安徽工业大学《自动控制原理》精品课程习题

第1章 引论

例1-1 图1-1个简单的水位控制系统。 （1）说明它的工作原理。

（2）说出系统的被控对象、被控量、给定量（输入信号）。 （3）画出系统工作原理的方框图。

HQ

图1-1 水位控制系统

答：这个简单的水位控制系统是通过浮球和杠杆来实现的。

浮球可以检测水位的高低，这个信息通过杠杆来调节进水阀门来实现对水位的调节，控制。这个调节作用也是一个负反馈过程，当水位升高时，浮球位置上移，从而使阀门下移，减小进水量，使水位不再上升。当水位下降时，浮球位置下移，从而使阀门上移，增加进水量，使水位不再下降。

图中输入信号是浮球的理想位置，被控对象是进水阀门、被控量是水池的水位。可以看出，浮球的实际位置是水位的检测信号。

浮球理想位置误差信号杠杆控制量进水阀门－浮球位置浮球

例1-2 图1-2是一个直流发电机的励磁调节电压控制系统。 （1）试说明它的工作原理

（2）画出系统工作原理的方框图。 （3）说明如何调节输出电压。

（4）分析引起输出电压不稳定的主要干扰源。

＋输入信号电源~ugkuf直流发电机＋＋－－－输出负电压载udub反馈信号

图1-2 励磁调节电压控制系统

答：这是一个通过调节励磁，控制输出电压的直流发电机系统。

控制作用的实现是由输入信号电压控制励磁电源的电压输出，再由励磁电源的输出电压来控制直流发电机的输出电压。反馈信号从输出电压通过分压器得到，然后直接送入励磁电源输入端，形成复反馈控制。 调节输出电压可以通过调节输入信号的大小来实现，当需要输出电压升高，可以调节输入信号电压增大；需要输出电压减小，同样，可以使输入信号电压减小。

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引起输出电压波动的主要干扰一般是负载电流的大小，负载增加时，可能引起输出电压下降。环境温度，发电机和励磁电源的参数变化，也可能引起输出电压变化。

电压控制信号误差信号－反馈电压信号励磁调节器励磁电压直流发电机输出电压（被控量）电压量测

例1-3 图1-3是一个晶体管直流稳压电源。 （1）试说明它的工作原理。

（2）画出系统工作原理的方框图。

（3）说明电路中起测量作用的元件、起执行作用的元件和起给定信号作用的元件。 （4）说明如何调节输出电压的大小。

＋T1＋输出电压输入电压ui-+放大器稳压管（基准电压）uo－图1-3

－

答：晶体管直流稳压电源通过电压调节功能可以在输入电压一定的波动范围内保持输出电压的基本稳定，这个系统也是建立在负反馈控制的原理上的。

调节输出电压是通过晶体管的输入电流来实现的，当输入电流较大时，晶体管的射极输出电流大；当输入电流较小时，晶体管的射极输出电流小，从而调节输出的电压大小。当晶体管全导通时，晶体管进入饱和状态，则输出电压达到最高，并失去调节作用。

输出电压信号的检测是通过分压器实现的，在运算放大器的输入端，输出信号与基准电压信号进行比较，由此得到的偏差信号控制运算放大器输出电流大小，从而控制晶体管的输入电流和输出电压。 在电路图中，测量元件是分压器，执行元件是晶体管，给定信号是稳压二极管的基准电压。

欲调节稳压电源的输出电压，可以通过调节稳压管的基准电压，或分压器的分压比例来实现，但输出电压不能高于输入电压加饱和时的管压降（约0.7伏）。

基准电压信号误差信号－放大器基极输入电流信号功率晶体管输出电压（被控量）反馈电压信号分压器

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第2章 线性系统的数学模型

例2-1 设有一个倒立摆安装在马达传动车上。如图2-1所示。

图2-1倒立摆系统

倒立摆是不稳定的，如果没有适当的控制力作用在它上面，它将随时可能向任何方向倾倒，这里只考虑二维问题，即认为倒立摆只在图2-1所示平面内运动。控制力u作用于小车上。假设摆杆的重心位于其几何中心A。试求该系统的运动方程式。 解：

（1）设输入为作用力u，输出为摆角 。

（2）写原始方程式，设摆杆重心A的坐标为（XA，yA）于是XA＝X＋lsin，Xy = lcos，画出系统隔离体受力图如图2-2所示。 图2-2 隔离体受力图

d2摆杆围绕重心A点转动方程为： J2VlsinHlcos （2-1-1）

dt式中，J为摆杆围绕重心A的转动惯量。

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摆杆重心A沿X轴方向运动方程为：md2xAdt2H

d2即 m2(xlsin)H （2-1-2）

dtd2yA摆杆重心A沿y轴方向运动方程为：mVmg

dt2即 md2dt2(lcos)Vmg

d2x小车沿x轴方向运动方程为： M2uH

dt方程（2-1-1），方程（2-1-2）构成车载倒立摆系统运动方程组。因为含有sin 和cos 项，所以为非线性微分方程组，中间变量不易相消。

（3）当 很小时，可对方程组线性化，由sin ≈，同理可得到cos≈1则方程式(2-1-1)式（2-1-2）可用线性化方程表示为：

d2J2VlHldtd2xd2ml2Hm dt2 dt0Vmgd2xM2uHdt2d2用s2的算子符号将以上方程组写成代数形式，消掉中间变量V、H、X得

dt (Ml将微分算子还原后得

MmJ)s2(Mm)gu mlMJJd2d)2(Mm)gu (Mlmlldtdt此为二阶线性化偏量微分方程。

例2-2 已知机械系统如图2-3（a）所示，电气系统如图2-3（b）所示，试画出两系统结构图，并求出传递函数，证明它们是相似系统。

（a）机械系统 （b）电气系统

图2-3 系统结构图

解：（1）若图2-3（a）所示机械系统的运动方程，遵循以下原则并联元件的合力等于两元件上的力相加，

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平行移动，位移相同，串联元件各元件受力相同，总位移等于各元件相对位移之和。 微分方程组为：

FF1F2f1(xix0)K1(xix0) Ff2(x0y)

FKy2取拉氏变换，并整理成因果关系有： F(s)(f1sK1)[(xi(s)x0(S)]1 y(s) F(s)K21F(s)y(s)x0(s)fs2画结构图如图2-4：

求传递函数为：

图2-4 机械系统结构图

ff11)(1s1)(2s1)X0(s)k2f2sk1k2  11fffXi(s)1(k1f1s)()(1s1)(2s1)2sk2f2sk1k2k1(k1f1s)(（2）写图2-3（b）所示电气系统的运动方程，按电路理论，遵循的定律与机械系统相似，即并联元件总

电流等于两元件电流之和，电压相等。串联元件电流相等，总电压等于各元件分电压之和，可见，电压与位移互为相似量电流与力互为相似量。 运动方程可直接用复阻抗写出：

1I(s)IsI(s)[Ei(s)Ei(s)]C1s[(Ei(s)E0(s)]12R11 I(s)[E0(s)Ec2(s)]R2I(s)CsE(s)2C2整理成因果关系：

1I(s)(C1s)[(Ei(s)E0(s)]R11I(s) Ec2(s) CS2E(s)IRE(s)2C20安徽工业大学《自动控制原理》精品课程习题精选第 6 页 共 54 页

画结构图如图2-5所示：

求传递函数为：

(

图2-5 电气系统结构图

11C1s)(R2)E0(s)R1C2S(R1C1S1)(R2C2S1) Ei(s)1(11)(R1)(R1C1S1)(R2C2s1)R1C2S2R1C1SC2S对上述两个系统传递函数，结构图进行比较后可以看出。两个系统是相似的。机一电系统之间相似量的对

应关系见表2-1。

表2-1 相似量 机械系统 电气系统 xi ei x0 e0 y ec2 F i F1 i F2 i K1 1/R 1/K2 R f1 C1 f2 C2 例2-3 试求图2-6所示运算放大器电路的传递函数Eo(s)/Ei(s)

R1AR1R1I(s)AR1-eoUB(s)-+Eo(s)eiR2+BCEi(s)

R21sCB图2-6

解：设运算放大器阻抗很大UB(s)UA(s)

1Ei(s)E(s)UA(s)1sCR2Ei(s)Ei(s) 则可得I(s)iUB(s)sC1R1R1sCR21sCR21R2sC2sCR2Ei(s)Eo(s)2R1I(s)Ei(s)sCR21Eo(s)Ei(s)Eo(s)Ei(s)2sCR22sCR2Ei(s)1Ei(s)

sCR21sCR211sCR21sCR2例2-4 已知系统结构图如图2-7所示，试用化简法求传递函数C(s)/R(s)。 解：

图2-7 系统结构图 （1）将两条前馈通路分开，改画成图2-8（a）的形式。

（2）将小前馈并联支路相加，得图2-8（b）。

（3）先用串联公式，再用并联公式将支路化简为图2-8（c）。

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图2-8 系统结构图

例2-5系统的信号流图如图2-9所示，求传递函数Y6(s)/Y1(s),Y3(s)/Y1(s)和Y5(s)/Y2(s)

baY1Y2cdeY4lY3gi图2-9

Y5hY6

解：图中有六个单回环，其增益为：cg、eh、cdei、bei，因此两个互不接触的回环有1种组合，即由此可得特征式1Lcgehcdeibei

1L2cgeh；

LL121cgehcdeibeicgeh

1）输入量Y1(s)与输出量Y6(s)之间有两条前向通道，对应Pk与k为

P1acdel 11；P2abel 21

PP12acdelabelY6(s)/Y1(s)Pkk1122

k11cgehcdeibeicgeh2）Y1(s)与Y3(s)之间有一条前向通道，对应Pk与k为P1ac 11eh

PacacehY3(s)/Y1(s)11

1cgehcdeibeicgeh3）Y2(s)与输出量Y5(s)之间有两条前向通道，对应Pk与k为 P2be 21 1cde 11；PPP12cdebeY5(s)/Y2(s)Pkk1122

k11cgehcdeibeicgeh例2-6 已知某控制系统由下列方程组描述，试绘制该系统方框图，并由方框图求取传递函数C(s)R(s)。

X1(s)G1(s)R(s)G1(s)G7(s)G8(s)C(s) X2(s)G2(s)X1(s)G6(s)X3(s)X3(s)X2(s)G5(s)C(s)G3(s) C(s)G4(s)X3(s)解：绘制的系统方框图如图2-10所示：

