2008高考湖北数学理科试题附答案(word)

数学（理工农医类）

一、选择题：本次题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设a(1,2),b(3,4),则(a2b)c

A.(15,12) B.0 C.3 D.11 2. 若非空集合A,B,C满足ABC，且B不是A的子集，则

A.“xC”是“xA”的充分条件但不是必要条件 B.“xC”是“xA”的必要条件但不是充分条件 C.“xC”是“xA”的充要条件

D.“xC”既不是“xA”的充分条件也不是“xA”必要条件 3. 用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为

A.

82328 B. C.82 D.

3334. 函数f(x)1ln(x23x2x23x4)的定义域为 x(0.1)

A.(,4][2,) B.(4,0)C.[-4,0)(0,1]D.[4,0)(0,1)

5.将函数y3sin(x)的图象F按向量(3,3)平移得到图象F,若F的一条对称轴是直线

x4,则的一个可能取值是

A.

551111 B. C. D. 121212126.将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为

A.540 B.300 C.180 D.150 7.若f(x)12xbln(x2)在(-1,+)上是减函数，则b的取值范围是 2A.[1,) B.(1,) C.(,1] D.(,1)

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(1x)mab,则ab 8.已知mN,a,bR，若limx0x*A．m B．m C．1 D．1

9.过点A(11,2)作圆xy2x4y1640的弦，其中弦长为整数的共有 A.16条 B.17条 C.32条 D.34条 10.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①a1c1a2c2。②a1c1a2c2。③c1a2a1c2。④其中正确式子的序号是

A.①③ B.②③ C.①④ D.②④

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡相应位置上. 11.设z2z1iz1(其中z1表示z1的共轭复数)，已知z2的实部是1，则z2的虚部为. 12．在△ABC中，三个角A,B,C的对边边长分别为a3,b4,c6,则

22c1c2＜. a1a2bccosAcacosBabcosC的值为.

13.已知函数f(x)x2xa,f(bx)9x6x2,其中xR,a,b为常数，则方程

22f(axb)0的解集为.

14.已知函数f(x)2,等差数列{ax}的公差为2.若f(a2a4a6a8a10)4,则

xlog2[f(a1)f(a2)f(a3)

f(a10)].

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15.观察下列等式：

ii1nn121nn, 22131212innn, 326i1i3i1nn141312nnn, 42415141314innnn, 52330i1i5i1nn16155412nnnn, 621212171615131nnnnn, 722642i6i1……………………………………

ii1nkak1nk2aknkak1nk1ak2nk2a1na0,

*可以推测，当x≥2（kN）时，ak111,ak,ak1 k12ak2.

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分） 已知函数f(t)1t17,g(x)cosxf(sinx)sinxf(cosx),x(,). 1t12（Ⅰ）将函数g(x)化简成Asin(x)B（A0，0，[0,2)）的形式； （Ⅱ）求函数g(x)的值域.

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17.（本小题满分12分）

袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n=1,2,3,4）.现从袋中任取一球.表示所取球的标号. （Ⅰ）求的分布列，期望和方差；

（Ⅱ）若ab, E1,D11,试求a,b的值.

18.（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC侧面A1ABB1. （Ⅰ）求证：ABBC；

（Ⅱ）若直线AC与平面A1BC所成的角为,二面角

A1BCA的大小为，试判断与的大小关系，并予以证

明.

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19.（本小题满分13分）

如图，在以点O为圆心，|AB|4为直径的半圆ADB中，ODAB，P是半圆弧上一点，

POB30，曲线C是满足||MA||MB||为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.

（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程； （Ⅱ）设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F. 若△OEF的面积不小于．．．22，求直线l斜率的取值范围.

20.(本小题满分12分)

水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方M）关于t的近似函数关系式为

1x2(t14t40)e450,0t10, V(t)4(t10)(3t41)50,10t12.（Ⅰ）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以i1ti表示第1月份（i1,2,同一年内哪几个月份是枯水期？

（Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取e2.7计算）.

,12）,

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21.(本小题满分14分)

已知数列{an}和{bn}满足：a1,an1数，n为正整数.

（Ⅰ）对任意实数，证明数列{an}不是等比数列； （Ⅱ）试判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；

（Ⅲ）设0ab,Sn为数列{bn}的前n项和.是否存在实数，使得对任意正整数n，都有

2ann4,bn(1)n(an3n21),其中为实3aSnb?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.

