2007年考研数学一真题

2007年考研数学一真题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内） （1） 当x0时，与A. 1exx等价的无穷小量是 ( ) C. B.ln1x 1x1x1 D.1cosx (2) 曲线y= 1ln(1ex), 渐近线的条数为 ( ) xA.0 B.1 C.2 D.3 (3)如图，连续函数y=f(x)在区间[-3，-2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[-2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F(x)=结论正确的是 ( ) A. F(3)=x0f(t)dt .则下列3F(2) 4B. F(3)=535F(2) C. F(3)=F(2) D. F(3)= F(2) 444( ) B. 若lim(4)设函数f（x）在x=0处连续，下列命题错误的是 f(x)存在，则f（0）=0 x0xf(x)'C. 若lim 存在，则f(0)=0 x0xA. 若limf(x)f(x) 存在，则f（0）=0 x0xf(x)f(x)'D. 若lim 存在，则f(0)=0 x0x(5)设函数f（x）在（0, +）上具有二阶导数，且f\"(x)o, 令un=f(n)=1,2,…..n, 则下列结论正确的是 ( ) A.若u1u2，则{un}必收敛 C. 若u1u2，则{un}必收敛 B. 若u1u2，则{un}必发散 D. 若u1u2，则{un}必发散 (6)设曲线L：f(x, y) = 1 (f(x, y)具有一阶连续偏导数），过第Ⅱ象限内的点M和第Ⅳ象限内的点N,T为L上从点M到N的一段弧，则下列小于零的是 ( ) A. (x,y)dx B. rrf(x,y)dy C. rf(x,y)ds D. rf'x(x,y)dxf'y(x,y)dy ( ) （7）设向量组1，2，3线形无关，则下列向量组线形相关的是： （A） （C） 12,23,31 （B） 12,23,31 122,223,321 （D）122,223,321 211100（8）设矩阵A=121，B=010，则A于B 112000(A) 合同，且相似 (C) 不合同，但相似 (B) 合同，但不相似 (D)既不合同，也不相似 ( ) （9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p0p1，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为： （A）3p(1p) (C) 3p(1p) 222( ) (B)6p(1p) (D) 6p(1p) 222(10) 设随即变量（X，Y）服从二维正态分布，且X与Y不相关，fX(x)，fY(y)分别表示X，Y的概率密度，则在Y＝y的条件下，X的条件概率密度fX（A）fX(x) (B) fY(y) |Y(x|y)为 ( ) (C) fX(x)fY(y) (D)fX(x) fY(y)二．填空题：11－16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上 （11） 2111exdx＝_______. 3xyx（12）设f(u,v)为二元可微函数，zf(x,y)，则2xz＝______. x(13)二阶常系数非齐次线性方程y''4y'3y2e的通解为y＝____________. (14)设曲面：|x||y||z|1，则(x|y|)ds＝_____________. 00 (15)设矩阵A＝0010000100003，则A的秩为________. 101的概率为2（16）在区间（0，1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于________. 三．解答题：17~24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17)（本题满分11分）求函数f(x,y)x22y2x2y2在区域D{(x,y)x2y24,y0}上的最大值和最小值。 (18)(本题满分10分)计算曲面积分Ixzdydz2xydzdx3xydxdy, y2其中为曲面z1x(0z1)的上侧.42(19)(本题是11分) 设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内二阶导数且存在相等的最大值，f(a)g(a),f(b)g(b)证明：存在(a,b)，使得f''()g''().(20)(本题满分10分)设幂级数anxn在(,)内收敛，其和函数y(x)满足n0y''2xy'4y0,y(0)0,y'(0)12(1)证明an2an,n1,2,;n1(2)求y(x)的表达式.(21)(本题满分11分)x1x2x30设线性方程组x12x2ax302x4xax3021与方程x12x2x3a1(2)有公共解，求a的值及所有公共解.(1) (22)设3阶对称矩阵A的特征向量值11,22,32,1(1,1,1)是A的属于1的一个特征向量,记BA4AE其中E为3阶单位矩阵 53T(I)验证1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值的特征向量； (II)求矩阵B. (23)设二维变量(x,y)的概率密度为 2xy f(x,y)00x1,0y1 其他(I)求P{X2Y}； (II)求zXY的概率密度. (24)设总体X的概率密度为 10x21f(x,)x1 2(1)0其他 X1,X2,…Xn是来自总体X的简单随机样本，X是样本均值 (I)求参数的矩估计量； (II)判断4X2是否为2的无偏估计量,并说明理由. 2007年考研数学一真题解析 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内） （2） 当x0时，与A. 1exx等价的无穷小量是 C. (B) B.ln1x 1x1x1 D.1cosx (2) 曲线y= 1ln(1ex), 渐近线的条数为 (D) xA.0 B.1 C.2 D.3 (3)如图，连续函数y=f(x)在区间[-3，-2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[-2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F(x)=结论正确的是 A. F(3)=(C) B. F(3)=x0f(t)dt .则下列3F(2) 4535F(2) C. F(3)=F(2) D. F(3)= F(2) 444(C) B. 若lim(4)设函数f（x）在x=0处连续，下列命题错误的是 f(x)存在，则f（0）=0 x0xf(x)'C. 若lim 存在，则f(0)=0 x0xA. 