第一章检测题
时间：120分钟满分：120分
一、选择题(每小题3分，共30分) 1．下列命题中正确的是(D)
A．有两条边相等的两个等腰三角形全等B．两腰对应相等的两个等腰三角形全等 C．两角对应相等的两个等腰三角形全等D．一边对应相等的两个等边三角形全等 2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝22°，则∠BDC等于(C)
A．44°B．60°C．67°D．77°
第2题图
第3题图
第5题图
第6题图
1
3．(宜昌)如图，在△AEF中，尺规作图如下：分别以点E，点F为圆心，大于EF的
2
长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，交EF于点O，连接AO，则下列结论正确的是(C)
A．AO平分∠EAFB．AO垂直平分EFC．GH垂直平分EFD．GH平分AF
4．在等腰△ABC中，AB＝AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为(C)
A．7B．11C．7或11D．7或10
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是(D)
A．3.5B．4.2C．5.8D．7
6．如图，轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是(D)海里．
A．253B．252C．50D．25
7．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：
1
①分别以点B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
2
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②作直线MN交AB于点D，连接CD.
若CD＝AC，∠A＝50°，则∠ACB的度数为(D) A．90°B．95°C．100°D．105°
第7题图
第8题图
第9题图
第10题图
8．如图，在四边形ABCD中，BE⊥AC于点E，连接DE，四边形ABCD的面积为12cm2.若BE平分∠ABC，则四边形ABED(阴影部分)的面积为(B)
A．4cm2B．6cm2C．8cm2D．10cm2
9．如图，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，则CD的长为(B)
A．32B．4C．25D．4.5 10．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为点F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为(B)
A．11B．5.5C．7D．3.5
点拨：作DM＝DE交AC于点M，作DN⊥AC于点N，图略．利用角平分线的性质得到DN＝DF，将三角形EDF的面积转化为三角形DNM的面积来求．
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是直角”时的假设是_三角形中至少有两个内角是直角_．
12．“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的逆命题是__真__(填“真”或“假”)命题．
13．如图，每个小正方形的边长为1，点A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC＝__45°__．
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错误!错误!,第14题图)错误!,第15题图)
14．如图，△ABC的周长为32，且AB＝AC，AD⊥BC于点D，△ACD的周长为24，那么AD的长为__8__．
15．(河北)如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α＝__56__°.
16．如图，已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至点E，使CE＝CD＝1，连接DE，则DE＝__3__．
,第16题图),第17题图),第18
题图)
17．居委会需要在街道旁修建临时奶站C，向居民区A，B提供牛奶，要求CA＝CB.如图，已知A(0，2)，B(6，4)，则C点坐标为__(4，0)__．
18．如图，△ABC的两条外角平分线AP，CP相交于点P，PH⊥AC于点H.若∠ABC＝60°，则下面的结论：
①∠ABP＝30°；②∠APC＝60°；③PB＝2PH；④∠APH＝∠BPC. 其中正确的结论是__①②③④__．(填序号) 三、解答题(共66分) 19．(8分)(恩施州)如图，△ABC，△CDE均为等边三角形，连接BE，AD交于点O，BE与AC交于点P.求证：∠AOB＝60°.
证明：∵△ABC和△ECD都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB＋∠ACE＝∠DCE＋∠ACE，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE
AC＝BC，
中，∴∠CAD＝∠CBE，∵∠APO＝∠BPC，∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，
CD＝CE，
∴∠AOP＝∠BCP＝60°，即∠AOB＝60°.
20．(8分)如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E.
(1)求证：△ABD是等腰三角形； (2)若∠A＝40°，求∠DBC的度数；
(3)若AE＝6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长．
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解：(1)证明：∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，∴DB＝DA，∴△ABD是等腰三角形．(2)∵△ABD是等腰三角形，∠A＝40°，∴∠ABD＝∠A＝40°，∠ABC＝∠C＝(180°－40°)÷2＝70°.∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝70°－40°＝30°.(3)∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，AE＝6，∴AB＝2AE＝12，AD＝BD.∵△CBD的周长为20，∴AC＋BC＝20，∴△ABC的周长＝AB＋AC＋BC＝12＋20＝32.
21．(8分)如图，直线AB与直线BC相交于点B，点D是直线BC上一点．
求作：点E，使直线DE∥AB，且点E到B，D两点的距离相等．(保留作图痕迹，不必写作法)
解：图略，过点D作∠CDF＝∠CBA，延长FD交线段BD的垂直平分线于点E，则DE∥AB，且点E到B，D两点的距离相等．
22．(10分)如图，在△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD＝45°，AD与BE交于点F，连接CF.
