一、二元一次方程组易错压轴解答题 1．阅读下列材料，然后解答后面的问题.
我们知道方程2x+3y＝12有无数组解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解. 例：由2x+3y＝12得y＝
＝4﹣ x（x，y为正整数）.
∴
则有0＜x＜6，
又∵y＝4﹣ x为正整数， ∴ x为正整数.
由2与3互质，可知x为3的倍数，从而x＝3，代入y＝4﹣ x＝2. ∴2x+3y＝12的正整数解为 问题：
（1）请你写出方程3x+y＝7的一组正整数解：________. （2）若 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
（3）为了开展“阳光体育”活动，某班计划购买甲、乙两种体育用品（每种体育用品至少购买1件），其中甲种体育用品每件20元，乙种体育用品每件30元，共用去180元，问有几种购买方案. 2．已知关于x，y的方程
（m，n为实数）
为自然数，则满足条件的x值有 .
.
（1）若m+4n=5，试探究方程组的解x，y之间的关系 （2）若方程组的解满足2x+3y=0，求分式
的值.
3．关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（a，b，c是常数），b＝a+1，c＝b+1. （1）当
时，求c的值.
（2）当a＝ 时，求满足|x|＜5，|y|＜5的方程的整数解. （3）若a是正整数，求证：仅当a＝1时，该方程有正整数解. 4．我们用
表示不大于x的最大整数，例如
请解决下列问题：
（1） =________．
=________．（其中 为圆周率）；
求x,y的取值范围．
（2）已知x,y满足方程组
5．为了防治“新型冠状病毒”，我市某小区准备用5400元购买医用口罩和洗
手液发放给本小区住户．若医用口罩买800个，洗手液买120瓶，则钱还缺200元；若医用口罩买1200个，洗手液买80瓶，则钱恰好用完． （1）求医用口罩和洗手液的单价；
（2）由于实际需要，除购买医用口罩和洗手液外，还需增加购买单价为6元的N95口罩．若需购买医用口罩，N95口罩共1200个，其中N95口罩不超过200个，钱恰好全部用完，则有几种购买方案，请列方程计算．
6．在平面直角坐标系中，已知点A（a，0），B (b，0)，a、b满足方程组 为y轴正半轴上一点，且
.
，C
（1）求A、B、C三点的坐标； （2）是否存在点D（t，-t）使 说明理由.
（3）已知E(-2，-4)，若坐标轴上存在一点P，使
，请求出P的坐标.
？若存在，请求出D点坐标；若不存在，请
7．某自行车制造厂开发了一款新式自行车，计划6月份生产安装600辆，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式自行车的安装，工厂决定招聘一些新工人：他们经过培训后也能独立进行安装．调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每日可安装8辆自行车；2名熟练工和3名新工人每日可安装14辆自行车。
（1）每名熟练工和新工人每日分别可以安装多少辆自行车?