若limf(x)f(x) 存在，则f（0）=0 x0xf(x)f(x)'D. 若lim 存在，则f(0)=0 x0x(5)设函数f（x）在（0, +）上具有二阶导数，且f\"(x)o, 令un=f(n)=1,2,…..n, 则下列结论正确的是(D) A.若u1u2，则{un}必收敛 C. 若u1u2，则{un}必收敛 B. 若u1u2，则{un}必发散 D. 若u1u2，则{un}必发散 (6)设曲线L：f(x, y) = 1 (f(x, y)具有一阶连续偏导数），过第Ⅱ象限内的点M和第Ⅳ象限内的点N,T为L上从点M到N的一段弧，则下列小于零的是 (B) A. (x,y)dx B. rrf(x,y)dy C. rf(x,y)ds D. rf'x(x,y)dxf'y(x,y)dy (A) （7）设向量组1，2，3线形无关，则下列向量组线形相关的是： （A） （C） 12,23,31 （B） 12,23,31 122,223,321 （D）122,223,321 211100（8）设矩阵A=121，B=010,则A于B， 112000(A) 合同，且相似 (C) 不合同，但相似 (B) 合同，但不相似 (D)既不合同，也不相似 (B) （9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p0p1，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为： （A）3p(1p) (C) 3p(1p) 222(C) (B)6p(1p) (D) 6p(1p) 222(10) 设随即变量（X，Y）服从二维正态分布，且X与Y不相关，fX(x)，fY(y)分别表示X，Y的概率密度，则在Y＝y的条件下，X的条件概率密度fX（A）fX(x) (B) fY(y) |Y(x|y)为 (A) (C) fX(x)fY(y) (D)fX(x) fY(y)二．填空题：11－16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上。 （11） 211111exdx＝e2. 3x2（12）设f(u,v)为二元可微函数，zf(xy,yx)，则z＝xf1'(xy,yx)yxy1yxlnyf2'(xy,yx). (13)二阶常系数非齐次线性方程y''4y'3y2e的通解为y＝C1eC2e (14)设曲面2xx3x2e2x. ：|x||y||z|1，则(x|y|)ds＝43. 300 (15)设矩阵A＝0010000100003，则A的秩为１. 1013的概率为. 24（16）在区间（0，1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于三、解答题：17~24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (17)（本题满分11分）求函数f(x,y)x22y2x2y2在区域D{(x,y)x2y24,y0}上的最大值和最小值。 【详解】： 3f2xy2xy0x(1)求驻点(x,y)(0,0)(f0)3fy4xy2xy0或(x,y)(2,1)(f2)；(2)考察边界y0，此时最大值为4，最小值为0(3)考察边界x2y24,y0F(x,y)x22y2x2y2(x2y24)FFF0xyz2x2xy22x05231224y2xy2y0x,y,222x2y24此时数值为74x20,y24，此时数值为8x24,y20，此时数值为4综上所述x＝0，y＝2时，取得为8最小值x＝0，y＝0取得为0(18)(本题满分10分)计算曲面积分Ixzdydz2xydzdx3xydxdy, y2其中为曲面z1x(0z1)的上侧42【详解】 y2取1为xoy平面上被椭圆x1所围部分的下侧，4记为由与1围成的空间闭区域，则2I1xzdydz2zydzdx3xydxdy1xzdydz2zydzdx3xydxdy Gauss公式1xzdydz2zydzdx3xydxdy(z3z)dxdydz 13zdxdydz3dz0x2zdxdy y21z4而xzdydz2zydzdx3xydxdy＝－3xydxdy0,I. y21x214(19)(本题是11分) 设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内二阶导数且存在相等的最大值，f(a)g(a),f(b)g(b)证明：存在(a,b)，使得f''()g''()【详解】 证明：设f(x),g(x)在(a,b)内某点c(a,b)同时取得最大值，则f(c)g(c)，此时的c就是所求点使得f()g().若两个函数取得最大值的点不同则有设 f(c)maxf(x),g(d)maxg(x)故有f(c)g(c)0,g(d)f(d)0，由介值定理，在(c,d)内肯定存在使得f()g()由罗尔定理在区间(a,),(,b)内分别存在一点1,2,使得f'(1)＝f'(2)＝0在区间(1,2)内再用罗尔定理，即 存在(a,b)，使得f''()g''() (20)(本题满分10分)设幂级数anxn在(,)内收敛，其和函数y(x)满足n0y''2xy'4y0,y(0)0,y'(0)12(1)证明an2an,n1,2,;n1(2)求y(x)的表达式【详解】 (1) 将已知条件中幂级数 axnn0n代入到微分方程中，整理即可得到： an2 2an,n1,2,; n1(2) 解题如下 y(0)0a00y'(0)1a112ana2a4a2n0n1a3a11an221a342211a7a56232111a9a78234a5故anxnxx3n0151171119xxx223234 212n1xxxexn1n!(21)(本题满分11分)x1x2x30设线性方程组x12x2ax302x14x2ax30与方程x12x2x3a1(2)有公共解，求a的值及所有公共解【详解】： 因为方程组(1)、(2)有公共解，即由方程组(1)、(2)组成的方程组 (1) x1x2x30x2xax01232x14x2ax30x2xxa123110即距阵11112a(3)的解. 01110001a10方程组(3)有解的充要条件为 200104a000a23a4021a1a1,a2. 当a1时，方程组(3)等价于方程组(1)即此时的公共解为方程组(1)的解.解方程组(1)的基础解系为(1,0,1)此时的公共解为：xk,k1,2, T111122当a2时，方程组(3)的系数距阵为14411101000010T1100110000此时方程组(3)10的解为x10,x21,x31，即公共解为：k(0,1,1) (22)设3阶对称矩阵A的特征向量值11,22,32,1(1,1,1)是A的属于1的一个特征向量,记BA4AE其中E为3阶单位矩阵 53T(I)验证1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值的特征向量； (II)求矩阵B.