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G5(s)X1(s)R(s)X2(s)-G2(s)G3(s)X3(s)G4(s)G1(s)C(s)--G6(s)-+G7(s)G8(s) 图2-10

由Mason增益公式可得

C(s)/R(s)G1G2G3G4P11 1G2G3G6G3G4G5G1G2G3G4G7G1G2G3G4G8例2-7 对于图2-11所示系统；

(1) 画出相应的信号流图；

(2) 根据梅逊公式求出系统的传递函数C(s)R(s)；

G4(s)R(s)+-G1(s)+-G2(s)G3(s)++C(s)H1(s)++H2(s)

图2-11

解：（1）系统的信号流图如下：

H1G4R(s)1G111H2G2G31C(s)1

（2）由信号流图根据梅逊公式求出系统的传递函数，该信号流图有两条前向通道，它们的通路增益分别为 P1G1G2G3

P2G1G4

有五个回路，各回路增益分别为

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L1G2G3H1、L2G1G2H2、L3G1G2G3、L4G4H1、L5G1G4 信号流图中不存在互不接触回路，控制系统的信号流图的特征式 1La1(L1L2L3L4L5) a1G2G3H1G1G2H2G1G2G3G4H1G1G4根据k的定义，得

11，21

PkkG1G2G3G1G4

k12 C(s) k1R(s)Pkk2G1G2G3G1G4

1G2G3H1G1G2H2G1G2G3G4H1G1G4例2-8 试确定图12所示系统的输出Y0。

D1 D2+ R + G1- + + G2 Y0 - + H2 + H1 + D3 图12

解：该系统为多输入单输出系统，则根据线性系统的叠加原理，可先令三个扰动量D1～D3为零，图中有

两个单回环，其增益为：G2H2、G1G2H1，因此由此可得特征式1LGH122GG12H1

L1GH122G1G2H1

R(s)与Y0(s)之间有一条前向通道，对应Pk与k为P1G1G2 11

PG1G2Y0(s)/R(s)11

1G2H2G1G2H1令输入R(s)0，同时D1与D2合为一个扰动量D1D2 Y0YG2G1G2H1 0

D1D21G2H2G1G2H1D31G2H2G1G2H1当所有信号同时作用时，系统对应的输出为

Y0(s)G1G2H1D3G1G2G2(D1D2)R(s)

1G2H2G1G2H11G2H2G1G2H11G2H2G1G2H1例2-9对于图13所示系统方框图，画出相应的信号流图，并根据梅逊公式求C(s)R(s)。

安徽工业大学《自动控制原理》精品课程习题精选第 10 页 共 54 页 H2(s)R(s)+-G1(s)+-G2(s)+-G3(s)C(s)H1(s)图13

H3(s) 解：相应的的信号流图如下：

H2R(s)1G11G21G31C(s)H1H3

由信号流图根据梅逊公式求出系统的传递函数，该信号流图有一条前向通道，前向通道的增益为P1G1G2G3

有三个回路，各回路增益分别为

L1G1H1、L2G2H2、L3G3H3

信号流图中存在两个互不接触回路，它们的增益为L1L3G1G3H1H3 控制系统的信号流图的特征式

1LaLbLc1(L1L2L3)L1L31G1H1G2H2G3H3G1G3H1H3

abc根据k的定义，得11 C(s) PG1G2G3 11R(s)1G1H1G2H2G3H3G1G3H1H3例2-10 RC网络如图2-14所示，其中u1为网络输入量，u2为网络输出量。 （1）画出网络结构图；

（2）求传递函数U2(s)/ U1(s)。 解：（1） 用复阻抗写出原始方程组。

1输入回路 U1R1I1(I1I2)

C2s输出回路 U2R2I2(I1I2)1 C2s

图2-14 RC网络

1中间回路 I1R1(R2)I2

C1s（3）整理成因果关系式。

I11R1C1s1U1(I1I2)，I2I1R1

CsRCs1221U2R2I2(I1I2)1 C2s

图2-15 网络结构图

即可画出结构图如图2-15 所示。 （4） 用梅逊公式求出： U2G11G22G33 U1安徽工业大学《自动控制原理》精品课程习题精选第 11 页 共 54 页

C1sC1s11R2R1C2sR2C1s1C2sR2C1s1R1R2C1C2s2(R1R2)C1s1 2C1s11R1R2C1C2s(R1C2R2C1R1C1)s11R1C2sR2C1s1C2s例2-11 已知系统的信号流图如图2-16所示，试求传递函数C(s)/ R(s)。

解： 单独回路4个，即

LaG1G2G3G1G2

图2-16 信号流图

两个互不接触的回路有4组，即

LLbcG1G2G1G3G2G3G1G2G3

三个互不接触的回路有1组，即于是，得特征式为

1LdLeLfG1G2G3

LLLLabcdLeLf 1G1G2G32G1G2G1G3G2G32G1G2G3

从源点R到阱节点C的前向通路共有4条，其前向通路总增益以及余因子式分别为 P1G1G2G3K，11；P2G2G3K，21G1；P3G1G3K，31G2；P4G1G2G3K，41 因此，传递函数为

P22P33P44G2G3K(1G1)G1G3K(1G2)C(s)P11 R(s)1G1G2G32G1G2G1G3G2G32G1G2G3

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第三章 线性系统的时域分析

例3-1已知四个二阶系统的闭环极点分布图如图3-1所示，试填写试表1，并简要说明理由。注：各栏分别填写 高、低；大、中、小；快、慢。

j32组别 表3-1

项目 系 统 振荡频率 （高、低） 1 低 高 低 高 低 低 阻尼系数 （大、中、小） 中 小 中 中 中 大 衰减速度 （快、慢） 慢 慢 慢 快 慢 快 41Ⅰ 0Ⅱ 2 1 3 1 4132Ⅲ 4 图3-1

j32

答：二阶系统传递函数的标准形式为

2nC(s)，从闭环极点的分布图可知2R(s)s22nsn系统为欠阻力状态，即01，方程有一对实部为负的共轭复根s1,2njn1，系统时2412间响应具有衰减振荡特性。系统的振荡频率d高低取决于闭环极点的虚部大小（离实轴的距离，距离越大，振荡频率越高，距离越小，振荡频率越低）；阻力系数大小取决于1,2,3大小，cos；衰减速度快慢取决于闭环极点的实数部大小（离虚轴的距离，距离越大，衰减速度越快，距离越小，衰减速度越慢）；

例3-2 已知系统结构图如图3-2所示，试求

4410132N(s)KR(s)2s510++1s1C(s)

图3-2

（1）无虚线所画的前馈控制时，求传递函数C(s)N(s)； （2）设n(t)阶越变化（设为定值），求C(s)的稳态变化；

（3）若加一增益等于K的前馈控制，如试图6中虚线所示，求C(s)N(s)，并求N(s)对C(s)稳态值影响最小时K的最适值。

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解：（1）无虚线所画的前馈控制时

1C(s)Ps1112s5 N(s)11210s6s25s1s5(2) n(t)阶越变化时，C(s)的稳态变化即为扰动稳态误差的终值esn

esnlimsEn(s)，n(t)，N(s) 

s0s1(s5)s1En(s)N(s)n(s)  2

s11210s(s6s25)s1s5(s5)esnlimsEn(s)lims2 

s0s0s(s6s25)5(3)加一增益等于K的前馈控制

Pkk11210KC(s)k1520K s1s1s5s2N(s)s6s2511210s1s5当扰动稳态误差的终值esn最小时，N(s)对C(s)稳态值影响最小 esnlimsEn(s)limss0s02(s520K) (520K) 225s(s6s25)令esn0  520K0即K0.25

例3-3 控制系统的结构图如图3-3所示。假设输入信号为r(t)=at (a为任意常数)。证明：通过适当地调节

R(s)

Kis+1

K

s(Ts1)C(s)

图3-3 控制系统的结构图

Ki的值，该系统对斜坡输入的响应的稳态误差能达到零。 证明：系统的闭环传递函数为

K(Kis1)C(s) R(s)s(Ts1)KTs2sKKisK(Kis1)R(s)，因此R(s)C(s)即 C(s)R(s) 22TssKTssK当输入信号为r(t)=at时，系统的稳态误差为

