实根；③f(x)的图象关于(0，c)对称；④方程f(x)＝0至多有两个实根．其中正确的命题是__________． 解析：c＝0时，f(－x)＝－x|－x|＋b(－x)＝－x|x|－bx＝－f(x)，故f(x)是奇函数；b＝0，c>0时，f(x)＝x|x|＋c＝0，∴x≥0时，x2＋c＝0无解，x<0时，f(x)＝－x2＋c＝0，∴x＝－c，有一个实数根．答案：①②③ 9．(2010年湖南长沙质检)对于区间[a，b]上有意义的两个函数f(x)与g(x)，如果对于区间[a，b]中的任意数x均有|f(x)－g(x)|≤1，则称函数f(x)与g(x)在区间[a，b]上是密切 2 函数，[a，b]称为密切区间．若m(x)＝x－3x＋4与n(x)＝2x－3在某个区间上是“密切函数”，则它的一个密切区间可能是________． ①[3，4] ②[2，4] ③[2，3] ④[1，4] 2 解析：|m(x)－n(x)|≤1⇒|x－5x＋7|≤1，解此绝对值不等式得2≤x≤3，故在区间[2，3]上|m(x)－n(x)|的值域为[0，1]，∴|m(x)－n(x)|≤1在[2，3]上恒成立． 答案：③ 2 10．设函数f(x)＝x＋2bx＋c(c c＋1c＋1 解：(1)证明：f(1)＝0⇒1＋2b＋c＝0⇒b＝－．又c 122 －．方程f(x)＋1＝0有实根，即x＋2bx＋c＋1＝0有实根，故Δ＝4b－4(c＋1)≥0，即3 2 (c＋1)－4(c＋1)≥0⇒c≥3或c≤－1．又c 由b＝－知b≥0． 222 (2)f(x)＝x＋2bx＋c＝x－(c＋1)x＋c＝(x－c)(x－1)，f(m)＝－1<0， ∴c - 28 - 11．(2010年安徽合肥模拟)设函数f(x)＝ax＋bx＋c，且f(1)＝－，3a>2c>2b，求证：(1)a>0 2 b3 且－3<<－；(2)函数f(x)在区间(0，2)内至少有一个零点；(3)设x1、x2是函数f(x)的两 a4个零点，则2≤|x1－x2|< 57． 4 2 a证明：(1)∵f(1)＝a＋b＋c＝－，∴3a＋2b＋2c＝0． 2 又3a>2c>2b，∴3a>0，2b<0，∴a>0，b<0．又2c＝－3a－2b，由3a>2c>2b， b3 ∴3a>－3a－2b>2b．∵a>0，∴－3<<－． a4 (2)∵f(0)＝c，f(2)＝4a＋2b＋c＝a－c， ①当c>0时，∵a>0，∴f(0)＝c>0且f(1)＝－<0， 2 ∴函数f(x)在区间(0，1)内至少有一个零点． ②当c≤0时，∵a>0，∴f(1)＝－<0且f(2)＝a－c>0，∴函数f(x)在区间(1，2)内 2 至少有一个零点．综合①②得f(x)在(0，2)内至少有一个零点． 2 (3)∵x1、x2是函数f(x)的两个零点，则x1、x2是方程ax＋bx＋c＝0的两个根，∴x1 bc3bb23b2＋x2＝－，x1x2＝＝－－，∴|x1－x2|＝(x1＋x2)－4x1x2＝ (－)－4(－－)＝ aa2aa2aaaabb3572 (＋2)＋2．∵－3<<－，∴2≤|x1－x2|<． aa44 2 12．已知函数f(x)＝ax＋4x＋b(a<0，a、b∈R)，设关于x的方程f(x)＝0的两实根为x1、x2，方程f(x)＝x的两实根为α、β．(1)若|α－β|＝1，求a、b的关系式；(2)若a、b均为负整数，且|α－β|＝1，求f(x)的解析式；(3)若α<1<β<2，求证：(x1＋1)(x2＋1)<7． 2 解：(1)由f(x)＝x得ax＋3x＋b＝0(a<0，a、b∈R)有两个不等实根为α、β， 3b2 ∴Δ＝9－4ab>0，α＋β＝－，α·β＝．由|α－β|＝1得(α－β)＝1， aa94b222 即(α＋β)－4αβ＝2－＝1，∴9－4ab＝a，即a＋4ab＝9(a<0，a、b∈R)． aa(2)由(1)得a(a＋4b)＝9，∵a、b均为负整数， a＝－1a＝－9a＝－3， ∴ a＋4b＝－9 或 a＋4b＝－1 或 a＋4b＝－3， 显然后两种情况不合题意，应 a＝－1，舍去，从而有 a＋4b＝－9， a＝－1， ∴ b＝－2. 2 a 故所求函数解析式为f(x)＝－x＋4x－2． 4b3b(3)证明：由已知得x1＋x2＝－，x1·x2＝，又由α<1<β<2得α＋β＝－<3，α·β＝<2， aaa1b4∴－<1，∴(x1＋1)(x2＋1)＝x1·x2＋(x1＋x2)＋1＝－＋1<2＋4＋1＝7， aaa即(x1＋1)(x2＋1)<7． 第四节 函数的图像特征 A组 1．命题甲：已知函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称．命题乙：函数f(1＋x)与函数f(1－x)的图象关于直线x＝1对称．则甲、乙命题正确的是__________． - 29 - 解析：可举实例说明如f(x)＝2，依次作出函数f(1＋x)与函数f(1－x)的图象判断．答案：甲 2．(2010年济南市高三模拟考试)函数y＝·a(a>1)的图象的基本形状是_____． |x| xxx 解析：先去绝对值将已知函数写成分段函数形式，再作图象即可，函数解析式：y＝ax(x>0)，由指数函数图象易知①正确． －ax(x<0) 答案：① 1x3．已知函数f(x)＝()－log3x，若x0是方程f(x)＝0的解，且 5 0 1x1 时，()>log3x1， 5 ∴f(x1)>0．答案：正值 4．(2009年高考安徽卷改编)设a 函数y＝(x－a)(x－b)的图象可能是_____． 解析：∵x>b时，y>0．由数轴穿根法，从右上向左下穿，奇次穿偶次不穿可知，只有③正确．答案：③ 2 5．(原创题)已知当x≥0时，函数y＝x与函数y＝2x的图象如图所示，则当x≤0时，不 x2 等式2·x≥1的解集是__________． x2 解析：在2·x≥1中，令x＝－t，由x≤0得t≥0， －t22t∴2·(－t)≥1，即t≥2，由所给图象得2≤t≤4， ∴2≤－x≤4，解得－4≤x≤－2． 答案：－4≤x≤－2 3－x2，x∈[－1,2]，6．已知函数f(x)＝ x－3，x∈(2,5]．(1)画出f(x)的图象；(2)写出f(x)的单调递增区间． 解：(1)函数f(x)的图象如图所示．， - 30 - (2)由图象可知，函数f(x)的单调递增区间为[-1，0]，[2，5]． B组 1－x1．(2010年合肥市高三质检)函数f(x)＝ln的图象只可能是__________． 1＋x 解析：本题中f(x)的定义域为{x|－1 答案：① 2．家电下乡政策是应对金融危机、积极扩大内需的重要举措．我市某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定时间T内完成预期的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如下图所示．在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是 解析：运输效率是运输总量Q与时间t的函数的导 数，几何意义为图象的切线，切线斜率的增长表明运输效率的提高，从图形看，②正确． 答案：② x3．如图，过原点O的直线与函数y＝2的图象交于A，B两点，过B作yx轴的垂线交函数y＝4的图象于点C，若AC平行于y轴，则点A的坐标是__________． aaa解析：设C(a，4)，所以A(a，2)，B(2a，4)，又O，A，B三点共 aa24aaaa线，所以＝，故4＝2×2，所以2＝0(舍去)或2＝2，即a＝1，所 a2a以点A的坐标是(1，2)．答案：(1，2) 2 4．已知函数f(x)＝4－x，g(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，当x>0时，g(x)＝log2x，则函数y＝f(x)·g(x)的大致图象为__________． - 31 - 解析：f(x)为偶函数，g(x)是奇函数，所以f(x)·g(x)为奇函数，图象关于原点对称，当x→＋∞时，f(x)→－∞，g(x)→＋∞，所以f(x)·g(x)→－∞答案：② 5．某加油机接到指令，给附近空中一运输机加油．运输机的余油量为Q1(吨)，加油机加油箱内余油Q2(吨)，加油时间为t分钟，Q1、Q2与时间t的函数关系式的图象如右图．若运输机加完油后以原来的速度飞行需11小时到达目的地，问运输机的油料是否够用？________． 解析：加油时间10分钟，Q1由30减小为0．Q2由40增加到 69，因而10分钟时间内运输机用油1吨．以后的11小时需用油66吨．因69>66，故运输机的油料够用．答案：够用 6．已知函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋2)＝f(x)，且x∈(－1，1]时，f(x)＝|x|，则y＝f(x)与y＝log7x的交点的个数为__________． 解析：由f(x＋2)＝f(x)知函数y＝f(x)为周期为2的周期函数，作图． 答案：6 m7．函数y＝xn(m，n∈Z，m≠0，|m|，|n|互质)图象如图所示，则下列 结论正确的是__________． ①mn>0，m，n均为奇数 ②mn<0，m，n一奇一偶 ③mn<0，m，n均为奇数 ④mn>0，m，n一奇一偶 解析：由于幂函数在第一象限的图象趋势表明函数在(0，＋∞)上单调递减，此时只需 m|m| m保证<0，即mn<0，有y＝xn＝x－|n|；同时函数只在第一象限有图象，则函数的定义域为(0， n＋∞)，此时|n|定为偶数，n即为偶数，由于两个数互质，则m定为奇数．答案：② 8．(2009年高考福建卷改编)定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如图所示，则在(－2，0)上，下列函数中与f(x)的单调性不同的是 2 ①y＝x＋1 ②y＝|x|＋1 2x＋1，x≥0③y＝3 x＋1，x<0 e，x≥0④y＝－xe，x<0 x 3 解析：∵f(x)为偶函数，由图象知，f(x)在(－2，0)上为减函数，而y＝x＋1在(－∞， 0)上为增函数．答案：③ 2 9．(2010年安徽合肥模拟)已知函数图象C′与C：y(x＋a＋1)＝ax＋a＋1关于直线y＝x对称，且图象C′关于点(2，－3)对称，则a的值为__________． 2 解析：∵C′与C：y(x＋a＋1)＝ax＋a＋1关于直线y＝x对称， 1－a2 ∴C′为x(y＋a＋1)＝ay＋a＋1．整理得，y＋1＋a＝． x－a∵C′关于点(2，－3)对称，∴a＝2．答案：2 10．作下列函数的图象： - 32 - (1)y＝ 1| 11－|x||x；(2)y＝|x－2|(x＋1)；(3)y＝；(4)y＝|log2x－1|；(5)y＝2－ |x|－1|1－x| 1 ．先x－1 ． 解：(1)定义域{x|x∈R且x≠±1}，且函数是偶函数．又当x≥0且x≠1时，y＝11作函数y＝的图象，并将图象向右平移1个单位，得到函数y＝(x≥0且x≠1)的图象(如 xx－1 图(a)所示)． 又函数是偶函数，作关于y轴对称图象，得y＝ 1 的图象(如图(b)所示)． |x|－1 (2)函数式可化为y＝19 －(x－)＋ (x<2).24 2 129 (x－)－ (x≥2)， 24 其图象如图①所示． 1＋x1－x (x<0)， (3)函数式化为y＝1 (0≤x<1)， －1 (x>1). 其图象如图②所示． (4)先作出y＝log2x的图象，再将其图象向下平移1个单位长度，保留x轴上方的部分， 将x轴下方的图象翻折到x轴上方，即得y＝|log2x－1|的图象，如图③所示． (5)先作出y＝2的图象，再将其图象在y轴左边的部分去掉，并作出y轴右边的图象 |x||x| 关于y轴对称的图象，即得y＝2的图象，再将y＝2的图象向右平移1个单位长度，即 |x－1| 得y＝2的图象，如图④所示． a1 11．已知函数f(x)＝－x(a>0且a≠1)．(1)证明：函数y＝f(x)的图象关于点(，－ 2a＋ax1 )对称；(2)求f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)的值． 2 11 解：(1)证明：函数f(x)的定义域为R，任取一点(x，y)，它关于点(，－)对称的点 22 - 33 - 的坐标为(1－x，－1－y)．由已知，y＝－ ，则－1－y＝－1＋x＝－x．， ax＋aa＋aa＋aaaa·axaxf(1－x)＝－1－x＝－＝－． x＝－xaa＋aa＋a·aa＋a＋aax11 ∴－1－y＝f(1－x)．即函数y＝f(x)的图象关于点(，－)对称． 22 (2)由(1)有－1－f(x)＝f(1－x)．即f(x)＋f(1－x)＝－1． ∴f(－2)＋f(3)＝－1，f(－1)＋f(2)＝－1，f(0)＋f(1)＝－1． 则f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－3． x＋b113 12．设函数f(x)＝(x∈R，且a≠0，x≠)．(1)若a＝，b＝－，指出f(x)与g(x) ax－1a22 1 ＝的图象变换关系以及函数f(x)的图象的对称中心；(2)证明：若ab＋1≠0，则f(x)的图 aaaxx象必关于直线y＝x对称． 132x－31 解：(1)a＝，b＝－，f(x)＝＝＝2＋， 221x－2x－2 x－12 ∴f(x)的图象可由g(x)的图象沿x轴右移2个单位，再沿y轴上移2个单位得到，f(x)的图象的对称中心为点(2，2)． x0＋b(2)证明：设P(x0，y0)为f(x)图象上任一点，则y0＝，P(x0，y0)关于y＝x的对 ax0－1 x0＋by0＋b称点为P′(y0，x0)．由y0＝得x0＝．∴P′(y0，x0)也在f(x)的图象上．故f(x) ax0－1ay0－1 的图象关于直线y＝x对称． x－ 32 第四章 函数应用 A组 x(x＋4)，x<0， 1．已知函数f(x)＝ x(x－4)，x≥0. 则函数f(x)的零点个数为________． 解析：只要画出分段函数的图象，就可以知道图象与x轴有三个交点，即函数的零点有 3个．答案：3 x2．根据表格中的数据，可以判定方程e－x－2＝0的一个根所在的区间为___． x －1 0 1 2 3 xe 0．37 1 2．72 7．39 20．09 x＋2 1 2 3 4 5 解析：据题意令f(x)＝e－x－2，由于f(1)＝e－1－2＝2．72－3<0，f(2)＝e－4＝7．39 －4>0，故函数在区间(1，2)内存在零点，即方程在相应区间内有根． 答案：(1，2) 3．偶函数f(x)在区间[0，a](a>0)上是单调函数，且f(0)·f(a)<0，则方程f(x)＝0在区间[－a，a]内根的个数是__________． 解析：由题意函数f(x)在区间[0，a](a>0)上是单调函数，且f(0)·f(a)<0，根据零点存在定理知：在区间[0，a]内函数f(x)一定存在惟一零点且f(0)≠0，又函数f(x)是偶函 - 34 - x12 数，故其在[－a，0]也惟一存在一个零点，所以方程f(x)＝0在区间[－a，a]内根的个数为2．答案：2 4．(2009年高考浙江卷)某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下： 高峰时间段用电价格表 低谷时间段用电价格表 高峰电价 低谷电价 高峰月用电量 低谷月用电量 (单位：元/千(单位：元/千瓦(单位：千瓦时) (单位：千瓦时) 瓦时) 时) 50及以下的部分 0．568 50及以下的部分 0．288 超过50至200的部0．598 超过50至200的部分 0．318 分 超过200的部分 0．668 超过200的部分 0．388 若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元 解析：高峰时段电费a＝50×0．568＋(200－50)×0．598＝118．1(元)． 低谷时段电费b＝50×0．288＋(100－50)×0．318＝30．3(元)． 故该家庭本月应付的电费为a＋b＝148．4(元)．答案：148．4 5．(原创题)已知f(x)＝|x|＋|x－1|，若g(x)＝f(x)－a的零点个数不为0，则a的最小值为________． 解析：作f(x)的图象，如图，g(x)=f(x)-a=0，即f(x)=a，当a=1时，g(x)有无数个零点；当a>1时，g(x)有2个零点；∴a的最小值为1．答案：1 6．(2009年高考上海卷)有时可用函数f(x)＝ a0.1＋15ln，x≤6，a－xx－4.4x－4，x＞6， 描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数(x∈N)，f(x)表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关． (1)证明：当x≥7时，掌握程度的增长量f(x＋1)－f(x)总是下降； (2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115，121]，(121，127]，(127，133]．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科． 0.4 解：(1)证明：当x≥7时，f(x＋1)－f(x)＝．而当x≥7时，函数y＝(x(x－3)(x－4) －3)(x－4)单调递增，且(x－3)(x－4)＞0，故f(x＋1)－f(x)单调递减． ∴当x≥7，掌握程度的增长量f(x＋1)－f(x)总是下降． (2)由题意可知0．1＋15ln e 0.05 * ＝0．85，整理得＝ea－6a－6 aa0．05 ， 解得a＝0.05·6≈20．50×6＝123．0，123．0∈(121，127]． e－1 由此可知，该学科是乙学科． B组 1．(2010年浙江温州质检)某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据： x 1．99 3 4 5．1 6．12 y 1．5 4．04 7．5 12 18．01 - 35 - 现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是________ 1x12 ①y＝2x－2 ②y＝() ③y＝log2x ④y＝(x－1) 22 解析：代入点(2，1．5)，(3，4)检验．答案：④ x2．(2010年安徽省江南十校模拟)函数f(x)＝2＋x－7的零点所在的区间是____． ①(0，1) ②(1，2) ③(2，3) ④(3，4) 23 解析：因为f(0)＝－6<0，f(1)＝2＋1－7＝－4<0，f(2)＝2＋2－7＝－1<0，f(3)＝2＋3－7＝4>0，所以函数的零点在区间(2，3)内．答案：③ 1 3．已知函数f(x)＝x＋log2x，则f(x)在[，2]内的零点的个数是______． 