大学物理课后题答案5

5-1 一飞轮的半径为2m，用一条一端系有重物的绳子绕在飞轮上，飞轮可绕水平轴转动，飞轮与绳子无相对滑动。当重物下落时可使飞轮旋转起来。若重物下落的距离由方程xat2给出，其中a2.0ms2。试求飞轮在t时刻的角速度和角加速度。

[解] 设重物的加速度为at，t时刻飞轮的角速度和角加速度分别为和，则

因为飞轮与绳子之间无相对滑动，所以 atR 则 at2a22.02.0rad/s2 RR2 由题意知 t=0时刻飞轮的角速度00 所以

0tt2.0trads

5-2 一飞轮从静止开始加速，在6s内其角速度均匀地增加到200radmin，然后以这个速度匀速旋转一段时间，再予以制动，其角速度均匀减小。又过了5s后，飞轮停止转动。若该飞轮总共转了100转，求共运转了多少时间? [解] 分三个阶段进行分析

210 加速阶段。由题意知 11t1 和 1211 得

20 匀速旋转阶段。 21t2

121t33制动阶段。13t3 233 3 2320

21由题意知 123100 联立得到

1t122220022002100656060所以 t2183s 220060因此转动的总时间 tt1t2t365183194s

5-3 历史上用旋转齿轮法测量光速的原理如下：用一束光通过匀速旋转的齿轮边缘的齿孔A，到达远处的镜面反射后又回到齿轮上。设齿轮的半径为5cm，边缘上的齿孔数为500个，齿轮的转速，使反射光恰好通过与A相邻的齿孔B。(1)若测得这时齿轮的角速度为600rs，齿轮到反射镜的距离为500 m，那么测得的光速是多大?(2)齿轮边缘上一点的线速度和加速度是多大?

1t21t31002

[解] (1) 齿轮由A转到B孔所需要的时间t 所以光速 c25001 560023102L25003108ms

1T310522(2)?齿轮边缘上一点的线速度 vR51060021.8810ms 2252 齿轮边缘上一点的加速度 aR60025107.1010ms

25-4 刚体上一点随刚体绕定轴转动。已知该点转过的距离s与时间t的关系为

sa03a02tt。求证它的切向加速度每经过时间均匀增加a0。 62dvd2sa02ta0 [证明] 该点的切向加速度 atdtdtaa所以 atτat0ta00ta0a0

因此，切向加速度每经过时间均匀增加a0

5-5 如图所示的一块均匀的长方形薄板，边长分别为a、b。中心O取为原点，坐标系如图所示。设薄板的质量为M，求证薄板对Ox轴、Oy轴和Oz轴的转动惯量分别为 [解] 根据转动惯量的定义 Jr2dm

对Jox 取图示微元，有 Jox同理可得 Joy112dmbmb2 m12121ma2 12对于 Jozr2dm(x2y2)dmx2dmy2dm

5-6 一个半圆形薄板的质量为m、半径为R，当它绕着它的直径边转动时，其转动惯量是多大? [解] 建立坐标系，取图示面积元 dsrdrd，根据转动惯量的定义有

5-7 一半圆形细棒，半径为R，质量为m，如图所示。求细棒对轴AA的转动惯量。

[解] 建立图示的坐标系，取图示dl线元，dmdlRd， 根据转动惯量的定义式有

5-8 试求质量为m、半径为R的空心球壳对直径轴的转动惯量。 [解] 建立如图所示的坐标系，取一d的球带，ds2rRd它对y轴的转动惯量

又 rRcos 所以 dI2yrmRcos3d 20x此即空心球壳对直径轴的转动惯量。

5-9 图示为一阿特伍德机，一细而轻的绳索跨过一定滑轮，绳的两端分别系有质量为m1和m2的物体，且m1>m2。设定滑轮是质量为M，半径为r的圆盘，绳的质量及轴处摩擦不计，绳子与轮之间无相对滑动。试求物体的加速度和绳的张力。 [解] 物体m1,m2及滑轮M受力如图所示

对m1:对m2:对M:m1gT1m1a (1) T2m2gm2a (2)

T1rT2rJ (3)

又 JMr2/2 (4)

ar (5)

T1T1 (6)

T2T2 (7)

联立（1）-（7）式，解得

5-l0 绞车上装有两个连在一起的大小不同的鼓轮(如图)，其质量和半径分别为m=2kg、r=0.05m，M=8kg、R=0.10m。两鼓轮可看成是质量均匀分布的圆盘，绳索质量及轴承摩擦不计。当绳端各受拉力T1=1 kg，T2=2kg时，求鼓轮的角加速度。 [解] 根据转动定律，取顺时针方向为正

T1rT2RJ Jmr2/2MR2/2 联立(1)，(2)式可得

(1)

 (2)

5-11 质量为M、半径为R的转盘，可绕铅直轴无摩擦地转动。转盘的初角速度为零。一个质量为m的人，在转盘上从静止开始沿半径为r的圆周相对圆盘匀角速走动，如果人在圆盘上走了一周回到了原位置，那么转盘相对地面转了多少角度?