Ts2sKKisaa(Ts1KKi)esslimslim2s022s0TssKsTssK

a[Ts(1KKi)]a(1KKi)lims0KTs2sK要使系统对斜坡输入的响应的稳态误差为零，即ess=0，必须满足1KKi0，所以Ki1/K 例3-4考虑一个单位负反馈控制系统，其开环传递函数为G(s)K。希望闭环系统所有特征根位

s(Ts1)于s平面上s2的左侧区域，且阻尼比不小于0.5, 试求K, T的取值范围，并在T-K的直角坐标图上

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画出K, T的取值范围。 解：

(s)C(s)KKT22 R(s)TssKssTKT2nKT10.5 即TK1 2n1T2TK系统的特征方程为D(s)TssK

要使闭环系统所有特征根位于s平面上s2的左侧区域，令sz2

2D(z)T(z2)2z2KTz2(14T)z4T2K

由劳斯判据可知

T0 14T0 4T2K0

1TK综上可知：K, T的取值范围为0T 1 TK1

40.52在T-K的直角坐标图上画出K, T的取值范围略。

例3-5 考虑一个单位负反馈三阶系统，其开环传递函数G(s)的分子为常数，要求：①在r(t)t作用下的稳态误差为1.2；②三阶系统的一对闭环主导极点为s1,21j1；试求同时满足上述条件的系统开环传递函数G(s)。 解：G(s)KK 2s(s1j1)(s1j1)s(s2s2)r(t)t KlimsG(s)s1K2 5 ess 1.2K2K3G(s)K53

s(s1j1)(s1j1)s(s22s2)例3-6 某单位负反馈系统的开环传递函数为

G(s)K(s1)

s3as22s1若系统以2rads的频率作等幅振荡，试利用劳斯判据求K和a的值。

1解：由题意知系统必具有共轭纯虚根s1,2j2，对应劳斯表中s 行各元素均为零。

系统特征方程为D(s)sas(2K)s(1K)0 劳斯表为

32s3s2s11a1K2Ka1K2K1K

s01K0，同时由s2行构成的辅助方程as2(1K)0，将s1,2j2代入上式 a4a1K0，联立可解得K2，a0.75

例3-7 设系统如图3-4所示，试求：①当a0,K8时，确定系统的阻尼比，无阻尼自然振荡频率n和r(t)t作用下系统的稳态误差；②当K8,0.7时，确定参数a值及r(t)t作用下系统的稳态误差；③在保证0.7,essr0.25的条件下，确定参数a和K。

令2K安徽工业大学《自动控制原理》精品课程习题精选第 15 页 共 54 页

R(s)E(s)Ks(s2)C(s)as

图3-4

解：系统的开环传递函数为G(s)闭环传递函数为(s)KK2

s(s2)aKss(2aK)sK 2s(2aK)sK2n10.3548822① 当a0,K8时(s)2， s2s82n2222.828nr(t)t KlimsG(s)s11K0.25 4 essK2aK② 当K8,0.7时(s)8，

s2(28a)s82n8n10.7221a0.245 442n28aG(s)88 22s3.96ss20.722s13.9680.495 essK83.96r(t)t KlimsG(s)s1③ 在保证0.7,essr0.25的条件下 （过程略）a0.168和K31.36

K。根据如下条件：①在r(t)t的作用下，e(t)s(sa)的稳态值为0.25。②在r(t)10sin4t的作用下，系统稳态输出（c(t)）的幅值为2。求K,,a。

例3-8 反馈控制系统如图3-5所示，其中G(s)r(t)e(t)G(s)c(t)(s1)图3-5

解：闭环传递函数为(s)

KK 1s(sa)K(s1)sasKsK闭环系统稳定的条件为1 a0 K0

2 a0 K0 aKK0a1 K0K1s1asG(s)(s)R(s)1R(s) (，H(s)s1) s(sa)1G(s)H(s)sasKsKr(t)t时，由终值定理可得

安徽工业大学《自动控制原理》精品课程习题精选第 16 页 共 54 页

s1as1aesslimsE(s)lims10.25，因此，同时e0.25K4a 1ss2s0s0sasKsKsKs(sa)系统的误差传递函数e(s)2，由频率特性可知

s(aK)sKe(j)4化简可得

j(ja)(j)2j(aK)K42a2(K2)22(aK)242 104(16a2)0.04(K16)216(aK)21600100a2 22(K16)16(aK)将K4a代入上式整理79a32a3360 解得a2.275，K9.1

例3-9 单位负反馈控制系统如图3-6所示。

R(s)10s102--Kbs1 s2C(s)图3-6

1）试确定使闭环稳定的反馈系数Kb的取值范围；

2）若已确定系统的一个闭环极点为5，试求Kb的取值和其余的闭环极点； 解：1）开环传递函数为G(s)10，闭环特征方程为

s(s210s10Kb)D(s)s310s210Kbs100

劳斯表为

s3s211010Kb10

s110Kb1s010系统闭环稳定必须使10Kb10，即Kb0.1

2）由题意可得D(s)(s5)(sasb)s(a5)s(5ab)s5b0

32同时D(s)s10s10Kbs100，两式比较可得

232a510a5 5ab10Kb b55b10K2.7b22另两个闭环极点可由sasbs5s50解得s24.56，s20.44

例3-10 已知单位反馈系统的开环传递函数 G(s)K/s(Ts1)。 试选择参数K及T的值以满足下列指标：①当r(t)= t时，系统的稳态误差ess≤0.02；②当r(t)=1(t)时，系统的动态性能指标Mp%≤30%，ts≤0.3s (△=5%) 解： ess10.02 K开环增益应取K≥50 。现取K=60 。因

安徽工业大学《自动控制原理》精品课程习题精选第 17 页 共 54 页

2nK/T G(s)s(s1/T)s(s2n)2故有T1/2n，nK/T

于是 n2K 取Mp%0.2% ，计算得

(lnMp%)22(lnMp%)20.456，n54.72

此时ts3.5/n0.140.3(S)

满足指标要求。最后得所选参数为：K=60，T=0.02 (s)

例3-11设某复合控制系统如图题3-7所示，K1、K2、T1、T2均为已知正值。在输入信号r(t)t作用下，

2要求系统的稳态误差为零，试确定顺馈参数a、b之值。

2 as2bs T2s1 R(s)K1++-3-7图

解：系统闭环传递函数为

K2 s(T1s1) C(s)

GrG2(G1Gr)1G1GG

112G(GGr)R(s) 故 C(s)211G1G2G1G2C(s)R(s)1G1G2R(s) K2[as2(bK1T2)sK1]C(s)3代入R(s)1/s 及G1、G2、Gr, 得 32R(s)T1T2s(T1T2)s(1K1K2T2)sK1K2误差为 E(s)R(s)C(s)闭环特征方程为 T1T2s(T1T2)s(1K1K2T2)sK1K20 易知，在题设条件下，不等式 (T1T2)(1K1K2T2)K1K2T1T2

成立。由劳斯稳定判据，闭环系统稳定，且与待求参数a、b 无关。此时，讨论稳态误差是有意义的。

321G2Gr1G1G2T1T2s3(T1T2K2a)s2(1K2b)s1而E(s) 323T1T2s(T1T2)s(1K1K2T2)sK1K2s若 T1T2K2a01K2b0 则有E(s)T1T2 32T1T2s(T1T2)s(1K1K2T2)sK1K2s0系统的稳态误差为esslimsE(s)0，因此可求出待定参数为aT1T2K2b1 K22n例3-12 设单位反馈系统的开环传递函数为G(s)，已知系统的误差响应为

s(s2n)e(t)1.4e1.07t0.4e3.73t （t≥0）

安徽工业大学《自动控制原理》精品课程习题精选第 18 页 共 54 页

试求系统的阻尼比ξ、自然振荡频率ωn和稳态误差ess。

22解：闭环特征方程为s2nsn0

由已知误差响应表达式，易知，输入必为单位阶跃函1(t)，且系统为过阻尼二阶系统。故

e(t)1.4et/T10.4et/T21.4e1.07t0.4e3.73t 即系统时间常数为T10.93，T20.27

22令 s2nsnsTsT，得2代入求出的时间常数，得1.2，n2

1111T1/T22T1/T2，n21； T1T2稳态误差为esslime(t)0

t实际上，I型系统在单位阶跃函数作用下，其稳态误差必为零。

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第四章 线性系统的根轨迹分析

例4-1 已知负反馈系统的开环传递函数

G(s)H(s)K

s(s4)(s24s20)试概略绘制闭环系统的根轨迹。

解 按照基本法则依次确定根轨迹的参数：

（1）系统无开环有限零点，开环极点有四个，分别为0，－4，和－2±j4。 （2）轴上的根轨迹区间为[－4，0]。

（3）根轨迹的渐近线有四条，与实轴的交点及夹角分别为σa=－2；φa=±45°，±135° （4）复数开环极点p3,4=－2±j4处，根轨迹的起始角为θp3.4=±90° （5）确定根轨迹的分离点。由分离点方程

11110，解得d12，dd4d2j4d2j4d2,32j6。因为d12 时，K640；d2,32j6时，K1000，所以，d1、d2、d3皆

为闭环系统根轨迹的分离点。

（6）确定根轨迹与虚轴的交点。系统闭环特征方程为D(s)s48s336s280sK0 列写劳斯表如下

26 K 80268K s1

26s0 K

当K=260时，劳斯表出现全零行。求解辅助方程F(s)26s2K0 得根轨迹与虚轴的交点为sj10。概略绘制系统根轨迹如图4-1所示。

j ω

S平面

s4 s3 s2

1 8

36 80

K

σ

图4-1

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例4-2 单位负反馈控制系统的开环传递函数为G(s)H(s)K(sb)。（1）绘制a2、b3，K0  的根

s(sa)轨迹（要求在图上标出各特征数据）；（2）若要求系统的开环增益为10（s1），阻尼比为0.5 ，无阻尼自振频率为2 rad/s，试确定a、b、K的值。 解：(1)