2 1 解析：易知g(x)＝x与h(x)＝log2x均为增函数，故函数f(x)为增函数，且f(2)·f()<0， 2 故函数有且只有一个零点．答案：1 4．(2010年珠海质检)某种细胞在培养过程中正常情况下，时刻t(单位：分钟)与细胞数n(单位：个)的部分数据如下： t 0 20 60 140 n 1 2 8 128 tt根据表中数据，推测繁殖到1000个细胞时的时刻t最接近于________分钟． 解析：由表格中所给数据可以得出n与t的函数关系为n＝220，令n＝1000，得220＝1000，又2＝1024，所以时刻t最接近200分钟．答案：200 5．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该 1 生产线连续生产n年的累计产量为f(n)＝n(n＋1)(2n＋1)吨，但如果年产量超过150吨， 2 将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是________年． 1 解析：由题知第一年产量为a1＝×1×2×3＝3；以后各年产量分别为an＝f(n)－f(n2 112*2 －1)＝n·(n＋1)(2n＋1)－n·(n－1)(2n－1)＝3n(n∈N)，令3n≤150，得1≤n≤52⇒ 22 1≤n≤7，故生产期限最长为7年．答案：7 6．(2010年苏、锡、常、镇四市调研)某市出租车收费标准如下： 起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2．15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2．85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22．6元，则此次出租车行驶了________km． 解析：设乘客每次乘坐出租车需付费用为f(x)元，由题意可得： 10 8＋1，x∈(0,3]，f(x) ＝ 9＋(x－3)×2.15x∈(3,8] 9＋5×2.15＋(x－8)×2.85，x∈(8，＋∞)令f(x)＝22．6，解得x＝9．答案：9 7．(2010年绍兴第一次质检)一位设计师在边长为3的正方形ABCD中设计图案，他分别以A、 3 B、C、D为圆心，以b(0 在正方形边上的连线)构成了丰富多彩的图形，则这些图形中实线部分总长度的最小值为________． 解析：由题意实线部分的总长度为l＝4(3－2b)＋2πb＝(2π－8)b- 36 - ＋12，l关于b的一次函数的一次项系数2π－8<0，故l关于b的函数单调递减，因此，当 b取最大值时，l取得最小值，结合图形知，b的最大值为，代入上式得l最小＝(2π－8)× 3232 ＋12＝3π．答案：3π 8．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v m/s和燃料的质量M kg，火箭(除燃料外)的质量m kg的函数关系是v＝2000·ln(1＋M/m)．当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12 km/s． 解析：由题意得2000ln(1＋)≤12000，∴≤e－1．答案：e－1 1， x≠1|x－1|9．(2010年浙江省宁波市十校高三联考)定义域为R的函数f(x)＝1， x＝1 MmMm66 若 12222 关于x的函数h(x)＝f(x)＋bf(x)＋有5个不同的零点x1，x2，x3，x4，x5，则x1＋x2＋x3 2＋x4＋x5等于________． 12 解析：假设关于t的方程t＋bt＋＝0不存在t＝1的根，则使h(x)＝0的f(x)的值也 2不为1，而显然方程f(x)＝k且k≠1的根最多有两个，而h(x)是关于f(x)的二次函数，因132 此方程h(x)＝0的零点最多有四个，与已知矛盾，可见t＝1时t＋bt＋＝0，即得b＝－， 22311 2 所以h(x)＝f(x)－f(x)＋＝(f(x)－1)(2f(x)－1)，而方程f(x)－1＝0的解为x＝0，1， 2222，方程2f(x)－1＝0的解为x＝－1，3，由此可见五根分别为－1，0，1，2，3，因此直接 计算得上述五数的平方和为15．答案：15 10．(2010年黑龙江哈尔滨模拟)某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售．同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：， [200消费金额(元)的范围 ，[400，500) [500，700) [700，900) … 400) 获得奖券的金额(元) 30 60 100 130 … 根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠．例如：购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：400×0．2＋30＝110(元)．设购买商品的优 购买商品获得的优惠额惠率＝．试问： 商品的标价 (1)购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？ (2)对于标价在[500，800)(元)的商品，顾客购买标价为多少元的商品时，可得到不小1 于的优惠率？ 3 1000×0.2＋1303333 解：(1)＝，即顾客得到的优惠率是． 1000100100 (2)设商品的标价为x元，则500≤x<800．则消费金额满足400≤0．8x<640． 0.2x＋601 当400≤0．8x<500，即500≤x<625时，由≥解得x≤450，不合题意；当 x3 0.2x＋1001 500≤0．8x<640．即625≤x<800时，由≥解得625≤x≤725． x3 - 37 - 2 2 1 因此，当顾客购买标价在[625，725](元)内的商品时，可得到不小于的优惠率． 3 11．已知某企业原有员工2000人，每人每年可为企业创利润3．5万元．为应对国际金融危机给企业带来的不利影响，该企业实施“优化重组，分流增效”的策略，分流出一部分员工待岗．为维护生产稳定，该企业决定待岗人数不超过原有员工的5%，并且每年给每位待岗员工发放生活补贴0．5万元．据评估，若待岗员工人数为x，则留岗员工每人每年可为企 81 业多创利润(1－)万元．为使企业年利润最大，应安排多少员工待岗？ 100x解：设重组后，该企业年利润为y万元．依题意得 81324 y＝(2000－x)(3．5＋1－)－0．5x＝－5(x＋)＋9000．81， 100xx324 ∴y＝－5(x＋)＋9000．81(0 324 )＋9000．81≤－5×2324＋9000．81＝8820．81， x324 ∴当且仅当x＝，即x＝18时取等号，此时y取得最大值． x即为使企业年利润最大，应安排18人待岗． 12．(2010年扬州调研)某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0 52 (2)若年销售量T关于x的函数为T＝3240(－x＋2x＋)，则当x为何值时，本年度的 3 年利润最大？最大利润为多少？ 解：(1)由题意得：上年度的利润为(13－10)×5000＝15000万元； 本年度每辆车的投入成本为10×(1＋x)万元； 本年度每辆车的出厂价为13×(1＋0．7x)万元； 本年度年销售量为5000×(1＋0．4x)辆． 因此本年度的利润为 y＝[13×(1＋0．7x)－10×(1＋x)]×5000×(1＋0．4x)＝(3－0．9x)×5000×(1＋0．4x) 2 ＝－1800x＋1500x＋15000(0 由－1800x＋1500x＋15000>15000，解得0 为使本年度的年利润比上年度有所增加，则0 (2)本年度的利润为 5232 f(x)＝[13×(1＋0．7x)－10×(1＋x)]×3240×(－x＋2x＋)＝3240×(0．9x－4．8x3 ＋4．5x＋5)， 2 则f′(x)＝3240×(2．7x－9．6x＋4．5)＝972(9x－5)(x－3)． 5 令f′(x)＝0，解得x＝或x＝3(舍去)． 9 5 当x∈(0，)时，f′(x)>0，f(x)是增函数； 95 当x∈(，1)时，f′(x)<0，f(x)是减函数． 9 - 38 - 55 ∴当x＝时，f(x)取得最大值，f(x)max＝f()＝20000． 995 即当x＝时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元 9 第五章 三角函数 第一节 角的概念的推广与弧度制 A组 π22 1．点P从(－1，0)出发，沿单位圆x＋y＝1顺时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐 3 标为________． π 解析：由于点P从(－1，0)出发，顺时针方向运动弧长到达Q32π2π13 点，如图，因此Q点的坐标为(cos，sin)，即Q(－，)．答 3322 13 案：(－，) 22 2．设α为第四象限角，则下列函数值一定是负值的是________． ααα ①tan ②sin ③cos ④cos2α 222 αα 解析：α为第四象限角，则为第二、四象限角，因此tan<0恒成立，应填①，其余三 22 个符号可正可负．答案：① 3．(2008年高考全国卷Ⅱ改编)若sinα<0且tanα>0，则α是第_______象限的角． 答案：三 |sinx|cosx|tanx| 4．函数y＝＋＋的值域为________． sinx|cosx|tanx解析：当x为第一象限角时，sinx>0，cosx>0，tanx>0，y＝3； 当x为第二象限角时，sinx>0，cosx<0，tanx<0，y＝－1； 当x为第三象限角时，sinx<0，cosx<0，tanx>0，y＝－1； 当x为第四象限角时，sinx<0，cosx>0，tanx<0，y＝－1．答案：{－1，3} 3 5．(原创题)若一个α角的终边上有一点P(－4，a)，且sinα·cosα＝，则a的值为________． 4 解析：依题意可知α角的终边在第三象限，点P(－4，a)在其终边上且sinα·cosα＝易得tanα＝3或 344 ，则a＝－43或－3．答案：－43或－3 333 2 y，求cosα，tanα4 3，4 6．已知角α的终边上的一点P的坐标为(－3，y)(y≠0)，且sinα＝的值． 解：因为sinα＝ 2y2y＝，所以y＝5， 224(－3)＋y615 ，tanα＝－； 43 - 39 - 当y＝5时，cosα＝－ 615，tanα＝． 43 B组 1．已知角α的终边过点P(a，|a|)，且a≠0，则sinα的值为________． 2 解析：当a>0时，点P(a，a)在第一象限，sinα＝； 2 当y＝－5时，cosα＝－22．答案： 22 2 2．已知扇形的周长为6 cm，面积是2 cm，则扇形的圆心角的弧度数是_____． 解析：设扇形的圆心角为α rad，半径为R，则 当a<0时，点P(a，－a)在第二象限，sinα＝2R＋α·R＝612 R·α＝22 ，解得α＝1或α＝4．答案：1或4 3．如果一扇形的圆心角为120°，半径等于 10 cm，则扇形的面积为________． 112100100222 解析：S＝|α|r＝×π×100＝π(cm)．答案：π cm 22333 θ 4．若角θ的终边与168°角的终边相同，则在0°～360°内终边与角的终边相同的角的集合3 为__________．答案：{56°，176°，296°} 5．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α是第________象限． 解析：当k＝2m＋1(m∈Z)时，α＝2m·180°＋225°＝m·360°＋225°，故α为第三象限角；当k＝2m(m∈Z)时，α＝m·360°＋45°，故α为第一象限角． 答案：一或三 6．设角α的终边经过点P(－6a，－8a)(a≠0)，则sinα－cosα的值是________． 22 解析：∵x＝－6a，y＝－8a，∴r＝(－6a)＋(－8a)＝10|a|， yx－8a＋6a－a11 ∴sinα－cosα＝－＝＝＝±．答案：± rr10|a|5|a|557．(2010年北京东城区质检)若点A(x，y)是300°角终边上异于原点的一点，则的值为________． 解析：＝tan300°＝－tan60°＝－3．答案：－3 3π3π 8．(2010年深圳调研)已知点P(sin，cos)落在角θ的终边上，且θ∈[0，2π)，则θ的 44 值为________． 3πcos43π3π 解析：由sin>0，cos<0知角θ在第四象限，∵tanθ＝＝－1，θ∈[0，2π)， 443π sin4 7π7π∴θ＝．答案： 44 2 9．已知角α的始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝kx上，若sinα＝，且cosα<0， 5 则k的值为________． 解析：设α终边上任一点P(x，y)，且|OP|≠0，∴y＝kx， 222 ∴r＝x＋(kx)＝1＋k|x|．又sinα>0，cosα<0．∴x<0，y>0， ykxk22 ∴r＝－1＋kx，且k<0．∴sinα＝＝＝－，又sinα＝． 2 r－1＋k2x1＋k5 - 40 - yxyx，∴k＝－2．答案：－2 1＋k5 10．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R．若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积． 10π 解：设弧长为l，弓形面积为S弓，∵α＝60°＝，R＝10，∴l＝π(cm)， 33 ∴－＝211013π2 )(cm)． 23232 11．扇形AOB的周长为8 cm． 2 (1)若这个扇形的面积为3 cm，求圆心角的大小； (2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB． 解：设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α， 2 S弓＝S扇－S△＝·π·10－·10sin60°＝50(－k2 2r＋l＝8，(1)由题意可得1 lr＝3，2 r＝3， 解得 l＝2， r＝1 或 l＝6， l2l∴α＝＝或α＝＝6． r3r81216432(2)∵2r＋l＝2r＋αr＝8，∴r＝．∴S扇＝αr＝α·≤4， 2＝ 2＋α22(2＋α)4 α＋＋4 α 48 当且仅当α＝，即α＝2时，扇形面积取得最大值4．此时，r＝＝2 (cm)， α2＋2 ∴|AB|＝2×2sin1＝4 sin1 (cm)． 12．(1)角α的终边上一点P(4t，－3t)(t≠0)，求2sinα＋cosα的值； (2)已知角β的终边在直线y＝3x上，用三角函数定义求sinβ的值． 22 解：(1)根据题意，有x＝4t，y＝－3t，所以r＝(4t)＋(－3t)＝5|t|， 34642 ①当t＞0时，r＝5t，sinα＝－，cosα＝，所以2sinα＋cosα＝－＋＝－． 55555－3t34t4 ②当t＜0时，r＝－5t，sinα＝＝，cosα＝＝－， －5t5－5t5 642 所以2sinα＋cosα＝－＝． 555(2)设P(a，3a)(a≠0)是角β终边y＝3x上一点，若a＜0，则β是第三象限角，r3a3 ＝－2a，此时sinβ＝＝－；若a＞0，则β是第一象限角，r＝2a， －2a2 此时sinβ＝3a3＝． 2a2 第二节 正弦函数和余弦函数的定义及诱导公式 A组 3π 1．若cosα＝－，α∈(，π)，则tanα＝________． 52 34sinα4π 解析：cosα＝－，α∈(，π)，所以sinα＝，∴tanα＝＝－． 525cosα3 - 41 - 4 答案：－ 3 4 2．(2009年高考北京卷)若sinθ＝－，tanθ>0，则cosθ＝________． 5 43 解析：由sinθ＝－<0，tanθ>0知，θ是第三象限角，故cosθ＝－． 55 3 答案：－ 5 3ππ 3．若sin(＋α)＝，则cos(－α)＝________． 653 33ππππ 解析：cos(－α)＝cos[－(＋α)]＝sin(＋α)＝．答案： 326655 5sinx－cosx4．(2010年合肥质检)已知sinx＝2cosx，则＝______． 2sinx＋cosx5sinx－cosx5tanx－19 解析：∵sinx＝2cosx，∴tanx＝2，∴＝＝． 2sinx＋cosx2tanx＋15 9答案： 5 5．(原创题)若cos2θ＋cosθ＝0，则sin2θ＋sinθ＝________． 12 解析：由cos2θ＋cosθ＝0，得2cosθ－1＋cosθ＝0，所以cosθ＝－1或cosθ＝，当213 cosθ＝－1时，有sinθ＝0，当cosθ＝时，有sinθ＝±．于是sin2θ＋sinθ＝sinθ(2cosθ 22＋1)＝0或3或－3．答案：0或3或－3 60ππ 6．已知sin(π－α)cos(－8π－α)＝，且α∈(，)，求cosα，sinα的值． 1694212022 解：由题意，得2sinαcosα＝．①又∵sinα＋cosα＝1，② 1692894922 ①＋②得：(sinα＋cosα)＝，②－①得：(sinα－cosα)＝． 169169 ππ 又∵α∈(，)，∴sinα>cosα>0，即sinα＋cosα>0，sinα－cosα>0， 42 177 ∴sinα＋cosα＝．③sinα－cosα＝，④ 1313125 ③＋④得：sinα＝．③－④得：cosα＝． 1313 B组 2 1．已知sinx＝2cosx，则sinx＋1＝________． 222 2sinx＋cosx2tanx＋1222 解析：由已知，得tanx＝2，所以sinx＋1＝2sinx＋cosx＝22＝2 sinx＋cosxtanx＋1 99＝．答案： 55 10π 2．(2010年南京调研)cos＝________． 3 10π4π11π 解析：cos＝cos＝－cos＝－．答案：－ 33322 3sin2απ 3．(2010年西安调研)已知sinα＝，且α∈(，π)，那么2的值等于________． 52cosα - 42 - 32×54sin2α2sinαcosα2sinα32 解析：cosα＝－1－sinα＝－， ＝＝＝－． 2＝25cosαcosαcosα42 －5 3 答案：－ 2 sinα＋cosα2 4．(2010年南昌质检)若tanα＝2，则＋cosα＝_________________． sinα－cosα 2 sinα＋cosαsinα＋cosαcosαtanα＋11162 解析：＋cosα＝＋＋＝．