勾股定理是一个初等几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。勾股定理是余弦定理的一个特例。勾股定理约有400种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一。“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。勾股数组方程a² + b²= c²的正整数组（a，b,c)。（3,4,5)就是勾股数。也就是说,设直角三角形两直角边为a和b,斜边为c，那么a²+b²=c² ,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b,斜边长为c，那么勾股定理的逆定理
命题2 如果三角形的三边长a，b，c满足【证法1】（赵爽证明）
以a、b 为直角边（b>a), 以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于
,那么这个三角形是直角三角形。
。
1ab. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状。 2∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,∴ ∠HDA = ∠EAB。 ∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º，∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º， ∴ ABCD是一个边长为c的正方形,它的面积等于c2。 ∵ EF = FG =GH =HE = b―a ，∠HEF = 90º。 ∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于
.
∴ ∴
【证法2】（课本的证明)
。
做8个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等。
即, 整理得 .
【证法3】（1876年美国总统Garfield证明）以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于状,使A、E、B三点在一条直线上.
∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,∴ ∠ADE = ∠BEC.
∵ ∠AED + ∠ADE = 90º，∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º。 ∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形,它的面积等于∴ AD∥BC.∴
。又∵ ∠DAE = 90º， ∠EBC = 90º，. 把这两个直角三角形拼成如图所示形
ABCD是一个直角梯形，它的面积等于
∴ 。∴。
【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚,在美国华盛顿的郊外，
有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上,有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么.只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说:“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀。\"小男孩又问道:“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少?”伽菲尔德不加思索地回答到:“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方.”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞,无法解释了，心理很不是滋味.于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理,并给出了简洁的证明方法.1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统。\"证法。 【证法4】（欧几里得证明）做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状,使H、C、B三点在一条直线上，连结BF、CD. 过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点L。∵ AF = AC，AB = AD，∠FAB = ∠GAD， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD, ∵ ΔFAB的面积等于面积的一半,
，ΔGAD的面积等于矩形ADLM的
∴ 矩形ADLM的面积 =。同理可证,矩形MLEB的面积 =.
∵ 正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积 ∴
，即
.
【证法5】（利用相似三角形性质证明）
如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D。在ΔADC和ΔACB中,
∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º，∠CAD = ∠BAC，∴ ΔADC ∽ ΔACB. ∴AD∶AC = AC ∶AB,即 同理可证,ΔCDB ∽ ΔACB, 从而有
。∴
，即
.
【证法6】（邹元治证明）
以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于
。
把这四个直角三角形拼成如图所示形状,使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上. ∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF,∴ ∠AHE = ∠BEF。 ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º,∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º。 ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º。
∴ 四边形EFGH是一个边长为c的正方形. 它的面积等于c2。 ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE，∴ ∠HGD = ∠EHA。 ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º,∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º。 又∵ ∠GHE = 90º,∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º。 ∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于∴
.∴
【证法7】（利用切割线定理证明)
在RtΔABC中,设直角边BC = a,AC = b，斜边AB = c。 如图,以B为圆心a为半径作圆，
交AB及AB的延长线分别于D、E，则BD = BE = BC = a。 因为∠BCA = 90º，点C在⊙B上， 所以AC是⊙B 的切线. 由切割线定理，得
=
即
，∴
.
=
=
，
.
。
【证法8】（作直角三角形的内切圆证明）
在RtΔABC中,设直角边BC = a,AC = b,斜边AB = c。 作RtΔABC的内切圆⊙O，切点分别为D、E、F（如图），设⊙O的半径为r。 ∵ AE = AF,BF = BD，CD = CE， ∴
= = r + r = 2r,即
,∴
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴
，又∵
=
=
，∴
,
∴ ，
∴ ，
∴
。
。
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