①系统的开环零点z3、，开环极点p10、p22，两条分支分别起始于极点，一条终止于零点，另一条趋向于无穷远处；

②实轴上根轨迹位于区间 ,3、2 , 0；

③根轨迹的分离点与会合点

2dKd s(s2)  (2s2)(s3)(s2s)  s2 6s60

dsdss3(s3)2(s3)2解得s133、s233 根轨迹分离点、会合点之相角 18018090 r2求分离点d1对应的K值

s s2K(31)24230.536

s3 s33求会合点d2对应的K值

s s2K(31)24237.464

s3 s33④绘制根轨迹图如图4-2所示。

Imj3K423j43210Re65K4233333

图4-2

(2) 闭环特征式为

2s2(aK)sbks22nsns22s4………………①

同时 bK10 ……………………②

a联立①、②两式可求得a0.4，b2.5，K1.6 例4-3已知单位反馈控制系统的开环传递函数为 G(s)K(s3)。1）绘制系统的根轨迹图：2）求使系

s(s2)统取得最大振荡响应的阻尼比和K值：3）求K取（2）中值系统的单位阶跃响应。

安徽工业大学《自动控制原理》精品课程习题精选第 21 页 共 54 页

解：1）

①系统的开环零点z3、，开环极点p10、p22，两条分支分别起始于极点，一条终止于零点，另一条趋向于无穷远处。；

②实轴上根轨迹位于区间 ,3、2 , 0；

③根轨迹的分离点与会合点

2dKd s(s2)  (2s2)(s3)(s2s)  s2 6s60

dsdss3(s3)2(s3)2解得s133、s233 根轨迹分离点、会合点之相角 18018090 r2求分离点d1对应的K值

s s2K(31)24230.53

s3 s33求会合点d2对应的K值

s s2K(31)24237.464

s3 s33④绘制根轨迹图如图4-3所示。

ImAK423R3j3j210Re6543K4233333

图4-3

2）要使系统取得最大振荡响应只需阻尼比取最小，即在相切点A时达到，相切点A点的坐标为

(2，j2)

K s s2s3 s22j 22j 22j222j3  63 2 2，=60.816

32(s3)

s(s2)2s6闭环传递函数为(s)2

s4s62s6126126122单位阶跃响应为C(s)2 22s4s6ss4s6s4s6s(s2)2s4s6s3）K2，G(s)安徽工业大学《自动控制原理》精品课程习题精选第 22 页 共 54 页

作拉氏反变换

c(t)2e2tsin2t1ent cos16sin(dt)= 1e2t2sin2t3sin(2t)312K

(s1)(s2)(s4)例4-4 控制系统的开环传递函数为 G(s)1）证明该系统的根轨迹通过s1j3点； 2）求有一个闭环极点在s1j3时的K值； 3）求使闭环系统稳定的开环放大倍数K的取值范围。

解：1）

G(s)(sp1)(sp2)(sp3)=(1j31)(1j32)(1j34)

=906030=180满足相角条件，所以根轨迹能过s1j3 2）由幅值条件

KKK1 K12

|1j31||1j32||1j34||j3||1j3||3j3|123）特征方程为1G(s)1劳斯表为

K0 即s37s214s8K0

(s1)(s2)(s4)s3s2ss0117988K8K148K

系统闭环稳定必须使

988K0，即8K90

8K0R(s)例4-5 已知系统如图4-5所示：

K(s1)2 s2(s1)(s10) C(s)-

图4-5

1）绘制根轨迹图（应计算渐近线、分离点及续轴交点）； 2）确定使闭环系统渐近稳定的K值范围； 解：过程略，计算机绘制的根轨迹如图4-6所示：

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201510Root LocusImaginary Axis50-5-10-15-20-12-10-8-6Real Axis图4-6

-4-202

K。1）绘制系统的根轨迹图；2）确定系

s(s2)(s7)统稳定的K的最大值；3）确定阻尼比0.707时的K值；

例4-6 设控制系统的开环传递函数为G(s)H(s)解：1）绘制系统的根轨迹图：

①系统的开环极点为p10、p22，p37，三条分支分别起始于极点，终止于无穷远处； ②根轨迹共有nm303条渐近线，它们在实轴上的交点坐标是

apzjj1i1nminm[0(2)(7)]3

30渐近线与实轴正方向的夹角分别为0160（k0）2113180（k1）

3033032215300（k2） 303③实轴上根轨迹位于区间 ,7、2 , 0；

④根轨迹与实轴的分离点坐标

dKds(s2)(s7)ds(s29s14)(3s218s14)0

dsdsds解得s13390.918、s23395.082

由前面分析得知，s25.082不是根轨迹上的点，故舍去。s1是根轨迹与实轴分离点坐标。 求分离点s10.918对应的K值 Ks s2s7s0.9186.04

⑤根轨迹与虚轴的交点坐标

Re10Re10KKj(j2)(j7)j(142)92Re1G(j)H(j)014 即 K1260KIm1G(j)H(j)0Im1KIm10j(j2)(j7)j(142)92⑥绘制根轨迹图。

2）系统稳定的K的取值范围为0K126，则K的最大值为126

3）根据绘制的根轨迹图，要使系统的阻尼比0.707，则系统的必有一对闭环极点 s1,2n2j2

22安徽工业大学《自动控制原理》精品课程习题精选第 24 页 共 54 页

由于根轨迹上的点比满足相角条件G(s)H(s)(szi)(spj)(2k1)

i1j1mn22nn(s12)(s17)135arctan2arctan2180 则有G(s)H(s)s122272n2n22nn2arctan245n92n140 化简可得arctan222272n2n解得n1.216

Ks s2s7s1.2162j22210.08

j[s]60j14K126A7p332p20.981p1 0  j14K126300

图4-7

例4-7 设控制系统的结构图如图4-8所示

R(s)

K(s3)s(s2)C(s)

试证明系统根轨迹的一部分是圆；

解：系统的开环极点为0和－2，开环零点为－3。由根轨迹的幅角条件

图4-8 控制系统的结构图

(sz)n(spii1j1mj)(2K1)

得 (s3)s(s2)(2k1) s为复数。将sj代入上式，则有

安徽工业大学《自动控制原理》精品课程习题精选第 25 页 共 54 页

(j3)(j)(j2)(2K1)

即tan13tan1 180tan12tanxtany

1tanxtany取上述方程两端的正切，并利用下列关系tan(xy)有

3tantan1tan1331(3)23

2

tan180tan1210223 22(3)222即(3)(3)

0这是一个圆的方程，圆心位于（－3，j0）处，而半径等于3（注意，圆心位于开环传递函数的零点上）。 例4-8已知控制系统的开环传递函数为G(s)H(s)系统稳定时K值的范围.

解 （1） 系统的开环极点为0，1和－2±j3.46,开环零点为－1。 （2） 确定根轨迹的渐近线 渐渐线的倾斜角为 a(2l1)(2l1)180 l=0，1，2，φa=π/3，π，5π/3。 nm41K(s1)，试绘制系统的根轨迹,并确定2s(s1)(s4s16)m(012j3.462j3.46)(1)1n2渐进线与实轴的交点为a pzjinmj133i1（3） 实轴上的根轨迹位于1和0之间以及－1与－∞之间。

（4） 确定根轨迹的分离点

系统的特征方程式为s(s1)(s4s16)K(s1)0

2s(s1)(s24s16)即K

s1dK3s410s321s224s16利用dK/ds0,则有0 2ds(s1)解之可得，分离点d1=0.46 和 d2=－2.22。

（5） 确定根轨迹与虚轴的交点

系统的特征方程式为s3s12s(K16)sK0

432安徽工业大学《自动控制原理》精品课程习题精选第 26 页 共 54 页

劳斯行列表为

s4 s3 s2 s1 s0

1

3

12 K

K16

52K K 3K259K832150K 0

52K

K

s1行全等于零，即

若阵列中的

K259K832150K0

52K系统临界稳定。解之可得K=35.7 和 K=23.3。 对应于K值的频率由辅助方程确定。当K=35.7 时 ，s=±j2.56；当K=23.3时 ，s=±j1.56. 根轨迹与虚轴的交点处的频率为ω=±2.56 和ω=±1.56。

（6）确定根轨迹的出射角（自复数极点－2±j3.46出发的出射角）

52K2sK0 3根据绘制根轨迹基本法则，有106120130.590(2K1)180 因此，开环极点－2±j3.46的出射角为θ1,2=±54.5°。 系统的根轨迹如图4-17所示。

由图4-9可见，当23.3 s平面

图4-9

例4-9 已知系统的特征方程为s34s24sc0

试画出以c为参变量的根轨迹图，并求出使阻尼比为0.5时c的值。 解：1．恰当处理 用s34s24s去除特征方程的两边得1即G(s)H(s)1

c0

s4s24s3安徽工业大学《自动控制原理》精品课程习题精选第 27 页 共 54 页

(s)其中G(s)Hc

s4s24s32．按绘制180°根轨迹规则，绘制参量根轨迹

（1）由于特征方程最高阶次为3，因此其根轨迹有三个分支。 （2）根轨迹的三个分支连续且对称于实轴。

（3）根轨迹的三个分支起始于三个开环极点，即p10，p2p32。由于m0，当c时，三条根轨迹分别趋向无穷远。

（4）作出开环零，极点分布图如图4-19所示，按规则4，整个负实轴都是根轨迹上的线段。 c0，解得a2是所求会合点。 （5）求根轨迹的会合点。由ddsG(s)H(s)sa 3 j60[s]j2c16p2p3 4 3 2 3p1  0 j2c16

