3-6第六节 正弦定理和余弦定理练习题(2015年高考总复习)

时间：45分钟 分值：75分

一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)

1

1．(2013·北京卷)在△ABC中，a＝3，b＝5，sinA＝3，则sinB＝( )

1A.5 5C.3

5B.9 D．1

ab

解析 利用sinA＝sinB代入计算即可． 答案 B

2．在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是( ) A．锐角三角形 C．钝角三角形

B．直角三角形 D．不能确定

解析 ∵sin2A＋sin2B＜sin2C，∴a2＋b2＜c2. a2＋b2－c2

cosC＝2ab＜0，∴C为钝角． 答案 C

3．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2

＝4，且C＝60°，则ab的值为( )

4

A.3 C．1

B．8－43 2D.3

解析 由(a＋b)2－c2＝4，得a2＋b2－c2＋2ab＝4.① 由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcosC＝2abcos60°＝ab，②

1

4

将②代入①得ab＋2ab＝4，即ab＝3. 答案 A

4．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝( )

A．10 C．8

B．9 D．5

解析 23cos2A＋cos2A＝23cos2A＋2cos2A－1＝0，所以cos2A＝112，因为A是锐角，所以cosA＝，由余弦定理得49＝36＋b－25513

2×6b×cosA，解得b＝5或b＝－5(舍去)，故选D.

答案 D

5．(2013·新课标全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为ππ

a，b，c，已知b＝2，B＝6，C＝4，则△ABC的面积为( )

A．23＋2 C．23－2

B.3＋1 D.3－1

22×2

cb

解析 由正弦定理得sinC＝sinB⇒c＝1＝

2

6＋2ππ

22，又sinA＝sin(B＋C)＝sin(6＋4)＝4，所以三角形面积6＋211

为S＝2bcsinA＝2×2×22×4＝3＋1，故选B.

答案 B

6．(2014·湖南五市十校联考)在△ABC中，a，b，c分别是角A，

2

a＋b2

B，C所对边的边长，若cosA＋sinA－＝0，则c的值是

cosB＋sinB( )

A．1 C.3

B.2 D．2

解析 (cosA＋sinA)(cosB＋sinB)＝2，cosAcosB＋cosAsinB＋sinAcosB＋sinAsinB＝cos(A－B)＋sin(A＋B)＝2，cos(A－B)＋sinC＝2.

所以cos(A－B)＝1，sinC＝1，

所以A－B＝0且C＝90°，所以A＝B＝45°，该三角形为等腰直a＋b

角三角形，所以c＝2.

答案 B

二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)

1

7．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cosB＝－4，则b＝________. 22＋c2－b21解析 由余弦定理可得cosB＝＝－4，又b＋c＝7，从

2×2c22＋7－b2－b2

而cosB＝，化简得15b＝60，解得b＝4.

2×2×7－b

答案 4

8．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C＝________.

解析 由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，得a2＋b2＋2ab－c2＝ab，则

222a＋b－c－ab1

a2＋b2－c2＝－ab，故cosC＝2ab＝2ab＝－2，又C是三角形

2π

的内角，所以C＝3. 3

2π答案 3

9．(2013·福建卷)如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD22

⊥AC，sin∠BAC＝3，AB＝32，AD＝3，则BD的长为________．

解析 ∵sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD) 22

＝cos∠BAD＝3，

∴BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD 22

＝18＋9－2×92×3＝3.∴BD＝3. 答案

3

三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分) 10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2

＋c2＝a2＋bc.

(1)求角A的大小；

(2)若sinB·sinC＝sin2A，试判断△ABC的形状． b2＋c2－a2bc1解 (1)由已知得cosA＝2bc＝2bc＝2. π

又角A是△ABC的内角，∴A＝3. (2)由正弦定理，得bc＝a2， 又b2＋c2＝a2＋bc，∴b2＋c2＝2bc. ∴(b－c)2＝0，即b＝c.

4

π

又A＝3，∴△ABC是等边三角形．

11．(2013·北京卷)在△ABC中，a＝3，b＝26，∠B＝2∠A. (Ⅰ)求cosA的值； (Ⅱ)求c的值．

解 (Ⅰ)因为a＝3，b＝26，∠B＝2∠A，

326所以在△ABC中，由正弦定理得sinA＝sin2A. 2sinAcosA266所以sinA＝3.故cosA＝3.

632(Ⅱ)由(Ⅰ)知cosA＝3，所以sinA＝1－cosA＝3. 1

又∠B＝2∠A，所以cosB＝2cosA－1＝3. 2

22

所以sinB＝1－cos2B＝3. 53

在△ABC中，sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝9.所以asinCc＝sinA＝5.

12．(2014·南昌模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，Cb，c，已知sinC＋cosC＝1－sin2. (1)求sinC的值；

(2)若a2＋b2＝4(a＋b)－8，求边c的值． C

解 (1)由已知得sinC＋sin2＝1－cosC， CC2C∴sin2(2cos2＋1)＝2sin2.

5

CCC由sin2≠0，得2cos2＋1＝2sin2， CC1∴sin2－cos2＝2.

13

两边平方，得1－sinC＝4，∴sinC＝4. CC1πCπ

(2)由sin2－cos2＝2>0，得4<2<2， π37即2由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝8＋27， 所以c＝7＋1.

6