（2）如果工厂招聘n名新工人(0 8．为奖励优秀学生，某校准备购买一批文具袋和圆规作为奖品，已知购买1个文具袋和2个圆规需21元，购买2个文具袋和3个圆规需39元。 （1）求文具袋和圆规的单价： （2）学校准备购买文具袋20个，圆规若干，文具店给出两种优惠方案 方案一：购买一个文具袋还送1个圆规 方案二：购买圆规10个以上时，超出10个的部分按原价的八折优惠，文具袋不打折． ①设购买圆规m个(m≥20)，则选择方案一的总费用为________ ，选择方案二的总费用为________ 。 ②若学校购买圆规100个，则选择哪种方案更合算？请说明理由 ________ 9．如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的边AB在y轴正半轴上，顶点A的坐标为（0，2），设顶点C的坐标为（a，b）． （1）顶点B的坐标为________，顶点D的坐标为________（用a或b表示）； （2）如果将一个点的横坐标作为x的值，纵坐标作为y的值，代入方程2x+3y＝12成立，就说这个点的坐标是方程2x+3y＝12的解．已知顶点B和D的坐标都是方程2x+3y＝12的解，求a，b的值； （3）在（2）的条件下，平移长方形ABCD，使点B移动到点D，得到新的长方形EDFG， ①这次平移可以看成是先将长方形ABCD向右平移________个单位长度，再向下平移________个单位长度的两次平移； ②若点P（m，n）是对角线BD上的一点，且点P的坐标是方程2x+3y＝12的解，试说明平移后点P的对应点P′的坐标也是方程2x+3y＝12的解________． 10．如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的边AB在y轴正半轴上，顶点A的坐标为（0，2），设顶点C的坐标为（a，b）． （1）顶点B的坐标为________，顶点D的坐标为________（用a或b表示）； （2）如果将一个点的横坐标作为x的值，纵坐标作为y的值，代入方程2x+3y＝12成立，就说这个点的坐标是方程2x+3y＝12的解．已知顶点B和D的坐标都是方程2x+3y＝12的解，求a，b的值； （3）在（2）的条件下，平移长方形ABCD，使点B移动到点D，得到新的长方形EDFG， 这次平移可以看成是先将长方形ABCD向右平移________个单位长度，再向下平移________个单位长度的两次平移； （4）若点P（m，n）是对角线BD上的一点，且点P的坐标是方程2x+3y＝12的解，试说明平移后点P的对应点P′的坐标也是方程2x+3y＝12的解． 11．对x ， y定义一种新运算F ， 规定：F（x ， y）＝ax+by（其中a ， b均为非零常数）．例如：F（3，4）＝3a+4b ． （1）已知F（1，﹣1）＝﹣1，F（2，0）＝4． ①求a ， b的值； ②已知关于p的不等式组 ，求p的取值范围； （2）若运算F满足 ，请你直接写出F（m ， m）的取值范围（用含m 的代数式表示，这里m为常数且m＞0）． 12．某公园的门票价格如下表所示： 购票人数 1～50人 51～100人 100人以上 每人门票价 20元 17元 14元 某校初一（1）（2）两个班去游览公园，其中（1）班人数较少，不足50人，（2）班人数较多，超过50人，但是不超过100人．如果两个班都以班为单位分别购票，则一共应付1912元；如果两个班联合起来，作为个团体购票，则只需付1456元 （1）列方程或方程组求出两个班各有多少学生？ （2）若（1）班全员参加，（2）班有20人不参加此次活动，请你设计一种最省钱方式来帮他们买票，并说明理由． （3）你认为是否存在这样的可能：51到100人之间买票的钱数与100人以上买票的钱数相等？如果有，是多少人与多少人买票钱数相等？（直接写结果） 【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除 一、二元一次方程组易错压轴解答题 1．