2020新课标高考数学讲义：圆锥曲线中的最值、范围、证明问题含解析

 教学资料范本 2020新课标高考数学讲义：圆锥曲线中的最值、范围、证明问题含解析 编 辑：__________________ 时 间：__________________ 1 / 27 第3讲 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 最值问题 函数最值法：当题目中给出的条件和结论的几何特征不明显、则可以建立目标函数、再求这个函数的最值．求函数最值的常用方法有(1)配方法；(2)基本不等式法；(3)判别式法；(4)单调性法；(5)三角换元法；(6)导数法等． 高考真题 思维方法 2 / 27 (1)略 (2)当l⊥x轴时不合题意、【关键1：研究直线l与x轴垂直的情况】 故可设l：y＝kx－2、P(x1、y1)、Q(x2、y2)、将y＝kx－2代入x22＋y＝1得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.当Δ＝16(4k2－3)>0、即48k±24k2－33k2>时、x1、2＝、【关键2：设出直线方程、并44k2＋1与椭圆方程联立、利用根与系数的关系求出A、B两点的横坐标与参数k的关系式】 4k2＋1·4k2－3从而|PQ|＝k2＋1|x1－x2|＝. 4k2＋1又点O到直线PQ的距离d＝2、 k2＋1【基本不等式法】(20xx·高考课标全国卷Ⅰ) 已知点x2y2A(0、－2)、椭圆E：＋a2b23＝1(a>b>0)的离心率为、2F是椭圆E的右焦点、直线23AF的斜率为、O为坐标3原点. (1)求E的方程； (2)设过点A的动直线l与E相交于P、Q两点、当△OPQ的面积最大时、求l的方程. 44k2－31所以△OPQ的面积S△OPQ＝d|PQ|＝.【关键3：用24k2＋1参数k表示面积】 4t44设4k2－3＝t、则t>0、S△OPQ＝＝.因为t＋≥4、4tt2＋4t＋t7当且仅当t＝2、即k＝±时等号成立、且满足Δ>0、【关键24：换元、利用基本不等式求最值】 77所以、当△OPQ的面积最大时、k＝±、l的方程为y＝x22－2或y＝－7x－2. 2 3 / 27 (1)略 (2) ①证明：设直线PQ的斜率为k、则其方程为y＝kx(k>0). y＝kx，22由x2y2得x＝±.记u＝、则P(u、uk)、1＋2k21＋2k2＋＝142Q(－u、－uk)、E(u、0). 【关键1：巧换元、妙设点P、Q、E的坐标】 kk于是直线QG的斜率为、方程为y＝(x－u)．【关键2：求22【利用函数的单调性求最值】(20xx·高考全国卷Ⅱ)已知点A(－2、0)、B(2、0)、动点M(x、y)满足直线AM1与BM的斜率之积为－.记2M的轨迹为曲线C. (1)求C的方程、并说明C是什么曲线； (2)过坐标原点的直线交C于P、Q两点、点P在第一象限、PE⊥x轴、垂足为E、连接QE并延长交C于点G. ①证明：△PQG是直角三角形； ②求△PQG面积的最大值. 直线QG的方程】 ky＝（x－u），2由得(2＋k2)x2－2uk2x＋k2u2－8＝0. * x2y2＋＝142设G(xG、yG)、则－u和xG是方程*的解、故xG＝u（3k2＋2）uk3、由此得yG＝. 2＋k22＋k2【关键3：正确求出G点的坐标】 uk3－uk2＋k21从而直线PG的斜率为＝－.【关键4：求直ku（3k2＋2）－u2＋k2线PG的斜率】 所以PQ⊥PG、即△PQG是直角三角形. ②由①得|PQ|＝2u1＋k2、|PG|＝2ukk2＋1、 2＋k2【关键5：利用弦长公式求出PQ、PG的表达式】 8k（1＋k2）1所以△PQG的面积S＝|PQ||PG|＝＝2（1＋2k2）（2＋k2）18k＋k121＋2k＋k. 【关键6：将△PQG的面积表示成关于k的函数】 1设t＝k＋、则由k>0得t≥2、当且仅当k＝1时取等号．因k8t为S＝在[2、＋∞)单调递减、所以当t＝2、即k＝11＋2t2 4 / 27 16时、S取得最大值、最大值为.因此、△PQG面积的最大值9为16. 