(1)求证：BF＝2AE；
(2)若CD＝2，求AD的长．
解：(1)证明：∵BE⊥AC，AD⊥BC，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∠DAC＋∠ACD＝∠DBF＋∠DCA＝90°，∴∠DAC＝∠DBE，又∵∠BAD＝45°，∴∠BAD＝∠DBA，∴AD＝BD，∴△ADC≌△BDF(ASA)，∴BF＝AC，又∵AB＝BC，BE⊥AC，∴AE＝CE，∴AC＝2AE，∴BF＝2AE.(2)∵△BFD≌△ACD，∴FD＝CD＝
2，∴FC＝
（2）2＋（2）2＝2，又∵AE＝CE，FE⊥AC，∴FC＝AF，∴AF＝2，∴AD＝AF＋
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FD＝2＋2.
23．(10分)如图，在等边△ABC中，AO是∠BAC的平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE，连接BE.
(1)求证：△ACD≌△BCE；
(2)延长BE至点Q，P为BQ上一点，连接CP，CQ，使CP＝CQ＝5，若BC＝8，求PQ的长．
解：(1)证明：∵△ABC和△CDE均为等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，且∠ACB＝∠DCE＝60°，即∠ACD＋∠DCB＝∠DCB＋∠BCE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE(SAS)．(2)作CH⊥BQ于点H，图略．则PQ＝2HQ.在Rt△BHC中，由(1)
1
得∠CBH＝∠CAO＝30°，∴CH＝BC＝4，在Rt△CHQ中，HQ＝CQ2－CH2＝52－42
2
＝3，∴PQ＝2HQ＝6.
24．(10分)如图，在△ABC与△AED中，∠E＝∠C，DE＝BC，EA＝CA，过点A作AF⊥DE垂足为点F，DE交CB的延长线于点G，连接AG.
(1)求证：GA平分∠DGB；
3
(2)若S四边形DGBA＝6，AF＝，求FG的长．
2
解：(1)如图，过点A作AH⊥BC于点H，在△ABC与△AED中，∠E＝∠C，DE＝BC，EA＝CA，
11
∴△ABC≌△ADE(SAS)，∴S△ABC＝S△ADE，又∵AF⊥DE，即×DE×AF＝×BC×
22
AH，∴AF＝AH，又∵AF⊥DE，AH⊥BC，∴GA平分∠DGB.(2)∵△ABC≌△ADE，∴AD＝AB，又∵AF⊥DE，AH⊥BC，AF＝AH，∴Rt△ADF≌Rt△ABH(HL)，∴S四边形DGBA
31
＝S四边形AFGH＝6，易得Rt△AFG≌Rt△AHG，∴Rt△AFG的面积＝3，∵AF＝，∴
22
3
×FG×＝3，解得FG＝4.
2
25．(12分)如图，在△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M，N分别从点A，点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s.当点N第一次回到B点时，点M，N同时停止运动．
(1)点M，N运动几秒后，M，N两点重合？
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(2)点M，N运动几秒后，可得到等边三角形AMN? (3)当点M，N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？若存在，请求出此时M，N运动的时间．
解：(1)设点M，N运动x秒后，M，N两点重合，则x＋12＝2x，解得x＝12，故点M，N运动12秒后，M，N两点重合．(2)设点M，N运动t秒后，可得到等边三角形AMN，如图①，AM＝t，AN＝AB－BN＝12－2t，∵三角形AMN是等边三角形，∴t＝12－2t，解得t＝4，∴点M，N运动4秒后，可得到等边三角形AMN.(3)当点M，N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形AMN，由(1)知12秒时M，N两点重合，恰好在C处，如图②，假设△AMN是以边MN为底边的等腰三角形，∴AN＝AM，∴∠AMN＝∠ANM，∴∠AMC＝∠ANB，∵AB＝BC＝AC，∴△ACB是等边三角形，∴∠C＝∠B，∴△ACM≌△ABN，∴CM＝BN，设当点M，N在BC边上运动时，M，N运动的时间为y秒时，△AMN是以边MN为底边的等腰三角形，∴CM＝y－12，NB＝36－2y，又∵CM＝NB，∴y－12＝36－2y，解得y＝16.∴当点M，N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M，N运动的时间为16秒．
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