（1）{x=1y=4 （2）B （3）解：设购买甲种体育用品x件，购买乙种体育用品y件， 依题意得：20x+30y＝180， 2x+3y＝18， y＝6﹣ 23 x， ∵x，y是正整数， 当x＝ 解析： （1）（2）B （3）解：设购买甲种体育用品x件，购买乙种体育用品y件， 依题意得：20x+30y＝180， 2x+3y＝18， y＝6﹣ x， ∵x，y是正整数， 当x＝3时，y＝4. 当x＝6时，y＝2. 故有两种购买方案：①购买甲种体育用品3件，购买乙种体育用品4件;②购买甲种体育用品6件，购买乙种体育用品2件. 【解析】【解答】解：（1）由3x+y＝7，得y＝7﹣3x（x、y为正整数）. 则当x＝1时，y＝4; 当x＝2时，y＝1. 故方程的正整数解是 （ 2 ）同样，若 或 为自然数， （只要写出其中的一组即可）. 则有：0＜x﹣2≤9，即2＜x≤11. 当x＝3时， 当x＝5时， 当x＝11时， 故答案为：B. 【分析】（1）求方程3x+y＝7的正整数解，可给定x一个正整数值，计算y的值，如果y的值也是正整数，那么就是原方程的一组正整数解; （2）参照例题的解题思路进行解答; （3）设购买甲种体育用品x件，购买乙种体育用品y件，根据“甲种体育用品每件20元，乙种体育用品每件30元，共用去180元”列出方程，并解答. ＝9; ＝3; ＝1. 即满足条件x的值有3个， 2．（1）解：方程组 由①-2×②得：3m+12n=-3x+3y+15，即m+4n=-x+y+5， 将m+4n=5代入得：y=x， ∴方程组的解x，y之间的关系为y=x; （2）解： = 解析： （1）解：方程组 由①-2×②得：3m+12n=-3x+3y+15，即m+4n=-x+y+5， 将m+4n=5代入得：y=x， ∴方程组的解x，y之间的关系为y=x; （2）解： = ， ①+②得：3x=3m-6n+9，即：x=m-2n+3， 将x=m-2n+3代入①中，得：y=2m+2n-2， ∵2x+3y=0， ∴2（m-2n+3）+3(2m+2n-2)=0 ∴n=-4m， ∴原式= ， 【解析】【分析】（1）由 由①-2×② 将方程组变形整理得：3m+12n=-3x+3y+15， 即m+4n=-x+y+5， 将m+4n=5代入即可得到x、y之间的关系式； （2）先化简分式，再解方程组，将用m、n、表示的x、y代入2x+3y=0中，得到m、n的关系式，然后代入化简式子中求解即可. 3．（1）∵b＝a+1，c＝b+1. ∴c＝a+2， 由题意，得3a+a+1＝a+2， 解得a＝ 13 ， ∴c＝a+2＝ 73 ； （2）当a＝ 12 时， 12 x+ 32 y= 52 ， 解析： （1）∵b＝a+1，c＝b+1. ∴c＝a+2， 由题意，得3a+a+1＝a+2， 解得a＝ ， ∴c＝a+2＝ ； （2）当a＝ 时， x+ y= ， 化简得，x+3y＝5， ∴符合题意的整数解是： ， ， ； （3）由题意，得ax+（a+1）y＝a+2， 整理得，a（x+y﹣1）＝2﹣y①， ∵x、y均为正整数， ∴x+y﹣1是正整数， ∵a是正整数， ∴2﹣y是正整数， ∴y＝1， 把y＝1代入①得，ax＝1， ∴a＝1， 此时，a＝1，b＝2，c＝3，方程的正整数解是 . 【解析】【分析】（1）由题意，得3a+a+1＝a+2，解得a＝ ，即可求得c＝ ； （2）当a＝ 时，方程为 x+ y= ，即x+3y＝5，根据方程即可求得； （3）由题意，得a（x+y﹣1）＝2﹣y①，x、y均为正整数，则x+y﹣1是正整数，a是正整数，则2﹣y是正整数，从而求得y＝1，把y＝1代入①得，ax＝1，即可求得a＝1，此时方程的正整数解是 . 4．（1）3；-2 （2）解方程组得： ， 则-1≤x＜0，2≤y＜3． 【解析】【解答】（1）[π]=3，[2-π]=-2； 故答案为：3；-2； 【分析】（1）利用题中的新定义计算即可求 解析： （1）3；-2 （2）解方程组得： 则-1≤x＜0，2≤y＜3． 