9 5 / 27 [典型例题] (20xx·安徽宣城二模)已知椭圆C的方程x2y2为＋＝1、A是椭圆上的一点、且A在第一象限内、过A且斜率等于－1的直线与椭圆C42交于另一点B、点A关于原点的对称点为D. (1)证明：直线BD的斜率为定值； (2)求△ABD面积的最大值． y2－y1【解】 (1)证明：设D(x1、y1)、B(x2、y2)、则A(－x1、－y1)、直线BD的斜率k＝、x2－x1x21y21＋＝1，42y2－y11x1＋x2由两式相减得＝－×、 2y1＋y2x2－x1x2y2＋＝1，42因为kAB＝y1＋y2y2－y11＝－1、所以k＝＝、 x1＋x2x2－x12 6 / 27 1故直线BD的斜率为定值. 2(2)连接OB、因为A、D关于原点对称、 所以S△ABD＝2S△OBD、 11由(1)可知BD的斜率k＝、设BD的方程为y＝x＋t、 22因为D在第三象限、所以－2b>0)的离心率为、a2b22焦距为2. (1)求椭圆E的方程； (2)如图、动直线l：y＝k1x－斜率为k2、且k1k2＝3交椭圆E于A、B两点、C是椭圆E上一点、直线OC的2建立求解目标关于某个(或两个)变量的函数、通过求解函数的最值解决(普通方法、基本不等式方法、导数方法等) 2、M是线段OC延长线上一点、且|MC|∶|AB|＝2∶3, ⊙M的半径为|MC|、4OS、OT是⊙M的两条切线、切点分别为S、T.求∠SOT的最大值、并求取得最大值时直线l的斜率． c2解：(1)由题意知e＝＝、2c＝2、 a2所以a＝2、b＝1、 x2因此椭圆E的方程为＋y2＝1. 2(2)设A(x1、y1)、B(x2、y2)、 8 / 27 联立方程 3y＝k1x－2，得(4k21＋2)x2－43k1x－1＝0、 由题意知Δ＞0、 23k11且x1＋x2＝、x1x2＝－、 2k21＋12（2k21＋1）所以|AB|＝1＋k21|x1－x2|＝2 由题意可知圆M的半径r为 11＋8k212221＋k2r＝|AB|＝ . 332k21＋1由题设知k1k2＝2所以k2＝、 4k12因此直线OC的方程为y＝x. 4k12、 41＋k211＋8k21. 1＋2k21x2＋y2＝1，2联立方程2y＝4k1x，x2＋y2＝1，2 8k211得x2＝、y2＝、 1＋4k211＋4k21因此|OC|＝x2＋y2＝由题意可知sin1＋8k21. 1＋4k121、 |OC|1＋r∠SOT2r＝＝r＋|OC|而|OC|＝ r2 1＋8k21221＋k1 31＋2k211＋2k2132、 41＋4k211＋k121＋8k211＋4k12＝令t＝1＋2k21、 1则t＞1、∈(0、1)、 t 9 / 27 |OC|3t3因此＝＝r22t2＋t－123211129－t－2＋41112＋－tt2 ＝≥1、 112当且仅当＝、即t＝2时等号成立、此时k1＝±、 t22所以sin因此∠SOT12≤、 2∠SOTπ2≤、 6π所以∠SOT最大值为. 3π2综上所述：∠SOT的最大值为、取得最大值时直线l的斜率为k1＝±. 32 范围问题 1．几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义、则考虑利用圆、圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决． 高考真题 思维方法 10 / 27 (20xx·高考浙江卷)如图、已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点、抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A、B满(1)略 y1＋y2＝2y0，(2)由(1)可知 y1y2＝8x0－y20，131＋y2)－x0＝y20－3x0、|y1－y2|＝足PA、PB的中点均在C上. 所以|PM|＝8(y2422（y20－4x0）. 3132因此、△PAB的面积S△PAB＝|PM|·|y1－y2|＝(y20－4x0)2. 24【关键1：利用根与系数的关系、用P点坐标表示△PAB的面积】 y20因为x20＋＝1(－1≤x0<0)、所以y20－4x0＝－4x20－4x0＋4 (1)设AB中点为M、证明：PM垂直于y轴； y2(2)若P是半椭圆x2＋＝41(x<0)上的动点、求△PAB面积的取值范围. 4∈[4、5]、 1510因此、△PAB面积的取值范围是62，. 4【关键2：根据半椭圆中x的取值范围以及二次函数性质确定面积的取值范围】 2.