答22＝2sinα－cosαsinα－cosαsinα＋cosαtanα－1tanα＋15 16案： 5 π 5．(2010年苏州调研)已知tanx＝sin(x＋)，则sinx＝___________________． 2 π22 解析：∵tanx＝sin(x＋)＝cosx，∴sinx＝cosx，∴sinx＋sinx－1＝0，解得sinx25－15－1 ．答案： 22 6．若θ∈[0，π)，且cosθ(sinθ＋cosθ)＝1，则θ＝________． 22 解析：由cosθ(sinθ＋cosθ)＝1⇒sinθ·cosθ＝1－cosθ＝sinθ⇒sinθ(sinθ－cosθ)＝0 ππ ⇒sinθ＝0或sinθ－cosθ＝0，又∵θ∈[0，π)，∴θ＝0或．答案：0或 44 17ππ 7．已知sin(α＋)＝，则cos(α＋)的值等于________． 12312 7π1πππ 解析：由已知，得cos(α＋)＝cos[(α＋)＋]＝－sin(α＋)＝－． 12122123 1 答案：－ 3＝ 8．(2008年高考浙江卷改编)若cosα＋2sinα＝－5，则tanα＝________． cosα＋2sinα＝－5， ① 解析：由 sin2α＋cos2α＝1， ② 2552 将①代入②得(5sinα＋2)＝0，∴sinα＝－，cosα＝－，∴tanα＝2． 55 答案：2 3π sin(π－α)cos(2π－α)tan(－α＋) 231π 9．已知f(α)＝，则f(－)的值为________． cos(－π－α)3sinα·cosα·cotα3111π 解析：∵f(α)＝＝－cosα，∴f(－π)＝－cos＝－．答案：－ －cosα3322 2π4π 10．求sin(2nπ＋)·cos(nπ＋)(n∈Z)的值． 33 2π4π2ππ 解：(1)当n为奇数时，sin(2nπ＋)·cos(nπ＋)＝sin·cos[(n＋1)π＋] 3333 313ππππ ＝sin(π－)·cos＝sin·cos＝×＝． 3333224 2π4π2π4πππ (2)当n为偶数时，sin(2nπ＋)·cos(nπ＋)＝sin·cos＝sin(π－)·cos(π＋) 333333 - 43 - 313ππ ＝sin·(－cos)＝×(－)＝－． 33224 11．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－2sin(π－B)，3cosA＝－2cos(π－B)，求△ABC的三内角． sinA＝2sinB， ① 解：由已知，得 3cosA＝2cosB， ② ①＋②得：2cosA＝1，即cosA＝±(1)当cosA＝ 2 2 2 2． 2 23ππ 时，cosB＝，又A、B是三角形内角，∴A＝，B＝，∴C＝π－(A2246 72335 ＋B)＝π．(2)当cosA＝－时，cosB＝－．又A、B是三角形内角，∴A＝π，B＝π， 122246 7ππ 不合题意．综上知，A＝，B＝，C＝π． 461212．已知向量a＝(3，1)，向量b＝(sinα－m，cosα)． (1)若a∥b，且α∈[0，2π)，将m表示为α的函数，并求m的最小值及相应的α值； π cos(－α)·sin(π＋2α) 2 (2)若a⊥b，且m＝0，求的值． cos(π－α) π 解：(1)∵a∥b，∴3cosα－1·(sinα－m)＝0，∴m＝sinα－3cosα＝2sin(α－)． 3 π 又∵α∈[0，2π)，∴当sin(α－)＝－1时，mmin＝－2． 3 11π3 此时α－＝π，即α＝π． 326 (2)∵a⊥b，且m＝0，∴3sinα＋cosα＝0．∴tanα＝－ 3 ． 3 π cos(－α)·sin(π＋2α) 2sinα·(－sin2α)∴＝＝tanα·2sinα·cosα cos(π－α)－cosα2sinα·cosα2tanα1 ＝tanα·22＝tanα·2＝． sinα＋cosα1＋tanα2 第三节 正弦函数与余弦函数的图像与性质 A组 π 1．(2009年高考四川卷改编)已知函数f(x)＝sin(x－)(x∈R)，下面结论错误的是 ． 2 π ①函数f(x)的最小正周期为2π②函数f(x)在区间[0，]上是增函数 2 ③函数f(x)的图象关于直线x＝0对称④函数f(x)是奇函数 π 解析：∵y＝sin(x－)＝－cosx，y＝－cosx为偶函数， 2π ∴T＝2π，在[0，]上是增函数，图象关于y轴对称．答案：④ 2 π2 2．(2009年高考广东卷改编)函数y＝2cos(x－)－1是________． 4 - 44 - π ①最小正周期为π的奇函数 ②最小正周期为π的偶函数 ③最小正周期为的奇函数 2 π ④最小正周期为的偶函数 2 ππ2 解析：y＝2cos(x－)－1＝cos(2x－)＝sin2x，∴T＝π，且为奇函数． 42 答案：① π 3．(2009年高考江西卷改编)若函数f(x)＝(1＋3tanx)cosx，0≤x<，则f(x)的最大值为 2 ________． sinxπ 解析：f(x)＝(1＋3·)·cosx＝cosx＋3sinx＝2sin(x＋)， cosx6 πππ2πππ ∵0≤x<，∴≤x＋<，∴当x＋＝时，f(x)取得最大值2．答案：2 266362 π 4．已知函数f(x)＝asin2x＋cos2x(a∈R)图象的一条对称轴方程为x＝，则a的值为 12 ________． 3ππππ 解析：∵x＝是对称轴，∴f(0)＝f()，即cos0＝asin＋cos，∴a＝． 126333 答案： 3 3 π 5．(原创题)设f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象关于直线x＝对称，它的最小正周期 3 是π，则f(x)图象上的一个对称中心是________(写出一个即可)． 2πππ 解析：∵T＝＝π，∴ω＝2，又∵函数的图象关于直线x＝对称，所以有sin(2×＋ω33ππππ φ)＝±1，∴φ＝k1π－(k1∈Z)，由sin(2x＋k1π－)＝0得2x＋k1π－＝k2π(k2∈Z)，∴x＝ 66612 ππππ ＋(k2－k1)，当k1＝k2时，x＝，∴f(x)图象的一个对称中心为(，0)．答案：(，0) 21212123 ． 2 (1)求函数f(x)的最小正周期T，并求出函数f(x)的单调递增区间； (2)求在[0，3π)内使f(x)取到最大值的所有x的和． 31331π 解：(1)f(x)＝(cos2x＋1)＋sin2x－＝cos2x＋sin2x＝sin(2x＋)， 222223 5ππππ 故T＝π．由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－π≤x≤kπ＋， 2321212 5π 所以单调递增区间为[kπ－π，kπ＋](k∈Z)． 1212ππππ (2)令f(x)＝1，即sin(2x＋)＝1，则2x＋＝2kπ＋(k∈Z)．于是x＝kπ＋(k∈Z)， 33212 13ππππ ∵0≤x<3π，且k∈Z，∴k＝0，1，2，则＋(π＋)＋(2π＋)＝． 1212124 13 ∴在[0，3π)内使f(x)取到最大值的所有x的和为π． 4 B组 2π2 1．函数f(x)＝sin(x＋)＋sinx的图象相邻的两条对称轴之间的距离是________． 3236．(2010年宁波调研)设函数f(x)＝3cosx＋sinxcosx－ 2 - 45 - 2x2x2xπ ＋sin＝2sin(＋)，相邻的两条对称轴之间的距离是半个周3334 2πT3π3π 期，T＝＝3π，∴＝．答案： 22223 π 2．(2010年天津河西区质检)给定性质：a最小正周期为π；b图象关于直线x＝对称．则 3 下列四个函数中，同时具有性质ab的是________． xπππ ①y＝sin(＋) ②y＝sin(2x＋) ③y＝sin|x| ④y＝sin(2x－) 2666 2πππππ 解析：④中，∵T＝＝π，∴ω＝2．又2×－＝，所以x＝为对称轴． ω3623 答案：④ ππ3 3．(2009年高考全国卷Ⅰ改编)若 42 2tanx2(t＋1)ππ23 解析： －2(t＋＋2)≤－8，故填－8．答案：－8 解析：f(x)＝cos t22 4．(2010年烟台质检)函数f(x)＝sinx＋2cosx在区间[－π，θ]上的最大值为1，则θ的 3 值是________． 222 解析：因为f(x)＝sinx＋2cosx＝－cosx＋2cosx＋1＝－(cosx－1)＋2，又其在区间2πππ[－，θ]上的最大值为1，可知θ只能取－． 答案：－ 322 2π2π 5．(2010年苏北四市调研)若函数f(x)＝2sinωx(ω>0)在[－，]上单调递增，则ω的 33 最大值为________． 2π2π333 解析：由题意，得≥，∴0<ω≤，则ω的最大值为．答案： 4ω3444 π 6．(2010年南京调研)设函数y＝2sin(2x＋)的图象关于点P(x0，0)成中心对称，若x0∈[－ 3 π ，0]，则x0＝________． 2 ππ 解析：因为图象的对称中心是其与x轴的交点，所以由y＝2sin(2x0＋)＝0，x0∈[－， 32 ππ 0]，得x0＝－．答案：－ 66 ππ 7．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋m的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线x＝是 23 其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是________． ππππ ①y＝4sin(4x＋)②y＝2sin(2x＋)＋2③y＝2sin(4x＋)＋2 ④y＝2sin(4x＋)＋2 6336 A＋m＝4 解析：因为已知函数的最大值为4，最小值为0，所以 m－A＝0 ，解得A＝m＝2，又 2ππππ ＝，所以ω＝4，又直线x＝是其图象的一条对称轴，将x＝代入得ω233 4π5ππππ sin(4×＋φ)＝±1，所以φ＋＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝kπ－(k∈Z)，当k＝1时，φ＝．答 33266 案：④ 最小正周期为 - 46 - π 8．有一种波，其波形为函数y＝sinx的图象，若在区间[0，t]上至少有2个波峰(图象的 2 最高点)，则正整数t的最小值是________． 5π 解析：函数y＝sinx的周期T＝4，若在区间[0，t]上至少出现两个波峰，则t≥T＝5．答 24 案：5 9．(2009年高考安徽卷改编)已知函数f(x)＝3sinωx＋cosωx(ω>0)，y＝f(x)的图象与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)的单调递增区间是________． π 解析：∵y＝3sinωx＋cosωx＝2sin(ωx＋)，且由函数y＝f(x)与直线y＝2的两个 6 2π 相邻交点间的距离为π知，函数y＝f(x)的周期T＝π，∴T＝＝π，解得ω＝2，∴f(x)＝ ω ππππππ 2sin(2x＋)．令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．答案：[kπ 626236 ππ －，kπ＋](k∈Z) 3610．已知向量a＝(2sinωx，cosωx)，向量b＝(cosωx，23)，其中ω>0，函数f(x)＝a·b， π 若f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为π．(1)求f(x)的解析式；(2)若对任意实数x∈[， 6 π ]，恒有|f(x)－m|<2成立，求实数m的取值范围． 3 解：(1)f(x)＝a·b＝(2sinωx，cosωx)·(cosωx，23)＝sin2ωx＋3(1＋cos2ωx)＝ 2π1π 2sin(2ωx＋)＋3．∵相邻两对称轴的距离为π，∴＝2π，∴ω＝， 32ω2 π ∴f(x)＝2sin(x＋)＋3． 3 ππππ2π (2)∵x∈[，]，∴x＋∈[，]，∴23≤f(x)≤2＋3．又∵|f(x)－m|<2， 63323 ππ ∴－2＋m 2 2 －2＋m≤23， 2＋m≥2＋3， 解得3≤m≤2＋23． 11．设函数f(x)＝a·b，其中向量a＝(2cosx，1)，b＝(cosx，3sin2x＋m)． (1)求函数f(x)的最小正周期和在[0，π]上的单调递增区间； π (2)当x∈[0，]时，f(x)的最大值为4，求m的值． 6 π 解：(1)∵f(x)＝a·b＝2cos2x＋3sin2x＋m＝2sin(2x＋)＋m＋1， 6 2π ∴函数f(x)的最小正周期T＝＝π． 2 2ππ 在[0，π]上的单调递增区间为[0，]，[，π]． 63 ππ (2)当x∈[0，]时，∵f(x)单调递增，∴当x＝时，f(x)取得最大值为m＋3，即m＋3 66 ＝4，解之得m＝1，∴m的值为1． 2ωx12．已知函数f(x)＝3sinωx－2sin＋m(ω>0)的最小正周期为3π，且当x∈[0，π]时，2 2 函数 f(x)的最小值为0．(1)求函数f(x)的表达式；(2)在△ABC中，若f(C)＝1，且2sinB＝cosB＋cos(A－C)，求sinA的值． - 47 - π 解：(1)f(x)＝3sinωx＋cosωx－1＋m＝2sin(ωx＋)－1＋m． 6 2π2 依题意，函数f(x)的最小正周期为3π，即＝3π，解得ω＝． ω3 2xπ ∴f(x)＝2sin(＋)－1＋m． 36 2xππ2xπ5π1 当x∈[0，π]时，≤＋≤，≤sin(＋)≤1， 6366236 2xπ ∴f(x)的最小值为m．依题意，m＝0．∴f(x)＝2sin(＋)－1． 36 2Cπ2Cπ (2)由题意，得f(C)＝2sin(＋)－1＝1，∴sin(＋)＝1． 3636 2Cπππ2Cπ5πππ 而≤＋≤，∴＋＝，解得C＝．∴A＋B＝． 636636222 π2 在Rt△ABC中，∵A＋B＝，2sinB＝cosB＋cos(A－C)． 2 －1±55－12 ∴2cosA－sinA－sinA＝0，解得sinA＝．∵0 第四节 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图像 A组 1．(2009年高考浙江卷改编)已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asinax的图象不可能是________． 2π 解析：函数的最小正周期为T＝，∴当|a|>1时，T<2π．当0<|a|<1时，T>2π，观察 |a| 图形中周期与振幅的关系，发现④不符合要求．答案：④ 2．(2009年高考湖南卷改编)将函数y＝sinx的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到 π 函数y＝sin(x－)的图象，则φ等于________． 6 11π11πππ 解析：y＝sin(x－)＝sin(x－＋2π)＝sin(x＋)．答案： 66663．将函数f(x)＝3sinx－cosx的图象向右平移φ(φ>0)个单位，所得图象对应的函数为奇 函数，则φ的最小值为________． π 解析：因为f(x)＝3sinx－cosx＝2sin(x－)，f(x)的图象向右平移φ个单位所得图 6 5π 象对应的函数为奇函数，则φ的最小值为． 6 5π答案： 6 4．如图是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<π)，x∈R的部分图象，则下列命题中，正确命题的序号为________． - 48 - π ①函数f(x)的最小正周期为； 2②函数f(x)的振幅为23； 7 ③函数f(x)的一条对称轴方程为x＝π； 12π7 ④函数f(x)的单调递增区间为[，π]； 1212 2 ⑤函数的解析式为f(x)＝3sin(2x－π)． 3 T5ππ7π7π 解析：据图象可得：A＝3，＝－⇒T＝π，故ω＝2，又由f()＝3⇒sin(2× 2631212 2π2π2π ＋φ)＝1，解得φ＝2kπ－(k∈Z)，又－π<φ<π，故φ＝－，故f(x)＝3sin(2x－)， 333 7π 依次判断各选项，易知①②是错误的，由图象易知x＝是函数图象的一条对称轴，故③正 12 π7π 确，④函数的单调递增区间有无穷多个，区间[，]只是函数的一个单调递增区间，⑤由 1212 上述推导易知正确．答案：③⑤ 5．(原创题)已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx，如果存在实数x1，使得对任意的实数x，都有f(x1)≤f(x)≤f(x1＋2010)成立，则ω的最小值为________． 解析：显然结论成立只需保证区间[x1，x1＋2010]能够包含函数的至少一个完整的单调 2πωπππ 区间即可，且f(x)＝sinωx＋cosωx＝2sin(ωx＋)，则2010≥⇒ω≥．答案： 4220102010 π22 6．(2010年苏北四市质检)已知函数f(x)＝sinωx＋3sinωx·sin(ωx＋)＋2cosωx， 2 π x∈R(ω>0)，在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为． (1)求ω； 6 π (2)若将函数f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原 6 来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)的最大值及单调递减区间． 313π3 解：(1)f(x)＝sin2ωx＋cos2ωx＋＝sin(2ωx＋)＋， 22262πππ 令2ωx＋＝，将x＝代入可得：ω＝1． 626 π3 (2)由(1)得f(x)＝sin(2x＋)＋， 62 1π3 经过题设的变化得到的函数g(x)＝sin(x－)＋， 262 45 当x＝4kπ＋π，k∈Z时，函数取得最大值． 32 3π1π 令2kπ＋≤x－≤2kπ＋π(k∈Z)， 22624π10 ∴4kπ＋≤x≤4kπ＋π(k∈Z)． 33 4π10 即x∈[4kπ＋，4kπ＋π]，k∈Z为函数的单调递减区间． 33 - 49 - B组 1．(2009年高考宁夏、海南卷)已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的图象如图所示，则φ＝________． T3 解析：由图可知，＝2π－π， 24 52π54∴T＝π，∴＝π，∴ω＝， ω2254 ∴y＝sin(x＋φ)． 543 又∵sin(×π＋φ)＝－1， 543 ∴sin(π＋φ)＝－1， 533 ∴π＋φ＝π＋2kπ，k∈Z． 