【解析】【解答】（1）[π]=3，[2-π]=-2； 故答案为：3；-2； 【分析】（1）利用题中的新定义计算即可求出所求；（2）求出方程组的解得到[x]与[y]的值，即可确定出x与y的范围． ， 5．（1）解：设医用口罩的单价为x元/个，洗手液的单价为y元/瓶，根据题意得 {800x+120y=56001200x+80y=5400 首先将方程化简为 ①×3-②×2得：5y=150 解 解析： （1）解：设医用口罩的单价为x元/个，洗手液的单价为y元/瓶，根据题意得 首先将方程化简为 ①×3-②×2得：5y=150 解得：y=30 y=30将代入①得：20x+90=140 解得：x=2.5 （2）解：解：设增加购买N95口罩a个，洗手液b瓶，则医用口罩(1200-a)个，根据题意得 6a+2.5（1200-a）+30b=5400 化简，得 7a+60b=4800 ∵a，b都为正整数 ∴a为60的倍数，且a≤200 ∴ ∴有三种购买方案. 【解析】【分析】（1）本题的数量关系为 ：医用口罩买800个，洗手液买120瓶，则钱还缺200元，即可得方程800x+120y=5600；医用口罩买1200个，洗手液买80瓶，则钱恰好用完，即可得方程1200x+80y=5400. （2）解本题注意两个条件：一是 N95口罩不超过200个 ，二是：口罩和洗手液的个数为正整数。 6．（1）解：方程组 {a+b=-2a-b=-4 ，解得： {a=-3b=1 ， ∴A（-3，0），B（1，0）， ∵c为y轴正半轴上一点，且S△ABC=6， ∴ 12 AB×OC=6，解得OC 解析： （1）解：方程组 ∴A（-3，0），B（1，0）， ∵c为y轴正半轴上一点，且S△ABC=6， ∴ AB×OC=6，解得OC=3， ∴C（0，3）； （2）解：∵D（t，-t），且S△PAB= S△ABC ， ∴ ×4×|t|＝ ×6，解得t=±1， ，解得： ， ∴D（1，-1）或（-1， 1）； （3）解：如图，∵ 当点P在x轴上时， ，E（-2，-4），设点P坐标为（m，0）， ， 解得m=±3， ∴点P的坐标为（3，0）或（-3，0）； 当点P在y轴上时， ， 解得m=±6， ∴点P的坐标为（0，6）或（0，-6）； 综上：坐标轴上存在点P，坐标为（3，0）或（-3，0）或（0，6）或（0，-6）； 【解析】【分析】（1）解出方程组即可得到点A，B的坐标，利用S△ABC=6，求出点C的坐标；（2）利用 求出点D的坐标即可；（3）设点P（m，0），分点P在 x轴和在y轴两种情况讨论，结合点E坐标和△ABC的面积分别求出点P坐标. 7．（1）解：设每名熟练工每日安装x辆自行车，每名新工人每日安装y辆自行车 由题意得 {x+2y=82x+3y=14 解得 {x=4y=2 答：每名熟练工每日安装4辆自行车，每名新工人每日安 解析： （1）解：设每名熟练工每日安装x辆自行车，每名新工人每日安装y辆自行车 由题意得 解得 答：每名熟练工每日安装4辆自行车，每名新工人每日安装2辆自行车。 （2）解：设熟练工有m名，则（2n+4m）×30=600，∴n+2m=10，n=10-2m ∴n=2或4或6或8。 （3）解：假设一个轮胎用作前轮实验使用a千公里，用作后轮使用b千公里，则 则a+b=9.6 答：一对轮胎能行驶的最长路程是9.6千公里。 【解析】【分析】（1） 设每名熟练工每日安装x辆自行车，每名新工人每日安装y辆自行车 ，根据“安装辆数=熟练工人数×熟练工人的日工作效率+新工人数×新工人的日工作效率”，在两种情况下分别列方程，组成方程组求解即可； （2） 设熟练工有m名， 根据\"（熟练工人数×熟练工人的日工作效率+新工人数×新工人的日工作效率）×30=600”，列一个二元一次方程，整理化简，把n用含m的代数式表示，m从1开始，从小到大取正整数，求出的n能够保证 0 8．