代数法：代数法求范围问题、常需要根据条件构造关于某个变量的不等式或函数表达式、然后利用求解不等式、基本不等式、函数值域(导数与不等式、导数与方程)等方法求出范围、要特别注意变量的取值范围． 高考真题 思维方法 11 / 27 (1)略 (2)当l与x轴不垂直时、设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)、y＝k（x－1），M(x1、y1)、N(x2、y2)．由x2y2得(4k2＋3)x2－8k2x4＋3＝1＋4k2－12＝0、 【关键1：分类讨论、当直线斜率存在时、设出直线方程、与椭圆方程联立消元得一元二次方程】 4k2－128k2则x1＋x2＝、x1x2＝、所以|MN|＝1＋k2|x1－4k2＋34k2＋3x2|＝12（k2＋1）. 4k2＋3(20xx·高考全国卷Ⅰ)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A、直线l过点B(1、0)且与x轴不重合、l交圆A于C、D两点、过B作AC的平行线交AD于点E. (1)证明|EA|＋|EB|为定值、并写出点E的轨迹方程； (2)设点E的轨迹为曲线C1、直线l交C1于M、N两点、过B且与l垂直的直线与圆A交于P、Q两点、求四边形MPNQ面积的取值范围. 【关键2：利用根与系数的关系及弦长公式求弦长】 1过点B(1、0)且与l垂直的直线m：y＝－(x－1)、A到m的k距离为2、 k2＋1【关键3：利用点到直线的距离公式求距离】 所以|PQ|＝22242－＝4k2＋14k2＋3. k2＋1【关键4：利用圆中半径、弦长一半、弦心距的关系求弦长】 1故四边形MPNQ的面积S＝|MN||PQ|＝12211＋. 4k2＋3【关键5：用直线斜率k表示四边形MPNQ的面积】 可得当l与x轴不垂直时、四边形MPNQ面积的取值范围为(12、83). 【关键6：利用k2>0求取值范围】 当l与x轴垂直时、其方程为x＝1、|MN|＝3、|PQ|＝8、四边形MPNQ的面积为12. 【关键7：分类讨论、直线斜率不存在时四边形MPNQ的面积】 综上、四边形MPNQ面积的取值范围为[12、83). [典型例题] 12 / 27 (20xx·安徽五校联盟第二次质检)已知椭x2y2圆C：＋＝1(a＞b＞0)的焦点坐标分别为F1(－1、0)、F2(1、0)、P为椭圆C上一点、满a2b23足3|PF1|＝5|PF2|且cos∠F1PF2＝. 5(1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于A、B两点、 1点Q4，0、若|AQ|＝|BQ|、求k的取值范围． 5【解】 (1)由题意设|PF1|＝r1、|PF2|＝r2、则3r1＝5r2、又r1＋r2＝2a、所以r1＝a、r2＝43a. 4r21＋r2－|F1F2|2在△PF1F2中、由余弦定理得、cos∠F1PF2＝＝2r1r25a＋3a－22443532×a×a4422＝、 5x2y2解得a＝2、因为c＝1、所以b2＝a2－c2＝3、所以椭圆C的标准方程为＋＝1. 43x2y24＋3＝1(2)联立方程、消去y得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0、设A(x1、y1)、B(x2、y＝kx＋m－8km4m2－12y2)、则x1＋x2＝、x1x2＝、且Δ＝48(3＋4k2－m2)＞0、① 3＋4k23＋4k2x1＋x2－4km3m设AB的中点为M(x0、y0)、连接QM、则x0＝＝、y0＝kx0＋m＝、 23＋4k23＋4k21因为|AQ|＝|BQ|、所以AB⊥QM、又Q4，0、M为AB的中点、所以k≠0、直线QM的 13 / 27 3m3＋4k23＋4k2斜率存在、所以k·kQM＝k·＝－1、解得m＝－、② 4k－4km1－3＋4k243＋4k2把②代入①得3＋4k＞－、整理得16k4＋8k2－3＞0、即(4k2－1)(4k2＋3)＞0、4k221111－∞，－2∪2，＋∞. 