300

nm图4-10 根轨迹图

（6）根轨迹的渐近线有nm3条。其与实轴的交点是（a，0），其中apzjj1i1inm4

3与实轴正方向的夹角是 1 1 60 （k0）；2 2 180（k1）；3 3 30 （k2）

333（7）没有复极点，复零点，故不用求入射角与出射角。

（8）求根轨迹与虚轴的交点，将sj代入特征方程得j3424jc0 得实部，虚部方程分别为

 42c0 3 j4j0解方程组得0（舍去）或2（rad/s），c16。因此，根轨迹与虚轴的交点是2j，c16

3．求＝0.5时，c的值

n0.5，得60 n由相角条件，结合图4-11得218060180 则30

由于 cos安徽工业大学《自动控制原理》精品课程习题精选第 28 页 共 54 页

j[s] C B  D A 60 O 

图4-11 例4-9求解用图

因此，△OCD为直角三角形，OD2，则OC1，OA0.5，AC0.866。C点坐标为，0.5j0.866。

|c|1，则|c|s0.5j0.8660.520.8662(1.520.8662)例4-10 已知控制系统如图4-12所示 c由幅值条件

s(s2)2R(s)

K(0.5s1)4

1.5322223

C(s)

（1） 试根据系统的根轨迹分析系统的稳定性。 （2） 估算Mp%16.3%时的K值。

图4-12

Kg16K解： G(s) (s2)4(s2)4（1）系统有四个开环重极点：p1=p2=p3=p4=0。没有零点。实轴上除－2一点外，没有根轨迹段。根轨迹有四条渐进线，与实轴的交点及夹角分别为a下面证明根轨迹和渐近线是完全重合的。 将根轨迹上任一点s=s1代入幅角方程，有

8(2K1)32，a， 44444(s12)(2K1)，即 (s12)1(2K1) 4 j

S平面

和渐近线方位角a的表达式比较，两者相等，于是有

(s12)a。由于s1的任意性，因此根轨迹和渐近线

完全重合。系统的根轨迹如图4-13所示。由图4-13可知，随着K的增加，有两条根轨迹将与虚轴分别交于j2和－j2

K处。将s=j2代入幅值方程有1

|(s2)4|解得开环根增益：K=64，开环增益：Kc=K/16=4． 即当Ｋ＝４时，闭环系统有一对虚根±j２，系统处于临界稳定的状态。当K>4时，闭环系统将出现一对实部为正的复数根，系统不稳定。所以，使系统稳定的开环增益范围为0（2）由超调量的计算公式及指标要求，有

σ

图4-13 例4-10系统的根轨迹

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12Mp%e16.3%解得，0.5。即，系统闭环极点的阻尼角为cos1cos10.560。

，

在s平面上做等阻尼线OA，使之与负实轴夹角为β=±60°。OA与根轨迹相交于s1点，容易求得，s1=－

0.73+j1.27，代入幅值方程，有K0.65

注意：本题应用二阶欠阻尼系统的超调量和阻尼比关系式估算四阶系统的性能指标，实际上是利用了闭环主导极点的概念。不难验证，本系统的闭环极点的分布满足主导极点的分布要求。可以认为s1、s2是主导极点，忽略s3、s4的作用，从而将一个复杂的四阶系统近似为二阶系统，大大简化了问题的处理过程。

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第五章 线性系统的频域分析

例5-1 已知一控制系统结构图如图5-1所示，当输入r(t) = 2sint时，测得输出c(t)=4sin(t45)，试确定系统的参数 ，n。

R(s)2n s(s2n) C(s)-

图5-1 系统结构图

2n解：系统闭环传递函数为(s)2 2s2nsn2n222(n2)242n系统幅频特性为(j)

相频特性为()arctan2n2n2

由题设条件知c(t) = 4sin( t 45) =2 A(1) sin(t + (1))

即

A(1)2n()42n2222n212n(1)42n45

2n222n2

(1)arctan2n2n2arctan12n1整理得

422n4[(n1)242n]

22nn1

解得n1.244，0.22

10(s22s5)例5-2 已知系统传递函数为G(s)，试绘制系统的概略幅相特性曲线。

(s2)(s0.5)11s50(s22()1)555解：（1）传递函数按典型环节分解G(s) ss(1)(1)20.5（2）计算起点和终点limG(j)50，limG(j)10

0相角变化范围：不稳定比例环节50：180 ~ 180；惯性环节1/(0.2s+1)：0~ 90；不稳定惯性环节1/(2s1)：0~ +90；不稳定二阶微分环节0.2s20.4s1：0~ 180

10(522j)(211.5j)（3）计算与实轴的交点G(j)

(21)2(1.5)210[(52)(21)32j(5.53.52)]  222(1)(1.5)令Im[G(j)] = 0，得x5.5/3.51.254 ，Re[G(jx)] = 4.037

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（4） 确定变化趋势 根据G(j)的表达式，当 <x 时，Im[G(j)] < 0；当 >x 时，Im[G(j)] > 0。作系统概略幅相曲线如图5-63所示。

图5-2 系统概略幅相曲线

例5-3 系统的开环传递函数为G(s)N，试用乃氏判据判断系统的稳定性。

s(T1s1)(T2s1)解：（1） 绘制系统的开环概略幅相曲线：

① 组成系统的环节为一个积分环节、两个惯性环节和比例环节。 ② 确定起点和终点G(j)N(T1T2)jN(12T1T2)(1T1)(1T2)2222

0limRe[G(j)]N(T1T2) limIm[G(j)] limG(j)0

0limG(j)270 图5-3 系统概略幅相曲线

③ 求幅相曲线与负实轴的交点

令Im[G(j)] = 0，得x1/T1T2，Re[G(jx)]NTT12

T1T2④ 组成系统的环节都为最小相位环节，并且无零点，故()单调地从90递减至270。作系统的概略幅相特性曲线如图5-3所示。

（2）用乃氏判据判断系统的稳定性

由于组成系统的环节为最小相位环节，P = 0；且为Ⅰ型系统，故从 = 0处补作辅助线，如图5-3虚线所示。

NT1T2TT2当，幅相特性曲线不包围(1，j0)点，所以闭环系统是稳定的。 1时，即N1T1T2T1T2当NT1T2TT1时，即N12，幅相特性曲线顺时针包围（1，j0）点1圈，R = 1，Z =P 2N = 2 

T1T2T1T20，所以系统是不稳定的。

例5-4 某最小相位系统的开环对数幅频特性如图5-4所示。要求： （1）写出系统开环传递函数；

（2）利用相位裕度判断系统稳定性；

（3）将其对数幅频特性向右平移十倍频程，试讨论对系统性能的影响。

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图5-4 开环对数幅频特性

解：（1）由系统开环对数幅频特性曲线可知，系统存在两个交接频率0.1和20，故

G(s）K

s(s/0.11)(s/201)且 20lgK0 1010

s(s/0.11)(s/201)得 K = 10 所以 G(s）（2）系统开环对数幅频特性为

1020lg0.11L(）20lg2 0.120

20lg20203从而解得 c = 1

系统开环对数相频特性为()90arctan0.1arctan20，(c) = 177.15， =180  (c) = 2.85

故系统稳定。

（3）将系统开环对数幅频特性向右平移十倍频程，可得系统新的开环传递函数

G1(s）100

ss(s1)(1)200c1200177.15， 1 =180+ 1(c1) = 2.85， 1 = 

其剪切频率c1 =10c =10

而1(c1)90arctanc1arctan系统的稳定性不变。

由时域估计指标公式ts = k /c,得 ts1 = 0.1ts

即调节时间缩短，系统动态响应加快。由Mp0.160.4(11),得Mp1 = Mp sin即系统超调量不变。

例5-5 单位反馈系统的闭环对数幅频特性分段直线如图5-5所示。若要求系统具有30的相位裕度， 试计算开环放大倍数应增大的倍数。

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图5-5 闭环对数幅频特性

解：由闭环对数幅频特性曲线可得系统闭环传递函数为

1 G(s）ss(s1)(1)(1)1.255因此系统等效开环传递函数

G(s）(s)6.251(s)s(s2.825)(s4.425)s(sarctan0.5s1)(1)2.8254.425

其对数相频特性为

2.8254.425若要求(1) = 150，可得1 = 2.015 系统对数幅频特性曲线为

(）90arctan

0.520lgka2.8251.4125L(）20lgka 2.8254.425 220lg6.25k4.425a3要使系统具有30相角稳定裕度，1应为剪切频率，有

0.5ka11，则ka = 4.03；故系统开环放大倍数应增

大4.03倍。

例5-6 系统开环频率特性分别为如图5-6的(a)和(b)所示，试判断闭环系统的稳定性。

图5-6 系统开环频率特性

解：（a）图给出的是 (-∞，0)的幅相曲线，而 (0，+∞)的幅相曲线与题给曲线对称于实轴，如图5-7所示。因为 = 1，故从 = 0的对应点起逆时针补作/2，半径为无穷大的圆弧。在(1，j0)点左侧，幅相曲线逆时针、顺时针各穿越负实轴一次，故N = N  = 1，N = N  N  = 0因此，s右半平面的闭环极点数

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Z = P  2N = 0，闭环系统稳定。

图5-7

（b）因为 = 2，故如图(b)中虚线所示在对数相频特性的低频段曲线上补作2倍.90的垂线。

当 ＜c时，有L() > 0，且在此频率范围内，()穿越 180线一次，且为由上向下穿越，因此N+ =0 ，N  =1，N = N+  N  = 1 于是算得右半平面的闭环极点数为Z = P  2N = 2，系统闭环不稳定。 例5-7系统的开环传递函数为G(s)H(s)K s(s1)(0.1s1)(1) 当K5时，在试图8的坐标纸上，绘制系统的开环对数幅频特性的大致图形； (2) 求开环剪切频率c和相角裕度；