【详解】： （Ⅰ）可以很容易验证A

n11n1(n1,2,3...)，于是 B1(A54A3E)1(154131)121 于是1是矩阵B的特征向量.

B的特征值可以由A的特征值以及B与A的关系得到，即 (B)(A)54(A)31， 所以B的全部特征值为－2，1，1.

前面已经求得1为B的属于－2的特征值，而A为实对称矩阵， 于是根据B与A的关系可以知道B也是实对称矩阵，于是属于不同的特征值的特征

T向量正交，设B的属于1的特征向量为(x1,x2,x3)，所以有方程如下： x1x2x30

于是求得B的属于1的特征向量为2(1,0,1),3(1,1,0) TT1111（Ⅱ）令矩阵P1,2,3101，则PBPdiag(2,1,1)，所以 110 1133111diag(2,1,1)11BPdiag(2,1,1)P1101331102133132 313011 101110 (23)设二维变量(x,y)的概率密度为 2xy f(x,y)00x1,0y1 其他(I)求P{X2Y}； (II)求zXY的概率密度. 【详解】： （Ⅰ）PX2Y区域； 求此二重积分可得PX2Y(2xy)dxdy，其中D为0x1,0y1中x2y的那部分Ddx011x20(2xy)dy 15(xx2)dx 087 24（Ⅱ）FZ(z)PZzPXYz 当z0时，FZ(z)0； 当z2时，FZ(z)1； 132(2xy)dyzz 003111352当1z2时，FZ(z)1dx(2xy)dyz2z4z z1zx33当0z1时，FZ(z)zdxzx 2zz2,0z12于是fZ(z)z4z4,1z2 0,其他(24)设总体X的概率密度为 10x21f(x,)x1 2(1)0其他 X1,X2,…Xn是来自总体X的简单随机样本，X是样本均值 (I)求参数的矩估计量； (II)判断4X2是否为2的无偏估计量,并说明理由. 【详解】： （Ⅰ）记EX，则 EX 解出201xxdxdx 22(1)11， 4212X1； ，因此参数的矩估计量为2222（Ⅱ）只须验证E(4X)是否为即可，而 221E(4X)4E(X)4(DX(EX)2)4(DX(EX)2)，而 n111EX，EX2(122)， 42651DXEX2(EX)22， 481212253n3n13n122 于是E(4X)12n3n3n 因此4X不是为的无偏估计量. 22