解得k＞或k＜－、故k的取值范围为22 求解范围问题的常见方法 (1)利用判别式构造不等关系、从而确定参数的取值范围． (2)利用已知参数的取值范围、求新参数的取值范围、解决这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系． (3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式、从而求出参数的取值范围． (4)利用基本不等式求出参数的取值范围． (5)利用函数的值域求范围问题的关键是建立关于某个变量的目标函数、通过求这个函数的值域确定目标变量的取值范围．在建立函数的过程中、要根据题目的其他已知条件把要求的量都用已知变量表示出来、同时要注意变量的取值范围． [对点训练] (20xx·洛阳模拟)已知A、B是x轴正半轴上两点(A在B的左侧)、且|AB|＝a(a>0)、过A、B分别作x轴的垂线、与抛物线y2＝2px(p>0)在第一象限分别交于D、C两点． (1)若a＝p、点A与抛物线y2＝2px的焦点重合、求直线CD的斜率； S1(2)若O为坐标原点、记△OCD的面积为S1、梯形ABCD的面积为S2、求的取值范围． S2pppp，0、则B＋a，0、D，p、则C＋a，p2＋2pa、又a＝p、解：(1)由题意知A2222 14 / 27 3p－p＝3－1. 3pp－22所以kCD＝(2)设直线CD的方程为y＝kx＋b(k≠0)、C(x1、y1)、D(x2、y2)、 y＝kx＋b由、得ky2－2py＋2pb＝0、 y2＝2pxp所以Δ＝4p2－8pkb>0、得kb<、 22p2pb2p2pb又y1＋y2＝、y1y2＝、由y1＋y2＝>0、y1y2＝>0、可知k>0、b>0、 kkkk因为|CD|＝1＋k2|x1－x2|＝a1＋k2、 点O到直线CD的距离d＝|b|、 1＋k21|b|1所以S1＝·a1＋k2·＝ab. 21＋k22112pap又S2＝(y1＋y2)·|x1－x2|＝··a＝、 22kkS1kb所以＝、 S22ppS11因为00). 1(1)证明：k<－； 2(2)设F为C的右焦点、P为C→→→上一点、且FP＋FA＋FB＝0.证→→→明：|FA|、|FP|、|FB|成等差数列、并求该数列的公差． 思维方法 x21y21x22y22(1)证明：设A(x1、y1)、B(x2、y2)、则＋＝1、＋4343＝1. y1－y2x1＋x2y1＋y2两式相减、并由＝k得＋·k＝0.【关43x1－x2键1：点差法表示直线斜率】 x1＋x2y1＋y23由题设知＝1、＝m、于是k＝－.①【关224m键2：构造函数】 31由题设得0＜m＜、故k＜－.【关键3：求函数值域】 22(2)由题意得F(1、0)．设P(x3、y3)、则(x3－1、y3)＋(x1－1、y1)＋(x2－1、y2)＝(0、0)．由(1)及题设得x3＝3－(x1＋ 17 / 27 x2)＝1、y3＝－(y1＋y2)＝－2m＜0. 33→31，－、|FP|＝、 又点P在C上、所以m＝、从而P242→于是|FA|＝（x1－1）2＋y21＝x1＝2－. 2x21→→→同理|FB|＝2－、所以|FA|＋|FB|＝4－(x1＋x2)＝3.【关22→→键4：用A、B的横坐标表示向量FA、FB的模】 →→→→→→故2|FP|＝|FA|＋|FB|、即|FA|、|FP|、|FB|成等差数列. 1→→设该数列的公差为d、则2|d|＝||FB|－|FA||＝|x1－x2|＝ 21（x1＋x2）2－4x1x2.②【关键5：设出公差、并用A、2B的横坐标表示】 37将m＝代入①得k＝－1、所以l的方程为y＝－x＋、代441入C的方程、并整理得7x2－14x＋＝0、故x1＋x2＝2、4x1x2＝1.【关键6：利用m与k的关系求k的值、写出 28x211－（x1－1）2＋34 直线l的方程、代入椭圆方程求出两根之和与两根之积】 代入②解得|d|＝321321321.所以该数列的公差为或－. 282828 18 / 27 [典型例题] (20xx·××市第一学期抽测)已知点A1，－x2y2x3y3在椭圆C：＋＝1(a>b>0)上、O为坐标原点、直线l：－＝1的斜率与直a2b2a22b221线OA的斜率乘积为－. 4(1)求椭圆C的方程； (2)不经过点A的直线y＝3x＋t(t≠0且t∈R)与椭圆C交于P、Q两点、P关于原点的对2称点为R(与点A不重合)、直线AQ、AR与y轴分别交于两点M、N、求证：|AM|＝|AN|. 【解】 (1)由题意知、kOA·kl＝－即a2＝4b2、① 又13＋＝1、② a24b232b2b21·＝－＝－、 23a2a24a＝2所以联立①②、解得、 b＝1x2所以椭圆C的方程为＋y2＝1. 