(3) 用频率分析法求出系统处于临界稳定状态的K的值。

图5-8

解：

(1) 绘制系统的开环对数幅频特性的大致图形如图5-8所示； (2) K5时系统的开环对数幅频特性为

5 120lg20lg5 1L()20lg52 110 化简 L()20lg52 110

20lg5 1020lg50 1030.13令L()0 c5

()90arctanarctan0.1

90arctan1.1210.1(c)90arctan1.1210.1c90arctan1.1590arctan2.25168.51

10.55180(c)11.5

(3) 系统处于临界稳定状态时，180(c)0，A(c)1

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(c)90arctan1.12180 c10 10.1方法一：A(c)K1K11（精确值） 2210.011c方法二：系统的开环对数幅频特性为 K20lg 1L()20lgK2 110

20lg10K 103L(c)20lgK20K10（近似值）

c例5-8 对于某单位反馈最小相位系统，其开环传递函数G0(s)的折线对数幅频特性如图5-9所示。 1）在图中标出其K； 2）写出开环传递函数G0(s)；

3）求出开环截止角频率c及此时的相位稳定裕量。

L(ω)

-20dB/dec

44dB

-40 dB/dec

0.5 1.0 ω 0.01 0.05 0.1 -60 dB/dec -40 dB/dec 图5-9 解：

1）K如图中虚线与轴交点所示； 2）由给出的对数幅频特性图可知G0(s)K(s1)

s(s0.051)(s0.51)安徽工业大学《自动控制原理》精品课程习题精选第 36 页 共 54 页

K20lg 0.0520lg0.05K 0.050.52KL() 20lg20lg0.050.5K 0.5130.050.5K20lg 1244解得K100.014201.585

3）由给出的对数幅频特性图可知0.05c0.5，则20lg系统的相位稳定裕量

0.05K20，解得c0.282

c180(c)0.28218090arctanc0.2820.282arctanarctan0.2823.61 0.050.5例5-9某系统的对数频率特性实验数据如表5-1所示，试确定系统的传递函数。

表5-1



0.1 34 0.2 28 0.4 21 -105

1 13 -123

2 5 -145

4 -5 -180

10 -20 -225

20 -31 -285

30 -34 -345

20lgG(j) dB G(j) deg

-93 -97

解：由对数频率特性实验数据可得

283428342128212819.93 23.25

lg0.2lg0.1lg2lg0.4lg0.2lg21321132151351320.10 26.58

lg1lg0.4lg2.5lg2lg1lg2555520520533.22 37.69

lg4lg2lg2lg10lg4lg2.5312031203431343136.54 17.04

lg20lg10lg2lg30lg20lg1.5K(s201)设系统的传递函数G0(s)

s(s21)做出其大致的Bode图如下：

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40Bode DiagramMagnitude (dB)Phase (deg)200-20-40-60-80-90-120-150-11010010Frequency (rad/sec)1102103

由图可知其满足对数幅频特性，但不满足相频特性，则该系统应为非相位系统；可设系统的传递函数为

G0(s)K(s201)，计算出其对应频率的相位角，列表如下：

s(s21)表5-2



G(j) deg G(j) deg

0.1 -93

0.2 -97

0.4 -105

1 -123

2 -145

4 -180

10 -225

20 -285

30 -345

-93.15 -96.28 -102.46 -119.43 -140.71 -164.75 -195.26 -219.29 -232.50 s显然系统的传递函数包含有滞后环节e求的传递函数为：

，由上表可知345(232.50)=0.0654s，则可得符合要

57.330K(s201)e0.0654s G0(s)s(s21)例5-10绘制传递函数G(s)1000的近似Bode图，判定系统的稳定性，并确定分子数值应增2s(s10s70)大或减少多少才能得到30的相角裕量？ 解：G(s)100714.3

s(s270s71)s(s28.3720.143s1)50Bode DiagramMagnitude (dB)Phase (deg)0-50-100-150-90-135-180-225-270-11001231010Frequency (rad/sec)1010

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14.314.320lg 8.3720lg 8.37化简得 L() L()14.320lg1000 8.3720lg3 8.378.3723由给出的对数幅频特性图可知8.37c，则20lg系统的相位稳定裕量

100030，解得c10

c180(c)1018090180arctanc2T100.14390arctan16.74221T11.4316.740，则系统不稳定，要得到30的相角裕量，必须减少分子数值，即放大系数应降低，使

系统的对数幅频特性曲线向下平移。令

180(c)30，则(c)150，因此

2Tc150，可得 221Tcc8.37，所以(c)90arctan1c2Tc7arctan603 解得c5.964 2211Tc1c270G(j)5.9641007(170)(7)2222.435

5.964分子数值应减少2.435倍才能得到30的相角裕量。

例5-10最小相位系统对数幅频渐近特性如图5-10所示，图中i,i1,,4为转折频率，剪切频率

c100rads。试确定：

1）系统的开环传递函数G(s)H(s)； 2）计算系统的相位裕量；

3）判断系统的稳定性。

L()(dB)40020302002040500.1c100rad/s123460(rad/s)100

图5-10

解：1）由图知在低频段渐近线斜率为0，故系统为0型系统。渐近特性为分段线性函数，在各交接频率处，渐近特性斜率发生变化。在0.1处，斜率从0 dec/dB变为20 dec/dB，属于一阶微分环节；在1处，斜率从20 dec/dB变为0 dec/dB，属于惯性环节；在2处，斜率从0 dec/dB变为20 dec/dB，

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属于惯性环节；在3处，斜率从20 dec/dB变为40 dec/dB，属于惯性环节；在4处，斜率从40 dec/dB变为60 dec/dB，属于惯性环节；因此系统的传递函数具有下述形式：

G(s)H(s)K(s0.11)

(s11)(s21)(s31)(s41)式中K，1，2，3，4待定。由20lgK30得K31.62。

403005所以 10.316；确定4：60所以482.54

lg1lg0.1lg100lg45202040确定3： 40所以 334.81；确定2： 20所以23.418

lg4lg3lg3lg2确定1：202）系统的相位裕量

180(c)100180arctanc100100100arctanarctan0.10.3163.481100100arctanarctan29.4734.8182.543）由于29.470，故系统不稳定。

例5-11 单位反馈（最小相位）系统的开环对数幅频特性图如图5-11所示。

L(dB)4040dB/dec 0 0.11T20dB/dec 

图5-11

1）试求系统的开环传递函数表达式；

2）已知在输入r(t)sin3t作用下系统的稳态输出为c(t)3）求系统的相位稳定裕量。

解：1）由给出的对数幅频特性图可知G0(s)3sin33t，试求T和的值；

K(Ts1) s2K20lg 1T2KL() 20lg220lgKT 1T2系统的开环传递函数为G0(s)40解得K1

0.1Ts1 s2Ts1 2sTs12）系统的闭环传递函数为(s)安徽工业大学《自动控制原理》精品课程习题精选第 40 页 共 54 页

写出系统的幅频特性和相频特性

A()(T)21(12)2(T)2，()arctanT180arctanT

12由频率响应可得A()33T213T423，解得T31，已知3 6将其代入()arctanT180arctanT125.3 213）由给出的对数幅频特性图可知1Tc，则20lg系统的相位稳定裕量180(c)KT20，解得cc1 6c16180180arctanTc9.46

例5-6某单位反馈控制系统的开环频率响应特性如表5-3所示，

表5-3 开环频率响应特性  |G(j)| G(j) 2 10 -100° 3 8.5 -115° 4 6 -130° 5 4.18 -140° 6 2.7 -145° 7 1.5 -150° 8 1.0 -160° 10 0.6 -180° 试根据上表填空：

①系统的剪切频率c 8 、相角裕度 30°、交界频率g 10 和幅值裕量20lgKg 10.2 dB（20lg1.667）。

②当系统的幅值裕量20lgKg20 dB时，系统的开环放大系数K 减小 6倍 。 ③当系统的幅值裕量50°时，系统的开环放大系数K 减小6倍。

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第六章 线性系统的校正

例6-1 设火炮指挥系统如图6-1所示，其开环传递函数

k G(s)s(0.2s1)(0.5s1)系统最大输出速度为2r/min ，输出位置的容许误差小于2。

(1) 确定满足上述指标的最小k值，计算该k值下的相位裕度和幅值裕度。

(2) 前向通路中串联超前校正网络Gc (s)=(1+0.4s)/(1+0.08s)，试计算相位裕度。 图6-1 解： (1) kR希望的输出速度2360/606 ess容许的位置误差2故 G(s)6

s(0.2s1)(0.5s1)6220lg6 25 L()20lg0.5620lg50.50.2令L()=0，可得c =3.5

18090arctan(0.2c)arctan(0.5c)4.90

所以系统不稳定。

(2) 串联超前校正网络Gc (s) = (1+0.4s) / (1+0.08s)

610.4sG(s)

s(0.2s1)(0.5s1)10.08s620lg620lg0.560.4L()20lg

0.560.420lg0.50.260.420lg0.20.50.08令L()=0，可得c = 4.8

322.52.55 512.512.518090arctan(0.4c)arctan(0.2c)

arctan(0.5c)arctan(0.08c)20.20

可见串入超前校正网络后， 增大，系统变为稳定。

k例6-2 设开环传递函数G(s)，单位斜坡输入R(t)= t，输入产生稳态误差e  0.0625。若

s(s1)(0.01s1)使校正后相位裕度*不低于45，截止频率c* > 2(rad/s)，试设计校正系统。

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解：e10.0625 k16 k16120lg6 1100 L()20lg620lg1000.02令L()=0 ，可得

c = 4

18090arctancarctan(0.01c)1245

不满足性能要求，需加以校正。

系统中频段以斜率40dB/dec穿越0dB线，故选用超前网络校正。 设超前网络相角为m，则 m(5~12)*

m*(5~12)45121043

1sinm5

1sinm)L(c)10lg0 中频段 L(c5.9 所以 c)1804390arctancarctan(0.01c)= 48> 45 验算 180m(c1/(T) T1/(c)0.076 c所以超前校正网络后开环传递函数为