52 99 ∵－π≤φ<π，∴φ＝π． 答案：π 1010 2．(2010年南京调研)已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象如图所示，则φ＝________． 2ππ 解析：由图象知T＝2(－)＝π． 36 2ππππ∴ω＝＝2，把点(，1)代入，可得2×＋φ＝，φ T662 ππ＝．答案： 66 π 3．(2009年高考天津卷改编)已知函数f(x)＝sin(ωx＋)(x∈R，ω>0)的最小正周期为π， 4 为了得到函数g(x)＝cosωx的图象，只要将y＝f(x)的图象________． π 解析：∵f(x)＝sin(ωx＋)(x∈R，ω>0)的最小正周期为π， 4 2π ∴＝π，故ω＝2． ω ππππ 又f(x)＝sin(2x＋)∴g(x)＝sin[2(x＋)＋]＝sin(2x＋)＝cos2x． 4842π 答案：向左平移个单位长度 8 2π 4．(2009年高考辽宁卷改编)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ) 的图象如图所示，f()＝－，23 则f(0)＝________． T1172ππ 解析：＝π－π＝，∴ω＝＝3． 212123T7 又(π，0)是函数的一个上升段的零点， 1273ππ ∴3×π＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，得φ＝－＋2kπ，k∈Z， 1224 22222π 代入f()＝－，得A＝，∴f(0)＝． 答案： 23333 - 50 - π 5．将函数y＝sin(2x＋)的图象向________平移________个单位长度后所得的图象关于点 3 π (－，0)中心对称． 12 πππ 解析：由y＝sin(2x＋)＝sin2(x＋)可知其函数图象关于点(－，0)对称，因此要使 366πππ 平移后的图象关于(－，0)对称，只需向右平移即可．答案：右 121212 3 cosxa1 a2 6．(2010年深圳调研)定义行列式运算：＝aa－aa，将函数f(x)＝1423的 a3 a41 sinx 图象向左平移m个单位(m>0)，若所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是________． 31π 解析：由题意，知f(x)＝3sinx－cosx＝2(sinx－cosx)＝2sin(x－)， 226ππ 其图象向左平移m个单位后变为y＝2sin(x－＋m)，平移后其对称轴为x－＋m＝kπ 662π2π2ππ ＋，k∈Z．若为偶函数，则x＝0，所以m＝kπ＋(k∈Z)，故m的最小值为．答案： 2333 ππ 7．(2009年高考全国卷Ⅱ改编)若将函数y＝tan(ωx＋)(ω>0)的图象向右平移个单位长度 46 π 后，与函数y＝tan(ωx＋)的图象重合，则ω的最小值为________． 6ππππ 解析：y＝tan(ωx＋)向右平移个单位长度后得到函数解析式y＝tan[ω(x－)＋]， 4664 1ππωππωπ 即y＝tan(ωx＋－)，显然当－＝＋kπ(k∈Z)时，两图象重合，此时ω＝－ 464662 11 6k(k∈Z)．∵ω>0，∴k＝0时，ω的最小值为．答案： 22 3πππ 8．给出三个命题：①函数y＝|sin(2x＋)|的最小正周期是；②函数y＝sin(x－)在区 322 3π5π5π 间[π，]上单调递增；③x＝是函数y＝sin(2x＋)的图象的一条对称轴．其中真命题 246 的个数是________． ππ 解析：由于函数y＝sin(2x＋)的最小正周期是π，故函数y＝|sin(2x＋)|的最小正 333π3ππ 周期是，①正确；y＝sin(x－)＝cosx，该函数在[π，)上单调递增， ②正确；当x＝ 2225π5π5π5π5π3π5π 时，y＝sin(2x＋)＝sin(＋)＝sin(＋)＝cos＝－，不等于函数的最值，46262662 5π5π 故x＝不是函数y＝sin(2x＋)的图象的一条对称轴，③不正确．答案：2 46 πx9．(2009年高考上海卷)当0≤x≤1时，不等式sin≥kx恒成立，则实数k的取值范围是 2 ________． πx解析：当0≤x≤1时，y＝sin的图象如图所示，y＝kx的图 2 象在[0，1]之间的部分应位于此图象下方，当k≤0时，y＝kx在[0，1]上的图象恒在x轴下方，原不等式成立． πx当k>0，kx≤sin时，在x∈[0，1]上恒成立，k≤1即可． 2 - 51 - πx故k≤1时，x∈[0，1]上恒有sin≥kx．答案：k≤1 2 22 10．(2009年高考重庆卷)设函数f(x)＝(sinωx＋cosωx)＋2cosωx(ω>0)的最小正周期为2ππ ．(1)求ω的值；(2)若函数y＝g(x)的图象是由y＝f(x)的图象向右平移个单位长度得32到，求y＝g(x)的单调增区间． 22 解：(1)f(x)＝sinωx＋cosωx＋2sinωx·cosωx＋1＋cos2ωx＝sin2ωx＋cos2ωx＋2＝ 2π2π3π 2sin(2ωx＋)＋2，依题意，得＝，故ω＝． 42ω32 5πππ (2)依题意，得g(x)＝2sin[3(x－)＋]＋2＝2sin(3x－)＋2． 244 5π227ππππ 由2kπ－≤3x－≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)． 24234312 27ππ2 故g(x)的单调增区间为[kπ＋，kπ＋](k∈Z)． 34312 π 11．(2009年高考陕西卷)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A>0，ω>0，0<φ<)的 2 2π 周期为π，且图象上一个最低点为M(，－2)． 3 π (1)求f(x)的解析式；(2)当x∈[0，]时，求f(x)的最值． 12 2π2π2π 解：(1)由最低点为M(，－2)得 A＝2．由T＝π得ω＝＝＝2． 3Tπ 2π4π4π 由点M(，－2)在图象上得2sin(＋φ)＝－2，即sin(＋φ)＝－1， 3334π11ππππ∴＋φ＝2kπ－(k∈Z)，即φ＝2kπ－，k∈Z．又φ∈(0，)，∴φ＝， 32626 π ∴f(x)＝2sin(2x＋)． 6ππππππ (2)∵x∈[0，]，∴2x＋∈[，]，∴当2x＋＝，即x＝0时，f(x)取得最小值1； 1266366 πππ 当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值3． 6312 π 12．(2009年高考福建卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω>0，|φ|<． 2 3ππ (1)若coscosφ－sinsinφ＝0，求φ的值； 44 π (2)在(1)的条件下，若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数f(x) 3 的解析式；并求最小正实数m，使得函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数． 3ππππ 解：法一：(1)由coscosφ－sinsinφ＝0得coscosφ－sinsinφ＝0， 4444 πππ 即cos(＋φ)＝0．又|φ|<，∴φ＝． 424 Tπ2ππ (2)由(1)得，f(x)＝sin(ωx＋)．依题意，＝，又T＝，故ω＝3， ω423 π ∴f(x)＝sin(3x＋)．函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数为 4 - 52 - g(x)＝sin[3(x＋m)＋]，g(x)是偶函数当且仅当3m＋＝kπ＋(k∈Z)， kπππ即m＝＋(k∈Z)．从而，最小正实数m＝． 31212法二：(1)同法一． Tπ2ππ (2)由(1)得 ，f(x)＝sin(ωx＋)．依题意，＝．又T＝，故ω＝3， ω423 π ∴f(x)＝sin(3x＋)． 4 π 函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数为g(x)＝sin[3(x＋m)＋]． 4 g(x)是偶函数当且仅当g(－x)＝g(x)对x∈R恒成立， ππ 亦即sin(－3x＋3m＋)＝sin(3x＋3m＋)对x∈R恒成立． 44ππ ∴sin(－3x)cos(3m＋)＋cos(－3x)·sin(3m＋) 44ππ ＝sin3xcos(3m＋)＋cos3xsin(3m＋)， 44ππππ 即2sin3xcos(3m＋)＝0对x∈R恒成立．∴cos(3m＋)＝0，故3m＋＝kπ＋(k∈Z)， 4442 kπππ∴m＝＋(k∈Z)，从而，最小正实数m＝． 31212 π 4π4π2 第六章 三角恒等变形 第一节 同角三角函数的基本关系 A组 1．已知sinα＝ 510，sin(α－β)＝－，α、β均为锐角，则β等于________． 510 310ππ2 解析：∵α、β均为锐角，∴－<α－β<，∴cos(α－β)＝1－sin(α－β)＝． 2210∵sinα＝5 ，∴cosα＝ 5 1－(525)2＝． 55 2 ． 2 ∴sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝ πππ∵0<β<，∴β＝．答案： 244 33π 2．已知0<α<<β<π，cosα＝，sin(α＋β)＝－，则cosβ的值为________． 255 344πππ 解析：∵0<α<，<β<π，∴<α＋β<π．∴sinα＝，cos(α＋β)＝－， 222255 4334 ∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝(－)×＋(－)×＝ 5555 2424－．答案：－ 2525 sin(α＋β)2 3．如果tanα、tanβ是方程x－3x－3＝0的两根，则＝________． cos(α－β) - 53 - sin(α＋β)sinαcosβ＋cosαsinβ 解析：tanα＋tanβ＝3，tanαtanβ＝－3，则＝ cos(α－β)cosαcosβ＋sinαsinβ tanα＋tanβ333＝＝＝－．答案：－ 1＋tanαtanβ1－322 47ππ 4．(2008年高考山东卷改编)已知cos(α－)＋sinα＝3，则sin(α＋)的值是___． 656314134 cosα＋sinα＋sinα＝3，即cosα＋sinα＝， 225225 744π4π 得sin(α＋)＝，sin(α＋π)＝－sin(α＋)＝－．答案：－ 656655 ππ22 5．(原创题)定义运算ab＝a－ab－b，则sincos＝________． 1212 1πππππ2π2π2π2π 解析：sincos＝sin－sincos－cos＝－(cos－sin)－×2sin 1212121212121212212 解析：由已知得 1＋231＋23ππ1π cos＝－cos－sin＝－．答案：－ 1262644 6παα 6．已知α∈(，π)，且sin＋cos＝． 2222 3π (1)求cosα的值；(2)若sin(α－β)＝－，β∈(，π)，求cosβ的值． 52 61αα 解：(1)因为sin＋cos＝，两边同时平方得sinα＝． 2222 3π 又<α<π．所以cosα＝－． 22 πππππ (2)因为<α<π，<β<π，所以－π<－β<－，故－<α－β<． 22222 34 又sin(α－β)＝－，得cos(α－β)＝． 55 cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β) 341343＋3＝－×＋×(－)＝－． 252510 B组 cos2α1＋tanα1．·的值为________． 1＋sin2α1－tanα 22 cos2α1＋tanαcosα－sinα1＋tanα 解析：·＝ 2·1＋sin2α1－tanα(sinα＋cosα)1－tanαcosα－sinα1＋tanα1－tanα1＋tanα＝·＝·＝1． sinα＋cosα1－tanα1＋tanα1－tanα 2 3sin2x－2sinxπ 2．已知cos(＋x)＝，则的值为________． 451－tanx33π 解析：∵cos(＋x)＝，∴cosx－sinx＝2， 455 2 187sin2x－2sinx2sinx(cosx－sinx)7 ∴1－sin2x＝，sin2x＝，∴＝＝sin2x＝． 25251－tanxcosx－sinx25 cosxππ 3．已知cos(α＋)＝sin(α－)，则tanα＝________． 33 - 54 - 3πππ1π 解析：cos(α＋)＝cosαcos－sinαsin＝cosα－sinα，sin(α－) 3332233ππ1 ＝sinαcos－cosαsin＝sinα－cosα， 3322 1313 由已知得：(＋)sinα＝(＋)cosα，tanα＝1． 2222 3π5π3πππ3 4．设α∈(，)，β∈(0，)，cos(α－)＝，sin(＋β)＝，则sin(α＋β)＝________． 44445413 π3ππππ3π4 解析：α∈(，)，α－∈(0，)，又cos(α－)＝，∴sin(α－)＝． 44424545 3π3π3π53π12π ∵β∈(0，)，∴＋β∈(，π)．∵sin(＋β)＝，∴cos(＋β)＝－， 444413413 3ππ ∴sin(α＋β)＝－cos[(α－)＋(＋β)] 443π3π3124556ππ ＝－cos(α－)·cos(＋β)＋sin(α－)·sin(＋β)＝－×(－)＋×＝， 44445135136556 即sin(α＋β)＝． 6511π 5．已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈(0，)，则cos(α－β)的值等于________． 332 17π2 解析：∵α∈(0，)，∴2α∈(0，π)．∵cosα＝，∴cos2α＝2cosα－1＝－，∴sin2α 23942π22＝1－cos2α＝，而α，β∈(0，)，∴α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝1－cos(α＋β) 92227 ＝，∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝(－)×(－ 391422223)＋×＝． 39327 π 1＋2cos(2α－)43 6．已知角α在第一象限，且cosα＝，则＝________． π5 sin(α＋)2 π 1＋2cos(2α－) 434 解析：∵α在第一象限，且cosα＝，∴sinα＝，则＝ π55 sin(α＋) 222 cos2α＋sin2α)2222cosα＋2sinαcosα4314 ＝＝2(sinα＋cosα)＝2(＋)＝． cosαcosα555 2ππ 7．已知a＝(cos2α，sinα)，b＝(1，2sinα－1)，α∈(，π)，若a·b＝，则tan(α＋)的 254 值为________． 2 解析：a·b＝cos2α＋2sin2α－sinα＝1－2sin2α＋2sin2α－sinα＝1－sinα＝，∴sinα 5 343ππtanα＋11＝，又α∈(，π)，∴cosα＝－，tanα＝－，∴tan(α＋)＝＝． 525441－tanα7 tan10°tan70° 8．的值为______． tan70°－tan10°＋tan120°1＋2( - 55 - 解析：由tan(70°－10°)＝ tan70°－tan10° ＝3， 1＋tan70°·tan10° 故tan70°－tan10°＝3(1＋tan70°tan10°)，代入所求代数式得： tan70°tan10°tan70°tan10°tan70°tan10° ＝＝＝ 3(1＋tan70°tan10°)＋tan120°3(1＋tan70°tan10°)－33tan70°tan10°3． 3 π sin(α＋)4 9．已知角α的终边经过点A(－1，15)，则的值等于________． sin2α＋cos2α＋1 π sin(α＋) 412 解析：∵sinα＋cosα≠0，cosα＝－，∴＝＝－2． 4sin2α＋cos2α＋14cosα cos20° 10．求值：·cos10°＋3sin10°tan70°－2cos40°． sin20° cos20°cos10°3sin10°sin70° 解：原式＝＋－2cos40° sin20°cos70°＝＝ cos20°cos10°＋3sin10°cos20° －2cos40° sin20° cos20°(cos10°＋3sin10°) －2cos40° sin20° 2cos20°(cos10°sin30°＋sin10°cos30°)＝－2cos40° sin20° 2cos20°sin40°－2sin20°cos40°＝＝2． sin20° 11．已知向量m＝(2cos，1)，n＝(sin，1)(x∈R)，设函数f(x)＝m·n－1． 22 5 (1)求函数f(x)的值域；(2)已知锐角△ABC的三个内角分别为A，B，C，若f(A)＝， 13 3 f(B)＝，求f(C)的值． 5解：(1)f(x)＝m·n－1＝(2cos，1)·(sin，1)－1＝2cossin＋1－1＝sinx． 2222 ∵x∈R，∴函数f(x)的值域为[－1，1]． 5353 (2)∵f(A)＝，f(B)＝，∴sinA＝，sinB＝． 135135 12422 ∵A，B都为锐角，∴cosA＝1－sinA＝，cosB＝1－sinB＝． 135 ∴f(C)＝sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB 541235656＝×＋×＝．∴f(C)的值为． 1351356565 4ππ1 12．(2010年南京调研)已知：0<α<<β<π，cos(β－)＝，sin(α＋β)＝． 2435π (1)求sin2β的值；(2)求cos(α＋)的值． 4 221πππ 解：(1)法一：∵cos(β－)＝coscosβ＋sinsinβ＝cosβ＋sinβ＝， 444223 xxxxxx- 56 - 227，∴1＋sin2β＝，∴sin2β＝－． 399 7ππ2 法二：sin2β＝cos(－2β)＝2cos(β－)－1＝－． 249 3ππππ3πππ (2)∵0<α<<β<π，∴<β－<，<α＋β<，∴sin(β－)>0，cos(α＋β)<0． 2444224∴cosβ＋sinβ＝ 43π1π22 ∵cos(β－)＝，sin(α＋β)＝，∴sin(β－)＝，cos(α＋β)＝－． 