2008年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）

数学（理工农医类）试卷参考答案

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一、选择题：本题考查基础知识和基本运算.每小题5分，满分50分. 1.C 2.B 3.B 4.D 5.A 6.D 7.C 8.A 9.C 10.B

二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分25分. 11.1 12.

61k 13. 14.-6 15.，0 212三、解答题：本大题共6小题，共75分.

16.本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力.（满分12分） 解：（Ⅰ）g(x)cosx1sinxsinx1sinx1cosx 1cosxcosxcosx(1sinx)2sinx2cosx(1cosx)2 2sinx1sinx1cosxsinx.

cosxsinx1sinx1cosx17x,,cosxcosx,sinxsinx, g(x)cosxsinxcosxsinx12sinxcosx2

＝2sinx2. 4（Ⅱ）由＜x1755得，＜x. 124435335sint在,上为减函数，在,上为增函数，

4223又sin553517）， ＜sin,sinsin(x)＜sin（当x,2342442)＜，222sin(x)2＜3， 424即1sin(x故g(x)的值域为22,3.

17.本小题主要考查概率、随机变量的分布列、期望和方差等概念，以及基本的运算能力.（满分12分）

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解：（Ⅰ）的分布列为：

 P 0 1 2 3 4 1131 201020511131∴E012341.5.

2201020511131(01.5)2(11.5)2(21.5)2(31.5)2(41.5)22.75.（Ⅱ）

22010205由DaD，得a2×2.75＝11，即a2.又EaEb,所以 当a=2时，由1＝2×1.5+b,得b=-2。 当a=-2时，由1＝-2×1.5+b，得b=4. ∴21 2a2,a2,或即为所求.

b2b418.本小题主要考查直棱柱、直线与平面所成角、二面角和线面关系等有关知识，同时考查空间想象能力和推理能力.（满分12分） （Ⅰ）证明：如右图，过点A在平面A1ABB1内作 AD⊥A1B于D，则

由平面A1BC⊥侧面A1ABB1,且平面A1BCAD⊥平面A1BC,又BC平面A1BC， 所以AD⊥BC.

因为三棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱， 则AA1⊥底面ABC， 所以AA1⊥BC. 又AA1

AD=A,从而BC⊥侧面A1ABB1，

侧面A1ABB1=A1B,得

又AB侧面A1ABB1，故AB⊥BC.

（Ⅱ）解法1：连接CD，则由（Ⅰ）知ACD是直线AC与平面A1BC所成的角，

ABA1是二面角A1—BC—A的平面角，即ACD,ABA1,

于是在Rt△ADC中，sinADAD,在Rt△ADB中，sin, ACAB8 / 13

由AB＜AC，得sin＜sin，又0＜，＜，所以＜，

解法2：由（Ⅰ）知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分 别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1=a,AC=b, AB=c,

则

B(0,0,0),

A(0,c,0),

2C(b2c2,0,0),A1(0,c,a),于是 BC(b2c2,0,0),BA1(0,c,a), AC(b2c2,c,0),AA1(0,0,a).

设平面A1BC的一个法向量为n=(x,y,z)，则

nBA10,cyaz0,由得

22bcx0,nBC0,AC与n的夹角为锐角，则与互为余角. 可取n=(0,-a,c)，于是nACac＞0，sincosnACnACacbac22,

aac22cosBA1BABA1BAcacac22,所以sinaac22,

于是由c＜b，得bac22＜,

即sin＜sin,又0＜，＜,所以＜,

19.本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解读几何的基础知识，考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及综合解题能力.（满分13分）

（Ⅰ）解法1：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A（-2，0），B（2，0），D(0,2),P（3,1），依题意得

｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＝(23)1（23）1＝22＜｜AB｜＝4. ∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线. 设实平轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，

222229 / 13

则c＝2，2a＝22，∴a2=2,b2=c2-a2=2.

x2y21. ∴曲线C的方程为22解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＜ ｜AB｜＝4.

∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.

x2y2设双曲线的方程为221(a＞0，b＞0）.

ab(3)21221,则由 a2解得a2=b2=2, ba2b24.x2y21. ∴曲线C的方程为22

(Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理得（1-K2）x2-4kx-6=0. ∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F， ∴1k20,(4k)46(1k)0,22k1,3k3.