1610.38sG(s)

s(s1)(0.01s1)10.076s200

s(0.1s1)试设计一个无源校正网络，使已校正系统的相位裕度不小于45，截止频率不低于50。 解

例6-3 为满足要求的稳态性能指标，一单位反馈伺服系统的开环传递函数为G(s)2001020lgL()

20020lg100.1c = 44.7

 = 180  90  arctan(0.1c) = 12.6<  *

不满足性能指标要求，需串联一超前校正网络。

（1）求m： m*(5~12)4512.61042.4

1sinm5 （2）求： 1sinm)L(c)10lg0 （3）解c： L(cc= 67

) 验算 180m(c) = 50.8  > 45  18042.490arctan(0.1c  >  * c > c*

1/(T) T1/(c)0.067 c故校正网络

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Gc(s)10.03s

10.067s40(10.03s) G(s)s(0.1s1)(10.067s)k，试设计串联校正装置，满足kv = 8(rad/s)，

s(s1)(0.2s1)例6-4 设单位反馈系统的开环传递函数G(s)相位裕度 * = 40。 解 kv = 8 ν=1 k = 8

8120lg8 15 L()20lg820lg50.2令L()=0 ，可得

c = 2.8

 = 180  90  arctanc  arctan(0.2c) = 9.5< 40

不满足性能要求，需加以校正。 选用迟后网络校正。

)*646 令 (carctan(0.2c)46 得 90arctancarctan(0.2c)44 arctanc所以 c= 0.72

)0 根据 20lgbL(c得 b = 0.09

1 再由 0.1cbT得 T = 154.3

故选用的串联迟后校正网络为Gc(s)1bTs113.9s 1Ts1154.3s验算

)(c)180arctan(13.9c)arctan(154.3c)90arctancarctan(0.2c) 180c(c= 40.9  40

k例6-5 设单位反馈系统的开环传递函数G(s)，试设计一串联校正装置，使校正后开环

s(s1)(0.5s1)增益等于5，相位裕度 * 40，幅值裕度h* 10(dB)。 解 选k = 5

对于校正前的系统

5120lg5 12 L()20lg520lg20.2令L()=0 ，可得

c = 2.9

 = 180  90  arctanc  arctan(0.5c) = 36.5  *

不满足性能要求，选用迟后校正网络加以校正。

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)*545 令 (carctan(0.5c)45 arctancarctan(0.5c)45 得 90arctanc0.5 所以 c)0 根据 20lgbL(c得 b = 0.112

1 0.1cbT得 T = 159.4

故选用的串联迟后校正网络为

1bTs117.8s Gc(s)1Ts1159.4s验算

再由

)(c)180arctan(17.8c)arctan(159.4c)90arctancarctan(0.5c) 180c(c= 40.02  40

验证h

校正后系统满足h* =10dB时所对应的频率为1 = 1.33，则 (1)= 178.8  180 满足幅值裕度条件，所以

5117.8s G(s)G(s)Gc(s)s(s1)(0.5s1)1159.4s例6-6 某系统的开环对数幅频特性曲线如图6-2所示，其中虚线表示校正前的，实线表示校正后的，求解： （1）确定所用的是何种串联校正，并写出校正装置的传递函数Gc (s)； （2）确定校正后系统稳定时的开环增益；

（3）当开环增益k =1时，求校正后系统的相位裕度 ，幅值裕度h。

图6-2

解 (1) 由系统校正前、后对数幅频特性曲线可得校正装置的对数幅频特性曲线，如图6-27所示。从图中可看出所用的是串联迟后—超前校正。从而可得

(s1)2Gc(s)

(10s1)(0.1s1)或者，由系统对数幅频特性曲线可知，校正前系统开环传递函数为

G1(s)k(10s1) 2s(s1)(0.01s1)安徽工业大学《自动控制原理》精品课程习题精选第 45 页 共 54 页

校正后，系统开环传递函数为

k G2(s)s(0.1s1)(0.01s1)由G2(s) = Gc (s)G1(s)，可得

(s1)2Gc(s)

(10s1)(0.1s1)为一迟后——超前校正网络。 (2) 由校正后系统开环传递函数

k G2(s)s(0.1s1)(0.01s1)可得其闭环特征方程

D(s)s3110s21000s1000k0

列出劳斯表如下：

s3 1

s2 110

1100001000k s1

110

s0 1000k

系统要稳定，劳斯表第一列全为正，因而 110000  1000k > 0 1000k > 0

可得 0 < k < 110 (3) 当k =1时，

1G2(s)

s(0.1s1)(0.01s1)其对数幅频特性

1000 1000k

11020lg10L()20lg2 10100

20lg10001003从中解得  c = 1

由 () = 90  arctan(0.1)  arctan(0.01)

可得 (c) = 96.28  =180+ (c) = 83.72 又因为 (31.6) = 180 可得 g =31.6 故 h1G2(jg)109.8

例6-7 在图6-3所示系统中，当k =10，T =0.1时，截止频率c = 5。若要求c不变，如何选择k ，T值，才能使系统相位裕度提高45。

解 当k =10，T =0.1时，系统截止频率c = 5，可知Gc(s)因而 (c) =  arctan(c)

10(0.1s1)

s1安徽工业大学《自动控制原理》精品课程习题精选第 46 页 共 54 页

Lc(c)20lg10(0.5j1)

15j若要重新选择k ，T值，使 提高45。

k1(T1s1)

s1当c = 5时， 图6-3 c1(c) = arctan(T1c)  arctan(c)

设Gc1(s)Lc1(c)20lgk1(j5T11)

15j由 c1(c)= (c)  45

可得 arctan(T1c)= arctan(0.1c)  45 即 T1 = 0.6

另外，在增大 的同时，要Gc (s)s=j 保持的幅值不变，才能不改变系统截止频率，因此 Lc1(c) = Lc (c)

20lgk1(j5T11)10(j0.51)20lg

15j15j从而解出 k1 = 3.54。

例6-8 设复合控制系统如图6-4所示，图中Gn(s)为顺馈传递函数，Gc(s)=kts为测速电机及分压器的传递函数，G1(s)和G2(s)为前向通路中环节的传递函数，N(s)为可测量的干扰。若G1(s)= k，G2(s)=1/s2，试确定Gn(s)，Gc(s)和k1，使系统输出量完全不受干扰n(t)的影响，且单位阶跃响应的超调量等于25%，峰值时间为2s。

解 当R(s) = 0时，令C(s) = 0 得

GnG2N(s)N(s)0

1G1G2GcGnG21

1G1G2Gc所以

已知G1(s)= k，G2(s)=1/s2，闭环传递函数特征方程 图6-4 G1G2G1G2Gc10

由Mp% = 25%，tp = 2，求得理想闭环极点 s1,21.75j4

d(s)(ss1)(ss2)s21.36s2.93 由系统特征方程得 k1k12kts10 2ss用长除法可得k1=2.93，kt = 0.47

1G1G2GcGns21.37s

G2所以 G c = 0.47s Gn = s2 1.37s k1 = 2.93

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第七章 非线性系统的分析

a例7-1非线性系统如图7-1所示。已知带死区的继电器特性的描述函数N(X) 4b 1，负倒XX描述函数1N(X)特性曲线如试图7-2，应用描述函数法分析当a1、b3，K2时系统的稳定性，若系统自振，求自振的振幅和频率。

r0e2ba0-abK s(0.5s1)(s1) c

图7-1

aX2a1a2bN(X)ImXP2a0ReX2a1a2bN(X)Pa2b

图7-2

解：当a1、b3时，负倒幅函数为 1 N(X)X1431X2

由试图10可知，1N(X)的极值发生在XP2处，其值为系统线性部分的频率特性为

2 2 G(j)23j(0.5j1)(j1)1.5j(0.5)令Im[G(j)]0，得

0.5302 rad/s

0.523

236 2b a Re[G(j)]2 2 1.520.667

2则G(j)曲线与负实轴的交点坐标为(0.667 , j0)。由于 1 位于负实轴上0.532～之间，所以

N(X) 1 两个不同G(j)与 1 两条曲线必然相交，在同一个坐标点(0.667 , j0)上对应着负倒幅函数N(X)N(X)的X值，由

Re[G(j)]2 1

N(X)1X X11.11 , X22.3

21.51121X容易判断，当X2.3时系统产生稳定的自持振荡，振荡频率为2 rad/s 振幅为X2.3

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例7-2非线性系统方框图如图7-3所示。已知理想继电器特性的描述函数为N(X) 4M ，若要求系

A统自持振荡的角频率为1，振荡幅值为A1，求参数T和M之值。

3r-eM0M10 s(s1)(Ts1) c

图7-3

解：理想继电器的负倒幅特性为以1/N(A)特性为整个负实轴。 系统线性部分的频率特性为令Im[G(j)]0，得

1A，当A0，1/N(A)0；当A，1/N(A)，所

4MN(A)1010 （1） 2j(j1)(jT1)(T1)j(1T2) G(j)1T rad/s

Re[G(j)]1T将1T代入式（1），得G(j)1/N(A)的交点有

10(T1)12T10T T1 Re[G(j)]1T1 N(A) 10TA

T14M要求系统自持振荡的角频率为1，振荡幅值为A1，则T3， M0.1

47.53即

例7-3 具有饱和非线性的控制系统如图7-4所示，问：（1）试分析系统的稳定性？（2）为了使系统不产

生自持振荡，系统应如何调整？

r(t)021-012k s(0.1s1)(0.2s1) c(t)图7-4

Im11 2 N(A)0ReA1k15k7.5

图7-5 G(j)曲线与1/N(A)曲线

解：饱和非线性的描述函数为2N(A)=2Ksin1SS1S(AS)，其中，K2，S1，则

AAA1 2N(A)1114sin11AAA安徽工业大学《自动控制原理》精品课程习题精选第 49 页 共 54 页

起点A1时，10.5，当A，1，因此1曲线位于0.5～这段负实轴上。

N(A)N(A)N(A)系统线性部分的频率特性为

k[0.3j(10.022)]k G(j)s(0.1s1)(0.2s1)sj[0.000440.0521]令Im[G(j)]0，即10.0220，得G(j)曲线与负实轴交点的频率为