435435ππππ ∴cos(α＋)＝cos[(α＋β)－(β－)]＝cos(α＋β)cos(β－)＋sin(α＋β)sin(β－) 44443142282－3 ＝－×＋×＝． 535315 第二节 两角和与差及二倍角的三角函数 A组 35πππ 1．若sinα＝，α∈(－，)，则cos(α＋)＝________． 5224 34ππ 解析：由于α∈(－，)，sinα＝得cosα＝，由两角和与差的余弦公式得：cos(α＋ 22555π22)＝－(cosα－sinα)＝－． 4210 311112．已知π<θ<π，则 ＋ ＋cosθ＝________． 22222 3ππθ3ππθ3π 解析：∵π<θ<，∴<<，<<． 2224448 11 ＋ 22＝ 11 ＋cosθ＝ 22 11＋ 22 2θcos 2 11θθ－cos＝sin． 2224 cos10°＋3sin10° 3．(2010年南京市调研)计算：＝________． 1－cos80° cos10°＋3sin10°2cos(10°－60°)2cos50°解析：＝＝＝2． 2 1－cos80°2sin40°2sin40° 2 4．(2009年高考上海卷)函数y＝2cosx＋sin2x的最小值是__________________． 2 解析：y＝2cosx＋sin2x＝sin2x＋1＋cos2x＝sin2x＋cos2x＋1 π ＝2sin(2x＋)＋1≥1－2． 4 1122 5．(原创题)函数f(x)＝(sinx＋2)(cosx＋2)的最小值是________． 2010sinx2010cosx44 (2010sinx＋1)(2010cosx＋1) 解析：f(x)＝ 2222010sinxcosx24444 2010sinxcosx＋2010(sinx＋cosx)＋1＝ 222 2010sinxcosx20112222 ＝sinxcosx＋≥(2011－1)． 222－2010sinxcosx20102010ππ 6．已知角α∈(，)，且(4cosα－3sinα)(2cosα－3sinα)＝0． 42 - 57 - ππ (1)求tan(α＋)的值；(2)求cos(－2α)的值． 43 解：∵(4cosα－3sinα)(2cosα－3sinα)＝0， 443ππ 又α∈(，)，∴tanα＝，sinα＝，cosα＝， 42355 π4 tanα＋tan＋1 43π (1)tan(α＋)＝＝＝－7． π44 1－tanαtan1－ 437242 (2)cos2α＝2cosα－1＝－，sin2α＝2sinαcosα＝， 2525 17324243－7πππ cos(－2α)＝coscos2α＋sinsin2α＝×(－)＋×＝． 33322522550 B组 2π1π 1．若tan(α＋β)＝，tan(β－)＝，则tan(α＋)＝_____． 5444 21π tan(α＋β)－tan(β－)－4543ππ 解析：tan(α＋)＝tan[(α＋β)－(β－)]＝＝＝． π442122 1＋tan(α＋β)tan(β－)1＋×454 1 2．(2009年高考陕西卷改编)若3sinα＋cosα＝0，则的值为________． 2 cosα＋sin2α 22 1sinα＋cosα 解析：由3sinα＋cosα＝0得cosα＝－3sinα，则2＝2＝ cosα＋sin2αcosα＋2sinαcosα 22 9sinα＋sinα10 ． 22＝9sinα－6sinα3 3．设a＝sin14°＋cos14°，b＝sin16°＋cos16°，c＝6 ，则a、b、c的大小关系是 2 解析：a＝2sin59°，c＝2sin60°，b＝2sin61°，∴a 或a＝1＋sin28°<1＋＝，b＝1＋sin32°>1＋＝，c＝，∴a 4．2＋2cos8＋21－sin8的化简结果是________． 22解析：原式＝4cos4＋2(sin4－cos4)＝|2cos4|＋2|sin4－cos4|＝－2sin4． 110πππ 5．若tanα＋＝，α∈(，)，则sin(2α＋)的值为_________． tanα3424 22tanα3π 解析：由题意知，tanα＝3，sin(2α＋)＝(sin2α＋cos2α)，而sin2α＝＝，2 421＋tanα51－tanα42342π cos2α＝(－)＝－． 2＝－．∴sin(2α＋)＝1＋tanα5425510 2 6．若函数f(x)＝sin2x－2sinx·sin2x(x∈R)，则f(x)的最小正周期为________． 12ππ2 解析：f(x)＝sin2x(1－2sinx)＝sin2xcos2x＝sin4x，所以T＝＝． 242 2cos5°－sin25° 7．(2010年无锡质检)的值为________． cos25° 2cos(30°－25°)－sin25°3cos25° 解析：由已知得：原式＝＝＝3． cos25°cos25° - 58 - 2 8．向量a＝(cos10°，sin10°)，b＝(cos70°，sin70°)，|a－2b|＝________________． 222 解析：|a－2b|＝(cos10°－2cos70°)＋(sin10°－2sin70°)＝5－4cos10°cos70°－4sin10°sin70°＝5－4cos60°＝3，∴|a－2b|＝3． 1－cos2α1 9．(2010年江苏省南通市调研)已知＝1，tan(β－α)＝－，则tan(β－2α)＝ sinαcosα3 ________． 2 1－cos2α1－tanα12tanα1 解析：因为＝1，即1－2＝×2，所以2tanα＝1，即tanα＝， sinαcosα1＋tanα21＋tanα2 11－－32tan(β－α)－tanα 所以tan(β－2α)＝tan(β－α－α)＝＝＝－1． 1＋tan(β－α)tanα1 1－62 sin2α＋cos(π－α)π 10．已知tanα＝2．求(1)tan(α＋)的值；(2)的值． 41＋cos2α π1＋tanαπ1＋2 解：(1)∵tan(α＋)＝，tanα＝2，∴tan(α＋)＝＝－3． 41－tanα41－222 sin2α＋cos(π－α)2sinαcosα＋cosα2sinα＋cosα15(2)＝＝＝tanα＋＝． 2 1＋cos2α2cosα2cosα22 11．如图，点A，B是单位圆上的两点，A，B两点分别在第一、二象限，点C是圆与x轴正 骣34÷,÷，记∠COA半轴的交点，△AOB是正三角形，若点A的坐标为ççç桫55÷＝α． 1＋sin2α2 (1)求的值；(2)求|BC|的值． 1＋cos2α 34 解：(1)∵A的坐标为(，)，根据三角函数的定义可知，sinα＝ 55 431＋sin2α1＋2sinαcosα49，cosα＝，∴＝＝． 2551＋cos2α2cosα18 (2)∵△AOB为正三角形，∴∠AOB＝60°．∴cos∠COB＝cos(α＋60°)＝cosαcos60°－ 31433－43 sinαsin60°．＝×－×＝， 5252103－437＋43222 ∴|BC|＝|OC|＋|OB|－2|OC|·|OB|cos∠COB＝1＋1－2×＝． 105 sinA＋sinB12．(2009年高考江西卷)△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，tanC＝， cosA＋cosBsin(B－A)＝cosC．(1)求角A，C．(2)若S△ABC＝3＋3，求a，c． sinA＋sinBsinCsinA＋sinB解：(1)因为tanC＝，即＝， cosA＋cosBcosCcosA＋cosB所以sinCcosA＋sinCcosB＝cosCsinA＋cosCsinB， 即sinCcosA－cosCsinA＝cosCsinB－sinCcosB， 得sin(C－A)＝sin(B－C)， 所以C－A＝B－C，或C－A＝π－(B－C)(不成立)， 2ππ 即2C＝A＋B，得C＝，所以B＋A＝． 33 15ππ 又因为sin(B－A)＝cosC＝，则B－A＝或B－A＝(舍去)， 266 5ππππ 得A＝，B＝．故A＝，C＝． 41243 - 59 - 16＋2acac(2)S△ABC＝acsinB＝ac＝3＋3，又＝，即 ＝， 28sinAsinC23 22得a＝22，c＝23． 第七章 解三角形 第一节 正弦定理与余弦定理 1．（2008·陕西理，3）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c=B=120°，则a等于 （ ） A．6 答案 D 2．（2008·福建理，10）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若 B．2 C．3 D．2 2，b= 6， (a2+b2-c2)tanB=A． 3ac，则角B的值为( D ) 52； B．； C．或； D．或． 6363633．下列判断中正确的是（ B ） A．△ABC中，a=7，b=14，A=30°，有两解 B．△ABC中，a=30，b=25，A=150°，有一解 C．△ABC中，a=6，b=9，A=45°，有两解 D．△ABC中，b=9，c=10，B=60°，无解． 4．在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC一定是 （ B ） A．等腰直角三角形； B．等腰三角形 C．直角三角形；D．等边三角形． 5．在△ABC中，A=120°，AB=5，BC=7，则 8558sinB的值为（ D ） sinC5335A．； B．； C．； D． 6．△ABC中，若a+b+c=2c(a+b)，则∠C的度数是 （ B ） A．60°； B．45°或135°； C．120°； D．30°． 7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=1，b=B= ． 答案 5 64442227，c=3，则8．在△ABC中，A=60°，AB=5，BC=7，则△ABC的面积为 答案 103 9．（2008·浙江理，13）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若 (3b-c)cosA=acosC，则cosA= ． 答案 3 3- 60 - 10． 在△ABC中，已知a=3，b=2，B=45°，求A、C和c． 解 ∵B=45°＜90°且asinB＜b＜a，∴△ABC有两解． 由正弦定理得sinA= asinB3sin453= =， b22则A为60°或120°． ①当A=60°时，C=180°-(A+B)=75°， c= 2sin75bsinC==sin45sinB 2sin(4530)62=． sin452②当A=120°时，C=180°-(A+B)=15°， c= 2sin15bsinC==sin45sinB2sin(4530)= sin4562． 26262或A=120°，C=15°，c=． 22故在△ABC中，A=60°，C=75°，c= 11．在△ABC中，a、b、c分别是角A，B，C的对边，且 cosBb=-． cosC2a+b（1）求角B的大小；（2）若b=解 （1）由余弦定理知：cosB= 13，a+c=4，求△ABC的面积． a2c2b2a2b2c2，cosC=． 2ac2aba2c2b22abbbcosB 将上式代入=-得:·222=- cosC2ac2acabc2aca2c2b2ac1整理得:a+c-b=-ac∴cosB== =- 2ac22ac2 2 2 ∵B为三角形的内角，∴B=（2）将b=13，a+c=4，B= 2． 3222222 代入b=a+c-2accosB，得b=(a+c)-2ac-2accosB 32433121∴b=16-2ac． 1，∴ac=3．∴S△ABC=acsinB= 212． 在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果(a2+b2)sin(A-B) =(a2-b2)sin(A+B)，判断三角形的形状． 解 方法一、已知等式可化为a［sin（A-B）-sin（A+B）］=b［-sin（A+B）-sin(A-B)］22 ∴2acosAsinB=2bcosBsinA 22 由正弦定理可知上式可化为：sinAcosAsinB=sinBcosBsinA ∴sinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0∴sin2A=sin2B，由0＜2A，2B＜2 得2A=2B或2A=-2B，即A=B或A= 2 2 2 -B，∴△ABC为等腰或直角三角形． 22 方法二 同方法一可得2acosAsinB=2bsinAcosB 222b2c2a22acb22222222 由正、余弦定理，可得ab= ba ∴a(b+c-a)=b(a+c-b) 2bc2ac2 - 61 - 即(a-b)(a+b-c)=0∴a=b或a+b=c∴△ABC为等腰或直角三角形． 13．已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S， 22222222 2S=(a+b)-c2，求tanC的值． 解 依题意得absinC=a+b-c+2ab，由余弦定理知，a+b-c=2abcosC． 所以，absinC=2ab(1+cosC)，即sinC=2+2cosC，所以2sin CC2=-4． 化简得：tan=2．从而tanC= C321tan222tanCC2Ccos =4cos 2222 2 2 2 2 2 214．已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等差数列，且 2cos2B-8cosB+5=0，求角B的大小并判断△ABC的形状． 2 解 方法一 ∵2cos2B-8cosB+5=0，∴2(2cosB-1)-8cosB+5=0． 2 ∴4cosB-8cosB+3=0， 即(2cosB-1)(2cosB-3)=0． 解得cosB=或cosB=（舍去）．∴cosB=．∵0＜B＜，∴B= 123212． 3ac2)12=， 2ac2∵a，b，c成等差数列，∴a+c=2b．∴cosB=化简得a+c-2ac=0，解得a=c．又∵B= 2 2 acb=2ac222a2c2(，∴△ABC是等边三角形． 32 方法二 ∵2cos2B-8cosB+5=0，∴2（2cosB-1）-8cosB+5=0． 2 ∴4cosB-8cosB+3=0，即(2cosB-1)(2cosB-3)=0． 解得cosB=或cosB=（舍去）．∴cosB=，∵0＜B＜，∴B= 123212， 3=3． 3∵a，b，c成等差数列，∴a+c=2b．由正弦定理得sinA+sinC=2sinB=2sin∴sinA+sin32222cosA-cossinA=3． A=3，∴sinA+sin333化简得sinA+∴A+ 3cosA=3，∴sinA =1． 26=，∴A=，∴C=，∴△ABC为等边三角形． 623315． （2008·广东五校联考）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a+b=5，c=7，且4sin 2 AB7-cos2C=． 22(1)求角C的大小；（2）求△ABC的面积． 解 （1）∵A+B+C=180°，由4sin∴4· 2 AB772C-cos2C=，得4cos-cos2C=， 22221cosC7122 -(2cosC-1)=，整理，得4cosC-4cosC+1=0，解得cosC=， 222∵0°＜C＜180°，∴C=60°． 222222 (2)由余弦定理得c=a+b-2abcosC，即7=a+b-ab，∴7=(a+b)-3ab， - 62 - 由条件a+b=5，得7=25-3ab，ab=6，∴S△ABC=absinC=×6× 1212333=． 22 第二节 正弦定理、余弦定理的应用 1．从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则、的关系为（ B ） A．＞； B．=； C．+=90°； D．+=180°． 2．已知A、B两地的距离为10 km，B、C两地的距离为20 km，现测得∠ABC=120°，则A、C两地的距离为（ D ） A．10 km ； B．3 km； C．105 km； D．107km 3．为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20 m的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，那么塔AB的高度是（ A ） 骣3÷骣3÷çç÷A．20ç； B．1+m201+÷m； C．201+3m； D．30 m． ç÷÷çç÷÷çç桫3桫2()4．如图，位于港口O正东20海里B处的渔船回港时出现故障．位于港口南偏西30°，距港 口10海里C处的拖轮接到海事部门营救信息后以30海里/小时的速度沿直线CB去营救渔船，则拖轮到达B处需要_______小时． 22解析：由余弦定理得BC＝20＋10－2×10×20cos120° 7 ＝107，从而需小时到达B处．答案： 3 5．(2010年南京市高中联考)如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A，B，灯塔B位于灯塔A的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A的 北偏西75°，与A相距32海里的D处；乙船位于灯塔B的北 偏西60°方向，与B相距5海里的C处．则两艘轮船之间的距 离为________海里． 解析：连结AC．则AC＝5，在△ACD中，AD＝32， AC＝5，∠DAC＝45°，由余弦定理得CD＝13． 答案：13 6．(2010年宁波十校联考)一船向正北方向匀速行驶，看见正西方 向两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半 小时后，看见其中一座灯塔在南偏西60°方向上，另一灯塔在南 偏西75°方向上，则该船的速度是________海里/小时． 解析：假设该船从A处航行到了D处，两座灯塔分别在B、C位置，如图，设AD长为x，则AB＝xtan60°，AC＝xtan75°，所以BC＝xtan75° 5 －xtan60°＝10，解得x＝5，所以该船的速度v＝＝10(海里/小时)． 0.5 答案：10 7．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD．已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米． 