实用文档之三角函数中辅助角公式的应用

对于形如y=asinx+bcosx的三角式，可变形如下： y=asinx=bcosxa2b2(sinx·aab22cosx·bab22)。

上式中的

aab22与

bab22的平方和为1，故可记

aab

22=cosθ，

bab22=sinθ，则

ya2b2(sinxcoscosxsin)absin(x)。22由此我们得到结论：asinx+bcosx=

（*）其中θ由a2b2sin(x)，

aab22cos,bab22sin来确定。通常称式子（*）为辅助角公式，

它可以将多个三角式的函数问题，最终化为y=Asin(x)+k的形式。下面结合近年高考三角题，就辅助角公式的应用，举例分类简析。 一. 求周期

例1 求函数y2cos(x)cos(x)3sin2x的最小正周期。

44解：

y2cos(x)sin(x)3sin2x44sin(2x)3sin2x23sin2xcos2x2sin(2x)6所以函数y的最小正周期T=π。

评注：将三角式化为y=Asin(x)+k的形式，是求周期的主要途径。

1

二. 求最值

例2. 已知函数f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x。若x[0,小值。

解：f(x)=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x=2sin(2x由0≤x≤2]，求f(x)的最大值和最

4)。

24≤2x4≤3。 4当2x44，即x=0时，sin(2x4)最小值2； 2当2x43，即x时sin(2x)取最大值1。

4282]上的最大值是1，最小值是2。

从而f(x)在[0,三. 求单调区间

例3. 已知向量→(2cosaxxx,tan())，→(2sin()，22424bxtan())，令f(x)→•→，求函数f(x)在[0，π]上的单调区间。

ab24解：f(x)→·→

abxxxxsin()tan()tan()2242424xx1tantan1x2x2x2·222cos(sincos)xx222221tan1tan22xxx2sincos2cos21

222sinxcosx22cos2sin(x)。4 2

先由0≤x≤反

4≤x之

4≤5。 4再

由

4≤x4≤20≤x≤4；2≤x4≤5≤x≤。 44所以f(x)在[0，]上单调递增，在[，]上单调递减。

44评注：以向量的形式给出条件或结论，是近两年来三角命题的新趋势，但最

终仍要归结为三角式的变形问题。而化为y=Asin(ωx+)+k的形式，是求单调区间的通法。 四. 求值域 例

4.

求

函

数

f(x)cos(6k16k12x)cos(2x)23sin(2x) 333(xR,kZ)的值域。

解：

f(x)cos(2k2x)cos(2k2x)23sin(2x) 3332cos(2x)23sin(2x)334[sin(2x)coscos(2x)sin]36364sin(2x)。2 所以函数f(x)的值域是[-4，4]。 五. 图象对称问题

例6. 如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=对称，那么a=( ) 8（A）2 （B）2 （C）1 （D）-1

解：可化为y1a2sin(2x)。 知x即

8时，y取得最值±1a，

2 3

sin2()acos2()±1a2882(1a)±1a221(1a)21a22a22a10a1选（D）。六. 图象变换 例7 已知函数y

13cos2sinxcosx1,xR。该函数的图象可由22ysinx(xR)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

13(1cos2x)sin2x1 44解：y15(sin2xcoscos2xsin)266415sin(2x)。264

可将函数y=sinx的图象依次进行下述变换： （1）向左平移

，得到y=sin(x+)的图象；

661倍，纵坐标不变，得2（2）将（1）中所得图象上各点横坐标变为原来的

y=sin(2x)的图象；

6（3）将（2）中所得图象上各点纵坐标变为原来的y=

1倍，横坐标不变，得21sin(2x+)的图象； 26515个单位长度，得到y=sin(2x+)+的图4264（4）将（3）中所得图象向上平移

4

象。

综上，依次经过四步变换，可得y=七. 求值

例8. 已知函数f(x)=3sin2x+sinxcosx。设α∈（0，π），f(求sinα的值。 解：f(x)=13cos2xsinxcosx1的图象。 2231)=，242331。 (1cos2x)sin2x=sin(2x)3222由f(

331)=sin()， 22432 得sin(14)=。 又α∈（0，π）(,)。 34333而sin

3115。 ＞， 故α+(,)，则 cos(α+)=3244332sinα=sin[()] =sin()coscos()sin

333333=

13511153 =。 ()84242评注：化为一种角的一次式形式，可使三角式明晰规范。在求sinα时，巧

）-，并且判断出α+的范围，进而求出cos(α+)3333的确切值，使整个求值过程方向明确，计算简捷。

用凑角法：α=（α+八. 求系数 例9. 若函数f(x)=

1cos2xxxasincos()的最大值为2，试确定常数a224sin(x)2的值。

2cos2xxxasincos 解：f(x)=

4cosx22 =cosx12asinx 2 5

1a2sin(x)， =

44其中角由sin=

11a2,cosa1a2来确定。

1a2由已知有4，解得a=15。

44九. 解三角不等式

例10. 已知函数f(x)=sin2x+sin2x，x[0,2]，求使f(x)为正值的x的集合。 解：f(x)=1-cos2x+sin2x =1+2sin(2x)。

42由f(x)＞0，有sin(2x-＞),

42则得2kπ-＜2x＜2k445， 4故kπ＜x＜kπ+再由

3(kZ)。 4k=0，1，得所求集合是

x[0,2π]，可取

37。 x0＜x＜，或＜x＜44 6