17.07 rad/s 0.02代入Re[G(j)]，可求得G(j)曲线与负实轴的交点为

0.3kRe[G(j)]=0.3k 424.50.00040.0517.07（1）将k15代入上式，得Re[G(j)]=-1。图7-5绘出了k15时的G(j)曲线与1/N(A)曲线，两曲线交于（-1，j0）点。显然，交点对应的是一个稳定的自持振荡，根据交点处幅值相等，即 211114sin1AAA1

求得与交点对应的振幅A2.5。因此，当k15时系统处于自持振荡状态，其振幅A2.5，振荡频率为

7.07rad/s。

（2）欲使系统稳定地工作，不出现自持振荡，由于G(s)极点均在s平面左半部，故根据推广的乃奎斯特稳定性判据判断非线性系统的稳定性和确定系统是否存在自持振荡的结论，应使G(j)曲线不包围1N(A)曲线，即0.3k0.5，故k的临界值为k临界0.54.57.5。

4.50.3因此，为了使系统不产生自持振荡而稳定工作，系统的k值最大调整到7.5。

例7-4含间隙特性的非线性系统的方框图如图7-6所示，其中，间隙特性参数k1以及线性部分的传递函数为G1(s)G2(s)1.5，试加线性校正环节G(s)，以消除间隙特性系统的自持振荡。

cs(s1)2erG1(s)MGc(s)hm0kmG2(s)c-

图7-6 含间隙特性的非线性系统的方框图

解：串联校正方案 将曲线G1(j)G2(j)及k1的间隙特性的负倒幅特性画在Nichols图上，如图7-7所示。从图7-7上看出，G2(j)与1/N(A)有两个交点b1及b2，曲线G1(j)由乃奎斯特稳定性判据判断非线性系统的稳定性和确定

系统是否存在自持振荡的结论可知：b1为稳定交点，它代表实际存在于系统中的自持振荡，其参数由图中查出A6.25及0.84rad/s；b2为不稳定交点。由此可见，当间隙特性的正弦输入初始振幅大于A1.22时，在间隙特性的输入端将出现振幅A6.25及角频率0.84rad/s的自持振荡；当初始振幅小于A1.22时，间隙特性的输入振幅向A收敛。

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3020lgG1(j)G2(j) (dB)2520151050  0.16A0.841N(A)  0.82A0.3b2G1(j)2G(j)1.5j(j1)21N(A)b120lg51018017016015014013012011010090(  )

图7-7 曲线G1(j)G2(j)与1/N(A)

3020lgG(j) (dB)25201510501N(A)20lg1N(A)G(j)51018017016015014013012011010090(  )

图7-8 含间隙特性串联校正的Nichols图

通过加校正环节Gc(s)以改变G1(s)G2(s)的形状，使其与1/N(A)脱离接触，并使1/N(A)不为G1(j)G2(j)Gc(j)曲线所包围，即在G(j)G1(j)G2(j)Gc(j)的上方，从而达到消除自持振荡并确保系统稳定的目的。为此，初选超前校正环节为Gc(j)10.8s，这时，校正系统的线性部分频率响应

10.4s1j0.81.5为G(j)G1(j)。将曲线G(j)与1/N(A)画在Nichols图上，G2(j)Gc(j) j(j1)21j0.4如图7-8所示。从图上看到，由于加校正后系统线性部分的频率特性G(j)完全置于间隙特性的负倒幅特性1/N(A)之下，故校正后的系统是稳定的，达到了校正的目的。

例7-5 已知含间隙特性的非线性系统如图7-9所示。当间隙特性参数k1及1时，自持振荡的振幅A06.25及角频率00.84rad/s。要求通过强迫振荡将该系统的振荡振幅及角频率调整到A12及

12rad/s上来，试确定外加正弦信号的振幅R。设G(j)G1(j)G2(j)。

rem-1 s1 0km1.5 s(s1) G2(s)cG1(s)N(A)

图7-9 含间隙特性非线性系统方框图

解：将G1(j)、G(j)，1绘于图7-10中，从图中分别求出 12及A 12时的向量

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Im1321AO1ReCA1N(A)G1(j)B123G(j)图7-10 G(j)及1曲线

N(A)

OBG1(j1)12j111210.2j0.4

则

|OB|0.220.420.447

OAG1(j1)G2(j1)12 0.12j0.09j111 1.5j1(j11)12则

|OA|0.1220.0920.15

OC1N(A1) 1ksin1(12)2(12)(1)j4k(1)A1A1A1A1A1A121k1A12

11j11.423j0.9062则|OC|1.42320.90621.687

|CA||OAOC|1.30320.99621.64

得

A |CA| A 1|OB| |OC|21.644.35 ，R 1R|CA||OB| |OC|0.4471.687因此，要求外加信号r(t)4.35sin2t，系统才能产生幅值为A 12及角频率 12rad/s的强迫振荡。

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第八章 采样控制系统

例8-1设某离散系统的方框图如图8-1所示，其中参数T0，K0，试确定系统稳定时参数K的取值范围。

R(s)-T0Ks(Ts1) C(s)

图8-1

解： (1)

系统的开环传递函数 G(s)KK 1 T

sTs1s(Ts1)采样控制系统的开环脉冲传递函数

z(1eT0/T) z z G(z)ZG(s)KKz1zeT0/T(z1)(zeT0/T)C(z)G(z)Kz(1eT0/T) 2R(z)1G(z)z(K1KeT0/TeT0/T)zeT0/T系统的特征方程为

z2(K1KeT0/TeT0/T)zeT0/T0……………………………………………① 作双线性变换zw1代入式①得

w1w1w12(K1KeT0/TeT0/T)w1eT0/T0

w1000w12(K1KeT/TeT/T)w21eT/Tw120

KKeT/Tw22(1eT/T)w2(1eT/T)KKeT/T0

0000应用劳斯判据可知只需各项系数为正即可。 KKeT0/T02(1eT0/T)T0/T2(1e)00K T0/T1eT0/TT0/T2(1e)KKe0例8-2某离散系统如图8-2所示，T为采用周期。(1) 若K10，确定使稳态误差ess1时的T值

11范围 (R(s)1)；(2) 证明：若使闭环系统稳定，则T与K必满足：0TlnK1。

s K1R(s)-T 1eTs s K s1 C(s)

图8-2

解：(1) 采样控制系统的开环脉冲传递函数

TG0(z)KK(1e) 1G(z)(1z1)L(1z)LzeTss(s1)系统误差脉冲传递函数为

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E(z)zeT1R(z)R(z)

1G(z)zeTK(1eT)R(s)1，R(z)z sz1将R(z)代入上式，得

esrlim111 z11G(z)1K11所以使稳态误差ess1的T值不存在。

11(2) 证明： C(z)G(z)K(1eT) R(z)1G(z)zeTK(1eT)系统的特征方程为

zeTK(1eT)0 zeTK(eT1) 要闭环采样系统稳定只需z1

即1eTK(eT1)1 等价于

TT 1eK(e1) 0TlnK1 TTK1 eK(e1)1证毕。

例8-3求图8-3所示系统的闭环脉冲传递函数。

R(s)C(s)TG(s)--TH1(s)H2(s)T图8-3

2）将系统的结构框图变化，如下图所示：

R(s)E(s)E1(s)--E1(s)TG(s)C(s)H1(s)H2(s)C(s)T

E(s)R(s)C(s)H2(s) ……………………………………………① E1(s)E(s)-H1(s)C(s) ……………………………………………② C(s)E1(s)G(s) ……………………………………………③

将②式代入③式

E1(s)E(s)-H1(s)E1(s)G(s)

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两边采样E1(s)E(s)-E1(s)GH1(s)E1(s)E(s) 1GH1(s)对③式两边采样C(s)E1(s)G(s) ……………………………④ 将④式代入①式

E(s)R(s)E1(s)G(s)H2(s)两边采样E(s)R(s)E1(s)G(s)H2(s)，则

1GH1(s)E(s)R(s) 1GH1(s)G(s)H2(s)E(s)对①式两边采样E(s)R(s)C(s)H2 (s)C(s)R(s)H2(s)1GH1(s)R(s)R(s)1GH1(s)G(s)H2(s)G(s)R(s) C(s)H2(s)1GH1(s)G(s)H2(s)两边进行Z变换

G(z)R(z)G(z)C(z)(z) 1GH1(z)G(z)H2(z)1GH1(z)G(z)H2(z)例8-4系统结构如图8-4所示，采样周期T0.2 s，输入信号r(t)1t1t。试

22求该系统在t时的稳态误差。

R(s)T- 1eTs s 10(0.5s1) s2 C(s)

图8-4

解：G(s)1esTs10(0.5s1)(1eTs)105 23sss225z15Tz(z1)5Tz G(z)(1z1)Z10s3s2z(z1)2(z1)3将T0.2 s代入上式，并化简G(z)1.2z0.8，根据离散系统稳态误差系数可求得

(z1)222ess1TT1T0.20.1

1KpKKa10.4