（1）设文具袋的单价为x元，圆规的单价为y元 依题意，得： {x+2y=212x+3y=39 解得： {x=15y=3 答：文具袋的单价为15元，圆规的单价为3元。 （2）(3m+ 解析： （1）设文具袋的单价为x元，圆规的单价为y元 依题意，得： 解得： 答：文具袋的单价为15元，圆规的单价为3元。 （2）(3m+240)元；(2.4m+306)元；解：当m=100时，3m+240=540，2.4m+306=546， ∵540<546， ∴选择方案一更合算 【解析】【解答】(1)①设购买圆规m个，选择方案一的总费用为：20×15+3(m-20)=3m+240(元)； 选择方案二的总费用为：20×15+10×3+3×80%(m-10)=2.4m+306(元) 故答案为：(3m+240)元；(2.4m+306)元 【分析】（1） 设文具袋的单价为x元，圆规的单价为y元 ，总费用=文具袋数量×单价+圆规数量×单价，据此在两种情况下分别列方程，组成方程组求解即可； （2） ①设购买圆规m个，因为购买一个文具袋还送1个圆规，则购买20个文具袋送20个圆规，实际花钱购买的圆规有m-20个，根据“总费用=文具袋数量×单价+圆规数量×单价”列式即可；文具袋的费用不变，为20×15，圆规的费用分两部分，其中10个按原价， 费用为10×3，超过10个的部分数量为m-10,享受优惠价，费用为3×80%(m-10)，几项费用相加即是总费用； ② 把m=100, 代入上述两种方案，分别计算费用，比较费用的大小，若费用低就更合算。 9．（1）（0，b）；（a，2） （2）解：∵顶点B和D的坐标都是方程2x+3y＝12的解， ∴ {3b=122a+6=12 ， 解得 {a=3b=4 ． （3）3；2；点P（m，n）平移后的 解析： （1）（0，b）；（a，2） （2）解：∵顶点B和D的坐标都是方程2x+3y＝12的解， ∴ 解得 ． ， （3）3；2；点P（m，n）平移后的坐标为（m+3，n﹣2）， ∵点P的坐标是方程2x+3y＝12的解， ∴2m+3n＝12， 将P′的坐标代入方程2x+3y＝12，2（m+3）+3（n﹣2）＝2m+3n＝12， ∴P′的坐标也是方程2x+3y＝12的解． 【解析】【解答】（1）由A的坐标为（0，2），C的坐标为（a，b），以及长方形ABCD的性质可知， AB=b,AD=a,则B（0，b），D（a，2）， 故答案为（0，b），（a，2）；（3）在（2）的条件下，平移长方形ABCD，使点B移动到点D，得到新的长方形EDFG， ①这次平移可以看成是先将长方形ABCD向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度的两次平移； 【分析】（1）由题意，结合长方形的性质可得点B和点D的坐标；（2）因为点B和D的坐标都是方程2x+3y＝12的解，则将B、D两点坐标带入方程2x+3y＝12，得到方程组，求解即可得到答案.（3）①本题考查平移，利用平移的性质可以得到答案；②将点P的坐标和P′的坐标代入方程2x+3y＝12，若两者相等，即可证明. 10．（1）（0，b）；（a，2） （2）解：∵顶点B和D的坐标都是方程2x+3y＝12的解， ∴ {3b=122a+6=12 ， 解得 {a=3b=4 ． （3）3；2 （4）解：点P（m，n 解析： （1）（0，b）；（a，2） （2）解：∵顶点B和D的坐标都是方程2x+3y＝12的解， ∴ 解得 （3）3；2 （4）解：点P（m，n）平移后的坐标为（m+3，n﹣2）， ∵点P的坐标是方程2x+3y＝12的解， ∴2m+3n＝12， 将P′的坐标代入方程2x+3y＝12， 2（m+3）+3（n﹣2）＝2m+3n＝12， ∴P′的坐标也是方程2x+3y＝12的解． 