[解一] 取m和M组成的系统为研究对象，系统对固定的转轴角动量守恒。设人相对圆盘的速度为v，圆盘的角速度为，设人转动方向为正方向，则 mr(vr)J0

而 JMR/2 联立（1）、（2）式可得

2(1) (2)

人在转盘上走一周所用的时间t2r/v 转盘转过的角度为

mr2t2 负号表示方向与正方向相反。

MR2/2mr2[解二]

由角动量守恒定律可解（见上） 又因为 所以s2r代入即可

5-12 如图所示，一质量为m的圆盘形工件套装在一根可转动的轴上，它们的中心线相互重合。圆盘形工件的内、外直径分别为D1和D2。该工件在外力矩作用下获得角速度0，这时撤掉外力矩，工件在轴所受的阻力矩作用下最后停止转动，其间经历了时间t。试求轴处所受到的平均阻力f[轴的转动惯量略而不计，圆盘形工件绕其中心轴的转动惯量为[解] 根据角动量定理 MtI2I1

22联立上述三式得到 fm0D1D2(4D1)t

d,dtvds dt1mD12D22]。 85-13 一砂轮直径为1m，质量为50kg，以900rmin的转速转动，一工件以200 N的正压力作用于轮子的边缘上，使砂轮在

11.8s内停止转动。求砂轮与工件间的摩擦系数(砂轮轴的摩擦可忽略不计，砂轮绕轴的转动惯量为

1mR2，其中，m和R分别为砂轮的质量和半径)。 2[解] 根据角动量定理， MtI2I1

联立上述四式得到 mR02Nt50129002600.5 220011.85-14 以20Nm的恒力矩作用于有固定轴的转轮上，在10s内该轮的转速由零增大到100rmin。此时撤去该力矩，转轮因摩擦力矩的作用，又经100s而停止，试求转轮的转动惯量。

[解] 设转轮的转动惯量为J，摩擦力矩为Mf，则根据角动量定理

考虑到本题力矩为常矢量，以外力矩方向为正方向，有 (MMf)t1J0 Mft20J 联立(1)、(2)式可得

5-15 设流星从各个方向降落到某星球，使该星球表面均匀地积存了厚度为h的一层尘埃(h比该星球的半径R小得多)。试证明：由此而引起的该星球自转周期的变化为原来的自转周期的

(1) (2)

0tMdtdL

L1L25hdRD倍。式中R是星球的半径，D和d分别为星球和尘埃的密度。

[解] 取星球和尘埃为研究对象，在尘埃落向星球的过程中，系统的角动量守恒。设开始时星球的转动惯量为J1，角动量为1，星球的自转周期为T1；当落上厚度为h的尘埃后，转动惯量为J2，角速度为2，自转周期为T2，由角动量守恒得：

而 T1得到

设尘埃对自转轴的转动惯量为J0，则 J2J1J0 而 J1 因此 J021 T222

243RDR2 53244323RhRdR 533244323RhRdR3J0T251hR1d333 所以 11124T1J13DR3DR253 又因为 h<T253dhR5hd 11T13DRD 因此

T2T15hd T1RD5-16 如图所示的飞船以角速度0.20rads绕其对称轴自由旋转，飞船的转动惯量

J2000kgm2。若宇航员想停止这种转动，启动了两个控制火箭。它们装在距转轴r＝1.5 m

的地方。若控制火箭以v=50ms的速率沿切向向外喷气，两者总共的排气率dmdt2kgs。试问这两个切向火箭需要开动多长时间? [解] 把飞船和喷出的气体当作研究系统。在喷气过程中，dt时间内喷出的气体为dm，在整个过程中，喷出的气体的总角动量为

当飞船停止转动时，它的角动量为零。

mruI0 (也可由系统角动量守恒得)

I所以 m

ru所

求

的

时

间

为

tmI20000.22.67s ru21.55025-17 一冲床飞轮的转动惯量为25kgm，转速为300rmin，每次冲压过程中，冲压所需的

能量完全由飞轮供给。若一次冲压需要做功4000J，求冲压后飞轮的转速将减少至多少? [解] 设冲压后飞轮的转速为2，由动能定理得

所以 2122AJ(3002224000)25.8rad/s 60255-18 擦地板机圆盘的直径为D，以匀角速度旋转，对地板的压力为F，并假定地板所受的

压力是均匀的，圆盘与地板间的摩擦系数为，试求开动擦地板机所需的功率(提示：先求圆盘上任一面元所受的摩擦力矩，而整个圆盘所受摩擦力矩与角速度的乘积即是摩擦力矩的功率)。 [解] 在圆盘上取一细圆环，半径r，宽度为dr，则其面积为ds2rdr

此面积元受到的摩擦力为 dfF2rdr 2D2所以此面元所受的摩擦力矩为 dMrdf 其方向与ω方向相反 其大小 dMrdfsinrdfr8F24F2rdrrdr 22DD又因为各面元所受的摩擦力矩方向相同，所以整个圆盘所受的摩擦力矩为 所以所需要的功率 NM1FD 35-19 如图所示，A、B两飞轮的轴可由摩擦啮合使之连结。

2轮A的转动惯量J110kgm，开始时轮B静止，轮A以

n1600rmin的转速转动，然后使A与B连结，轮B得以加

速，而轮A减速，直至两轮的转速都等于n200rmin为止。求：(1)轮B的转动惯量；(2)在啮合过程中损失的机械能是多少?

[解] (1)以飞轮A，B为研究对象，在啮合过程中,系统受到轴向的正压力和啮合的切向摩擦，前者对轴的力矩为零，后者对轴的力矩为系统的内力矩，整个系统对转轴的角动量守恒，按角动量守恒定律，有

2而 JAJ110kgmA2n120rad/ s202031020kgm2

所以 JBAJA203在啮合的过程中，部分机械能转化为热能，损失的机械能为