4y＝23x＋t(2)证明：设P(x、y)、Q(x、y)、则R(－x、－y)、由、 x24＋y2＝1112211得x2＋3tx＋t2－1＝0、 所以Δ＝4－t2>0、即－2b>0)的离心率为、右焦点为F、a2b22以原点O为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切． (1)求椭圆C的方程； (2)如图、过定点P(2、0)的直线l交椭圆C于A、B两点、连接AF并延长交C于M、求证：∠PFM＝∠PFB. 21 / 27 解：(1)依题意可设圆O的方程为x2＋y2＝b2、 因为圆O与直线x－y＋2＝0相切、所以b＝c2又＝、所以a＝2、 a2x2所以椭圆C的方程为＋y2＝1. 2(2)证明：依题意可知直线l的斜率存在、设l的方程为y＝k(x－2)． y＝k（x－2）由x2得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0、 2＋y2＝1因为l与椭圆有两个交点、所以Δ>0、即2k2－1<0. 设A(x1、y1)、B(x2、y2)、直线AF、BF的斜率分别为k1、k2、 8k2－28k2则x1＋x2＝、x1x2＝. 1＋2k21＋2k2因为F(1、0)、所以k1＋k2＝k（x1－2）k（x2－2）y1y2＋＝＋＝2k－x1－1x2－1x1－1x2－1|2|＝1、所以a2－c2＝1、 12＋128k2－21＋2k211x1＋x2－2kx1－1＋x2－1＝2k－k×＝2k－k×＝2k－x1x2－（x1＋x2）＋18k2－28k2－＋11＋2k21＋2k24k2－2k×＝0、 2k2－1即∠PFM＝∠PFB. 22 / 27 x2y21．已知F为椭圆C：＋＝1的右焦点、M为C上的任意一点． 43(1)求|MF|的取值范围； 3(2)P、N是C上异于M的两点、若直线PM与直线PN的斜率之积为－、证明：M、N两4点的横坐标之和为常数． 解：(1)依题意得a＝2、b＝3、所以c＝ a2－b2＝1、 所以椭圆C的右焦点F的坐标为(1、0)、 设椭圆C上的任意一点M的坐标为(xM、yM)、 则x2My2M＋＝1、 43311所以|MF|2＝(xM－1)2＋y2M＝(xM－1)2＋3－x2M＝x2M－2xM＋4＝(xM－4)2、 444又－2≤xM≤2、所以1≤|MF|2≤9、 所以1≤|MF|≤3、 所以|MF|的取值范围为[1、3]． (2)证明：设P、M、N三点的坐标分别为(xP、yP)、(xM、yM)、(xN、yN)、 设直线PM、PN的斜率分别为k1、k2、则直线PM的方程为y－yP＝k1(x－xP)、 x2y24＋3＝1，联立方程、得消去y、得 y－yP＝k1（x－xP），(3＋4k21)x2－8k1(k1xP－yP)x＋4k21x2P－8k1xPyP＋4y2P－12＝0、 由根与系数的关系可得xM＋xP＝8k1（k1xP－yP）、 3＋4k218k1（k1xP－yP）4k21xP－8k1yP－3xP所以xM＝－xP＝、 3＋4k213＋4k12 23 / 27 8k2（k2xP－yP）、 3＋4k22同理可得xN＋xP＝3又k1·k2＝－、 4－3－3xP－yP86xP＋8k1yP8k2（k2xP－yP）4k14k1故xN＋xP＝＝＝、 23＋4k224k21＋333＋4－4k16xP＋8k1yP4k21xP－8k1yP－3xP则xN＝－xP＝－＝－xM、 4k21＋33＋4k12从而xN＋xM＝0、 即M、N两点的横坐标之和为常数． x2y22．(20xx·××市第二次质量预测)椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2、A为a2b2椭圆上一动点(异于左、右顶点)、△AF1F2的周长为4＋23、且面积的最大值为3. (1)求椭圆C的方程； (2)设B是椭圆上一动点、线段AB的中点为P、OA、OB(O为坐标原点)的斜率分别为k1、1k2、且k1k2＝－、求|OP|的取值范围． 4解：(1)由椭圆的定义及△AF1F2的周长为4＋23、可得2(a＋c)＝4＋23、所以a＋c＝2＋3①. 当A在上(或下)顶点时、△AF1F2的面积取得最大值、即bc＝3②、 由①②及a2＝c2＋b2、得a＝2、b＝1、c＝3、 x2所以椭圆C的方程为＋y2＝1. 