解析：连结OC，在三角形OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝ 1222 60°，由余弦定理可得OC＝100＋150－2×100×150×＝17500， 2 - 63 - ∴OC＝507．答案：507 8．(原创题)在Rt△ABC中，斜边AB＝2，内切圆的半径为r，则r的最大值为________． 2 a＋b－ca＋b(a＋b)222 解析：∵r＝＝－1，∵4＝a＋b≥，∴(a＋b)≤8，∴a＋b≤22， 222∴r≤2－1．答案：2－1 9．(2009年高考辽宁卷)如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°、30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0．1 km．试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B、D的距离(计算结果精确到0．01 km，2≈1．414，6≈2．449)． 解：在△ACD中，∠DAC＝30°， ∠ADC＝60°－∠DAC＝30°， 所以CD＝AC＝0．1．又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°， 故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA． ABACACsin60° 在△ABC中，＝，所以AB＝ sin∠BCAsin∠ABCsin15°32＋6 ＝． 20 32＋6 同理，BD＝≈0．33(km)， 20 故B、D的距离约为0．33 km． 第八章 数列 1．已知数列an满足条件(n1)an1(n1)(an1)，且a26，设bnann， 2那么数列an的通项公式是an2nn． 2、x=ab是a、x、b成等比数列的( D ) 条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 3、已知数列{an}的前n项和Sn=a-1(a喂R,an0)，则数列{an}（ C ） A．一定是等差 B．一定是等比 C．或是等差或是等比 D．既非等差又非等比 4、弹子跳棋共有60颗大小的球形弹子，现在棋盘上将它叠成正四面体形球垛，使剩下的弹子尽可能的少，那么剩余的弹子有（ B ） A． 0颗 B．4颗 C．5颗 D．11颗 5、某学生家长为缴纳该学生上大学时的教育费，于2003年8月20号从银行贷款a元，为还清这笔贷款，该家长从2004年起每年的8月20号便去银行偿还确定的金额，计划恰好在贷款的m年后还清，若银行按年利息为p的复利计息（复利：即将一年后的贷款利息也纳入本金计算新的利息），则该学生家长每年的偿还金额是 （ D ） ap(1+p)ap(1+p)aA．； B．； C．n+1mpn-1(1+p)-1n+1n+1； D． ap(1+p)nn． (1+p)-1 6、已知an为等比数列，a12,q3，又第m项至第n项的和为720(mn)，则 m 3 ，n 6 2*7、数列an对任意nN都满足an2anan4，且a32,a74,an0，则a118 - 64 - x211178、已知函数f(x)，那么 f(1)f(2)f()f(3)f()f(4)f()21x23429、一个项数为偶数的等比数列，首项是1，且所有奇数项之和是85，所有偶数项之和是170， 则此数列共有_8 _项 10、在各项为正数的等比数列an中，已知a3a411a2a4，且前2n项的和等于它的 1． n21011、已知数列an中，a160,an1an3，那么|a1||a2||a30|的值为 765 ． 前2n项中偶数项之和的11倍，则数列an的通项公式an12、等差数列an中，a10，且3a85a13，则{Sn}中最大项为S20． 13、已知一个等差数列前五项的和是120，后五项的和是180，又各项之和是360，则此数列共有 12项． 114、设f(x)x，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得： 3313f(12)f(11)f(10)f(0)f(11)f(12)f(13)的值为3． 315、已知数列an的通项an(2n1)2n1，前n项和为Sn，则Sn=1(2n1)2n． 16、数列 111132n3前n项的和等于． ,,,,222242(n1)(n2)1224364817、已知数列{an}是首项为a1，公差为d(0d2)的等差数列，若数列{cosan}是等比数列，则其公比为（ B ） A. 1 B. 1 C. 1 D. 2 18、已知在数列an中，a11,a2nqa2n1,a2n1a2n+d (q、dR，q>0)． （1）若q2,d1,求a3,a4并猜测a2006； （2）若a2n1是等比数列，且a2n是等差数列，求q,d满足的条件． 解：（1）a11,a22,a3a211,a42a32,猜测a20062． （2）由a2nqa2n1,a2n1a2n+d(q,d喂R,q0)，得a2n1qa2n1d． 当d0时，显然a2n1qa2n1，a2n1是等比数列． 当d0时，因为a11,只有a2n11时，a2n1才是等比数列． 由a2n1qa2n1d，得qd1,即d0,q0，或q+d=1． 由a2nqa2n1,a2n1a2n2d得a2nqa2n2qd(n2)． 当q1,a2na2n2d(n2)，显然a2n是等差数列， 当q1时，a2qa1q， 只有a2nq时，a2n才是等差数列． 由a2n2q(a2nd)，得qd1,即q1,qd1． 综上所述：q+d=1． 19．已知一个等差数列的前10项和是310，前20项和是1220，试求其前n项和． 解：由题设： S10310 S201220 10a145d310a14得： 20a190d1220d61- 65 - ∴ Sn4nn(n1)63n2n 2 第九章 平面向量 1．已知三个向量a=(cos1，sin1)，b=(cos2，sin2)，c=(cos3，sin3)，满足 2abc0，则a与b的夹角为 32、下列命题： rr（1）若a与b为非零向量，且a//b时，则a-b必与a或b中之一的方向相同； rrrrrr（2）若e为单位向量，且a//e，则a=a?e； rrrr（3）a鬃aa=a rrrrrr（4）若a与b共线，又b与c共线，则a与c必共线 uuuruuuruuuruuur（5）若平面内四个点A、B、C、D则必有AB+BD=BC+AD 正确的命题个数为（ D ） A．1 B．2 C．3 D．0 3、若O为平行四边形ABCD的中心，AB=4e1， BC6e2,则3e22e1等于（ B ） A．AO B．BO C．CO D．DO 194、若a(5,7),b(1,2)，且（ab）b，则实数的值为． 55、已知|a||b|2，a与b的夹角为 ，则ab在a上的投影为 3 ． 36、在直角坐标平面上，向量OA(4,1)，向量OB(2,3)，两向量在直线l上的正射影长度相等，则直线l的斜率为3或-1． 27、设平面向量a=(-2，1)，b=(1，)，若a与b的夹角为钝角，则的取值范 11(,)(,2)． 228、已知向量OB(2,0),OC(2,2),CA(2cos,2sin)，则向量OA,OB的夹角范围是 轾p5p犏, 犏1212臌9、将函数y2x的图象按向量 a平移后得到y2x6的图象，给出以下四个命题： ①a的坐标可以是(3,0)； ②a的坐标可以是(3,0)和(0,6)； ③a的坐标可以是(0,6)； ④a的坐标可以有无数种情况． 上述说法正确的是①②③④． 1510、已知ABC中，则a与b的夹角为 1500． CBa,CAb,ab0,SABC,|a|3,|b|5， 411、若△ABC三边长AB=5，BC=7，AC=8，则ABBC等于 5 ． 12．已知|a|4,|b|3,a,b的夹角为120°，且ca2b，d2akb，当cd时，k= ． 13．已知A（3，y），B（5，2），C（6，9）三点共线，则y=_________． - 66 - 14．若a=（1，2），b=（3，2），k为何值时:（1）ka+b与a－3b垂直；（2）ka+b与a－3b平行？ 15． 已知|a|=4，|b|=3，（2a－3b）·（2a+b）=61，求：(i)a与b的夹角θ; (ii) |a2b|． 16． 已知ABC的顶点坐标分别为A（1，2），B（2，3），C（－2，5），求cosA． - 67 - 22，）．（1）若a为单位向量，求x的值；（2）22设f（x）=a·b，则函数y=f（x）的图象是由y=sinx的图象如何平移得到？ 17．设a=（sinx－1，cosx－1），b=（ 33xx22222（1）求 ab及ab; （2）求函数f(x)ababsinx的最小值． 18．已知a(cosx,sinx),b(cos,sin)，且x[0,]． - 68 - 第十章 算法 第一节 程序框图 A组 1．(2009年高考福建卷改编)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是________． 解析：试将程序分步运行： 1 第一循环：S＝＝－1，n＝2； 1－2 11 第二循环：S＝＝，n＝3； 1－(－1)21 第三循环：S＝＝2，n＝4．答案：4 11－2 2．(2009年高考宁夏、海南卷改编)如果执行如图的程序框图，输入x＝－2，h＝0．5，那么输出的各个数的和等于________． 解析：由框图可知，当x＝－2时，y＝0； 当x＝－1．5时，y＝0；当x＝－1时，y＝0； 当x＝－0．5时，y＝0；当x＝0时，y＝0； 当x＝0．5时，y＝0．5；当x＝1时，y＝1； 当x＝1．5时，y＝1；当x＝2时，y＝1． ∴输出的各数之和为3．5． 答案：3．5 3．(2009年高考山东卷改编)执行下面的程序框图，输出的T＝________． 第2题 第3题 解析：据框图依次为： - 69 - S＝5， n＝2，T＝2， S＝10， n＝4，T＝6， S＝15， n＝6，T＝12， S＝20， n＝8，T＝20， S＝25， n＝10，T＝30， 故此时应输出T＝30．答案：30 4．(2010年南京市高三调研)阅读下面的流程图，若输入a＝6，b＝1，则输出的结果是________． 解析：a＝6，b＝1，则x＝5>2，再次进入循环得a＝4，b＝6，此时x＝2，退出循环．故输出2．答案：2 5．(2010年苏、锡、常、镇四市高三调研)阅读如图所示的程序框图，若输入的n是100，则输出的变量S的值是多少？ 第5题 第6题 解析：由循环结构可得S＝100＋99＋…＋3＋2＝5049． 故输出的变量S的值为5049．答案：5049 6．(原创题)已知如图所示的程序框图(未完成)，设当箭头a指向①时，输出的结果为S＝m，当箭头a指向②时，输出的结果为S＝n，求m＋n的值． 解：(1)当箭头a指向①时，输出S和i的结果如下： S 0＋1 0＋2 0＋3 0＋4 0＋5 i 2 3 4 5 6 ∴S＝m＝5． (2)当箭头a指向②时，输出S和i的结果如下： S 0＋1 0＋1＋2 0＋1＋2＋3 0＋1＋2＋3＋4 i 2 3 4 5 S 0＋1＋2＋3＋4＋5 i 6 - 70 - ∴S＝n＝1＋2＋3＋4＋5＝15，于是m＋n＝20． B组 1．(2010年温州调研)如图是一算法的程序框图，若此程序运行结果为s＝720，则在判断框中应填入的关于k的判断条件是__________． 解析：s＝10×9×8，10≥8，9≥8，8≥8，判断条件为“是”时进入循环体，7≥8判断条件为“否”，跳出循环，输出s．答案：k≥8 （第1题） （第2题） （第3题） 2．若R＝8，则下列流程图的运行结果为___4___． 3．给出一个如图所示的程序框图，若要使输入的x的值与输出的y的值相等，则x的可能值的个数为________． 2 解析：x≤2时，x＝x，∴x＝0或x＝1；2 x>5时，＝x，∴x＝－1或x＝1(都舍去)．所以共有3个可取值．答案：3 x4．如图，该程序运行后输出的结果为________． 解析：A＝1≤9，“是”，则S＝0＋1，A变为2；A＝2≤9，“是”，则S＝0＋1＋2，A变为3；…；A＝9≤9，“是”，则S＝0＋1＋…＋9，A变为10；A＝10≤9，“否”，则输出S＝45． 答案：45 5．已知流程图如图所示，该程序运行后，为使输出的b值为16，则循环体的判断框内①处应填____． 12 解析：a＝1时进入循环，此时b＝2＝2；a＝2时再进入循环，此时b＝2＝4；a＝3时 4 再进入循环，此时b＝2＝16，∴a＝4时应跳出循环，∴循环满足的条件为a≤3，∴填3． 答案：3 （第4题） （第5题） （第6题） - 71 - 6．按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是________． 解析：A＝1≤M，“是”，则S＝2×1＋1＝3，A变为2； A＝2≤M，“是”，则S＝2×3＋1＝7，A变为3； A＝3≤M，“是”，则S＝2×7＋1＝15，A变为4； A＝4≤M，“是”，则S＝2×15＋1＝31，A变为5； A＝5≤M，“是”，则S＝2×31＋1＝63，A变为6； A＝6≤M，“否”，则跳出循环，故填5． 7．(2009年高考广东卷改编)某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示： 队员i 1 2 3 4 5 6 三分球个数 a1 a2 a3 a4 a5 a6 下图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填______，输出的s＝______． (注：框图中的赋值符号“←”也可以写成“＝”或“：＝”) （第7题） （第8题） 解析：由题意该程序框图实际上是求该6名队员在最近三场比赛中投进三分球总数，故判断框应填i≤6或i<7，输出s为a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6． 8．(2009年高考上海卷)某算法的程序框图如图所示，则输出量y与输入量x满足的关系式是________． x解析：由程序框图的条件结构知：x>1时，y＝x－2；x≤1时，y＝2． x2 (x≤1)，故y＝ x－2 (x>1). 9．某流程如图所示，现输入如下四个函数 12 ①f(x)＝x；②f(x)＝；③f(x)＝lnx；④f(x)＝sinx． x则输入函数与输出函数为同一函数的是_____________． 解析：由程序框图易知只需函数为奇函数且存在零点时，输出与输入函数必是同一函数，分析上述四个函数，易知只有y＝sinx满足条件．答案：④ - 72 - （第9题） （第10题） 10．如图所示的算法中，令a＝tanθ，b＝sinθ，c＝cosθ，若在集合π3πππθ－<θ<，θ≠0，，中，给θ取一个值，输出的结果是sinθ，求θ值所在的范围． 4442 π3 解：由框图知，要输出a、b、c中最大的，当θ∈(，π)时，sinθ最大． 24 π3 ∴θ值所在的范围为(，π)． 24 1111 11．画出计算1＋＋＋…＋＋值的一个算法的流程图． 23910 （第11题） （第12题） 12．到银行办理个人异地汇款(不超过100万元)时，银行要收取一定的手续费．汇款额不超过100元，收取1元手续费；超过100元但不超过5000元，按汇款额的1%收取；超过5000元，一律收取50元手续费．设计算法求汇款额为x元时，银行收取的手续费y元，只画出流程图． 解：要计算手续费，首先要建立汇款数与手续费之间的函数关系式，依题意知y＝1 (0 - 73 - 第二节 程序语句 A组 1．(2010年徐州调研)如图，给出一个算法的伪代码，则f(－3)＋f(2)＝_－8__． Input x T←1 If x<0 Then I←3 y←(x＋1)(xWhile I<50 －1) T←T＋I Else I←I＋2 2 y←(x－1) End While End If Print T （第1题） （第2题） Print y （第3题） End 2．输入x＝5，运行下面的程序之后得到的y等于_16_． 3．(2010年泰州质检)根据如图所示的伪代码，可知输出的结果T为_625_． 4．(2009年高考安徽卷改编)程序框图(即算法流程图)如图所示，其输出结果是_127_． Input n S←0 I←1 While________ S←S＋I I←I＋1 Wend Print “S＝”；S End （第4题） （第5题） （第6题） 5．(原创题)编写程序求S＝1＋2＋3＋…＋n的和(n由键盘输入)，程序如图，则横线上应填__I≤n _． 6．(2009年高考江苏卷改编)下图是一个算法的流程图，求最后输出的W的值． 2 解：第一次：T＝1，S＝1－0＝1； Input x 2 第二次：T＝3，S＝3－1＝8； If x≤0 Then 2 第三次：T＝5，S＝5－8＝17． f(x)←4x 此时满足S≥10． Else 所以W＝S＋T＝17＋5＝22． f(x)←2x End If B组 Print f(x) 1．右面程序执行后输出的结果是__0__． n←5 S←0 While S<15 S←S＋n n←n－1 End While Print n - 74 - 2．下列程序的功能是：判断任意输入的数x是否是正数，若是，输出它的平方值；若不是，输出它的相反数．则填入的条件应该是_____ x≤0___． x←Input(“x＝”) If________ y←－x； Else y←x End If Print y 3．程序如下： 2a←Input(“a＝”) b←Input(“b＝”) c←Input(“c＝”) a←b b←c c←a Print a，b，c 若输入10，20，30，则输出结果为____20，30，20____． 4．(2010年南通调研)程序如下： t←1 i←2 While i≤4 t←t×i i←i＋1 End While Print t 以上程序输出的结果是_24_． 5．有下面算法： p←1 For k From 1 To 10 Step 3 p←p＋2×k－6 End For Print p - 75 - 则运行后输出的结果是_21_． 6．(2010年南京第一次调研)根据如图所示的伪代码，可知输出的结果I为_5_． S←1 I←1 While S<5 I＋1S←S× II←I＋1 End While Print I 111 7．现欲求1＋＋＋…＋的和(其中n的值由键盘输入)，已给出了其程序框图， 352n－1 请将其补充完整并设计出程序． 1 解：①i←i＋1 ②S←S＋ 2i－1 程序如下： Input n S←0 i←0 While i 1 S←S＋ 2i－1 Wend Print S End 2 8．已知函数y＝x＋2x(x∈[－10，10]，x∈Z)，编写程序，求该函数的最大值． - 76 - 第十一章 概率 第一节 古典概型 A组 1．