【解析】【解答】解：（1）由A的坐标为（0，2），C的坐标为（a，b），以及长方形ABCD的性质可知， AB=b,AD=a,则B（0，b），D（a，2）， 故答案为（0，b），（a，2）；（3）在（2）的条件下，平移长方形ABCD，使点B移动到点D，得到新的长方形EDFG， 这次平移可以看成是先将长方形ABCD向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度的两次平移； 故答案为3，2； 【分析】（1）由题意，结合长方形的性质可得点B和点D的坐标；（2）因为点B和D的坐标都是方程2x+3y＝12的解，则将B、D两点坐标带入方程2x+3y＝12，得到方程组，求解即可得到答案.（3）①本题考查平移，利用平移的性质可以得到答案；（4）将点P的坐标和P′的坐标代入方程2x+3y＝12，若两者相等，即可证明. ． ， 11．（1）解：①根据题意得：F（1，﹣1）＝a﹣b＝﹣1， F（2，0）＝2a＝4， 解得：a＝2，b＝3； ②根据F（x，y）＝ax+by， F（3﹣2p，2）＝2（3﹣2p）+6＝12﹣4p 解析： （1）解：①根据题意得：F（1，﹣1）＝a﹣b＝﹣1， F（2，0）＝2a＝4， 解得：a＝2，b＝3； ②根据F（x，y）＝ax+by， F（3﹣2p，2）＝2（3﹣2p）+6＝12﹣4p， F（1，2﹣3p）＝2+3（2﹣3p）＝8﹣9p， ∴ ， 解不等式①得：p≤2， 解不等式②得：p＞1， 故p的取值范围为1＜p ≤2； （2）解：由题意得 ①+②得﹣3＜3（a+b）≤9， 则﹣1＜a+b≤3， F（m，m）＝am+bm＝m（a+b）， 所以﹣m＜m（a+b）≤3m， 故F（m，m）的取值范围是﹣m＜F（m，m）≤3m． 【解析】【分析】（1）①根据定义的新运算F，将F（1，-1）=-1，F（2，0）=4代入F（x，y）=ax+by，得到关于a、b的二元一次方程组，求解即可；②根据题中新定义化简已知不等式组，再求出不等式组的解集即可；（2）由已知条件得出-1＜a+b≤3，由F（m，m）=am+bm=m（a+b），即可得出-m＜m（a+b）≤3m，就可以求得F（m，m）的取值范围． ， 12．（1）解：如果初一（1）（2）两个班的人数之和不大于100， 则1456÷17=85（人） （元），不符合题意， ∴初一（1）（2）两个班的人数之和大于100． 设初一（1）班有x人，初一 解析： （1）解：如果初一（1）（2）两个班的人数之和不大于100， 则1456÷17=85（人） （元），不符合题意， ∴初一（1）（2）两个班的人数之和大于100． 设初一（1）班有x人，初一（2）班有y人， 依题意，得： 解得： ； ， 答：初一（1）班有48人，初一（2）班有56人 （2）解：48+（56﹣20）=84（人）． 两个班合起来买84张门票所需钱数为：84×17=1428（元）， 两个班合起来买101张门票所需钱数为：101×14=1414（元）， ∵1414＜1428， ∴两个班合起来买101张门票最省钱 （3）84人和102人或98人和119人买票钱数相等 【解析】【解答】（3）设m人与n人买票钱数相等（51≤m≤100，n≥101）， 依题意，得：17m=14n， ∴m为14的整数倍，n为17的整数倍， ∴ 或 ． 答：84人和102人或98人和119人买票钱数相等． 【分析】（1）由两班人数之和为整数可得出初一（1）（2）两个班的人数之和大于100，设初一（1）班有 人，初一（2）班有y人，根据总价=单价×数量，即可得出二元一次方程组，解之即可；（2）求出参加活动的人数，利用总价=单价×数量，分别求出购买84张门票及101张门票所需钱数，比较后即可得出结论； （3）设m人与n人买票钱数相等（51≤m≤100，n≥101），根据总价=单价×数量且总价相等，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n为正整数及其范围，即可求出m，n的值． 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容