4111(2)当直线AB的斜率不存在时、k1＝－k2、因为k1k2＝－、所以k1＝±、不妨取k1＝、4221则直线OA的方程为y＝x、 2不妨取点A2，22、则B2，－、P(2、0)、所以|OP|＝2. 22当直线AB的斜率存在时、设直线AB的方程为y＝kx＋m、A(x1、y1)、B(x2、y2)、由y＝kx＋m可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0、Δ＝64k2m2－4(4k2＋1)(4m2－4)＝16(4k2＋1x2＋4y2＝4－m2)>0①、 －8km4m2－41所以x1＋x2＝、x1x2＝.因为k1k2＝－、所以4y1y2＋x1x2＝0、 41＋4k21＋4k2所以4(kx1＋m)(kx2＋m)＋x1x2＝(4k2＋1)x1x2＋4km(x1＋x2)＋4m2＝4m2－4－32k2m2＋4m21＋4k2 24 / 27 ＝0、 1化简得2m2＝1＋4k2(满足①式)、所以m2≥. 2x1＋x2－4km－2k1设P(x0、y0)、则x0＝＝＝、y0＝kx0＋m＝. 2m2m1＋4k214k2132，2、所以|OP|∈，2. 所以|OP|2＝x20＋y20＝＋＝2－∈m24m24m222综上、|OP|的取值范围为2，2. 2x2y223．(20xx·济南模拟)已知椭圆D：＋＝1(a>b>0)的离心率为e＝、点(－2、1)在椭a2b22圆D上． (1)求椭圆D的方程； (2)过椭圆D内一点P(0、t)的直线l的斜率为k、且与椭圆D交于M、N两点、设直线OM、ON(O为坐标原点)的斜率分别为k1、k2、若对任意k、存在实数λ、使得k1＋k2＝λk、求实数λ的取值范围． 解：(1)椭圆D的离心率e＝a2－b22＝、所以a＝2b、 a221x2又点(－2、1)在椭圆D上、所以＋＝1、得a＝2、b＝2、所以椭圆D的方程为a2b24y2＋＝1. 2(2)由题意得、直线l的方程为y＝kx＋t. x2y24＋2＝1由、消元可得(2k2＋1)x2＋4ktx＋2t2－4＝0. y＝kx＋t－4kt2t2－4设M(x1、y1)、N(x2、y2)、则x1＋x2＝、x1x2＝、 2k2＋12k2＋1t（x1＋x2）－4kt2k2＋1－4ky1y2kx1＋tkx2＋tk1＋k2＝＋＝＋＝2k＋＝2k＋t··＝. x1x2x1x2x1x22k2＋12t2－4t2－2－4k由k1＋k2＝λk、得＝λk、 t2－2－4因为此等式对任意的k都成立、所以＝λ、 t2－24即t2＝2－. λ因为点P(0、t)在椭圆内、所以0≤t2<2、 4即0≤2－<2、解得λ≥2. λ 25 / 27 所以实数λ的取值范围是[2、＋∞)． x2y214．(20xx·重庆七校联考)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为、其左焦点到点P(2、1)a2b22的距离为10.不经过原点O的直线l与椭圆C相交于A、B两点、且线段AB被直线OP平分． (1)求椭圆C的方程； (2)求△ABP的面积取最大值时、直线l的方程． c1解：(1)依题意知、e＝＝、 a2左焦点(－c、0)到点P(2、1)的距离d0＝（2＋c）2＋12＝10、 x2y2得a2＝4、c2＝1、所以b2＝3、故椭圆C的方程为＋＝1. 431(2)易得直线OP的方程为y＝x、设A(x1、y1)、B(x2、y2)、AB的中点R(x0、y0)(y0≠0)、21其中y0＝x0. 2x21y21x22y22x22x21y22y21因为A、B在椭圆C上、所以＋＝1、＋＝1、两式相减得－＋－＝0、43434433即（x2－x1）·2x0（y2－y1）·2y04＋3＝0、 y2－y13x03故kAB＝＝－·＝－. 4y02x2－x13x2y2由题意可设直线l的方程为y＝－x＋m(m≠0)、代入＋＝1中、消去y并整理得3x2243－3mx＋m2－3＝0、 由Δ＝(3m)2－4×3(m2－3)＝3(12－m2)>0、 得－230、当m∈(1－7、23)且m≠0时、f′(m)<0、所以当m＝1－7时、S△ABP取得最大值、此时直线l的方程为3x＋2y＋27－2＝0. 27 / 27

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