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽验一只是正品(甲级品)的概率为________． 解析：记抽验的产品是甲级品为事件A，是乙级品为事件B，是丙级品为事件C，这三个事件彼此互斥，因而抽验产品是正品(甲级品)的概率为P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－5%－3%＝92%＝0．92．答案：0．92 2．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0．20，0．30，0．10，则此射手在一次射击中不够8环的概率为________． 解析：射中8环及以上的概率为0．20＋0．30＋0．10＝0．60，故不够8环的概率为1－0．60＝0．40．答案：0．40 3．从甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表，甲被选中的概率为________． 解析：从甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表的所有可能为：甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、 311 乙丁、丙丁，满足题意的有：甲乙、甲丙、甲丁，所以概率为P＝＝．答案： 622 4．(2010年佛山第二次质检)从一个信箱中任取一封信，记一封信的重量为ξ(单位：克)，如果P(ξ<10)＝0．3，P(10≤ξ≤30)＝0．4，则P(ξ>30)＝________． 解析：P(ξ>30)＝1－P(ξ<10)－P(10≤ξ≤30)＝1－0．3－0．4＝0．3．答案：0．3 5．某种电子元件在某一时刻是否接通的可能性是相同的，有3个这样的电子元件，则出现至少有一个接通的概率为________． - 77 - 解析：设电子元件接通记为1，没有接通记为0．又设A表示“3个电子元件至少有一个接通”，显然A表示“3个电子元件都没有接通”，Ω表示“3个电子元件的状态”，则Ω＝{(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)，(1，1，0)，(1，0，1)，(0，1，1)，(1，1，1)(0，0，0)}．Ω由8个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的，A＝{(0，0，0)}，1 事件A由1个基本事件组成，因此P(A)＝，∵P(A)＋P(A)＝1，∴P(A)＝1－P(A)＝1 8 177－＝．答案： 888 6．(2010年南京调研)某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求： (1)该队员只属于一支球队的概率； (2)该队员最多属于两支球队的概率． 解：从图中可以看出，3个球队共有20名队员， (1)记“随机抽取一名队员，该队员只属于一支球队”为事件 3＋5＋43 A，则P(A)＝＝．故随机抽取一名队员，该队员只属于 2053 一支球队的概率为． 5 (2)记“随机抽取一名队员，该队员最多属于两支球队”为事件B，则P(B)＝1－P(B)299＝1－＝．故随机抽取一名队员，该队员最多属于两支球队的概率为． 201010 B组 1．(2009年高考安徽卷)从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________． 解析：从四条线段中任取三条有4种取法：(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，其中能构成三角形的取法有3种：(2，3，4)，(2，4，5)，(3，4，5)，故所求的概率3为． 4 3答案： 4 11 2．甲射手击中靶心的概率为，乙射手击中靶心的概率为，甲、乙两人各射击一次，那么， 32 甲、乙不全击中靶心的概率为________． 1155 解析：P＝1－×＝．答案： 3266 3．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0．42，摸出白球的概率是0．28，那么摸出黑球的概率是________． 解析：P＝1－0．42－0．28＝0．30．答案：0．30 4．甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是________． 解析：(甲送给丙，乙送给丁)，(甲送给丁，乙送给丙)，(甲、乙都送给丙)，(甲、乙都送给丁)共四种情况，其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两种． 1答案： 2 5．(2008年高考江苏卷)若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是___． - 78 - 3 解析：基本事件共6×6个，点数和为4的有(1，3)、(2，2)、(3，1)共3个．故P＝ 6×6 11＝．答案： 1212 6．有两个质地均匀、大小相同的正四面体玩具，每个玩具的各面上分别写有数字1、2、3、4，把两个玩具各抛掷一次，斜向上的面写有的数字之和能被5整除的概率为________． 解析：由于正四面体各面都完全相同，故每个数字向上都是等可能的，被5整除的可能 41 为(2，3)，(3，2)，(1，4)，(4，1)共4种，而总共有4×4＝16(种)，故P＝＝．答案： 164 1 4 7．有一个奇数列1，3，5，7，9，…，现在进行如下分组，第一组有1个数为1，第二组有2个数为3、5，第三组有3个数为7、9、11，…，依此类推，则从第十组中随机抽取一个数恰为3的倍数的概率为________． 解析：由已知可得前九组共有(1＋2＋3＋…＋9)＝45(个)奇数，第十组共有10个奇数且依次构成公差为2的等差数列，且第一个奇数为a1＝1＋2×(46－1)＝91，所以，第十组的奇数为91，93，95，97，99，101，103，105，107，109这十个数字，其中恰为3的倍数 33 的数有93，99，105三个，故所求概率为P＝．答案： 1010 8．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为x、y，则满足log2xy＝1的概率为________． 解析：由log2xy＝1得y＝2x，满足条件的x、y有3对，而骰子朝上的点数x、y共有6×6 311 ＝36，∴概率为＝．答案： 361212 2 9．(2010年江苏宿迁模拟)将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b、c则方程x＋bx＋c＝0有实根的概率为____________． 2 解析：一枚骰子掷两次，其基本事件总数为36，方程有实根的充要条件为b≥4c． b 1 2 3 4 5 6 2使b≥4c的基本事0 1 2 4 6 6 件个数 由此可见，使方程有实根的基本事件个数为1＋2＋4＋6＋6＝19，于是方程有实根的概1919 率为P＝．答案： 3636 10．如图，四边形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，若每个小三角形用4种不同颜色中的任一种涂染，求出现相邻三角形均不同色的概率． 4 解：若不考虑相邻三角形不同色的要求，则有4＝256(种)涂法， 下面求相邻三角形不同色的涂法种数：①若△AOB与△COD同色，它们共有4种涂法，对每一种涂法，△BOC与△AOD各有3种涂法，所以此时共有4×3×3＝36(种)涂法．②若△AOB与△COD不同色，它们共有4×3＝12(种)涂法，对每一种涂法△BOC与△AOD各有2种涂法，所以此时有4×3×2×2＝48(种)涂法．故相邻三角形均不同色的概率36＋4821P＝＝． 2566411．在数学考试中，小明的成绩在90分及以上的概率是0．18，在80～89分的概率是0．51，在70～79分的概率是0．15，在60～69分的概率是0．09，计算小明在数学考试中取得80分及以上成绩的概率和小明考试不及格(低于60分)的概率． 解：设小明的数学考试成绩在90分及以上，在80～89分，在70～79分，在60～69分分别为事件B，C，D，E，这4个事件是彼此互斥的． 根据互斥事件的加法公式，小明的考试成绩在80分及以上的概率为P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0．18＋0．51＝0．69． - 79 - 小明考试及格的概率，即成绩在60分及以上的概率为P(B＋C＋D＋E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0．18＋0．51＋0．15＋0．09＝0．93． 而小明考试不及格与小明考试及格互为对立事件，所以小明考试不及格的概率为1－P(B＋C＋D＋E)＝1－0．93＝0．07． 12．盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取2次，每次只取1只，试求下列事件的概率：(1)取到的2只都是次品；(2)取到的2只中正品、次品各1只；(3)取到的2只中至少有1只正品． 2 解：从6只灯泡中有放回地任取2次，每次只取1只，共有6＝36(种)不同取法． 412 (1)取到的2只都是次品的情况有2＝4(种)，因而所求概率为P＝＝． 369 (2)由于取到的2只中正品、次品各1只有2种可能：第一次取到正品，第二次取到次品；第一次取到次品，第二次取到正品，所以所求的概率为 4×22×44P＝＋＝． 36369 (3)由于“取到的2只中至少有1只正品”是事件“取到的2只都是次品”的对立事件， 18 因而所求的概率为P＝1－＝． 99 第二节 概率的应用 A组 1．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是 ． 解析：当取出的小球标注的数字之和为3时只有{1，2}一种取法；当取出的小球标注的数字之和为6时，有{1，5}，{2，4}两种取法，所以符合条件的取法种数为3种，而所有的 33 取法有10种，故所求的概率为．答案： 1010 →→→2．已知k∈Z，AB＝(k，1)，AC＝(2，4)，若|AB|≤4，则△ABC是直角三角形的概率为________． 解析：|AB|≤4，k＋1≤16，k≤15，k＝－3，－2，－1，0，1，2，3． →22 →→→→→BC＝(2－k，3)．若AB·BC＝－k2＋2k＋3＝0，则k＝－1，k＝3；若BC·AC＝0，则 33→→k＝8(舍)；若AB·AC＝0，则k＝－2．故P＝．答案： 77 3．(2010年南京调研)甲盒子里装有分别标有数字1，2，4，7的4张卡片，乙盒子里装有分别标有数字1，4的2张卡片．若从两个盒子中各随机地取出1张卡片，则2张卡片上的数字之和为奇数的概率是________． 解析：数字之和为奇数的有(1，4)，(2，1)，(4，1)，(7，4)共4种情形，而从两个盒 11 子中各抽取一张卡片共有8种情况，所以所求概率为．答案： 22 4．(2009年高考江苏卷)现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2．5，2．6，2．7，2．8，2．9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0．3 m的概率为________． 解析：在5个长度中一次随机抽取2个，则有(2．5，2．6)，(2．5，2．7)，(2．5，2．8)，(2．5，2．9)，(2．6，2．7)，(2．6，2．8)，(2．6，2．9)，(2．7，2．8)，(2．7，2．9)，(2．8，2．9)，共10种情况．满足长度恰好相差0．3 m的基本事件有(2．5，2．8)，(2．6， 211 2．9)，共2种情况，所以它们的长度恰好相差0．3 m的概率为P＝＝．答案： 1055 5．(原创题)连掷两次骰子分别得到点数m，n，向量a＝(m，n)，b＝(－1，1)，若在△ABC中，AB与a同向，CB与b反向，则∠ABC是钝角的概率是________． - 80 - →→解析：要使∠ABC是钝角，必须满足AB·CB<0，即a·b＝n－m>0．连掷两次骰子所得点 5 数m，n共有36种情形，其中15种满足条件，故所求概率是． 12 6．一个袋子中有红、白、蓝三种颜色的球共24个，除颜色外其他特征完全相同，已知蓝色 1 球3个．若从袋子中随机取出1个球，取到红色球的概率是． 6 (1)求红色球的个数； (2)若将这三种颜色的球分别进行编号，并将1号红色球，1号白色球，2号蓝色球和3号蓝色球这四个球装入另一个袋子中，甲乙两人先后从这个袋子中各取一个球(甲先取，取出的球不放回)，求甲取出的球的编号比乙大的概率． x1 解：(1)设红色球有x个，依题意得＝，解得x＝4，∴红色球有4个． 246 (2)记“甲取出的球的编号比乙的大”为事件A，所有的基本事件有(红1，白1)，(红1，蓝2)，(红1，蓝3)，(白1，红1)，(白1，蓝2)，(白1，蓝3)，(蓝2，红1)，(蓝2，白1)，(蓝2，蓝3)，(蓝3，红1)，(蓝3，白1)，(蓝3，蓝2)，共12个．事件A包含的基本事件有(蓝2，红1)，(蓝2，白1)，(蓝3，红1)，(蓝3，白1)，(蓝3，蓝2)，共5个， 5 所以P(A)＝． 12 B组 1．(2009年高考浙江卷)有20张卡片，每张卡片上分别标有两个连续的自然数k，k＋1，其中k＝0，1，2，…，19．从这20张卡片中任取一张，记事件“该卡片上两个数的各位数字之和(例如：若取到标有9，10的卡片，则卡片上两个数的各位数字之和为9＋1＋0＝10)不小于14”为A，则P(A)＝________． 解析：对于大于14的情况通过列举可得有5种情况： (7，8)、(8，9)、(16，17)、(17，18)、(18，19)，而基本事件有20种，因此P(A)＝1． 4 1答案： 4 2．用黑白两种颜色的正方形地砖依照下图的规律拼成若干图形，则按此规律第100个图形中有白色地砖________块；现将一粒豆子随机撒在第100个图形中，则豆子落在白色地砖上的概率是________． →→解析：白色地砖构成等差数列：8，13，18，…，5n＋3，… 503 ∴an＝5n＋3，a100＝503，第100个图形中有地砖503＋100＝603，故所求概率P＝．答 603 503 案：503 603 3．设集合A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P(a，b)，记“点P(a，b)落在直线x＋y＝n上”为事件Cn(2≤n≤5，n∈N)，若事件Cn的概率最大，则n的所有可能值为________． 解析：分别从A和B中各取1个数，一共有6种等可能的取法，点P(a，b)恰好落在直线x＋y＝2上的取法只有1种：(1，1)；恰好落在直线x＋y＝3上的取法有2种：(1，2)，(2，1)；恰好落在直线x＋y＝4上的取法也有2种：(1，3)，(2，2)；恰好落在直线x＋y- 81 - 1111 ＝5上的取法只有1种：(2，3)，故事件Cn的概率分别为，，，(n＝2，3，4，5)，故 6336 当n＝3或4时概率最大．答案：3和4 4．先后从分别标有数字1，2，3，4的4个大小、形状完全相同的球中，有放回地随机抽取2个球，则抽到的2个球的标号之和不大于5的概率等于________． 解析：基本事件共有4×4＝16个，其中抽到的2个球的标号之和不大于5的情况有：(1，1)、(1，2)、(1，3)、(1，4)、(2，1)、(2，2)、(2，3)、(3，1)、(3，2)、(4，1)， 1055 共10种，所以所求概率为＝．答案： 1688 5．把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，向量m＝(a，b)，n＝(1，－2)，则向量m与向量n垂直的概率是________． 解析：显然m·n＝a－2b＝0，所有可能的结果为(a，b)＝(2，1)、(4，2)、(6，3)．基 11 本事件总数为36，则概率为．答案： 1212 6．(2010年南京高三调研)如图，将一个体积为27 cm3的正方体木块表面涂上蓝色，然后锯成体积为1 cm3小正方体，从中任取一块，则这一块恰有两面涂有蓝色的概率是 ． 解析：据题意知两面涂色的小正方体当且仅当它们是大正方体的各条棱的中点时满足条件．正方体共12条棱，所以两面涂色的小正方体有12个，而所有小正方体有27个，所以，所求的概率为P1244＝＝．答案： 2799 7．集合A＝{2，4，6，8，10}，B＝{1，3，5，7，9}，在A中任取一元素m和在B中任取一元素n，则所取两数m>n的概率是________． 解析：基本事件总数为25个．m＝2时，n＝1；m＝4时，n＝1，3；m＝6时，n＝1，3， 15 5；m＝8时，n＝1，3，5，7；m＝10时，n＝1，3，5，7，9；共15个．故P＝＝0．6．答 25 案：0．6 8．集合A＝{(x，y)|y≥|x－1|}，集合B＝{(x，y)|y≤－x＋5}．先后掷两颗骰子，设掷第一颗骰子得点数记作a，掷第二颗骰子得点数记作b，则(a，b)∈A∩B的概率等于 ． 解析：如图：满足(a，b)∈(A∩B)的(a，b)值共有8个，(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)．∴P822＝．答案： 6×699 9．(2010年江苏泰兴模拟)已知|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为 22 (x，y)，则当x，y∈Z时，P满足(x－2)＋(y－2)≤4的概率为________． 解析：由|x|≤2，|y|≤2，x、y∈Z，则基本事件总数为n＝25，P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4，∴满足条件的整点有(0，2)， 6 (1，2)，(2，2)，(1，1)，(2，1)，(2，0)6个，故P＝．答 25 6案： 2510．(2010年皖南八校质检)甲、乙两人各掷一次骰子(均匀的正方体，六个面上分别为1，2，3，4，5，6点)，所得点数分别为x，y． (1)求x - 82 - (5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共36个基本事件． 其中满足x (1)x 205 (2)5 11．晚会上，主持人面前放着A、B两个箱子，每箱均装有3个完全相同的球，各箱的3个球分别标有号码1，2，3．