∴k∈（-3,-1）∪（-1，1）∪（1，3）. 设E（x，y），F(x2,y2)，则由①式得x1+x2=｜EF｜＝(x1x2)(y1x2)224k6,xx,于是 1221k1k(1k2)(x1x2)2

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＝1k(x1x2)4x1x21k222223k21k2.

而原点O到直线l的距离d＝

21k2，

2112223k22223k1k. ∴S△DEF=dEF222221k1k1k若△OEF面积不小于22,即S△OEF22，则有

223k21k222k4k220,解得2k2.　③

综合②、③知，直线l的斜率的取值范围为[-2，-1]∪(1-,1) ∪(1,2). 解法2：依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理， 得（1-K2）x2-4kx-6=0.

∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F， ∴

1k20,(4k)46(1k)0.22k1,3k3.

∴k∈（-3，-1）∪（-1，1）∪（1，3）. 设E(x1,y1),F(x2,y2),则由①式得 ｜x1-x2｜=(x1x2)4x1x221k2223k21k2.③

当E、F在同一去上时（如图1所示）， S△OEF＝SODFSODE11ODx1x2ODx1x2; 22当E、F在不同支上时（如图2所示）.

SOEFSODFS△ODE=综上得S△OEF＝

11OD(x1x2)ODx1x2. 221ODx1x2,于是 2223k21k2由｜OD｜＝2及③式，得S△OEF=.

若△OEF面积不小于22,即SOEF22,则有

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223k21k222k4k20,解得2k2.④

综合②、④知，直线l的斜率的取值范围为[-2，-1]∪（-1，1）∪（1，2）.

20.本小题主要考查函数、导数和不等式等基本知识，考查用导数求最值和综合运用数学知识解决实际问题能力.（满分12分）

解：（Ⅰ）①当0＜t10时，V(t)=(-t+14t-40)e化简得t2-14t+40>0,

解得t＜4，或t＞10，又0＜t10，故0＜t＜4.

②当10＜t12时，V（t）＝4（t-10）（3t-41）+50＜50, 化简得（t-10）（3t-41）＜0, 解得10＜t＜

2

1445050,

41，又10＜t12,故 10＜t12. 3综合得0故知枯水期为1月，2月，，3月，4月，11月，12月共6个月. (Ⅱ)(Ⅰ)知：V(t)的最大值只能在（4，10）内达到.

12314t由V′（t）=c(tt4)c(t2)(t8),424令V′(t)=0,解得t=8(t=-2舍去).

当t变化时，V′(t)与V (t)的变化情况如下表：

t V′(t) V(t) (4,8) + 8 0 1t41

(8,10) - 极大值 由上表，V(t)在t＝8时取得最大值V(8)＝8e2+50-108.52(亿立方M). 故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方M

21.本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理认证能力，（满分14分）

（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使｛an｝是等比数列，则有a22=a1a3,即

2444(3)2(4)2492490,矛盾. 3999所以｛an｝不是等比数列.

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(Ⅱ)解：因为bn+1=(-1)n+1［an+1-3(n-1)+21］=(-1)n+1(

=

2an-2n+14) 322(-1)n·（an-3n+21）=-bn 33又b1x-(λ+18),所以

当λ＝－18，bn=0(n∈N+),此时｛bn｝不是等比数列： 当λ≠－18时，b1=(λ+18) ≠0,由上可知bn≠0，∴

ba12(n∈N+). bn3故当λ≠-18时，数列｛bn｝是以－（λ＋18）为首项，－(Ⅲ)由（Ⅱ）知，当λ=-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求. ∴λ≠-18，故知bn= -（λ+18）·（－

2为公比的等比数列. 32n-1

），于是可得 3　Sn=-(18)·1－（－3）. 5要使a32n32(λ+18)·［1－（－）n］〈b(n∈N+) 53得a21()n33(18)5b21()n3　　　　　　　　　　①

2令f(n)1()，则55;当n为正偶数时，f(n)1, 3955∴f(n)的最大值为f(1)=,f(n)的最小值为f(2)=,

39533于是，由①式得a<-(λ+18),955当n为正奇数时，1当b>3a存在实数λ，使得对任意正整数n,都有a13 / 13