现主持人从A、B两箱中各摸出一球． (1)若用(x，y)分别表示从A、B两箱中摸出的球的号码，请写出数对(x，y)的所有情形，并回答一共有多少种； (2)求所摸出的两球号码之和为5的概率； (3)请你猜这两球的号码之和，猜中有奖．猜什么数获奖的可能性最大？说明理由． 解：(1)数对(x，y)的所有情形为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，共9种． (2)记“所摸出的两球号码之和为5”为事件A，则事件A包含的基本情形有(2，3)，(3， 2 2)，共2种，所以P(A)＝． 9 (3)记“所摸出的两球号码之和为i”为事件Ai(i＝2，3，4，5，6)， 由(1)可知事件A2的基本结果为1种，事件A3的基本结果为2种，事件A4的基本结果为 12 3种，事件A5的基本结果为2种，事件A6的基本结果为1种，所以P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4) 99 321＝，P(A5)＝，P(A6)＝． 999 故所摸出的两球号码之和为4的概率最大，即猜4获奖的可能性最大． 12．从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50人测量身高．据测量，被测学生身高全部介于155 cm到195 cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160)；第二组[160，165)；…；第八组[190，195]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．已知第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列． (1)估计这所学校高三年级全体男生身高在180 cm以上(含180 cm)的人数； (2)求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图； (3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两人，记他们的身高分别为x、y，求满足“|x－y|≤5”的事件的概率． 解：(1)由频率分布直方图得前五组频率为(0．008＋0．016＋0．04＋0．04＋0．06)×5＝0．82，后三组频率为1－0．82＝0．18，人数为0．18×50＝9， 这所学校高三年级全体男生身高在180 cm以上(含180 cm)的人数为800×0．18＝144． (2)由频率分布直方图得第八组频率为0．008×5＝0．04，人数为0．04×50＝2，设第六组人数为m，则第七组人数为9－2－m＝7－m，又m＋2＝2(7－m)，解得m＝4，所以第六组人数为4，第七组人数为3，频率分别等于0．08，0．06． - 83 - 频率 分别等于0．016，0．012．其完整的频率分布直方图如图． 组距 (3)由(2)知身高在[180，185)内的人数为4，设为a、b、c、d，身高在[190，195]内的人数为2，设为A、B，若x，y∈[180，185)时，有ab、ac、ad、bc、bd、cd共6种情况； 若x，y∈[190，195]时，有AB共1种情况； 若x，y分别在[180，185)和[190，195]内时，有aA、bA、cA、dA、aB、bB、cB、dB，共8种情况． 所以基本事件总数为6＋1＋8＝15， 7 事件“|x－y|≤5”所包含的基本事件个数有6＋1＝7，∴P(|x－y|≤5)＝． 15 第三节 几何概型 A组 1 1．在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于的概率为________． 2 解析：利用几何概型知识，结合线性规划可求出答案，如图． 111 |x－y|<⇔－ 3 区域面积为d，可知d＝，整个正方形的面积为D，可知D＝1， 4 d33 则所求概率P＝＝．答案： D44 2．在等腰直角三角形ABC中，若M是斜边AB上的点，则AM小于AC的概率为________． a22 解析：可用相应线段长度之比来度量，易知P＝＝．答案： 22a2 1ππ 3．(2009年高考山东卷)在区间[－，]上随机取一个数x，则cosx的值介于0到之间的222 概率为________． 1ππππππ 解析：当－≤x≤时，由0≤cos x≤，得－≤x≤－或≤x≤， 2222332 11 根据几何概型概率公式得所求概率为．答案： 33 4．平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3 cm，把一枚半径为1 cm的硬币任意投掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是________． 解析：如图所示，当硬币中心落在阴影区域时，硬币不与 11 任何一条平行线相碰，故所求概率为．答案： 33 5．(原创题)向面积为S的△ABC内任投一点P，则△PBC的面积小于的概率为________． 2 1h解析：∵S△PBC 的高，h为△ABC中BC边上的高)，设DE为△ABC的中位线，则 S梯形BCED3 点P应在梯形BCED内(如图阴影部分)，∴P＝＝． S△ABC4 3答案： 4 S»的中点（如图）6．在扇形OAmB中，∠AOB=90°，C为AB， - 84 - »上取一点M，求∠MOA＜45°的概率；（1）在AB（2）在OC上任取一点N，过N作EF⊥OC，»于E、F，求EF＜OA的概率（精确到0.01）交AB． »上时，∠MOA＜45°，由于 解析：（1）当且仅当M在ACA »上的所有的点都是等可能地取的，所以在AB»上任取一 M对AB»AC的长1点M，∠MOA＜45°的概率为=． »AB的长2»上两点，且∠MOB=∠QOA=15°，MQ与 （2）设M、Q是ABOC相交于点R，则∠MOQ=60°，MQ=OA，故要使EF＜OA， 只要使EF＜MQ，即使N取自线段CR上即可．设AB交OC与S， M C O B 则所求概率为： CR=CSOA-OA-3OA2?0.46 2OA2 B组 1．(2009年高考福建卷)点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点 B，则劣弧的长度小于1的概率为________． 的长度小于1”，则满足事件M的点B可以在定点A的两 解析：设事件M为“劣弧 2 侧与定点A构成的弧长小于1的弧上随机取一点，由几何概型的概率公式得：P(M)＝．答32案： 3 2．(2010年苏、锡、常、镇四市调研)已知如图所示的矩形，长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1000粒黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为600粒，则可以估计出阴影部分的面积约为________． 600S解析：设所求的面积为S，由题意得＝，∴S＝ 10005×12 36．答案：36 3．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1内任取一点P，则点P到点A的距离小于等于a的概率为________． 143×πa83ππ 解析：P＝＝．答案： 3a66 x－2 4．(2010年扬州调研)已知集合A{x|－1 3－xx ，则事件“x∈A∩B”的概率是________． 解析：由题意得A＝{x|－1 个元素x，则x∈A∩B的概率为P＝．答案： 66 5．某公共汽车站每隔10分钟就有一趟车经过，小王随机赶到车站，则小王等车时间不超过 - 85 - 2 4分钟的概率是________．答案： 5 6．如图，M是半径为R的圆周上一个定点，在圆周上等可能地任取一点N，连结MN，则弦MN的长度超过2R的概率是________． 解析：连结圆心O与M点，作弦MN使∠MON＝90°，这样的点有两个，分别记为N1，N2，仅当点N在不包含点M的半圆弧上取值时，满足MN>2R，此时∠N1ON2＝180°，故所求的概 180°11率为＝．答案： 360°22 7．已知Ω＝{(x，y)|x＋y≤6，x≥0，y≥0}，E＝{(x，y)|x－2y≥0，x≤4，y≥0}，若向区域Ω内随机投一点P，则点P落入区域E的概率为________． 解析：如图，区域Ω表示的平面区域为△AOB边界及其内部的部分，区域E表示的平面区域为△COD边界及其内部的部分， 1 ×2×4 S△COD22 所以点P落入区域E的概率为＝＝． S△AOB19 ×6×62 2答案： 9 2 8．已知函数f(x)＝－x＋ax－b．若a、b都是从区间[0，4]任取的一个数，则f(1)＞0成立的概率是________． 解析：f(1)＝－1＋a－b＞0，即a－b＞1，如图： 929S△ABC9 A(1，0)，B(4，0)，C(4，3)，S△ABC＝，P＝＝＝． 2S矩4×432 9 答案： 32 13 9．在区间[0，1]上任意取两个实数a，b，则函数f(x)＝x＋ax－b在区间[－1，1]上有且 2 仅有一个零点的概率为________． 3213 解析：f′(x)＝x＋a，故f(x)在x∈[－1，1]上单调递增，又因为函数f(x)＝x＋ 22 11 ax－b在[－1，1]上有且仅有一个零点，即有f(－1)·f(1)<0成立，即(－－a－b)(＋a－ 22 0≤b≤1 1 11 b)<0，则(＋a＋b)(＋a－b)>0，可化为＋a－b>0 222 12＋a＋b>0 - 86 - 0≤a≤1 0≤b≤11 或＋a－b<0， 212＋a＋b<0 0≤a≤1 由线性规划知识在平面直角坐标系aOb中画出这两个不等式组所表示的可行域，再由几 13 何概型可以知道，函数f(x)＝x＋ax－b在[－1，1]上有且仅有一个零点的概率为可行域 2 7 的面积除以直线a＝0，a＝1，b＝0，b＝1围成的正方形的面积，计算可得面积之比为． 8 7答案： 8 0≤x≤6 10．设不等式组 0≤y≤6 0≤x≤6 表示区域为A，不等式组 x－y≥0 表示的区域为B． (1)在区域A中任取一点(x，y)，求点(x，y)∈B的概率； (2)若x，y分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数，求点(x，y)在区域B中的概率． 解：(1)设集合A中的点(x，y)∈B为事件M，区域A的面积为S1＝36，区域B的面积为 S2181 S2＝18，∴P(M)＝＝＝． S1362 (2)设点(x，y)在区域B为事件N，甲、乙两人各掷一次骰子所得的点(x，y)的个数为 217 36个，其中在区域B中的点(x，y)有21个，故P(N)＝＝． 361211．(2010 年江苏南通模拟)已知集合A={x|-1＃x0}，集合 B=．1<0＃,0a＃2,}1b 3(1)若a，b∈N，求A∩B≠Æ的概率；(2)若a，b∈R，求A∩B＝Æ的概率． {x|xa+x2?b解：(1)因为a，b∈N，(a，b)可取(0，1)，(0，2)，(0，3)，(1，1)，(1，2)，(1， 3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)共9组． xx令函数f(x)＝ax＋b·2－1，x∈[－1，0]，则f′(x)＝a＋bln2·2． 因为a∈[0，2]，b∈[1，3]，所以f′(x)＞0，即f(x)在[－1，0]上是单调递增函数． 2 即2a－b＋2＞0．所以(a，b)只能取(0，1)，(1，1)，(1，2)， 7 (1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)7组．所以A∩B≠∅的概率为． 9 (2)因为a∈[0，2]，b∈[1，3]， 所以(a，b)对应的区域为边长为2的正方形(如图)，面积为4． 由(1)可知，要使A∩B＝∅， 只需f(x)min＝－a＋－1≥0⇒2a－b＋2≤0，所以满足A∩B＝ 2 ∅的(a，b)对应的区域是如图阴影部分． 141111 所以S阴影＝×1×＝，所以A∩B＝∅的概率为P＝＝． 22441612．将长为1的棒任意地折成三段，求：三段的长度都不超过açç＃abbf(x)在[－1，0]上的最小值为－a＋－1．要使A∩B≠∅，只需－a＋－1＜0， 2 b骣1ç桫31÷÷÷的概率． 解：设第一段的长度为x，第二段的长度为y， 第三段的长度为1－x－y， 则基本事件组所对应的几何区域可表示为Ω＝{(x，y)|0＜x＜1，0＜y＜1，0＜x＋y＜ 1 1}，此区域面积为． 2 1 事件“三段的长度都不超过a(≤a≤1)”所对应的几何区域可 3 - 87 - 表示为A＝{(x，y)|(x，y)∈Ω，x＜a，y＜a，1－x－y＜a}． 112 即图中六边形区域，此区域面积：当≤a≤时，为(3a－1)/2，此时事件“三段的长 32 2 1(3a－1)/22 度都不超过a(≤a≤1)”的概率为P＝＝(3a－1)； 31/2 2 113(1－a)1当≤a≤1时，为－．此时事件“三段的长度都不超过a(≤a≤1)”的概率2223 2 为P＝1－3(1－a)． 第十二章 导数 /1、函数y=f(x)是定义在R上的可导函数，则f(x0)0是函数在x=x0时取得极值的 ________条件 A、充分不必要； B、必要不充分； C、充要； D、既不充分也不必要． 2、函数y=f(x)是定义在R上的可导函数，则y=f(x)为R上的单调增函数是f¢(x)>0的________条件 A、充分不必要； B、必要不充分； C、充要； D、既不充分也不必要． 3、已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)，在[-2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的最小值为（ ） A、－37； B、－29； C、－5； D、－11． 4、若函数f(x)x33xa当x[0,3]上时，mf(x)n恒成立，则nm的最小值为（ ） A、2 B、4 C、18 D、20 5、方程2x36x270在(0,2)内根的个数为（ ） A、0； B、1； C、2； D、3． 436、若函数yxbx有三个单调区间，则b的取值范围为（ ） 3A、b>0； B、b³0； C、b<0； D、b£0． 7、函数f(x)2x3xa的极大值为6，则a 的值为（ ） A、0； B、1； C、5； D、6 ． 8、曲线y2x上的点到直线yx1的距离的最小值为（ ） A、2； B、 4322252； C、； D． 162316yx3垂直，则此切线方程为（ ）y=x9、已知曲线上一点P处的切线与直线 6A、x6y50 B、6xy50 C、x6y50 D、6xy50． 10、设点P是y=x3-围为（ ） 3x+2上的任一点，P点处的切线倾斜角为a，则角a的取值范3225A、[0,2)[3,)； B、[0,2)[6,)； C、[3,)； D、(,5)． 26(x)的图像如图（1）所示，则yf(x)的图像最有可能的是11、函数y=f(x)导函数f¢（ ） y y y y y 2 1 1 2 O O O x O 1 2 x1 O 1 2 x 2 x x - 88 - 图（1） A B C D (1)，则f(0)等于（ ） 12、已知f(x)=x+2x?fⅱA、0； B、－4； C、－2； D、2． 2a+b13、已知函数y=a?x的导数为y¢6x2， 则a= ， b= ； 22314、若函数f(x)=x-3x在区间轾犏m+1,2上的最小值为m-2，则m的值 臌为 ； 15、若直线y=x是曲线y=x3-3x2+ax的切线，则a= ； 13216、函数f(x)xax4在(3,)上是增函数，则实数a的取值范围为 ； 317、若函数f(x)=k2x4-单调递增，则k= 18、已知曲线S:y=x3+px2+qx的图象与x轴相切于不同于原点的一点，又函数有极小值为－4，求p、q的值． 19、设函数yf(x)ax3bx2cxd的图像与y轴交于点P，若过P的切线方程为 24xy120，且当x=2时，函数f(x)取极值－16，试求f(x)的解析式，并求这个函数的单调递减区间． 32220、已知函数f(x)xax1(aR)．（1）若函数yf(x)在区间(0,3)上递增， 231x-kx2+2x+在（1,2）上单调递减，在（2，+?）上32骣2,+?÷在区间ç上递减，求实数a的值；（2）当xÎ[0,1]时，设函数yf(x)图像上任意÷ç÷ç桫3- 89 - 2一点处的切线的倾斜角为q，若给定常数a?ç÷，求q的取值范围． ç,?÷÷ 骣ç桫3第十三章 不等式 1．若f(x)为R上的减函数，且f(0)=3，f(3)=-1，设P={x||f(x+t)-1|<2}，若xÎP是xÎQ的充分不必要条件，则实数t的取值范围为( ) Q={x|f(x)<-1}， A．t£0 B．t³0； C．t?3； D．t?3． 2．已知a>0，集合A={x|x+1 3．已知奇函数f(x)在(,0)上单调递减，且f(2)0,则不等式(x1)f(x1)0的解集为 （ ） A．{x|-3 f(x)是定义在（0，3）上的函数，f(x)的图象如图所示， Oy则不等式f(x)cosx0的解集是（ ） A．（0，1）（2，3）； B．(1,1.2)(2,3) .2.3x- 90 - 骣p÷(,3)çC．（0，1）ç,3÷ D．（0，1）（1，3） ç桫2÷2 325．函数f(x)在（－1，1）上有定义且f(x)xx,当f(1a)f(1a)＞0时a的取值范 围为（ ） A．（－2，1） B．（0，2） C．（0，1） D．（－2，2） 6．已知函数f(x)=log3x，若f(x)>f(3.5)，则x的取值范围为 骣2鼢骣7骣骣2鼢骣77÷ç珑0,U1,,+?0,U,+?A．珑 B． C．鼢÷鼢珑ç珑珑桫7鼢桫2ç桫2÷珑桫7鼢桫227÷ D．çç,÷． 骣ç桫72÷7．设奇函数f(x)在[－1，1]上是增函数，且f(-1)=-1，若函数f(x)?t2所有的x?2at+1对 [1,1]都成立，当a?[1,1]时t的取值范围为（ ） 轾11-,； A．[-2，2] ； B．犏犏臌22纟1轹1-?,U+?÷U{0}． C．(-?,2]?]2,?)U{0}； D．ç÷ç÷ç桫228．设点(a,b)在区域ïíìïx吵0,y0内，则点(a+b,a-b)所在的区域的面积为 ïïîx+y?2y C(4,B(5,a(1,A．1； B．2； C．4； D．8． 9．在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界）， 目标函数z=x+ay取得最优解有无数个，则a的一个可能值为 A．－3； B．3； D．－1； D．1． 10．若关于x不等式{x|x-a|澄2a2,(aO (-?,0)}的解集为 ； x 11．若关于x不等式ax2+bx+c>0(a?0)的解集为a